2018年天津市部分区高考数学二模试卷(理科)
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2018年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(★)已知集合A={1，2，3}，集合B={x∈N|x-1＞0}，则集合A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{1，3}
C．{2，3}
D．{1，2，3}
2．(★)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（ ）
A．1364
B．340
C．84
D．60
3．(★)设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x-4y的最小值为（ ）
A．
B．-3
C．-4
D．-6
4．(★)要得到函数y= sin（x- ）的图象，只需将函数y= sin（2x- ）图象上所有点的横坐标（ ）
A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度
B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度 C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度
D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
5．(★★)存在实数x，使|x-1|-|x-3|≤a成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．-2≤a≤2
B．a≥2
C．a≥-2
D．a≥-6
6．(★★★)已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且当x≤0时，f（x）=-x 3+ln（1-x）．记a=f（log 36），b=f（log 48），c=f（log 510），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
7．(★★)设F 1，F 2分别是双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F 1作直线F 1P与圆x 2+y 2=a 2相切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足 =
（ + ），| |= ，则双曲线的方程为（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1
8．(★★★)在平面直角坐标系内，如果两点P、Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称（P、Q）是函数y=f（x）的一对“奇点”（奇点（P、Q）与（Q、P）看作是同一奇点）．已知函数f（x）= ，恰有两对“奇点”，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（-∞，1）
C．（0，1）
D．（1，+∞）
二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.
9．(★★)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z= ∈R，则复数z= ．
10．(★★★)曲线y=ae x+2的切线方程为2x-y+6=0，则实数a的值为 ．
11．(★★)已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为
cm
3．
12．(★★★)天津大学某学院欲安排4名毕业生到某外资企业的三个部门A、B、C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作的方法有 种（用数字作答）．
13．(★★★)在直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin
2θ=4cosθ，则直线l被曲线C截得的弦的长为 ．
14．(★★★)在△ABC中，AB=6 ，AC=6，∠BAC= ，点D满足 = ，点E在线段AD上运动，若 =λ +μ ，则3λ+ 取最小值时，向量 的模为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．(★★★)已知函数f（x）=cos 2ωx+ sin2ωx- （ω＞0）的图象上相邻的最高点间的距离是π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B，C满足sinAsinC-sin 2C=sin 2A-sin 2B，求f（A）的取值范围．
16．(★★★)某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队．往年的智慧队和理想队的构成数据如表所示，现要求被选出的4名大学生中两队中的大学生都要有． （Ⅰ）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；
（Ⅱ）记选出的4名大学生中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
男（名）
女（名）
智慧队
3
1
理想队
2
2
17．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PD=CD=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（Ⅰ）证明：PB⊥平面DEF；
（Ⅱ）若三棱锥A-BDP的体积为 ，求直线BD与平面DEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D-BP-C的余弦值．
18．(★★★★★)已知抛物线x 2=4y的焦点与椭圆C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的上顶点为A，过A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于另一点B，线段AB的中点为M，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于点N，△ABN的面积为k，求k的值．
19．(★★★★)已知数列{a n}的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列{a n}的前n项和为S n，且a 6=2S 3，a 2+a 3=a 5．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n= ，求数列{b n}的前n项和T n．
20．(★★★★)已知函数f（x）=lnx-e x+2，h（x）=f（x）+e x-ax-2，若函数h（x）有两个零点x 1，x 2（x 1＞x 2），a∈R．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）＜0；
（Ⅲ）求证：x 1x 2＞e 2．
