1996考研数一真题及解析

1996 Passage 5Rumor has it that more than 20 books on creationism/evolution are in the publisher's pipelines. A few have already appeared. The goal of all will be to try to explain to a confused and often unenlightened citizenry that there are not two equally valid scientific theories for the origin and evolution of universe and life. Cosmology, geology, and biology have provided a consistent, unified, and constantly improving account of what happened. "Scientific" creationism, which is being pushed by some for "equal time" in the classrooms whenever the scientific accounts of evolution are given, is based on religion, not science. Virtually all scientists and the majority of non-fundamentalist religious leaders have come to regard "scientific" creationism as bad science and bad religion.The first four chapters of Kitcher's book give a very brief introduction to evolution. At appropriate places, he introduces the criticisms of the creationists and provides answers. In the last three chapters, he takes off his gloves and gives the creationists a good beating. He describes their programmes and tactics, and, for those unfamiliar with the ways of creationists, the extent of their deception and distortion may come as an unpleasant surprise. When their basic motivation is religious, one might have expected more Christian behavior.Kitcher is philosopher, and this may account, in part, for the clarity and effectiveness of his arguments. The non-specialist will be able to obtain at least a notion of the sorts of data and argument that support evolutionary theory. The final chapter on the creationists will be extremely clear to all. On the dust jacket of this fine book, Stephen Jay Gould says: "This book stands for reason itself." And so it does — and all would be well were reason the only judge in the creationism/evolution debate.67. "Creationism" in the passage refers to ________.[A] evolution in its true sense as to the origin of the universe[B] a notion of the creation of religion[C] the scientific explanation of the earth formation[D] the deceptive theory about the origin of the universe68. Kitcher's book is intended to ________.[A] recommend the views of the evolutionists[B] expose the true features of creationists[C] curse bitterly at this opponents[D] launch a surprise attack on creationists69. From the passage we can infer that ________.[A] reasoning has played a decisive role in the debate[B] creationists do not base their argument on reasoning[C] evolutionary theory is too difficult for non-specialists[D] creationism is supported by scientific findings70. This passage appears to be a digest of ________.[A] a book review[B] a scientific paper[C] a magazine feature[D] a newspaper editorial重点词汇：pipeline （管道；流水线）←pipe+line。

1996年考研真题作文Directions:A. Title: GOOD HEALTHB. Time limit: 40 minutesC. Word limit: 120-150 words (not including the given opening sentence)D. Your composition should be based on the OUTLINE below and should start with the given opening sentence: “Th e desire for good health is universal.”E. Your composition must be written clearly in the ANSWER SHEET.OUTLINE:1. Importance of good health2. Ways to keep fit3. My own practices(15 points)[审题解题]这篇文章延续了数年来的体例，考得仍得命题作文。

提纲分为三点，我们按照惯例分三段来写。

第一段是写健康的重要性，第一句已给出，我们可以写得很简洁，增加一句作进一点说明即可。

第二段是写保持健康的方法，可分为三个方面来写。

第三段是写我自己的做法。

考察这一模块是数年来一个流行的趋势，即写自己的部分——称为从宏观到微观亦可，叫做从整体到个体也罢，一定要把自己的特别之处也出来，这里与上一段不同，可以也得很具体，但又是上面一段基本原则的具体体现。

这一段我们分为两点来说，第一点写冬泳，就是呼应第二段的第一点，第二点说晚上十一点前睡觉，就是呼应第二段的第二点，而后做结。

[核心词汇]do regular exercisesstrong and energeticbalanced diet and sufficient sleepmental healthstrike a balance between work and relaxation[组词成句]第二段的首句可以用常规的方法，如：There are three methods to keep fit.Three methods, in my minds, can help us keep fit.这是一句统领句，然后就可以分开说了，但是还有一种不错的选择就是直接说第一点（这时通常第一点是最重要的），可以写作：The best way to keep fit, in my opinion, is to do regular exercises.这里既有插入语，又有一个很好的词组do regular exercises，表示“经常做锻炼”。

1 2 1996 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、 填空题⎛ x + 2a ⎫x（1） 设lim ⎪= 8, 则a = .x →∞ ⎝ 【答】 ln 2. x - a ⎭+ x ⎡3axx -a ⎤ x -a 【详解】 因为lim ⎛ x 2a ⎫ = lim ⎢⎛1+ 3a ⎫ 3a ⎥= e 3a , x →∞ x - a ⎪ x →∞ ⎢ x - a⎪ ⎥ ⎝ ⎭于是e 3a = 8 ⇒ a = ln 2⎣⎝ ⎭ ⎦（2）设一平面经过原点及点(6, -3, 2), 且与平面4x - y + 2z = 8 垂直，则此平面方程为.【答】 2x + 2 y - 3z = 0【详解】 原点与点(6, -3, 2) 连线的方向向量为 s = (6, -3, 2) ; 平面4x - y + 2z = 8 的法向量为 n = {4, -1, 2},根据题意，所求平面的法向量为i j ks ⨯ n = 6 4 -3 2 = 2i + 2 j - 3k .-1 2故所求平面方程为 2 ( x - 0) + 2 ( y - 0) - 3( z - 0) = 0,即2x + 2 y - 3z = 0 .(3)微分方程 y '' - 2 y ' + 2 y = e x 的通解为.【答】 y = C e x cos x + C e x sin x + e x【详解】 对应齐次方程的特征方程为λ 2 - 2λ + 2 = 0,解得特征根为 λ1,2 = 1± i ,由于α = 1 不是特征根，可设原方程的特解为 y * = Ae * ，1 2 ⎢ ⎥ 代入原方程解得 A = 1, 故所求通解为（4）函数u = ln (x 1y = C e x cos x + C e x sin x + e x在 A (1, 0,1) 点处沿 A 点指向的方向导数为.【答】 .2【详解】 因为∂u | = 1 |= 1 , ∂x A x (1,0,1) 2∂u | = 1 ⋅ y | = 0∂y A x (1,0,1)∂u | = 1 ⋅ z | = 1 , ∂z A x (1,0,1) 2–––K cos α = 2 , cos β = - 2 , cos γ = 1,3 3 3⎧ 2 2 1 ⎫沿 AB 方向的单位向量为⎨ 3 , - , ⎬,–––K⎩3 3⎭ 故u 沿 AB 方向的方向导数为∂u 1 2 ⎛ 2 ⎫ 1 1 1 –––K = ⋅ + 0 ⋅ - ⎪ + ⋅ = ∂ AB 2 3 ⎝ 3 ⎭ 2 3 2⎡ 1 0 2⎤（5）设 A 是4 ⨯ 3 矩阵，且 A 的秩 r ( A ) = 2, 而 B = ⎢ 0 2 0⎥ , 则 r ( AB ) =.⎢⎣-1 0 3⎥⎦【答】 2.【详解】 因为 B =1 0 22 0 = 10 ≠ 0,-1 0 3说明矩阵 B 可逆，故秩 r ( AB ) = 秩 r ( A ) = 2,二、选择题（1） 已知( x + ay ) dx + ydy ( x + y )2为某函数的全微分，则 a 等于（A ）-1.（B ）0.(C)1.(D)2.【】→ 【答】 应选（D ）.( x + ay ) dx + ydy【详解】( x + y )2为某函数的全微分的充要条件是∂ ⎛ y ⎫ = ∂ ⎛ x + ay ⎫, 2 ⎪ 2 ⎪∂x ( x + y ) ∂y ( x + y ) ⎪即(a - 2) x - ay = -2 y ,⎝ ⎭ ⎝ ⎭(a - 2)( x - y ) = 0.当且仅当 a = 2 时上式恒成立，故正确选项为（D ）. f '' ( x )（2）设 f ( x ) 有二阶连续导数，且 f ' (0) = 0, limx0 = 1, 则（A ） f (0) 是 f ( x ) 的极大值. （B ） f (0) 是 f ( x ) 的极小值.（C ） (0, f (0))是曲线 y = f ( x ) 的拐点.（D ） f (0) 不是 f ( x ) 的极值， (0, f (0))也不是曲线 y = f ( x ) 的拐点【 】【答】 应选（B ）. f '' ( x )【详解】 由题设limx →0在此邻域内有f '' ( x )= 1 根据极限的性质知，存在 x = 0 的某邻域，≥ 0 .即 f '' ( x ) ≥ 0.又根据泰勒公式，f '' (ξ )f ( x ) = f (0) + f ' (0) x +f '' (ξ )x 2 其中ξ 在 0 与 x 之间， 2! 从而 f ( x ) = f (0) +x 2 ≥ 2!f (0)可见 f (0) 是 f ( x ) 的极小值，故正确选项为（B ）∞⎛ π ⎫∞ n ⎛ λ ⎫ （3）设a n > 0 (n = 1, 2,⋯), 且∑a n 收敛，常数λ ∈ 0, 2 ⎪ , 则级数∑(-1) n tan n ⎪ a 2nn =1 ⎝ ⎭ n =1⎝ ⎭（A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. (C)发散.（D ）敛散性与λ 有关.【 】【答】 应选（A ）.xxx⎝⎭ ⎝ ⎭ 0= lim∞x n⎛λ ⎫ λ 【详解】 由于 (-1) nn tan n ⎪ a 2n = n tan n ⋅ a 2n ,而lim n tann →∞λ = λ, 所以当n 充分大时，n tan λ⋅ a < (λ +1) an 2n2n∞∞又正项级∑an 收敛，所以其偶数项数列构成的级数∑a2n 也收敛，n =1n =1n⎛λ ⎫ 从而 ∑(-1) n =1n tan n ⎪ a 2n 绝对收敛，故正确选项为（A ）（4）设 f ( x ) 有连续的导数， f (0) = 0, f ' (0) ≠ 0, F ( x ) = ⎰ x(x 2- t 2 )f (t ) dt , 且当 x → 0 时， F ' ( x )是与 xk是同阶无穷小，则 k 等于【答】 应选（C ）. 【详解】 因为' ⎡ 2xx 2【 】⎤'x2 2 F ( x ) = ⎢⎣ x ⎰0xf (t ) dt - ⎰0 t f (t ) d t ⎥⎦= 2x ⎰0 f (t ) dt + x f ( x ) - x f ( x ) = 2x ⎰0 f (t )dt .又根据题设 F ' ( x ) 与xk 是同阶无穷小，且 f (0) = 0, f ' (0) ≠ 0,于是有F ' ( x )2x ⎰ f (t ) dt2 f ( x ) lim x →0 x k = lim 0 x →0 x kx →0 (k -1) x k -2 = 2 lim 1⋅f ( x ) - f (0) x →0 (k -1) x k -3 x - 0= 2 f ' (0)⋅lim 1≠ 0,x →0 (k -1) x k -3可见应有 k = 3 故正确选项为（C ）.（5）四阶行列式 的值等于3 3（A ） a 1a 2 x 3 x 4 - b 1b 2b 3b 4 .（B ） a 1a 2a 3a 4 + b 1b 2b 3b 4 .a 1 0 0b 10 a 2 b 2 0 0 b 4 b 0 a 0 0 a 41 n →∞1 4（C ） (a 1a 2 - b 1b 2 )(a 3a 4 - b 3b 4 ).（D ） (a 2a 3 - b 2b 3 )(a 1a 4 - b 1b 4 ).【 】【答】 应选（D ） 【详解】 按第一行展开，a 1 0 0 0 a 2b 2 b 10 a 2 b 2 ＝ a ⋅ b a 00 0 - b 0 a 2 b 2 b a 0 b 3 a 3 0b 0 0 a1 3 3 0 0 a 4 1 3 3 b 4 0 0 44= aaa 2b 2- b b a 2 b 2 b 3 a 3b 3 a 3故正确选项为（D ）.= (a 2a 3 - b 2b 3 )(a 1a 4 - b 1b 4 ).三、（1）求心形线 r = a (1+ cos θ ) 的全长，其中a > 0 是常数.' 【详解】 因为 r (θ ) = -a sin θ , ds = d θ = 2a cosd θ 利用对称性知，所求心形线的全长s = 2⎰π 2a co sθ d θ = 8a s in θ |π= 8a0 2 2 0（2）设 x 1 = 10, x n +1 =【详解】 由 x 1 = 10, x 2 =n = 1, 2,⋯), 试证数列{x n } 的极限存在，并求此极限.= 4 知， x > x . 2设对某个正整数 k 有 x k > x k +1 则x k +1 =>= x k +2 .故由归纳法知，对一切正整数 n , 都有 x n > x n +1, 即数列{x n } 为单调减少数列.又显然有 x n > 0 (n = 1, 2,⋯),即{x n } 有下界，根据单调有界数列必有极限知，数列{x n } 的极限存在.记lim x n = a , 对 x n +1从而 a 2 - a - 6 = 0两边取极限，得 a解得 a = 3 或 a = -2 （舍去，因为 x n > 0 ）θ21 41 y 0 0 2π 故所求极限值为 a = 3 .四、（1）计算曲面积分⎰⎰(2x + z )dydz + zdxdy , 其中 S 为有向曲面 z = x 2 + y 2(0 ≤ z ≤ 1) ， s其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角.【详解 1】 用高斯公式，以 S 表示法向量指向 z 轴负向的有向平面 z = 1(x 2 + y 2 ≤ 1), D 为S 1 在 xOy 平面上的投影区域，则⎰⎰(2x + z ) d yd z + z dxdy = º⎰⎰ (2x + z ) d ydz + zdx dy -⎰⎰ (2x + z ) dyd z + z dxdysS +S 1S 1= -⎰⎰⎰( 2 +1)dV - ⎰⎰ -dxdyΩ D = -3 d θ 1 rdr 2⎡-(-π )⎤dz⎰⎰=- 3π + π2π⎰r 2⎣ ⎦=- .2【详解 2】 用矢量投影法，因为z ' = 2x , z ' = 2 yx于是(2x + z ) dydz + zdxdy =⎡(2x + z )⋅(-z ' ) + z ⎤dxdy⎰⎰⎰⎰ ⎣ x ⎦sS= ⎰⎰(-4x 2 - 2xz + z )dxdyS= ⎰⎰ ⎡⎣-4x 2 - 2x (x 2 + y 2) + x 2 + y 2 ⎤⎦dxdyD= ⎰2πd θ ⎰1(-4r 2 c os 2 θ - 2r 3 c os θ + r 2 )π=- .2【详解 3 】 直接投影法，曲面 S 在 yOz 平面上投影 D yz 对应两个曲面：一是x ≤ z ≤ 1, 其方向指向前侧，因此积分取正号，一是 x =≤ z ≤ 1, 其方向指向后侧，因此积分取负号，再记 D xy 表示 S 在 xOy 平面上的投影区域，则⎩ ∂2 z ) 2 0 五、求级数∑ n - + 2 ⎰⎰(2x + z )dydz + zdxdys= ⎰⎰ (D yz= -4⎰⎰D yz+ z )dyd z + ⎰⎰ (-D yz+ ⎰⎰ (x 2 + y 2 )dxdyD xyz )dy dz + ⎰⎰ (x 2 + y 2 )dxdyD xy112π1 24⎰-1dy ⎰y 2+ ⎰0 d θ ⎰0 r ⋅ rdrπ =- 2 ⎧u = x - 2 y∂2 z∂2 z ∂2 z∂2 z（2）设变换⎨ v = x + ay 可把方程6 ∂x 2 + ∂x ∂y - ∂y 2 = 0 化简为∂u ∂v = 0, 求常数 a .∂z∂z ∂z ∂z ∂z ∂z 【详解】∂x = ∂u + ∂v , ∂y = -2 ∂u + a ∂v ,∂2 z= ∂2 z +∂2 z + ∂2 z∂x 2 ∂2 z ∂u 2 =- 2 ∂u ∂v ∂2 z∂v 2 , ∂2 z ∂2z∂x ∂y 2 ∂u 2 + (a - 2) ∂u ∂v + a ∂v 2 ,∂2 z = ∂y 2 ∂2 z 4 ∂u 2 - 4a ∂2 z ∂u ∂v ∂2 z a ∂v 2. 将上述结果代入原方程，经整理后得(10 + 5a )∂u ∂v+ (6 + a - a 依题意知 a 应满足∂2z = ∂v解之得 6 + a - a 2 = 0, 且10 + 5a ≠ 0,a = 3.∞n =2(n21-1)2n的和.∞n【详解】 令 S ( x ) = ∑ 2n =2 x , 则1=- .2 1x - 1 2 ∞1 ∑ ∞x n1 ⎛ ∞ x n ∞x n ⎫ S ( x ) = ∑ n 2 - = ∑ - ∑ ⎪n =2 1 2 ⎝ n =2 n -1 n =2 n +1 ⎭-1 ∞n +1 = x ∑∞ x n - 1 ∑ x 2 n =2 n -1 2x n =2 n +1= x ∑∞ x n - 1 ⎛ ∑∞n ⎫ x - x .2 n =1 n ⎪ ⎝ n =1 n2 ⎭因为 x n =1 n= - ln (1- x ), 于是有S ( x ) =- x ln (1- x ) + 1 + 1 x + 1ln (1- x )( x < 1, x ≠ 0),2 2 4 2x 1 ⎛ 1 ⎫ ∞ 1 53 令 x = , 得 2S 2⎪ = ∑ 2= - ln 2.⎝ ⎭ n =2 (n -1)2 8 41 x六、设对任意 x > 0, 曲线 y = f ( x ) 的一般表达式.f ( x ) 上点( x , f ( x ))处切线在Y 轴上得截距等于x⎰0f (t )dt , 求【详截】 曲线 y = f ( x ) 上点( x , f ( x ))处切线方程为Y - f ( x ) = f ' ( x )( X - x ) ，令 X = 0 得截距Y = f ( x ) - xf ' ( x )由题意有1⎰ xf (t )dt = f ( x ) - xf ' ( x ),x 0即⎰x f (t )dt = x ⎡ f ( x ) - xf ' ( x )⎤上式对 x 求导，化简得即(xf ' ( x ))'= 0；⎣ ⎦ xf ''' ( x ) + f ' ( x ) = 0积分得因此xf ' ( x ) = C ,f ( x ) = C 1 ln x + C 2 (其中C 1、C 2为任意常数).七、设 f ( x ) 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件常数， c 是(0,1) 内任意一点，证明f ( x ) ≤ a , f '' ( x ) ≤ b 其中 a 、b 都是非负n 2x n1 ⎣⎦ f ' (c ) ≤ 2a + b.2【详解】 对 f ( x ) 在 x = c 处用泰勒公式展开，得f ( x ) = f (c ) + f '(c )( x - c ) + f '' (ξ ) 2!( x - c )2(*)其中ξ = c + θ ( x - c ), 0<θ <1.在(*) 式中令 x = 0, 则有f (0) = f (c ) + f '(c )(0 - c ) +在(*) 式中令 x = 1 ，则有f '' (ξ ) 2!f '' (ξ )(0 - c )22,0<ξ1<c<1,f (1) = f (c ) + f '(c )(1- c ) +(1- c ) 2!,0<ξ2 <1,上述两式相减得f (1) - f (0) = f '(c ) +1 ⎡f ''(ξ)(1 - c )2 - f '' (ξ ) c 2 ⎤2! ⎣于是21⎦f ' (c ) = f (1) - f (0) - 1 ⎡ f '' (ξ )(1 - c )2- f '' (ξ )c 2 ⎤ 2 ⎣ 2 1 ⎦≤ f (1) + f (0) + f '' (ξ ) (1- c )2 + f '' (ξ ) c 2≤ 2a + b ⎡(1- c )2+ c 2 ⎤ .2 又因当c ∈(0,1) 时，有(1- c )2+ c 2 ≤ 1, 故f ' (c ) ≤ 2a + b.2八、设 A = E - ξξ T 其中 E 是 n 阶单位矩阵， ξ 是 n 维非列向量， ξ T 是ξ 的转置，证明：（1） A 2 = A 的充要条件是ξ T ξ = 1;（2） 当ξ T ξ = 1时， A 是不可逆矩阵.【详解】 （1） A 2 = (E - ξξ T )(E - 2ξξ T ) = E - 2ξξ T + ξ (ξ T ξ )ξ T = E - (2 - ξ T ξ )ξξ T ,因此 A 2 = A ⇔ E - (2 - ξ T ξ)ξξ T = E - ξξ T ⇔ (ξ T ξ -1)ξξ T = 01 2 1 22因为ξ≠ 0, 所以ξξT≠ 0故 A2=A 的充要条件为ξTξ= 1;（2）方法一：当ξTξ= 1时，由 A =E -ξξT, 有 Aξ=ξ-ξξTξ=ξ-ξ= 0,因为ξ≠ 0, 故Ax = 0 有非零解，因此A= 0 ，说明A 不可逆.方法二：当ξTξ= 1，由A2=A ⇔A(E -A)= 0, 即E -A 的每一列均为Ax = 0 的解，因为E -A =ξξT≠ 0, 说明Ax = 0 有非零解，故秩(A)<n ，因此A 不可逆.方法三：用反证法.假设 A 可逆，当ξξT= 1, 有 A2=A于是 A-1A2=A-1A, 即 A =E .这与A =E -ξξT≠E 矛盾，故A 是不可逆矩阵.九、已知二次型f (x , x , x )= 5x 2+ 5x 2+cx 2- 2x x+ 6x x- 6x x 的秩为2.1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程f (x1, x2 , x3)= 1表示何种二次曲面.【详解】（1）此二次型对应矩阵为⎡5 -1 3 ⎤A =⎢-1 5 -3⎥.⎢⎥⎢⎣3 -3 c⎥⎦因秩(A)= 2, 故A= 0, 由此解得c = 3, 容易验证，此时A 的秩的确为2.又由λ- 5 1 -3λE - A = 1 λ- 5 3 =λ(λ- 4)(λ- 9),-3 3 λ- 3所求特征值为λ1= 0, λ2= 4, λ3= 9.（2）由特征值可知，f (x1, x2 , x3)= 1表示椭球柱面.十、填空题（1）设工厂A 和工厂B 的产品率分别为1％和2％，现从由A 和B 的产品分别占60％和402 2 2π2π +∞=π2 .％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 产品的概率是.3 【答】 .7【详解】 设事件 A ={抽取的产品为工厂 A 生产的}， B ＝{抽取的产品为工厂 B 生产的}，C ＝{抽取的是次品},则P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.4, P (C | A ) = 0.01, P (C | B ) = 0.02,由逆概率公式知P ( A | C ) =P ( AC ) =P ( A )⋅ P (C | A ) P (C ) P ( A ) P (C | A ) + P ( B ) P (C | B )=0.6 ⨯ 0.010.6 ⨯ 0.01+ 0.4 ⨯ 0.02 = 3 . 7⎛ ⎛ ⎫2 ⎫(2)设ξ ,η 是两个相互独立且均服从正态分布 N 0, ⎪ ⎪的随机变量，则随机变量 ξ -η的数学期望 E( ξ -η ) =.⎝ ⎝ ⎭ ⎭【答】.【详解】 因为ξ ,η 是两个相互独立且均服从正态分布 N ⎛ 0,1 ⎫, 2 ⎪ ⎝ ⎭故 Z = ξ -η 也服从正态分布，且 E (Z ) = E ξ - E η = 0, D (Z ) = D ξ + D η = 1 + 1= 1,2 2即 Z ~ N (0,1).于是E ( ξ -η ) = E Z = ⎰ z 1-x22 dz -∞2 +∞ - x 2⎛ z 2 ⎫ = ⎰ e 2 d ⎪0 ⎝ 2 ⎭十一、设 ξ ,η 是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 ξ 的分布律为P {ξ = i } = 1, i = 1, 2, 3, 又设 X = max (ξ ,η ),Y = min (ξ ,η ).32π（1）写出二维随机变量(X ,Y )的分布律；(2)求随机变量 X 的数学期望 E (X ).P{X <Y}= 0 即【详解】（1 ）由X = max (ξ,η),Y = min (ξ,η). 的定义知，P{X = 1,Y = 2}=P (X = 1,Y = 3)=P (X = 2,Y = 3)= 0,且进已步有P{X = 1,Y = 1}=P{ξ= 1,η= 1}=P{ξ= 1}⋅P{η= 1}=1 ,9P{X = 2,Y = 2}=P{ξ= 2,η= 2}=P{ξ= 2}⋅P{η= 2}=1 ,9P{X = 3,Y = 3}=P{ξ= 3,η= 3}=P{ξ= 3}⋅P{η= 3}=1 ,9P{X = 2,Y = 1}=P{ξ= 1,η= 2}+P{ξ= 2,η= 1}=1 +1 =2 ,9 9 9P{X = 3,Y = 2}=P{ξ= 2,η= 3}+P{ξ= 3,η= 2}=1 +1 =2 ,9 9 9P{X = 3,Y = 1}= 1-7 =2 ;9 9故所求的分布律为（2）X 的边缘分布为故X 的数学期望为E (X )=1 ⨯1+3 ⨯ 2 +5 ⨯ 3 =22 .9 9 9 9。

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】ln 2【解析】这是1∞型未定式求极限.方法一：3323lim()lim(1)x a axx a xax x x a a x a x a-⋅-→∞→∞+=+--,令3at x a=-,则当x →∞时,0t →,则1303lim(1)lim(1)x aa t x t a t e x a -→∞→+=+=-,即33lim lim 312lim()x x ax ax a x a x x a ee e x a →∞→∞-→∞+===-.由题设有38ae=,得1ln 8ln 23a ==.方法二：2223()2221lim 112lim lim lim 11lim 1x xa xax a x ax x ax x x a a x a a a x a e x x x e a x a e a a x x x ⋅→∞-→∞→∞→∞-⋅-→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭===== ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫- ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭,由题设有38ae=,得1ln 8ln 23a ==.(2)【答案】2230x y z +-=【解析】方法一：所求平面过原点O 与0(6,3,2)M -,其法向量{}06,3,2n OM ⊥=-；平面垂直于已知平面428x y z -+=,它们的法向量也互相垂直：{}04,1,2n n ⊥=-；由此,00//632446412i j kn OM n i j k ⨯=-=--+- .取223n i j k =+-,则所求的平面方程为2230x y z +-=.方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M -的向量{}06,3,2OM =- ,另一是平面428x y z -+=的法向量{}04,1,2n =-)平行的平面,即6320412xy z-=-,即2230x y z +-=.(3)【答案】12(cos sin 1)xe c x c x ++【解析】微分方程22xy y y e '''-+=所对应的齐次微分方程的特征方程为2220r r -+=,解之得1,21r i =±.故对应齐次微分方程的解为12(cos sin )x y e C x C x =+.由于非齐次项,1xe αα=不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*()xy x ae =,代入22x y y y e '''-+=得1a =(也不难直接看出*()x y x e =),故所求通解为1212(cos sin )(cos sin 1)x x x y e C x C x e e C x C x =++=++.【相关知识点】①二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.②二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2)两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3)一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.③对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xm f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxm y x x Q x eλ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x mm y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(4)【答案】12【分析】先求方向l 的方向余弦和,,u u ux y z ∂∂∂∂∂∂,然后按方向导数的计算公式cos cos cos u u u u l x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数.【解析】因为l 与AB 同向,为求l的方向余弦,将{}{}31,20,212,2,1AB =----=- 单位化，即得{}{}12,2,1cos ,cos ,cos 3||AB l AB αβγ==-=.将函数ln(u x =+分别对,,x y z求偏导数得12Au x ∂==∂,0Au y ∂==∂,12Au z∂==∂,所以cos cos cos AA AA u u u ulx y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂1221110()233232=⨯+⨯-+⨯=.(5)【答案】2【解析】因为10220100103B ==≠-,所以矩阵B 可逆,故()()2r AB r A ==.【相关知识点】()min((),())r AB r A r B ≤.若A 可逆,则1()()()[()]()r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.从而()()r AB r B =,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)u x y ,使得22()()()x ay dx ydydu x y x y +=+++,由可微与可偏导的关系,知2()u x ay x x y ∂+=∂+,2()u yy x y ∂=∂+,分别对,y x 求偏导数,得2243()()2()(2)()()u a x y x ay x y a x ayx y x y x y ∂+-+⋅+--==∂∂++,232()u yy x x y ∂-=∂∂+.由于2u y x ∂∂∂与2u x y ∂∂∂连续,所以22u u y x x y∂∂=∂∂∂∂,即33(2)2()()a x ay yx y x y ---=++2a ⇒=,故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()f x 有二阶连续导数,且0()lim10,||x f x x →''=>所以由函数极限的局部保号性可知,在0x =的空心领域内有()0||f x x ''>,即()0f x ''>,所以()f x '为单调递增.又由(0)0f '=,()f x '在0x =由负变正,由极值的第一充分条件,0x =是()f x 的极小值点,即(0)f 是()f x 的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim ().x x f x A →=若0A >(或0A <)⇒0,δ∃>当00x x δ<-<时,()0f x >(或()0f x <).(3)【答案】(A)【解析】若正项级数1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑也收敛,且当n →+∞时,有tanlim (tan lim n n n n n nλλλλλ→+∞→+∞=⋅=.用比较判别法的极限形式,有22tanlim0n n nn a n a λλ→+∞=>.因为21n n a ∞=∑收敛,所以2lim tann x n a nλ→+∞也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1)当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2)当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3)当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(4)【答案】(C)【解析】用洛必达法则.由题可知220()()()xxF x xf t dt t f t dt =-⎰⎰,对该积分上限函数求导数,得220()2()()()2()x xF x x f t dt x f x x f x x f t dt '=+-=⎰⎰,所以1002()2()()limlim limxxk kk x x x x f t dtf t dtF x xxx -→→→'==⎰⎰23002()2()limlim(1)(1)(2)k k x x f x f x k x k k x --→→'---洛洛.因为()F x '与kx 是同阶无穷小,且(0)0f '≠,所以302()lim(1)(2)k x f x k k x -→'--为常数,即3k =时有300()2()limlim(0)0(1)(2)kk x x F x f x f x k k x -→→'''==≠--,故应选(C).【相关知识点】设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限()lim()x l x αβ=,(1)若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ ；(3)若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较.(5)【答案】(D)【解析】可直接展开计算,22221331334400000000a b a b D a b a b b a a b =-22221414232314143333()()a b a b a a b b a a b b a a b b b a b a =-=--,所以选(D).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得ds a θθ==⋅2cos2a a d θθθ==.由于()(1cos )r r a θθ==+以2π为周期,因而θ的范围是[0,2]θπ∈.又由于()()r r θθ=-,心形线关于极轴对称.由对称性,24cos 8sin 822s ds a d a a πππθθθ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.xyz1O xyOxyD yOz 12z y =yzD (2)【解析】用单调有界准则.由题设显然有0n x >,数列{}nx 有下界.证明n x单调减：用归纳法.214x x ==<；设1nn x x -<,则1n n x x +=<.由此,n x 单调减.由单调有界准则,lim n n x →+∞存在.设lim ,(0)n n xa a →+∞=≥,在恒等式1nx +=两边取极限,即1lim lim n n n x a +→+∞→+∞==,解之得3a =(2a =-舍去).【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.2.收敛数列的保号性推论：如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥(或0n x ≤),且lim n n x a →∞=,那么0a ≥(或0a ≤).四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【分析一】见下图所示,S 在xOy 平面与yOz 平面上的投影均易求出,分别为22:1xy D x y +≤；2:11,1yz D y y z -≤≤≤≤,或01,z y ≤≤≤≤.图1求Szdxdy ⎰⎰,自然投影到xOy 平面上.求(2)Sx z dydz +⎰⎰时,若投影到xOy 平面上,被积函数较简单且可利用对称性.【分析二】令(,,)2,(,,)0,(,,)P x y z x z Q x y z R x y z z =+==,则SI Pdydz Rdxdy =+⎰⎰.这里,213P Q R x y z∂∂∂++=+=∂∂∂,若用高斯公式求曲面积分I ,则较简单.因S 不是封闭曲面,故要添加辅助曲面.【解析】方法一：均投影到平面xOy 上,则22(2)[(2)()()]xySD zI x z dydz zdxdy x z x y dxdy x∂=++=+-++∂⎰⎰⎰⎰,其中22z x y =+,22:1xy D x y +≤.把2zx x∂=∂代入,得2222242()()xyxyxyD D D I x dxdy x x y dxdy x y dxdy =--+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由对称性得222()0xyD x x y dxdy +=⎰⎰,22242()xyxyD D x dxdy x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,所以22()xyD I x y dxdy =-+⎰⎰.利用极坐标变换有121340001242I d r dr r ππθπ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.方法二：分别投影到yOz 平面与xOy 平面.投影到yOz 平面时S要分为前半部分1:S x =2:S x =(见图1),则12(2)(2)S S SI x z dydz x z dydz zdxdy =++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由题设,对1S 法向量与x 轴成钝角,而对2S 法向量与x 轴成锐角.将I化成二重积分得2222)()()4().yzyzxyyzxyD D D D D I z dydz z dydz x y dxdyx y dxdy =-+-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2213111221131242200sin 2()344(1)cos 3343,34224yzz y D z y y tdy z y dyy dy tdt πππ=--====-=-=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或21101.24yzD dz dz ππ===⎰⎰⎰⎰(这里的圆面积的一半.)22()2xyD x y dxdy π+=⎰⎰(同方法一).因此,4.422I πππ=-⋅+=-方法三：添加辅助面221:1(1)S z x y =+≤,法方向朝下,则11(2)1S S Dx z dydz zdxdy dxdy dxdy π++==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中D 是1S 在平面xy 的投影区域：221x y +≤.S 与1S 即22z x y =+与1z =围成区域Ω,S 与1S 的法向量指向Ω内部,所以在Ω上满足高斯公式的条件,所以1(2)3S S x z dydz zdxdy dVΩ++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 11()3332D z dz dxdy zdz ππ=-=-=-⎰⎰⎰⎰,其中,()D z 是圆域：22x y z +≤,面积为z π.因此,133(2)()222S I x z dydz zdxdy ππππ=--++=---=-⎰⎰.(2)【解析】由多元复合函数求导法则,得z z u z v z zx u x v x u v ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂,2z z u z v z z a y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂,所以22222222((z z z z u z v z v z ux x u x v u x u v x v x v u x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222z z zu u v v ∂∂∂=++∂∂∂∂,2222222()()z z z z u z v z v z u x y y u y v u y u v y v y v u y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222(2)z z za a u u v v ∂∂∂=-+-+∂∂∂∂,222222222222222()()2()()44.z z z a y y u y vz u z v z v z ua u y u v y v y v u yz z z a a u u v v∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅+⋅++⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂代入2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂,并整理得2222222226(105)(6)0z z z z z a a a x x y y u v v∂∂∂∂∂+-=+++-=∂∂∂∂∂∂∂.于是,令260a a +-=得3a =或2a =-.2a =-时,1050a +=,故舍去,3a =时,1050a +≠,因此仅当3a =时化简为20zu v∂=∂∂.【相关知识点】多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分7分)【解析】先将级数分解,212211222131111)(1)2211111111.212122n n n n n n n n n n n n A n n n n n n n ∞∞+==∞∞∞∞+++======---+=⋅-⋅=--+⋅⋅∑∑∑∑∑∑令122131122n nn n A A nn ∞∞+=== =⋅⋅∑∑,则12A A A =-.由熟知ln(1)x +幂级数展开式,即11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑,得1121111(1)1111()ln(1)ln 2242424n n n n n A n n -∞∞+==-==--=--=⋅∑∑,12331211(1)1(22(1)11111115(()ln(1)ln 2,22222288n nn n n n n n A n n n -∞∞==-∞=-==--⋅-=-----=----=-∑∑∑因此,1253ln 284A A A =-=-.六、(本题满分7分)【解析】曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-.令0X =得y 轴上的截距()()Y f x f x x '=-.由题意,1()()()xf t dt f x f x x x ' =-⎰.为消去积分,两边乘以x ,得20()()()xf t dt xf x f x x ' =-⎰,(*)将恒等式两边对x 求导,得2()()()2()()f x f x xf x xf x x f x ''''=+--,即()()0xf x f x '''+=.在(*)式中令0x =得00=自然成立.故不必再加附加条件.就是说()f x 是微分方程0xy y '''+=的通解.下面求解微分方程0xy y '''+=.方法一：()100xy y xy xy C ''''''+=⇒=⇒=,因为0x >,所以1C y x'=,两边积分得12()ln y f x C x C ==+.方法二：令()y P x '=,则y P '''=,解0xP P '+=得1C y P x'==.再积分得12()ln y f x C x C ==+.七、(本题满分8分)【解析】由于问题涉及到,f f '与f ''的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点c 展开：2()()()()()()2!f f x f c f x x c x c ξ'''=+-+-,ξ在c 与x 之间.分别取0,1x =得20()(0)()()(0)(0)2!f f f c f c c c ξ'''=+-+-,0ξ在c 与0之间,21()(1)()()(1)(1)2!f f f c f c c c ξ'''=+-+-,1ξ在c 与1之间,两式相减得22101(1)(0)()[()(1)()]2!f f f c f c f c ξξ'''''-=+--,于是22101()(1)(0)()(1)()]2!f c f f f c f c ξξ'''''=----.由此221011()(1)(0)()(1)()2!2!f c f f f c f c ξξ'''''≤++-+2212[(1)]222b a b c c a ≤+-+<+.八、(本题满分6分)【解析】(1)因为TA E ξξ=-,Tξξ为数,Tξξ为n 阶矩阵,所以2()()2()(2)T T T T T T T A E E E E ξξξξξξξξξξξξξξ=--=-+=--,因此,2(2)(1)0T T T T T A A E E ξξξξξξξξξξ=⇔--=-⇔-=因为ξ是非零列向量,所以0Tξξ≠,故210,TA A ξξ=⇔-=即1Tξξ=.(2)反证法.当1Tξξ=时,由(1)知2A A =,若A 可逆,则121A A A A A E --===.与已知T A E E ξξ=-≠矛盾,故A 是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)【解析】(1)此二次型对应的矩阵为51315333A c -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.因为二次型秩()()2r f r A ==,由513440400153153163333336A c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得3c =.再由A 的特征多项式513||153(4)(9)333E A λλλλλλλ---=-=----求得二次型矩阵的特征值为0,4,9.(2)因为二次型经正交变换可化为222349y y +,故123(,,)1f x x x =,即2223491y y +=.表示椭圆柱面.【相关知识点】主轴定理：对于任一个n 元二次型12(,,,)T n f x x x x Ax = ,存在正交变换x Qy =(Q 为n 阶正交矩阵),使得2221122()T T T n n x Ax y Q AQ y y y y λλλ==+++ ,其中12,,,n λλλ 是实对称矩阵A 的n 个特征值,Q 的n 个列向量12,,,n ααα 是A 对应于特征值12,,,n λλλ 的标准正交特征向量.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【答案】37【解析】设事件C =“抽取的产品是次品”,事件D =“抽取的产品是工厂A 生产的”,则事件D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”,依题意有()0.60,()0.40,(|)0.01,(|)0.02P D P D P C D P C D ====.应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)P D C ：()(|)0.60.013(|)0.60.010.40.027()(|)()(|)P D P C D P D C P D P C D P D P C D ⨯===⨯+⨯+.【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S .A 为E 的事件,12,,,n B B B 为S 的一个划分,且()0,()0(1,2,,)i P A P B i n >>= ,则1()(|)(|)1,2,,.()(|)i i i njjj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ (*)(*)式称为贝叶斯公式.【解析】由于ξ与η相互独立且均服从正态分布2)N ,因此它们的线性函数U ξη=-服从正态分布,且()0,EU E E E ξηξη=-=-=()11122DU D D D ξηξη=-=+=+=,所以有(0,1)U N .代入正态分布的概率密度公式,有22()u f u du +∞--∞=⎰.应用随机变量函数的期望公式有22(||)(||)||u E E U u du ξη+∞--∞-= =⎰222u u +∞-=⎰由凑微分法,有222(||)2()2u u E d ξη+∞--=--⎰22u +∞-==.【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.十一、(本题满分6分.)【解析】易见(,)X Y 的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意{}X Y <=∅,故{}0P X Y <=,即{}{}{}1,21,32,30P X Y P X Y P X Y =========,{}{}1,1max(,)1,min(,)1P X Y P ξηξη====={}{}{}11,1119P P P ξηξη=======.类似地可以计算出所有ij p 的值列于下表中,得到随机变量(,)X Y 的联合分布律：XY123119002291903292919(2)将表中各行元素相加求出X 的边缘分布123135999X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,由离散型随机变量数学期望计算公式可得135221239999EX =⋅+⋅+⋅=.【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：二维离散型随机变量(,)X Y 关于X 与Y 的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为：{}{},,1,2,i i i j ij jjp P X x P X x Y y p i ⋅=======∑∑{}{},,1,2,j j i j ij iip P Y y P X x Y y p j ⋅=======∑∑它们分别为联合分布律表格中第i 行与第j 列诸元素之和.2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.。

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1996 Passage 2With the start of BBC World Service T elevision, millions of viewers in Asia and America can now watch the Corporation's news coverage, as well as listen to it.And of course in Britain listeners and viewers can tune in to two BBC television channels, five BBC national radio services and dozens of local radio station. They are brought sport, comedy, drama, music, news and current affairs, education, religion, parliamentary coverage, children's programmes and films for an annual licence fee of ￡83 per household.It is a remarkable record, stretching back over 70 years — yet the BBC's future is now in doubt. The Corporation will survive as a publicly-funded broadcasting organisation, at least for the time being, but its role, its size and its programmes are now the subject of a nation-wide debate in Britain.The debate was launched by the Government, which invited anyone with an opinion of the BBC —including ordinary listeners and viewers — to say what was good or bad about the Corporation, and even whether they thought it was worth keeping. The reason for its inquiry is that the BBC's royal charter runs out in 1996 and it must decide whether to keep the organisation as it is, or to make changes.Defenders of the Corporation — of whom there are many — are fond of quoting the American slogan. "If it ain't broke, don't fix it." The BBC "ain't broke", they say, by which they mean it is not broken (as distinct from the word "broke", meaning having no money), so why bother to change it?Yet the BBC will have to change, because the broadcasting world around it is changing. The commercial TV channels —ITV and Channel 4 —were required by the Thatcher Government's Broadcasting Act to become more commercial, competing with each other for advertisers, and cutting costs and jobs. But it is the arrival of new satellite channels — funded partly by advertising and partly by viewers' subscriptions — which will bring about the biggest changes in the long term.55. The world famous BBC now faces ________.[A] the problem of new coverage[B] an uncertain prospect[C] inquiries by the general public[D] shrinkage of audience56. In the passage, which of the following about the BBC is not mentioned as the key issue?[A] Extension of its TV service to Far East.[B] Programmes as the subject of a nation-wide debate.[C] Potentials for further international co-operations.[D] Its existence as a broadcasting organisation.57. The BBC's "royal charter" (line 3, paragraph 4) stands for ________.[A] the financial support from the royal family[B] the privileges granted by the Queen[C] a contract with the Queen[D] a unique relationship with the royal family58. The foremost reason why the BBC has to readjust itself is no other than ________.[A] the emergence of commercial TV channels[B] the enforcement of Broadcasting Act by the government[C] the urgent necessity to reduce costs and jobs[D] the challenge of new satellite channels重点词汇：coverage （覆盖范围；新闻报导）←cover+age名词后缀。

1996 Passage 5Rumor has it that more than 20 books on creationism/evolution are in the publisher's pipelines. A few have already appeared. The goal of all will be to try to explain to a confused and often unenlightened citizenry that there are not two equally valid scientific theories for the origin and evolution of universe and life. Cosmology, geology, and biology have provided a consistent, unified, and constantly improving account of what happened. "Scientific" creationism, which is being pushed by some for "equal time" in the classrooms whenever the scientific accounts of evolution are given, is based on religion, not science. Virtually all scientists and the majority of non-fundamentalist religious leaders have come to regard "scientific" creationism as bad science and bad religion.The first four chapters of Kitcher's book give a very brief introduction to evolution. At appropriate places, he introduces the criticisms of the creationists and provides answers. In the last three chapters, he takes off his gloves and gives the creationists a good beating. He describes their programmes and tactics, and, for those unfamiliar with the ways of creationists, the extent of their deception and distortion may come as an unpleasant surprise. When their basic motivation is religious, one might have expected more Christian behavior.Kitcher is philosopher, and this may account, in part, for the clarity and effectiveness of his arguments. The non-specialist will be able to obtain at least a notion of the sorts of data and argument that support evolutionary theory. The final chapter on the creationists will be extremely clear to all. On the dust jacket of this fine book, Stephen Jay Gould says: "This book stands for reason itself." And so it does — and all would be well were reason the only judge in the creationism/evolution debate.67. "Creationism" in the passage refers to ________.[A] evolution in its true sense as to the origin of the universe[B] a notion of the creation of religion[C] the scientific explanation of the earth formation[D] the deceptive theory about the origin of the universe68. Kitcher's book is intended to ________.[A] recommend the views of the evolutionists[B] expose the true features of creationists[C] curse bitterly at this opponents[D] launch a surprise attack on creationists69. From the passage we can infer that ________.[A] reasoning has played a decisive role in the debate[B] creationists do not base their argument on reasoning[C] evolutionary theory is too difficult for non-specialists[D] creationism is supported by scientific findings70. This passage appears to be a digest of ________.[A] a book review[B] a scientific paper[C] a magazine feature[D] a newspaper editorial重点词汇：pipeline （管道；流水线）←pipe+line 。

北京大学法学（刑法学）考研真题及复试指导（1996-2003）北大96刑法试题一、试述我国刑法对人的适用。

（20分）二、简述转化犯的基本特征、成立条件。

（15分）三、试述我国刑法总则对从轻、减轻情节的规定。

（20分）四、简述行贿罪的构成特征及对行贿罪的刑事处罚原则。

（15分）五、案例分析1．被告人：金某，男，22岁，农民；赵某，男，19岁，农民；申某，男，18岁，农民；关某，男，17岁，农民；沈某，男，20岁，农民；韩某，男，21岁，农民。

1989年1月某日，赵某去金某家议论要偷木头。

后赵某又纠集了关某、韩某、申某、沈某于第二晚10时许，六被告骑三轮车到英山检查站。

金某带着钢丝鞭，同申某去检查站听动静，见屋内亮着灯，没发现来人。

金告诉说：现在可以装车了，其余四人在赵某的指挥下，用两辆三轮车各装数根红松，拉回村子卸在河边上。

当第二趟去盗拉时，被检查站管林员孙某、蒋某发现，正要出屋制止，申某即拿圆木把门顶住，并用脚踩着，金某也找一圆木顶住门。

孙、蒋二人出不来，用钎子撬门没撬开，便砸坏门心板向外泼水，孙蒋二人又用电话报警。

金某即转到房后将电话线拉断，其他案犯抢拉四车圆木卸在河边。

因已被人发现，不想再拉。

金某告诉申某去叫其他案犯再来拉一趟。

因房门被顶住，窗户上又安有钢筋护栏，孙、蒋二管林员眼看着价值5000多元的圆木被拉走。

对本案中的各被告人应如何定罪判刑（判刑只答处刑原则，不答具体刑期），并说明理由。

（20分）2．被告人高某，男，28岁，汽车司机；被告人刘某，男，32岁，汽车司机。

某日，高某驾驶大轿车由西往东行驶，行人何某由南往北横过马路。

高某由于和坐在驾驶室的朋友说话，未及早采取预防措施，待汽车行至临近何某时，因躲避不及，致使汽车左前方将何撞倒。

这时正有刘某驾驶小轿车紧跟着高某的大轿车同方向驶来（车速和路线正常），正在超车，突然发现何某倒在马路中间，因车已行至何某跟前，来不及刹车，致使汽车从何某身上轧过，何某当即死亡。

一、选择题1. 算法的计算量的大小称为计算的（ B ）。

【北京邮电大学2000 二、3 （20/8分）】A．效率 B. 复杂性 C. 现实性 D. 难度2. 算法的时间复杂度取决于（C ）【中科院计算所 1998 二、1 （2分）】A．问题的规模 B. 待处理数据的初态 C. A和B3.计算机算法指的是（C），它必须具备（B）这三个特性。

(1) A．计算方法 B. 排序方法 C. 解决问题的步骤序列D. 调度方法(2) A．可执行性、可移植性、可扩充性 B. 可执行性、确定性、有穷性C. 确定性、有穷性、稳定性D. 易读性、稳定性、安全性【南京理工大学 1999 一、1（2分）【武汉交通科技大学 1996 一、1（ 4分）】4．一个算法应该是（ B ）。

【中山大学 1998 二、1（2分）】A．程序 B．问题求解步骤的描述 C．要满足五个基本特性D．A和C.5. 下面关于算法说法错误的是（ D ）【南京理工大学 2000 一、1（1.5分）】A．算法最终必须由计算机程序实现B.为解决某问题的算法同为该问题编写的程序含义是相同的C. 算法的可行性是指指令不能有二义性D. 以上几个都是错误的6. 下面说法错误的是（ C ）【南京理工大学 2000 一、2 （1.5分）】 (1）算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间（2）在相同的规模n下，复杂度O(n)的算法在时间上总是优于复杂度O(2n)的算法（3）所谓时间复杂度是指最坏情况下，估算算法执行时间的一个上界（4）同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率就越低4A．(1) B.(1),(2) C.(1),(4) D.(3)【武汉交通科技大学 1996 7．从逻辑上可以把数据结构分为（ C ）两大类。

一、4（2分）】A．动态结构、静态结构 B．顺序结构、链式结构C．线性结构、非线性结构 D．初等结构、构造型结构8．以下与数据的存储结构无关的术语是（ D ）。