等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点

等腰三角形知识点总结等腰三角形的知识点不算十分的多，而且较为简单，但却是的必考点之一。

以下是小编为大家精心整理的等腰三角形知识点总结，欢迎大家阅读。

等腰三角形知识点总结等腰三角形的轴对称性:(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一)等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.例1.一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A，B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60 °角的AC方向前进至C，在C处测得C=30 ° .量出AC的长，它就是河宽(即A，B之间的距离).这个方法正确吗?请说明理由.解：小聪的测量方法正确.理由如下：∵ ∠DAC= ∠B+ ∠C(三角形的外角的性质)∴ ∠ABC= ∠DAC- ∠C=60 ° -30 ° =30 °∴ ∠ABC= ∠C∴AB=AC(在一个三角形中，等角对等边.)60 °BAC例2：上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NBC=∠A+∠C∴∠C=80°- 40°= 40°∴ BA=BC(等角对等边)∵AB=20(12-10)=40∴BC=40答：B处到达灯塔C40海里ABN80°40°C1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是( )(A)14 (B)15 (C)16 (D)14或162、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________判断下列语句是否正确。

等腰三角形的性质知识点等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，存在一些特殊的性质。

通过研究等腰三角形的性质，我们可以更好地理解和解决与等腰三角形相关的问题。

本文将对等腰三角形的性质进行详细的介绍和解释。

一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两边边长相等的三角形。

其中，两条边被称为等腰三角形的腰，另一条边被称为底边。

等腰三角形的顶角角度被称为顶角。

在等腰三角形中，两个底角角度也是相等的。

二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角相等由于等腰三角形的两个腰相等，所以两个底角角度也相等。

这是等腰三角形最基本的性质之一。

可以用数学表达式表示为：∠A = ∠B。

2. 等腰三角形的顶角是单个顶角的两倍等腰三角形中，顶角的角度是单个顶角的两倍。

这意味着顶角的度数要大于底角的度数。

可以用数学表达式表示为：∠C = 2∠A 或∠C = 2∠B。

3. 等腰三角形的高线是对称轴等腰三角形的高线是从顶角垂直于底边的线段。

等腰三角形中的高线可以将底边分成两段等长的线段，并且高线本身也是对称轴。

这意味着等腰三角形对称于高线。

也就是说，将等腰三角形沿高线对折，两边将完全重合。

4. 等腰三角形的中位线相等等腰三角形的中位线是从底边中点垂直于底边的线段。

等腰三角形中的两个中位线相等，也就是说，中位线将底边分成两个等长的线段。

可以用数学表达式表示为：AC' = BC'。

5. 等腰三角形的旁切线相等等腰三角形的两个旁切线相等。

旁切线是从等腰三角形的两个顶点开始，切线与等腰三角形的两个腰相切的直线。

这意味着从顶点到切点的距离相等。

6. 等腰三角形的内角和等腰三角形的内角和等于180度。

假设等腰三角形的底角为x度，则顶角为2x度。

根据三角形内角和定理，我们知道三角形的内角和等于180度。

因此，x + x + 2x = 180°，解得x = 60°。

所以，等腰三角形的底角和顶角都是60度。

等腰三角形的知识点（二）引言：等腰三角形是数学中常见的一个概念，它有许多重要的性质和应用。

本文将进一步探讨等腰三角形的知识点，包括等腰三角形的判定方法、角度与边长的关系、中心对称、相似等内容。

正文：1. 等腰三角形的判定方法：- 两边相等定理：如果一个三角形的两边长度相等，则它是一个等腰三角形。

- 底边角相等定理：如果一个三角形的两边夹角的度数相等，则它是一个等腰三角形。

- 顶角相等定理：如果一个三角形的两个顶角的度数相等，则它是一个等腰三角形。

2. 角度与边长的关系：- 等腰三角形的底角和顶角相等，即底角和顶角的度数相等。

- 等腰三角形的底边和两边夹角相等，即底边和两边夹角的度数相等。

- 等腰三角形的两边长度相等，即两边的边长相等。

3. 等腰三角形的中心对称：- 等腰三角形的中线和高线相互垂直且相等长。

- 等腰三角形的对角线相等且垂直分割对角。

- 等腰三角形的中心对称轴是等腰三角形的高线。

4. 等腰三角形的相似：- 直角三角形的等腰边与斜边相等。

- 两个等腰三角形中，相等的角对应的边相等。

- 两个等腰三角形的两个角分别相等，则这两个等腰三角形相似。

5. 等腰三角形的面积计算：- 利用底边和高的关系，可以通过公式计算等腰三角形的面积。

- 底边长度和高的乘积的一半即为等腰三角形的面积。

总结：等腰三角形是一个具有重要性质和应用的三角形。

我们通过判定方法、角度与边长的关系、中心对称、相似以及面积计算等知识点来深入了解等腰三角形的特点和性质。

了解这些知识点可以帮助我们在解决相关数学问题时更加灵活和准确地运用等腰三角形的特性。

初二数学等腰三角形知识点等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。

等腰三角形性质：(1)具有一样三角形的边角关系(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍同时大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180减去底角的两倍；(7)顶角能够是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。

②等边三角形三条边都相等，三个内角都相等同时每个差不多上60。

5. 等腰三角形的判定：①利用定义；②等角对等边；等边三角形的判定：①利用定义：三边相等的三角形是等边三角形②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．含30锐角的直角三角形边角关系:在直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半。

“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

事实上《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意差不多一致。

观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

专题17等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定 1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高性质 1.三条边相等2.三个内角相等，且每个内角都等于60°3.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个角相等的三角形是等边三角形3.有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1.分别以点A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；2.作直线CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．18【答案】C 【解答】解：由题意可得，MN 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ，∵△ABD 的周长是AB +BD +AD ，∴AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，∵AB ＝7，AC ＝12，∴AB +AC ＝19，∴△ABD 的周长是19，故选：C ．1.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°【答案】C【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，故选：C．2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解答】解：由题意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D．3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CD＝ED，理由见解析．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC故选：C．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是1+．【答案】1+．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝＝，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝1，∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．故答案为：1+．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【答案】13．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为55度．【答案】55．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案为：55．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是4．【答案】4．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4，故答案为：4．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是40°．【答案】40°．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或12【答案】C【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的一条中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故选：D．3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处【答案】D【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．故选：D．4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝3．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可证得DF＝FC，∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20，即△AEF的周长为20，故选：C．6．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AC＝10．∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，故选：C．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解答】解：如图所示，连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠B＝∠EAB，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠C，∴EA＝EC，∴EC＝EB，∴BC＝BE+CE＝2BE＝6，故选：B．8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°，∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∴∠BAE+∠FAC＝40°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°，故选：B．9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，∴∠PBC＝30°，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠E＝30°，∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，故选：C．二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是18度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线∴AE＝BE∵∠C＝90°，∠A＝36°∴∠EBA＝∠A＝36°∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为．【答案】．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BC＝CE＝4，BD＝DE，又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE，∵AC＝7，BC＝4，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴BE＝AE＝3，∴BD＝BE＝，故答案为：．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝30°．【答案】30．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；故答案为30．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为2．【答案】2．【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，＝S△ABP+S△ACP，则S△ABC即AB•CD＝AB•PE+AC•PF，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴CD＝PE+PF，∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，∴，∴，∴，故答案为：．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．【答案】．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB＝DA＝5，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4，在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∴AC＝＝＝3，＝×5×3＝．∴S△ABD故答案为：．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝4，∴DE＝．故答案为：2．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．【答案】30°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵D是边AC的中点，∴，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC，∴∠E＝30°，∵∠BCD＝60°，∴∠CDE＝∠BCD﹣∠E＝30°．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．【答案】（1）见解析；（2）60cm．【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，，∴△CMP≌△CNP（SSS），∴∠MPB＝∠NPB，∵PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∴PB⊥MN，BM＝BN，∴PC垂直平分MN；（2）解：∵CN＝PN＝60cm，∴当伞收紧时，点P与点A重合，∴AC＝CN+PN＝120cm，当∠CPN＝60°时，∵CN＝PN，∴△CPN是等边三角形，∴PC＝PN＝60cm，∴AP＝AC﹣PC＝60cm．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∵AC＝7cm，∴AB+BC＝13cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴AB+BD＝DE+EC＝DC，∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm∴．一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图：DG交AB于M，交AC于L，EF交AB于N，AC于K，∵DG∥BC，边AB被DG、EF三等分，∴△AML∽△ANK，△ABC∽△ANK，∴BP＝，，∴，，＝9a，设S△ABC＝a，S△ANK＝4a，则S△AML＝4a﹣a＝3a，∴S四边形MNKL∴未被覆盖的面积为：9a﹣3a＝6a，△A B C被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积，故选：A．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动则CM＝2t，BM＝10﹣2t，BN＝2t，当∠BMN＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BN＝2BM，即2t＝2×（10﹣2t），解得：，当∠BNM＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，即2×2t＝（10﹣2t），解得：，综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形．故选：D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，∴∠BED＝∠EFC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴DB＝EC＝1，∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．故选：C．5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定【答案】B【解答】解：如图，延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△ABP＝S△ABC＝×2＝1（cm2），∴S△PBC故选：B．二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为12 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形，∴阴影部分的周长为3×4＝12cm，故答案为12．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为2．【答案】2．【解答】解：过E点作EH⊥BF，设DE＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵BD＝4，∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴，∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，∵EB＝EF，∴△EBF是等腰三角形，∵EH⊥BF，BF＝8，∴BH＝FH＝4，∴2+x＝4，∴x＝2，∴DE＝2．故答案为：2．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有①②④⑤．【答案】①②④⑤．【解答】解：△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝AD＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°＝∠BCE＝∠CBE＝∠CEB，∴∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，故①符合题意；∴∠AOD＝∠ACD＝60°，故⑤符合题意；在△ACM和△DCN中，，△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，CM＝CN，∠AMC＝∠DNC，∴△MCN是等腰三角形；△MCN是等边三角形；故②④符合题意，综上：①②④⑤都符合题意．故答案为：①②④⑤．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为．【答案】##．【解答】【详解】解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，由翻折可知：∠AED＝∠MED，∠BEC＝∠NEC，AD＝MD＝1，BC＝NC＝3，∵E是AB中点，，∴，∵∠DEA+∠CEB＝60°，∴∠AEM+∠BEN＝120°，∴∠MEN＝60°，∴△EMN是等边三角形，∴，∴CD≤DM+MN+CN，当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为，故答案为：．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【答案】（1）△BPQ是等边三角形；（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．1【答案】C【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．2．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．。

专题 第13讲等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB =，∴∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB =，则∠BAD=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠ACB=15°，所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．（2017秋•洛阳期末）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°，分情况讨论：当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°）=180°，解得x=50°，顶角∠B=80°；当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°，解得x=40°，顶角∠A=40°．故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．故答案为：80°或40°．2．（2017秋•襄州区期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为______．【解答】解：根据题意，①当15是腰长与腰长一半时，AC+AC=15，解得AC=10，所以底边长=12﹣×10=7；②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC=12，解得AC=8，所以底边长=15﹣×8=11．所以底边长等于7或11．故答案为：7或11．3．（2017秋•枣阳市期末）一个等腰三角形的周长为20，一条边的长为6，则其两腰之和为______．【解答】解：①底边长为6，则腰长为：（20﹣6）÷2=7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形，7+7=14；②腰长为6，则底边长为：20﹣6×2=8，能构成三角形，6+6=12．故答案为：12或144．（2017秋•诸暨市期末）已知等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，则该等腰三角形的腰长为_____．【解答】解：①2是腰长时，底边为：8﹣2×2=4，三角形的三边长分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边长时，腰长为：×（8﹣2）=3，三角形的三边长分别3、3、2，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰长是3．故答案为：3．5．（2018春•李沧区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_______°．【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°=138°；②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣48°=42°．故答案为：42或138．6．（2018春•邗江区期中）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的第三边是_____．【解答】解：当4为底时，其它两边都为9，4、9、9可以构成三角形；当4为腰时，其它两边为4和9，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形．故答案为：9．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，∵BC=BE，+，∴∠CED=∠ECB=y z∵AC=AD，+，∴∠ADC=∠ACD=x y+-，在△CDB中，∠B=x y z+-，在△ACE中，∠A=y z x在△ABC中，∠ACB=90°，+-++-=90°，∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x∴2y=90°，解得y=45°．于是∠DCE=45°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，∴AB=40﹣24=16．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】1．（2017春•成华区期末）如图△ABC中，AB=AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE=CD，CF=BD．若∠EDF=50°，则∠A的度数为_____．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中，∴△BDE≌△CFE．∴∠BDE=∠CFD，∵∠EDF=50°，∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°，∴∠C=50°∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，故答案为：80°．2．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【解答】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．知识点3等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．（2017秋•莘县期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE=CD，连接DE，求证：BD=DE．【解答】证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB，∴∠E=∠DBE，∴BD=DE．2．（2017秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．知识点4等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【答案】9【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；②以AB作为等腰三角形的一个腰，当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，综合①②可知，符合条件的点C共有9个.故答案是：9.【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．【答案】10或103【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：当P点在O的左侧时，∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10﹣2t=t；解得t=103时，△POQ是等腰三角形；即当t=103如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，∵∠BOC=60°，∴△POQ是等边三角形，∴PO=QO=PQ∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；∴2t﹣10=t；解得t=10；故答案为：10或10．3【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【方法总结】本题主要考查的是“平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）上述条件任意两个成立则第三个也成立.即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.【随堂练习】1．（2018•安徽模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6，故选：B．2．（2018•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_____．【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．3．（2017春•平南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上的点，BD=CD=5，则AD=______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵BD=DC，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=90°，∴∠A=∠DCA，∴AD=DC=5，故答案为5．综合运用1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.【答案】2【解析】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故答案为：2．2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE其中正确的结论有_________．【答案】①④【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；21④∵D 是BC 的中点，∴BD=DC ，∵AB=CE ，∴AB+BD=CE+DC=DE ，故④正确．故其中正确的结论有①④．故答案为：①④．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE=AF ，求证：DE=DF ．【解析】证明：连接AD ，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD=∠FAD ，在△AED 和△AFD 中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ．4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，23∵△ABC 是等腰三角形，∴DB 是∠ABC 的平分线．5.已知等腰三角形△ABC ，AB=AC ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．【解析】解：如图，在△ABC 中，AB=AC ，且AD=BD ．设AB=AC=x ，BC=y ，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时， 根据题意得，152x x +=，122x y +=， 解得x=10，y=7．（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时， 根据题意得，122x x +=，152x y +=， 解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．6.如图，O 是△ABC 的∠ABC ，∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=16，求△ODE 的周长.【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴OD=BD，同理OE=CE，∵BC=16，则△ODE的周长为：OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．。

等腰三角形知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN等腰三角形知识点归纳（一）等腰三角形的性质1、有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2、定理及推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定1、有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

3、等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，视具体情况而定。

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。

本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。

以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。

1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。

(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。

(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。

3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。

(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。

4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。

因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。

相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。

(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。

等腰三角形知识点归纳总结
嘿，朋友们！今天咱来好好唠唠等腰三角形的那些知识点，包你听完恍
然大悟！
先来说说啥是等腰三角形吧！等腰三角形啊，就好比是一个友好的团队，两边长度相等的边就像是两个亲密无间的小伙伴，它们紧紧相依。

比如说，咱生活里的那个圣诞帽，它的形状不就是个等腰三角形嘛！
等腰三角形有个很重要的特点，那就是它的两个底角相等哟！这就像是
两个双胞胎，性格很相似呢。

举个例子，你看那金字塔的侧面，不也是有着这样的特点嘛！
还有顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，它们可神奇啦，三线合
一呀！这就像是一个超级英雄，拥有三种超能力，还都集中在一个人身上，厉害吧！哎呀，就像孙悟空一样，一根金箍棒能打能变还能飞，牛不牛？
等腰三角形的这些性质在生活中可有用啦！你想想看，那些建筑工人在
搭建屋顶的时候，是不是经常会用到等腰三角形的稳固性呀。

嘿，我再问你哈，要是没有这些知识点，那我们怎么能理解这么多奇妙
的形状和结构呢？所以说，认真学习等腰三角形的知识真的超级重要啊！
在数学的世界里，等腰三角形就是一块宝藏，等着我们去挖掘它的秘密，发现它的精彩。

朋友们，可别小瞧了它哦，赶紧把这些知识点牢牢记住吧！
我的观点就是：等腰三角形的知识点既有趣又实用，我们一定要好好学
习和掌握它！。

第7讲等腰三角形❖基本知识（熟记，会画图，要提问．）（1）（等边对等角）．【证明之】（2）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）．【证明之】（3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．【证明之】❖等腰三角形的性质【方程思想计算角度】1、【易】如图，求下列等腰三角形的所有角的度数。

（1）顶角30° （2）底角30°2、【易】计算：（1）等腰三角形的一个角是110°，求其余内角。

（2）等腰三角形的一个角是80°，求其余内角。

（3）已知一个等腰三角形的两角分别为（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。

3、【易】如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，△BAD=26°，求△B和△C的度数．4、【易】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△A、△ADB和△C的度数．5、【中】如图所示，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则△AMB的度数为______．6、【中】如图，AB=AC，△A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求△DBC的度数．7、【中】如图，等腰△ABC中，AB=AC，△DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△A的度数是_______．【基础证明题】8、【易】如图，AD△BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想△A与△E的大小关系，并说明理由．9、【中】已知：CD平分AB，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．【如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

这句话倒过来也是对的，学到矩形时会证明。

】10、【中】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．【全等法或三线合一法】11、【中】【仿上题】如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ．若BD=CE ，F 为DE 的中点，求证：AF△BC ．12、【中】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点，△B=30°，△DAB=45°．（1）求△DAC 的度数；（2）求证：DC=AB ．13、【难】如图，在△ABC 中，AB=AC ，△ABC 、△ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：△△BCD△△CBE ；△△BAD△△BCD ；△△BDA△△CEA ；△△BOE△△COD ；△△ACE△△BCE ；上述结论一定正确的是________．14、【中】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE△AB ，DF△AC ，E ，F 分别是垂足，求证：AE=AF ．15、【中】如图，已知：AB=AC ，△CAE 是△ABC 的外角，△1=△2．求证：AD △ BC ．参考答案1、（1）底角75°；（2）底角30°，顶角120°．2、（1）35°，35°；（2）50°，50°；或80°，20°。

八年级数学等腰三角形知识点整理及重点题型梳理一、等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。

常见题：已知两边长和第三边，求周长。

例题：两条边长分别为3和4，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

二、 等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：已知AB=AC ，∠B=∠C 等腰三角形的性质：2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。

注意：只有等腰三角形才有三线合一。

[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=DC=AD ，求：△ABC 各角的度数．D CAB3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．4. [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）． 练习：已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）．[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等21EDABDCAB的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？(1)EDCA B (2)分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 二、例题例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD ，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．证明：连接AC 、AD 在△ABC 和△AED 中()()()AB AE ABC AED BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已知 ∴△ABC ≌△AED （SAD ）∴AC=AD （全等三角形的对应边相等） 又∵△ACD 中AF 是CD 边的中线（已知）EDCABF ∴AF ⊥CD （等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合） 三、练习 （一）、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和7cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．18cm 或15cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．30° B ．50° C ．60° D ．40° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80°5．如图1，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°E DCABHFG如图1答案:1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 如图2 （二）、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图2，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．12．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 答案:6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．1 12．AB=AC 13．2cm 14．30海里 （三）、解答题15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由 此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB16．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB17．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF答案:15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． ABDC AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD ．等边三角形一、复习知识要点1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2．等边三角形的性质：•等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．D C AEBDCA二、练习（一）、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形DA B F21EDCAB4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B（二）、填空题6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．答案：6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm （三）、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？ 11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ， •求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDABHF13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDCA答案：10．60°或120°11．∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt △ADC 中CD=•2AD ，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ． 又∵BC=AC ，CE=CD ， ∴△BCE ≌△ACD ； ②证明△BCF ≌△ACH ； ③△CFH 是等边三角形．13．连接CE ，先证明△BCE ≌△ACE 得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE 得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、随堂练习，变式训练练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目： 求等腰三角形个角度数：（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°. （2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。

等腰三角形的知识点等腰三角形是初中几何学中的一个重要概念，指的是具有两边长度相等的三角形。

在本文中，将介绍等腰三角形的定义、性质以及一些相关的定理和应用。

通过学习等腰三角形，我们可以更好地理解和解决与之相关的几何问题。

定义：等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

根据定义，一个三角形有两个边长相等，那么这两个边所对应的角也必然相等。

性质：1. 两个底角（底边对应的两个角）相等，记为∠A = ∠C。

2. 顶角（顶点对应的角）为等腰三角形的独角，记为∠B。

3. 等腰三角形的底边中垂线（从顶点到底边中点的直线）也被称为高线，记为h。

定理及证明：1. 等腰三角形的高线与底边垂直。

证明：连接高线h和底边两个端点，得到两个直角三角形。

根据直角三角形的性质，可知高线与底边垂直。

2. 等腰三角形的高线是边中点连线的中线。

证明：连接高线h和底边两边的中点，得到两个边长相等的三角形。

根据边中点连线的性质，可知高线是边中点连线的中线。

3. 等腰三角形的高线长度为底边长度的一半。

证明：根据对称性，可知高线将底边分成两个相等的部分。

而高线是边中点连线的中线，所以高线长度等于底边长度的一半。

应用：等腰三角形在几何学中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 判断等腰三角形：当给定一个三角形的边长时，可以通过判断边长是否相等来判断是否为等腰三角形。

2. 求等腰三角形的高线长度：已知等腰三角形的底边长度时，可以通过高线长度等于底边长度的一半的公式来求解高线的长度。

3. 利用等腰三角形性质解决几何问题：等腰三角形的性质可以应用于解决与之相关的几何问题，如求解角度、边长、面积等问题。

总结：等腰三角形是具有两边长度相等的三角形，其性质包括底角相等、顶角是等腰三角形的独角，以及高线与底边垂直、高线是边中点连线的中线等。

通过学习等腰三角形的定义、性质及相关定理，我们可以更好地理解和运用等腰三角形的知识来解决几何问题。

同时，等腰三角形的应用也使得我们对几何学有了更深入的了解。

专题15 等腰三角形 聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二.等边三角形1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1.定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°【答案】D.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．【举一反三】（2016山东枣庄第4题）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°B第4题图【答案】A.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.考点典例二、等腰三角形的多解问题【例2】(2016湖南怀化第8题）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm【答案】C.【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况：①当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故答案选C．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】（2016年福建龙岩第15题）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．【答案】2.【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2. 考点：等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决．【举一反三】（2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．3．【答案】24+9【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．【答案】13．【解析】试题分析：已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，考点：线段的垂直平分线的性质.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．【举一反三】（2016山东威海第10题）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A．=B．AD，AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG【答案】A．【解析】考点：黄金分割；全等三角形的判定与性质；线段的垂直平分线的综合运.课时作业☆能力提升一、选择题1.（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况：①当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，周长为13cm；②当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．2. （2016四川甘孜州第9题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．3. （2016辽宁营口第8题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于12AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB【答案】D．【解析】试题分析：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．4. （2016河南第6题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【】（A）6 （B）5 （C）4 （D）3【答案】D.【解析】考点：勾股定理；三角形的中位线定理.5.（2016河北第16题）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）第16题图A．1个B．2个C．3个D．3个以上【答案】d.【解析】试题分析：Ｍ、Ｎ分别在ＡＯ、ＢＯ上，一个；M、N其中一个和O点重合，2个；反向延长线上，有一个，故答案选D.考点：等边三角形的判定.6．在平面直角坐标系中，点A，B（，动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【解析】考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．7.（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°【答案】D.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．二、填空题8. （2016贵州遵义第14题）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD= 度．【答案】35．【解析】试题分析：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．考点：线段垂直平分线的性质．9.（2016江苏苏州第17题）如图，在△A BC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为．【答案】27.【解析】试题分析：过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B ′DE ≌△BDE ，∴B ′F=12B ′E=BE=2，DF=23,∴GD=B ′F=2，∴B ′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB ′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.10. （2016湖北随州第12题）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．【答案】19或21或23．【解析】考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．11. （2016广西河池第18题）如图的三角形纸片中，AB =AC ，BC =12cm ，∠C =30°，折叠这个三角形，使点B 落在AC 的中点D 处，折痕为EF ，那么BF 的长为 cm ．【答案】143． 【解析】试题分析：过D 作DH ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C =30°，根据折叠可得：D F =BF ，∠EDF =∠B =30°，∵AB =AC ，BC =12cm ，∴BN =NC =6cm ，∵点B 落在AC 的中点D 处，AN ∥DH ，∴NH =HC =3cm ，∴DH =3tan cm ），设BF =DF =xcm ，则FH =12﹣x ﹣3=9﹣x （cm ），故在Rt △DFC 中，222DF DH FH =+，故222(9)x x =+-，解得：x =143，即BF 的长为：143cm ．故答案为：143．考点：翻折变换（折叠问题）．12. （2016内蒙古通辽第14题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．【答案】69°或21°．【解析】考点：等腰三角形的性质；分类讨论．13. （2016福建南平第16题）如图，等腰△ABC 中，CA =CB =4，∠ACB =120°，点D 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，给出下列结论： ①CD =CP =CQ ；②∠PCQ 的大小不变；③△PCQ ； ④当点D 在AB 的中点时，△PDQ 是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①②④．【解析】③如图，过点Q 作QE ⊥PC 交PC 延长线于E ，∵∠PCQ =120°，∴∠QCE =60°，在Rt △QCE 中，tan ∠QCE =QE CQ ，∴QE =CQ ×tan ∠QCE =CQ ×tan 60°=，∵CP =CD =CQ ，∴S △PCQ =12CP ×QE =12CP ×=22，∴CD 最短时，S △PCQ 最小，即：C D ⊥AB 时，CD 最短，过点C 作CF ⊥AB ，此时CF 就是最短的CD ，∵AC =BC =4，∠ACB =120°，∴∠ABC =30°，∴CF =12BC =2，即：C D 最短为2，∴S △PCQ 最小222=误；④∵将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，∴AD =AP ，∠DAC =∠PAC ，∵∠DAC =30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）．14. （2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．【答案】24+93．【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．15.（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．【答案】13．【解析】考点：线段的垂直平分线的性质.16.（2016湖南娄底第17题）如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为．【答案】13．【解析】试题分析：将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，由折叠的性质可得AD=CD，由AB=7，BC=6，可得△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．考点：翻折变换（折叠问题）．三、解答题17. （2016山东淄博第22题）（8分）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】∴BE=21BG=21（BA+AG ）=21（AB+AC ）．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．18. （2016湖南怀化第17题）如图，已知AD=BC ，AC=BD ．（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．【答案】(1)详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．19.（2016广西河池第21题）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．【答案】（1）作图见解解析；（2）AB=AD=BC．【解析】考点：作图—基本作图；作图题．20.（2016辽宁营口第25题）已知：如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．（1）①求证：∠ANB=∠AMC；②探究△AMN的形状；（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．【答案】（1）①证明见解析；②△AMN是等边三角形；（2）①成立，②不成立，△AMN是等腰直角三角形．【解析】（2）①如图2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：在正方形ABCD中，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，∵∠NAM=45°，∴∠NAB=∠MAC，由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠ABN=∠ACM=45°，∴△ANB∽△AMC，∴∠ANB=∠AMC；②如图2，不成立，△AMN是等腰直角三角形，理由是：∵△ANB∽△AMC，∴AN ABAM AC=，∴AN AMAB AC=，∵∠NAM=∠BAC=45°，∴△NAM∽△BAC，∴∠ANM=∠ABC=90°，∴△AMN是等腰直角三角形．考点：四边形综合题；探究型；压轴题．。

等腰三角形知识学习要点：掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握等腰三角形的性质和判定定理，并探索等边三角形的性质和判定定理。

结合实例体会反证法的含义。

中考热点：全等三角形和等腰三角形是中考必考的内容之一，在考试中或单独考查基本知识或综合考查逻辑推理，常把全等三角形、特殊三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质综合起来进行命题，题型多为证明题或解答题。

知识点：1、全等三角形的判定及性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等．证题思路：2例1、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ．②∠FAB ＝∠EAB ，③EF ＝BC ，④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，FD ⊥AO 于D ，FE ⊥BO 于E ，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF ；③DO=EO ；④∠OFD=∠OFE 。

其中能够证明△DOF ≌△EOF 的条件的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS3、如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是．4、（2016泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）A．44°B．66°C．88°D．92°之间有怎样的数量关系?并给出证明。

第一讲等腰三角形【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.~作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；.(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.(（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质…等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

等腰三角形知识点归纳等腰三角形是初中数学中的基础知识点，它具有许多特殊性质和公式，是解题和证明的重要基础。

本文将对等腰三角形的定义、性质和相关公式进行系统的归纳总结。

一、等腰三角形定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底边的边长相等，而顶角的两边也相等。

二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角和顶角对应的两条边相等。

由等腰三角形的定义可知，底角对应的两条边长度相等，顶角对应的两条边也相等。

2. 等腰三角形的底角相等。

根据等腰三角形的定义和性质1可知，底角对应的两条边相等，因此底角也相等。

3. 等腰三角形的顶角相等。

同样根据等腰三角形的定义和性质1可知，顶角对应的两条边相等，因此顶角也相等。

4. 等腰三角形的高线也是中线、角平分线和垂直平分线。

高线是从顶角所在顶点到底边的垂直线段，它与底边垂直相交于底边中点，同时也是底边的中线；高线还是顶角的平分线，即将顶角平分为两个相等的角；另外，高线还是底边的垂直平分线，将底边分为两个相等的线段。

5. 等腰三角形的面积公式。

等腰三角形的面积等于底边长度乘以与底边垂直的高线长度再除以2，即S = 1/2 * b * h。

6. 等腰三角形的周长公式。

等腰三角形的周长等于底边长度乘以2再加上斜边的长度，即C = 2b + a。

7. 等腰三角形的角平分线。

等腰三角形的底边上的角平分线既是底边的垂直平分线，也是三角形顶角的平分线。

三、等腰三角形的应用场景等腰三角形在生活和几何中有着广泛的应用。

以下列举几个常见的应用场景：1. 画等腰三角形。

当我们需要画一个等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质来确定两条边的长度。

2. 计算等腰三角形的面积和周长。

等腰三角形的面积和周长公式可以帮助我们快速计算等腰三角形的相关参数。

3. 解题中的等腰三角形。

在解题过程中，等腰三角形常常被用来建立等式或者找到特殊性质，提供解题线索。

四、例题分析1. 已知等腰三角形的底边长度为12cm，顶角的两边长度分别为6cm，求等腰三角形的周长和面积。

2.3 等腰三角形的性质定理学习目标1.经历利用等腰三角形的性质加深对轴对称的认识。

2.经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质。

知识详解1.等腰三角形性质1（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

（2）理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便。

（3）适用条件：必须在同一个三角形中。

（4）应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.（5）推论：等边三角形的各个内角都等于60°。

2.等腰三角形性质2（1）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质。

（2）含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛。

（3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。

（4）应用模式：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（或BD=CD）；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC（或AD平分∠BAC）；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC（或AD⊥BC）．“三线合一”的应用：因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活。

【典型例题】例1：等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°例2：如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（）A．62º B．38º C．28º D．26º【答案】C【解析】在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º，又∠AED＝62º,∴∠EAC=62º- 45 º=17 º,又CE＝AF，∴△ABF≌△CAE, ∴∠ABF=17 º, ∴∠DBF＝45 º-17 º=28º.例3：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A、30ºB、40ºC、45ºD、36º【答案】D【解析】∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xº,则∠ABD= xº, ∠C=∠ABC=∠BDC=2 xº, 在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36，故∠A=36º【误区警示】易错点1：线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是【答案】50°【解析】∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°易错点2：等腰三角形的性质2.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．【答案】45【解析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°【综合提升】针对训练1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是．2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=3.如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是1.【答案】30°【解析】∵AB=AC ，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=12（180°﹣40°）=70°， ∵BD=BC ， ∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°， ∴∠ABD=∠ABC ﹣∠CBD =70°﹣40° =30°2.【答案】18°【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°． ∵BD ⊥AC 于点D ， ∴∠CBD=90°﹣72°=18°3.【答案】60°【解析】∵将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC的中点E 的对应点为F ， ∴旋转角为60°，E ，F 是对应点， 则∠EAF 的度数为：60°【中考链接】（2014年盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）A ． 40°B ． 50°C ． 60°D ． 70°【答案】D【解析】因为等腰三角形的两个底角相等， 又因为顶角是40°， 所以其底角为180402︒-︒ =70°课外拓展黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°，它的腰与它的底成黄金比。