【中考数学考点梳理】考点14_等腰三角形与直角三角形

考点14 三角形及其全等一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；学科-网（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2cm B．3cmC．12cm D．15cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．3cm，4cm，5cm D．1cm，2cm，3cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 如图，下列有四个说法，正确的个数是①∠B ＞∠ACD ；②∠B +∠ACB =180°–∠A ；③∠A +∠B =∠ACD ；④∠HEC ＞∠ B ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①∠B <∠ACD ，故①错误； ②∠B +∠ACB =180°–∠A ，故②正确； ③∠A +∠B =∠ACD ，故③正确；④∠HEC =∠AED ＞∠ACD ＞∠B ，则∠HEC ＞∠B ，故④正确． 故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三 三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 中点，连接DF ，FE ，则四边形DBEF 的周长是A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】B典例4 如图，点G 为△ABC 的重心，则S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG 的值是A ．1∶2∶3B ．2∶1∶2C ．1∶1∶1D ．无法确定【答案】C【解析】如图，分别延长AG 、CG 、BG ，交BC 、AB 、AC 于点D 、F 、E ，根据三角形重心的定理得到AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形可得，ABD ACD BDG CDG S S S S ∆∆∆==，即可得ABG ACG S S ∆∆=，同理可得ABG BCG S S ∆∆=，所以=ABG BCG ACG S S S ∆∆∆=，即S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG =1∶1∶1，故选C ．4．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考向四 全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SAS HLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→ （2）已知一边、一角AAS SAS ASA AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→ （3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→ 2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，已知∠ADB =∠CBD ，下列所给条件不能证明△ABD ≌△CDB 的是A ．∠A =∠CB ．AD =BC C ．∠ABD =∠CDB D ．AB =CD【答案】D【解析】A ．∵∠A =∠C ，∠ADB =∠CBD ，BD =BD ，∴△ABD ≌△CDB （AAS ），故正确；B ．∵AD =BC ，∠ADB =∠CBD ，BD =DB ，∴△ABD ≌△CDB （SAS ），故正确；C ．∵∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，BD =DB ，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），故正确；D ．∵AB =CD ，BD =DB ，∠ADB =∠CBD，不符合全等三角形的判定方法，故不正确，故选D．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．如图所示，其中三角形的个数是A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45° B．55°C．65° D．50°4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC__________的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线5．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是A ．∠DAE =∠CBEB ．△DEA 不全等于△CEBC ．CE =DED ．△EAB 是等腰三角形7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图所示，AB ⊥BE 于点B ，DE ⊥BE 于点E .(1)若∠A =∠D ，AB =DE ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (2)若∠A =∠D ，BC =EF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (3)若AB =DE ，BC =EF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (4)若AB =DE ，AC =DF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________.学-科网9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 为垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E .求证：(1)∠ABD =∠FAD ；(2)AB =2CE .10．如图，，，于D ，于E ，且．求证：．AB AC =90BAC ∠= BD AE ⊥CE AE ⊥BD CE >BD EC ED =+11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M 点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1．（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2018•河北）下列图形具有稳定性的是A．B．C．D．3．（2017•河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是A．中线B．角平分线C．高D．中位线4．（2018•百色）顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的A．重心B．外心C．内心D．中心5．（2018•毕节市）已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是A．4 B．6C．8 D．106．（2018•贵阳市）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是A．线段DE B．线段BEC．线段EF D．线段FG7．（2018•昆明）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为A．90°B．95°C．100°D．120°8．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于A．150°B．180°C．210°D．270°9．（2018•广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于A．40°B．45°C．50°D．55°10．（2018•聊城市）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°–α–β11．（2018•黔西南州市）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙12．（2018•安顺市）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACDA．∠B=∠C B．AD=AEC．BD=CE D．BE=CD13．（2018•南京市）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥A D．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为A．a+c B．b+cC．a–b+c D．a+b–c14．（2018•辽阳市）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为A．5 B．24 5C．4 D．12 515．（2018•绵阳市）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=__________．16．（2018•泰州）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为__________．17．（2018•陇南市）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a–7|+（b–1）2=0，c为奇数，则c=__________．18．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△ED C．19．（2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=A D．求证：△ABC≌△ADC．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE =∠BOE ，∴点E 在∠O 的平分线上，故③正确， 故选D ．6．【解析】∵AC ⊥BE ，∴∠BAD =∠CAE =90°，在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，BD CEAB AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ），∴AD =AE ．1．【答案】D【解析】图中的三角形有：△ABC ，△BCD ，△BCE ，△ABE ，△CDE 共5个.故选D ． 2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A 不具有稳定性，故选A ． 3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x 、y ，由题意得，，解得，所以最大锐角为55°．故选B ． 4．【答案】A【解析】∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上， ∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A ． 5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE ≌△DBC 还需补充条件AB ，BE 与BC ，BD 的夹角相等，即∠ABE =∠CBD 或者∠1=∠2，故选D ． 6．【答案】B【解析】∵∠1+∠C +∠ABC =∠2+∠D +∠DAB =180°，且∠1=∠2，∠C =∠D ， ∴∠ABC =∠DAB ，∴∠ABC –∠2=∠DAB –∠1，∴∠DAE =∠CBE ．故A 正确；∵∠1=∠2，∴AE =BE .在△DEA 和△CEB 中DAE CBE C D AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEA ≌△CEB （AAS ），故B 错误；由△DEA ≌△CEB 可得CE =DE ．故C 正确．∵∠1=∠2，∴BE =AE ，∴△EAB 是等腰三角形故D 正确；故选B ．=90=20x y x y +︒-︒⎧⎨⎩=55=35x y ︒︒⎧⎨⎩7．【答案】135 【解析】如图所示：由题意可知△ABC ≌△EDC ，∴∠3=∠BAC ， 又∵∠1+∠BAC =90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF =DC ，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度， 故答案是：135．8．【答案】ASA ，AAS ，SAS ，HL【解析】(1)在△ABC 和△DEF 中，因为∠B =∠E =90°， AB =DE ，∠A =∠D ，所以△ABC ≌△DEF (ASA)； (2)在△ABC 和△DEF 中，因为∠B =∠E =90°， ∠A =∠D ，BC =EF ，所以△ABC ≌△DEF (AAS)； (3)在△ABC 和△DEF 中，因为AB =DE ，∠B =∠E =90°， BC =EF ，所以△ABC ≌△DEF (SAS)；(4)在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，因为AC =DF ，AB =DE ， 所以Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL)． 故答案为：ASA ；AAS ；SAS ；HL.10．【解析】，，，，，， ，90BAC ∠= CE AE ⊥BD AE ⊥90ABD BAD ∠∠∴+= 90BAD DAC ∠∠+= 90ADB AEC ∠∠== ABD DAC ∠∠∴=在和中，，∴≌（AAS ），，， ，∴BD =EC +ED ．11．【解析】（1）如图，∵CM 和DM 的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA =90°，∴∠2+∠D =90°，∴∠1=∠D ，在△CAM 和△MBD 中，，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ； （2）9÷0.5=18（s ）．学_科网答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．1．【答案】CABD CAE ABD EAC BDA E AB AC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩ABD CAE BD AE ∴=EC AD =AE AD DE =+ 1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选C．2．【答案】A【解析】三角形具有稳定性．故选A．3．【答案】A【解析】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．4．【答案】A【解析】三角形三条中线的交点是三角形的重心，故选A．5．【答案】C【解析】设第三边长为x，则8–2<x<2+8，6<x<10，故选C．6．【答案】B【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选B．7．【答案】B【解析】∵CO=AO，∠AOC=130°，∴∠CAO=25°，又∵∠AOB=70°，∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，故选B．8．【答案】C【解析】如图：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°–∠C=30°+90°+180°–90°=210°，故选C ． 9．【答案】C【解析】∵∠A =60°，∠B =40°，∴∠ACD =∠A +∠B =100°， ∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD =12∠ACD =50°，故选C ． 10．【答案】A【解析】由折叠得：∠A =∠A '，∵∠BDA '=∠A +∠AFD ，∠AFD =∠A '+∠CEA '， ∵∠A =α，∠CEA ′=β，∠BDA '=γ，∴∠BDA '=γ=α+α+β=2α+β，故选．11．【答案】B【解析】乙和△ABC 全等；理由如下：在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和△ABC 全等； 在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和△ABC 全等； 不能判定甲与△ABC 全等；故选B ．13．【答案】D【解析】∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠CED =90°，∠A +∠D =90°，∠C +∠D =90°，∴∠A =∠C ，∵AB =CD ，∴△ABF ≌△CDE ，∴AF =CE =a ，BF =DE =b ， ∵EF =c ，∴AD =AF +DF =a +（b –c ）=a +b –c ，故选D ． 14．【答案】B【解析】由题意可得，OC 为∠MON 的平分线， ∵OA =OB ，OC 平分∠AOB ，∴OC ⊥AB ， 设OC 与AB 交于点D ，作BE ⊥AC 于点E ，∵AB =6，OA =5，AC =OA ，OC ⊥AB ，∴AC =5，∠ADC =90°，AD =3， ∴CD =4，∵2AB CD ⋅=2AC BE ⋅，∴642⨯=52BE ⨯，解得，BE =245，故选B ． 15【解析】∵AD 、BE 为BC ，AC 边上的中线，∴BD =12BC =2，AE =12AC =32，点O 为△ABC 的重心，∴AO =2OD ，OB =2OE ， ∵BE ⊥AD ，∴BO 2+OD 2=BD 2=4，OE 2+AO 2=AE 2=94，∴BO 2+14AO 2=4，14BO 2+AO 2=94，∴54BO 2+54AO 2=254，∴BO 2+AO 2=5，∴AB． 16．【答案】5【解析】根据三角形的三边关系，得4<第三边<6． 又第三条边长为整数，则第三边是5．故答案为：5． 17．【答案】7【解析】∵a ，b 满足|a –7|+（b –1）2=0，∴a –7=0，b –1=0，解得a =7，b =1， ∵7–1=6，7+1=8，∴6<c <8，又∵c 为奇数，∴c =7，故答案是：7．18．【解析】∵在△ABC 和△EDC 中，，∴△ABC ≌△EDC （ASA ）．19．【解析】∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠DAC ，在△ABC 和△ADC 中，，∴△ABC ≌△ADC ．A EAC EC ACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩AB AD BAC DAC AC AC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩。

中考总复习之等腰三角形与直角三角形中考的脚步越来越近啦，同学们是不是都在紧张地进行总复习呢？今天咱们就来好好聊聊等腰三角形和直角三角形这两个重要的“小伙伴”。

先来说说等腰三角形吧。

还记得有一次我在课堂上做实验，用三根长度不一样的小木棍，想拼成一个等腰三角形。

结果呢，怎么拼都拼不出来，同学们在下面笑得前仰后合。

这让我深刻地意识到，等腰三角形的两条腰长度必须相等，不然可就闹笑话啦！等腰三角形有很多有趣的性质。

比如说，它的两个底角相等。

这就像一对双胞胎，长得一模一样。

而且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这叫“三线合一”，可厉害啦！再来讲讲直角三角形。

有一次我去公园散步，看到一个滑梯，突然就想到了直角三角形。

这个滑梯的滑道和地面就构成了一个直角三角形。

直角三角形有个特别重要的定理，那就是勾股定理。

就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

这个定理在解决很多几何问题的时候，就像是一把万能钥匙，一用就灵。

直角三角形还有很多特殊的性质。

比如 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

这在计算边长的时候特别有用。

在中考中，等腰三角形和直角三角形经常会一起出现，给我们出难题。

比如说，给你一个等腰三角形，其中一个角是直角，让你求其他角的度数或者边长。

这时候可别慌，咱们就一步步来，先根据等腰三角形的性质确定角的关系，再结合直角三角形的定理来计算边长。

还有一种常见的题型是让你证明一个三角形是等腰直角三角形。

这就需要我们综合运用两个三角形的知识，先证明它是等腰三角形，再证明它是直角三角形。

复习这部分知识的时候，同学们一定要多做练习题，把定理和性质都熟练掌握。

遇到难题不要怕，多想想我们讲过的例子和方法，就一定能攻克难关。

最后，希望同学们都能在中考中取得好成绩，加油！就像我们成功拼出一个完美的等腰三角形或者准确算出直角三角形的边长一样，战胜中考的难题！。

第14讲 等腰三角形考点1等腰三角形1．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（ ）A ．4，10B ．7，7C ．4，10或7，7D ．无法确定【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，∵4+4＝8＜10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7，∵0＜7＜7+4＝11，∴以4，7，7为边能构成三角形∴其它两边长分别为7，7．故选：B ．2．若等边三角形ABC 的边长为a ，且三角形内一点P 到各边的距离分别是h a ，h b ，h c ，则h a +h b +h c ＝ ．【分析】本题考查的是等边三角形的性质．分别连接P A 、PB 、PC 将△ABC 分成3个小三角形，再根据等边△ABC 的面积等于三个小三角形的面积之和，就可以得出答案．【解答】解：设△ABC 的为h ，根据等边三角形的性质h ＝32a ， 分别链结P A ，PB ，PC ，将△ABC 分割成△APB 、△APC 、△BPCS △ABC ＝S △APB +S △APC +S △BPC ＝a •（h a +h b +h c ）•12＝12ah 那么，h a +h b +h c =32a 3．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，与AB ，AC 相交于点M ，N ，且MN ∥BC ．若AB ＝7，AC ＝6，那么△AMN 的周长是 ．【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO ＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．（1）下面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．①在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF．②∴DE＝DF．③（2）请你再用另法证明此题．【分析】（1）根据等边对等角的性质和全等三角形的判定方法判断解答；（2）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质证明．【解答】（1）解：证明过程正确．推理依据：①等边对等角．②AAS．③全等三角形的对应边相等；（2）证明：连接AD，∵AB＝AC，D是底边BC的中点，∴AD平分∠BAC（三线合一），又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．精选例题，错中淘金易错一等腰三角形的分情况讨论思想典例1等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20 B．22 C．20或22 D．不确定[易错分析] 腰长没有说是6还是8，需要分类讨论，有的学生易漏一种情况。

知识点十三等腰三角形与直角三角形在数学的几何世界中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的角色，它们有着独特的性质和广泛的应用。

首先，咱们来聊聊等腰三角形。

等腰三角形，顾名思义，就是至少有两条边长度相等的三角形。

这两条相等的边被称为腰，剩下的那条边则被称为底边。

等腰三角形的两个底角也是相等的，这是它一个非常重要的性质。

比如说，在一个等腰三角形中，如果已知顶角的度数，那么通过三角形内角和为 180 度这个定理，就能轻松算出两个底角的度数。

反过来，如果知道了底角的度数，也能很快求出顶角的度数。

等腰三角形的对称轴也很有意思。

如果沿着等腰三角形顶角平分线所在的直线对折，两边能够完全重合，所以这条线就是它的对称轴。

而且，等腰三角形“三线合一”的性质在解题中经常能派上大用场。

啥叫“三线合一”呢？就是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

举个例子，已知一个等腰三角形的底边中线，那就意味着它同时也是顶角平分线和底边上的高。

在实际问题中，比如要测量一个不能直接到达的两点之间的距离，就可以利用等腰三角形的性质来巧妙解决。

接下来，再看看直角三角形。

直角三角形有一个角是 90 度，这个角被称为直角，而构成直角的两条边被称为直角边，剩下的那条边则被称为斜边。

直角三角形最重要的定理当属勾股定理了。

也就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

比如，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那么斜边的长度就可以通过勾股定理计算，即斜边的平方等于 3 的平方加上 4 的平方，也就是 9 ＋ 16 ＝ 25，所以斜边就是5。

除了勾股定理，直角三角形还有很多有趣的性质。

比如，在一个直角三角形中，如果一个锐角的度数确定了，那么它的三条边的比例关系也就确定了。

这就是三角函数的基础。

再比如说，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

这个性质在解决一些与中点相关的问题时特别有用。

等腰三角形和直角三角形之间也有着一些有趣的联系。

【2020中考数学专项复习】：特殊三角形【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】类型一、等腰三角形1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长．【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．【答案与解析】延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P．∵∠EDC=∠DCB=120°∴∠DCM=∠CDM=60°，∴△MDC为等边三角形∠M=60°，同理△BAP，△EFN均为等边三角形．∠M=∠N=60°∴△MNP为等边三角形，MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，∴周长为1+9+6+8+2+13=39．【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.举一反三：【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．【答案】.2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．(1)求证:AE=AF．(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D ，又∵BE=DF，∴≌．∴AE=AF．(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD，∵AB=BC=CD=DA ,∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴, ．∴．又∵AE=AF ∴是等边三角形．【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形例4】【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE.求证：CE=DE.【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，∵等边△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等边△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．类型二、直角三角形3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．求证：(1)△ACE≌△BCD； (2)．【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.【答案与解析】(1) ∵，∴，即．∵，∴△BCD≌△ACE．(2) ∵，∴．∵△BCD≌△ACE，∴，∴．∴．【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB．∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.举一反三：【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=________.【答案】.类型三、综合运用5 .（2019•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△，∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键． 【答案与解析】（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △，∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH， ∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10． 故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6．在△ＡＢＣ中，AC=BC ，，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC 一般就要证三角形全等.【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：．延长交于点G，由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．∴DG∥CB．∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且．∴DG为的中位线．∴．∵AC=BC，∴DC=DG．∴DC- DE =DG- DF．即EC =FG．∵∠EDF =90°，，∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．∴∠1 =∠2．∵与都是等腰直角三角形，∴∠DEF =∠DGA = 45°．∴∠CEF =∠FGH = 135°．∴△CEF ≌△FGH．∴ FH=FC．（2）FH 与FC 仍然相等．【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】【变式】如图， △ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=; ②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≥S ⊿ACE ; ③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D.中考总复习：全等三角形—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1． 已知等边△ABC 的边长为a ，则它的面积是（ ）A ．a 2B ．a 2C ．a 2D ．a 2CDBC M E DC B AA ．（1）和（2）B ．（2）和（3）C ．（3）和（4）D ．（1）和（4）3.如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC=90°，在底边BC 上截取BD=AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.如图，三角形纸片ABC 中，∠B=2∠C ，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B 落在AC 边上的E 处，那么下列等式成立的是（ ）A ．AC=AD+BD B ．AC=AB+BD C ．AC=AD+CD D ．AC=AB+ CD5．（2019•镇江）边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）A.511()32a ⨯ B ．511()23a ⨯ C ．611()32a ⨯ D. 611()23a ⨯ 6. 用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③二、填空题7．如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：① AD=BE ；② PQ ∥AE ；③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°.恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).8．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为_____（只需写出～的角度）．9.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为，则斜边的长为 .510.如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_________；△BPD 的面积是_________.11．如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB ，则点P与点P′之间的距离为_________，∠APB=_________.12．.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=________.三、解答题13. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．14. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.图1(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的长.图2(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).图3图415．①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你做出猜想：当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）16.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此题采取排除法做．（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C= 45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．4.【答案】B.【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：（1）当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．选B二、填空题7．【答案】①②③⑤.【解析】提示：证△ACD ≌△BCE, △ACP ≌△BCQ.8．【答案】50°.9【解析】设直角边为a,b,斜边为c ，则a +b =3，222a b c +=，1122ab c =⨯，代入即可. 10．【答案】1，.【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠PCD=30°做PE ⊥CD,得PE=1，即△CDP 的面积是=12×2×1=1； 根据即可推得BCD BPD BPC PCDSS S S +=+. 11．【答案】6 ，150°.12．【答案】. 三、解答题13.【答案与解析】 （1）结论：BM=DM ，∠BMD=2∠BCD ．理由：∵BM 、DM 分别是Rt △DEC 、Rt △EBC 的斜边上的中线，∴BM=DM=12 CE；又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；同理可得∠DME=2∠DCM；∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD 证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=12EC=MC，又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴DM=12EC=MC，∴BM=DM；∵BM=MC，DM=MC，∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=12EC=ME；又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM=12EC=MC，∴BM=DM；∵BM=ME，DM=MC，∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．（3）所画图形如图所示：图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．解法同（2）．14.【答案与解析】(1) 证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°.∵∠EOB=∠AOF＝90°,∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF=BN,GH=AM，∵∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴∠NO/A=90°,故由(1)得, △ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴GH=EF=4．(3) ①8．②4n．15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°,∴∠AEM=1355°,∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（2）仍然成立．在边AB上截取AE=MC，连接ME∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．∵AE=MC，∴BE=BM∴∠BEM=∠EMB=60°∴∠AEM=120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（3）16.【答案与解析】⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝. 解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.。

探索等腰三角形及直角三角形的存在性问题考点分析：中考中对于等腰三角形及直角三角形的存在性问题的考查多以压轴题形式出现,题目的设计多与几何图形中的动点问题、坐标系中的抛物线相结合，综合性很强，对学生分析问题、解决问题的能力提出较高的要求。

思想：等腰三角形直角三角形存在性问题都是对分类讨论、数形结合、方程思想的考察方法：等腰三角形与直角三角形存在性问题第一步学会做图。

第二步根据图形特征进行计算题型：等腰三角形已知点的情况主要分为“两定一动型”和“一定两动型”，直角三角形已知一边求另一顶点。

教学目标：1.探索并总结等腰三角形和直角三角形的存在性问题的解决方法与步骤；2.在研究等腰三角形和直角三角形存在性问题中，进一步发展空间观念，经历等腰三角形和直角三角形思考问题的过程，建立几何直观；3.在多种形式的数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力；能独立思考，体会数学的分类思想、数形结合思想、方程思想等。

4.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

重点、难点分析：重点：等腰三角形和直角三角形存在性问题的解决方法与步骤。

难点：1.问题中条件或结论的不确定性、答案的多样性；2.针对问题正确分类画图后寻找等量关系。

教学过程：一．主要知识回顾：（课前完成）1.若ABC∆是等腰三角形，则可能有下列线段相等：①②③2.等腰三角形的性质：3直角三角形ABC中，可能是直角的有①②③4直径所对的圆周角。

二．中考中的题目分类：等腰三角形（一）两定一动型1.只找点不计算（以选择题或填空题的形式出现，只需按照“两圆一线”的方法作出图形即可求解）例1.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,3)在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个针对性练习1. 如图所示，在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M是线段BC上一定点，且MC=8,动点P从C点出发沿C D A B→→→的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个．2.计算题目（解这类题目的方法可以分为几何法与代数法）。

中考总复习之等腰三角形与直角三角形在中考数学中，等腰三角形与直角三角形是两个非常重要的几何图形，它们的性质和定理在解题中经常被用到。

接下来，让我们一起深入复习这两个重要的知识点。

一、等腰三角形1、定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

2、性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

（3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。

3、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

在解决等腰三角形相关问题时，往往需要分类讨论。

比如，已知等腰三角形的一个角的度数，求其他角的度数时，需要分这个角是顶角还是底角两种情况进行讨论。

例 1：已知等腰三角形的一个内角为 70°，求另外两个角的度数。

当 70°角为顶角时，底角的度数为：（180° 70°）÷ 2 ＝ 55°；当 70°角为底角时，另一个底角也是 70°，顶角的度数为 180° 70°×2 ＝ 40°。

例 2：在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，BD 是 AC 边上的中线，若△ABD 的周长为 12，△BCD 的周长为 15，求这个等腰三角形的腰长和底边长。

设腰长为 x，底边长为 y，则 AD ＝ CD ＝ x/2。

根据题意可得：x ＋ x/2 ＋ BD ＝ 12 ①y ＋ x/2 ＋ BD ＝ 15 ②②①可得：y x ＝ 3 ③又因为 2x ＋ y ＝周长（已知）将③变形为 y ＝ x ＋ 3 代入上式，可求出 x 和 y 的值。

中考数学考点一遍过考点15 等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形是中考数学中的重要考点之一。

在解题时，我们需要掌握等腰三角形和直角三角形的性质和相关公式，灵活运用这些知识解决各种数学问题。

首先，我们来了解等腰三角形的性质。

等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（与底边相对的两个角）的度数相等。

这个性质在解题时经常被用到。

假设我们有一个等腰三角形，底边的长度为a，底角的度数为x。

根据等腰三角形的性质，另外两条边也是相等的，设其长度为b。

那么，根据三角形内角和定理可得，x + x + 180 = 180，即2x = 180，解得x = 90。

所以，等腰三角形的底角是90度。

在解题时，我们可以利用这个性质来求解各种问题。

下面我们来讨论直角三角形的性质。

直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形的特点是，它的两条直角边（与直角相邻的两条边）的长度的平方之和等于斜边（与直角相对的边）的长度的平方。

这个定理被称为勾股定理。

假设我们有一个直角三角形，直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

根据勾股定理，a的平方加上b的平方应该等于c的平方。

即a² + b² = c²。

这个定理在解决关于直角三角形的各种问题时非常有用。

在解题时，我们经常会遇到需要证明一个三角形是等腰三角形或直角三角形的问题。

对于等腰三角形，我们可以利用底角相等的性质来进行证明。

对于直角三角形，我们可以利用勾股定理进行证明。

这些证明题要求我们灵活运用各种几何定理和性质，进行推理和论证。

接下来我们来看一些具体的例题，以加深我们对等腰三角形和直角三角形的理解。

例题1：在等腰三角形ABC中，底边AB的长度为5cm，底角的度数为60°，求等腰三角形的其他两条边的长度。

解析：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的其他两条边的长度是相等的。

设这两条边的长度为x。

根据三角形内角和定理可得，底角为60°，那么另外一个角的度数为（180° - 60°）/ 2 = 60°。

中考数学总复习--等腰三角形与直角三角形1.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为 （ ）A.23 B.2 C.13138 D.1313122.如图1，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 为边AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，点M 为BD 的中点，CM 的延长线交AB 于点F 。

（1）求证：CM=EM ；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF 的大小；（3）如图2，若△DAE ≌△CEM ，点N 为CM 的中点，求证：AN ∥EM 。

3.如图1，A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且∠MON 为钝角，现以线段OA ，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点。

（1）求证：△PCE ≌△EDQ ；（2）延长PC ，QD 交于点R 。

①如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR 为等边三角形；②如图3，若△ARB ∽△PEQ ，求∠MON 的大小和PQAB 的值。

1.如图，在三角形ABC 中，直线DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD 为 （ ）A.50°B.70°C.75°D.80°2.平面直角坐标系中，已知A （2,2），B （4,0），若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是 （ ）A.5B.6C.7D.83.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有 （ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 。

§4.3 等腰三角形及直角三角形A组2015—2019年山东中考题组考点一等腰三角形1.(2019威海,17,3分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD.若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC= °.2.(2017淄博,16,4分)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= .3.(2018滨州,25,13分)已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.4.(2017济南,27,9分)某学习小组在学习过程中遇到了下面问题:如图1,在△ABC和△ADE 中,∠ACB=∠AED=90°,∠CAB=∠EAD=60°,点E、A、C在一条直线上,F是BD的中点,连接EF、CF,试判断△CEF的形状并说明理由.问题探究:(1)小婷同学的解题思路是,先探究△CEF的两条边是否相等,如EF=CF,以下是她的解答过程:证明:延长线段EF交CB的延长线于点G.∵F是BD的中点,∴DF=BF.∵∠ACB=∠AED=90°,∴ED∥CB.∴∠BGF=∠DEF.又∵∠BFG=∠DFE,∴△BGF≌△DEF.()∴EF=FG.∴CF=EF= EG.请结合以上的证明过程,解答下列两个问题:①在图1中画出证明所构造的辅助线;②在证明的括号中填写理由(请在SAS、ASA、AAS、SSS中选择);(2)在(1)证明过程的基础上,请你帮助小婷求出∠CEF的度数,并判断△CEF的形状;问题拓展:(3)如图2,当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度后,连接CE,延长DE交BC的延长线于点P,其他条件不变,判断△CEF的形状并说明理由.考点二 直角三角形1.(2018滨州,1,3分)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为 ( )A.5B.6C.7D.82.(2019滨州,10,3分)满足下列条件时,△ABC 不是直角三角形的为 ( ) A.AB=41,BC=4,AC=5 B.AB ∶BC ∶AC=3∶4∶5C.∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5D.0)33(tan 21cos 2=-+-B A 3.(2018枣庄,10,3分)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是 ( )A.2B.3C.4D.54.(2018淄博,11,4分)如图,在Rt △ABC 中,CM 平分∠ACB 交AB 于点M,过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N,且MN 平分∠AMC.若AN=1,则BC 的长为 ( )A.4B.6C.34 D.85.(2019枣庄,17,4分)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D 在同一直线上.若AB=2,则CD= .6.(2019聊城,16,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,DE 为△ABC 的中位线,延长BC 至F,使CF=21BC,连接FE 并延长交AB 于点M.若BC=a ,则△FMB 的周长为 . 7.(2018德州,15,4分)如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为 .8.(2017青岛,13,3分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD,若∠BAD=58°,则∠EBD为度.B组2015—2019年全国中考题组考点一等腰三角形1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB 于点B和点D,再分别以点B,D为圆心,大于 BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM 交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度是 ( )A.2B.3C.3 D.5 2.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于 ( )A.15°B.30°C.45°D.60°3.(2019甘肃兰州,14,4分)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B= °.4.(2019北京,12,2分)如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).5.(2018湖南邵阳,17,3分)如图所示,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折,使点A 落在点C 处.若AE=3,则BC 的长是 .6.(2018浙江义乌,14,5分)等腰三角形ABC 中,顶角A 为40°,点P 在以A 为圆心,BC 长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC 的度数为 .7.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边△ABC 中,D,E 分别为AB,BC 的中点,EF ⊥AC 于点F,G 为EF 的中点,连接DG,则DG 的长为 .8.(2017黑龙江绥化,20,3分)在等腰△ABC 中,AD ⊥BC 交直线BC 于点D,若AD=21BC,则△ABC 的顶角的度数为 .9.(2018浙江嘉兴,19,6分)已知:在△ABC 中,AB=AC,D 为AC 的中点,DE ⊥AB,DF ⊥BC,垂足分别为点E 、F,且DE=DF.求证:△ABC 是等边三角形.10.(2018浙江义乌,22,12分)数学课上,张老师举了下面的例题:例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=0x,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.考点二直角三角形1.(2018江苏扬州,7,3分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是 ( )A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC2.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm(杯壁厚度不计).3.(2018黑龙江龙东,9,3分)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC 分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是.4.(2019吉林长春,20,7分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上,在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6;(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6;(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.C组教师专用题组考点一等腰三角形1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( )A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为C2.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为 ( )A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°3.(2018黑龙江绥化,18,3分)已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为.4.(2019辽宁大连,13,3分)如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为.5.(2018广西桂林,16,3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是.6.(2018湖南娄底,16,3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3 cm,则BF= cm.5的等腰三角形,它的一个内角是30°,则7.(2016黑龙江齐齐哈尔,17,3分)有一面积为3以它的腰长为边的正方形的面积为.8.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.9.(2015重庆A卷,25,12分)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.点E是∠BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD 的中点.DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.2,求AB,BD的长;(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=3(2)如图1,求证:HF=EF;(3)如图2,连接CF,CE.猜想:△CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.考点二直角三角形1.(2018四川泸州,8,3分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 ( )A.9B.6C.4D.32.(2018湖南长沙,11,3分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为 ( )A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米3.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD= ( )2 A.2B.3C.4D.34.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD= .5.(2018浙江湖州,16,4分)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在图1所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为65,此时正方形EFGH的面积为5.问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为65时,正方形EFGH的面积的所有可能值是(不包括5).6.(2018湖北襄阳,15,3分)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC 的长为.三年模拟A 组2017-2019年模拟基础题组一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2019济南章丘期末,2)以下列各组数为边长,不能构成直角三角形的是 ( )A.5,4,3B.2,1,1 C.13,12,8D.5,3,2 2.(2019济宁梁山一模,6)如图,在△ABC 中,CE 平分∠ACB,CF 平分∠ACD,且EF ∥BC 交AC 于M,若CM=5,则22CF CE +等于( ) A.75B.100C.120D.1253.(2019济南历城期末,12)如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNPQ 的面积分别为321,,S S S .若60321=++S S S ,则2S 的值是 ( )A.12B.15C.20D.30二、解答题(共6分)4.(2018淄博高青一模,18)如图,已知等边三角形ABC 中,D 是AC 的中点,E 是BC 延长线上的一点,且CE=CD,作DM ⊥BC,垂足为M,求证:M 是BE 的中点.B组2017-2019年模拟提升题组一、选择题(共3分)1.(2019德州德城一模,11)如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM 周长的最小值为 ( )A.6B.8C.10D.12二、填空题(每小题3分,共12分),3,2,则△ABC的面积为.2.(2019莱芜4月模拟,16)△ABC的三边长分别为133.(2019枣庄一模,16)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于.4.(2019东营胜利一中期末,12)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为.5.(2018青岛中考样题二,13)如图,平面直角坐标系中,点A、B分别是x轴、y轴上的动点,以AB为边作边长为2的正方形ABCD,则OC的最大值为.C 组探究题组一、选择题1.如图,等边三角形ABC 中,D 、E 分别为AB 、BC 边上的两动点,且总使AD=BE,AE 与CD 交于点F,AG ⊥CD 于点G,则 AF FG.2.(2018德州齐河二模,24)数学复习课上,张老师出示了下框中的问题:已知:在Rt △ACB 中,∠ACB=90°,点D 是斜边AB 上的中点,连接CD.求证:CD=21AB. 。

考点15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是 A ．35°B ．20°C ．35°或20°D ．无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°，70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°，故选C ．典例2 如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC =90°，在底边BC 上截取BD =AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【名师点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形的内角和定理，由已知的条件利用相关的性质，求得各个角的度数是正确解题的关键.1．等腰三角形的周长为15 cm，其中一边长为3 cm．则该等腰三角形的腰长为A．3 cm B．6 cm C．3 cm或6 cm D．3 cm或9 cm考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．学_科网【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，∠PAB的度数是A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】C【解析】因为AD=AP，所以∠APD=∠ADP，因为∠APD=70°，所以∠ADP=70°，所以∠PAD=180°-70°-70°=40°，因为∠BAC=60°，所以∠PAB=60°-40°=20°，故选C．3．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于A．20°B．30°C．35°D．40°考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数），其中是勾股数的有A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】①∵62+82=100=102，∴6、8、10是勾股数；②∵72+242=252，∴7，24，25是勾股数；③∵92+122=152，∴9，12，15是勾股数；④∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数）是勾股数，故选D．【名师点睛】本题考查了勾股数的判断，解题的关键是根据勾股数的定义分别对每一组数进行分析．6．如图，一圆柱高8 cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm1．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2-c2，则此三角形是A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于A．30°B．40°C．45°D．36°3．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是A．3，4，5B．6，7，8C．12，25，27 D．23，25，424．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为A．8 B．4 C．12 D．65．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是A．a2+b2=c2 B．∠A+∠B=90°C．a=3，b=4，c=5 D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶56．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17 C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5 C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A．8个B．9个C．10个D．11个9．如图，Rt△ABC中，∠B=90〬，AB=9，BC=6，，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于A．5 B．6 C．4 D．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A．6 B．32C．42D．6211．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为______．12．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．学科_网13．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD=4，则线段BE 的长为__________．14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG =CD ，DF =DE ，则∠EFD =__________°．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =7，点E 是AD 上的一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA 1的长为__________．18．如图，在等腰三角形ABC 中，AC =BC ，分别以BC 和AC 为直角边向上作等腰直角三角形△BCD 和△ACE ，AE 与BD 相交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点G ．求证：CG 垂直平分AB ．19．如图，一架2.5 m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7 m．（1）求OA的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE=BD，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若BD=12CE，AB=9，求线段DF的长．21．已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=62米．（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度．1．（2018·南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A ．3，4，5 B ．2，3，4 C ．4，6，7D ．5，11，122．（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 A ．5 B ．6 C ．7D ．83．（2018·湖州）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB =AC ，∠CAD =20°，则 ∠ACE 的度数是A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°4．（2018·宿迁）若实数m 、n 满足|2|40m n -+-=，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 A ．12 B ．10 C ．8D ．65．（2018·绥化）已知等腰三角形的一个外角为130︒，则它的顶角的度数为__________．6．（2018·青海）如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到DEC △，连接AD ，若∠BAC =25°，则∠BAD =__________．7．（2018·甘孜州）直线上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD =7，AB =2，若AB ，BC ，CD 可构成以BC 为腰的等腰三角形，则BC 的长为__________．8．（2018·桂林）如图，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__________．9．（2018·襄阳）已知CD 是△ABC 的边AB 上的高，若CD =3，AD =1，AB =2AC ，则BC 的长为__________． 10．（2018·嘉兴）已知，在ABC △中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为点E F ，，且DE DF =．求证：ABC △是等边三角形．11．（2018·广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形． （2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形． （3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．1．【答案】B【解析】当3 cm 是底时，则腰长是（15-3）÷2=6（cm ），此时能够组成三角形；当3 cm 是腰时，则底是15-3×2=9（cm ），此时3+3<9，不能组成三角形，应舍去，故选B ． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，△PAD 是等边三角形， ∴9060150BAP BAD PAB ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵PA =AD ，AB =AD ，∴PA =AB ， ∴180150152ABP ︒-︒∠==︒，∴901575PBC ABC ABP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，同理：75PCB ∠=︒，∴180757530BPC ∠=︒-︒-︒=︒．故选B ． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5． 6．【答案】B【解析】如图，底面圆周长为2πr ，底面半圆弧长为πr ，即半圆弧长为：12×2π×6π=6（cm ），展开得：变式拓展∵BC=8 cm，AC=6 cm，根据勾股定理得：AB=2268+=10（cm），故选B．1．【答案】C【解析】∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形，故选C．2．【答案】D【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=2∠A．∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A=180°，即∠A=36°．故选D．4．【答案】C【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=8+4=12，故选C．5．【答案】D【解析】A．a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；B．∠A+∠B=∠C，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；C．52=32+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形．故选D．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD22AB BD-=4．故选C．考点冲关8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，∴AC=2AH=6，在Rt△ABC中，AB22226662AC BC+=+=D．11．【答案】203cm或12 cm【解析】设等腰三角形的腰长是x，底边是y，根据题意得162122xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或122162xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得323203xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或812xy=⎧⎨=⎩，经检验，均符合三角形的三边关系．因此三角形的底边是203cm或12 cm．故答案为：203cm或12 cm．12．【答案】60°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=360°−∠A−∠AED−∠AFD=360°−60°−150°−90°=60°，故答案为：60°．13．【答案】4【解析】∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°．∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，则∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠C=90°，即∠C-60°+∠C=90°，解得∠C=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=30°，∵∠AED=90°-∠DEB=30°，∴∠A=∠AED，∴DE=AD=4，∴BE=DE=4，故答案为：4．14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形；②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10．16．【答案】15【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．17．【答案】32或42【解析】如图，过点A1作A1M⊥BC于点M．∵点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，∴设CM=A1M=x，则BM=7-x．又由折叠的性质知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中，CA1A1M，∴CA118．【解析】∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形，∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，∴∠FAB=∠FBA，∴AF=BF，在三角形ACF和△BCF中，AF BF AC BC CF CF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCF（SSS），∴∠ACF=∠BCF，∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一），即CG垂直平分AB．19．【解析】在直角△ABO中，已知AB=2.5 m，BO=0.7 m，则AO，∵AO=AA′+OA′，∴OA′=2 m，∵在直角△A′B′O中，AB=A′B′，且A′B′为斜边，∴OB′=1.5 m，∴BB′=OB′-OB=1.5 m-0.7 m=0.8 m．答：梯足向外移动了0.8 m．20．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AE=BD，∴AC-AE=BC-BD，∴CE=CD，且∠ACB=60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠ECD=∠DEC=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠CEF=30°，∵∠DCE=∠CEF+∠CFE=60°，∴∠CEF=∠CFE=30°，∴CE=CF．（2）∵BD=12 CE，CE=CD，∴BD=12CD，∵AB=9，∴BC=9，∴BD=3，CD=6，∵CE=CF=CD，∴CF=6，∴DF=DC+CF=12．21．【解析】（1）由题意可得：AC=6 m，DC=62m，∠CAD=90°，可得AD=22CD AC-=6（m），故△ACD是等腰直角三角形．（2）∵AC=6 m，BC=10 m，∠CAD=90°，∴AB=22BC AC-=8（m），则BD=AB-AD=8-6=2（m）．答：船体移动距离BD的长度为2 m．1．【答案】A【解析】A、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误．故选A．直通中考4．【答案】B【解析】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去；②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B．5．【答案】50︒或80︒【解析】∵等腰三角形的一个外角为130︒，∴与130°相邻的内角为50°，当50︒为顶角时，其他两角都为65︒，65︒；当50︒为底角时，其他两角为50︒，80︒，所以等腰三角形的顶角为50︒或80︒，故答案为：50︒或80︒．6．【答案】70°【解析】∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，故答案为：70°．7．【答案】2或2.5【解析】如图，∵AB=2，AD=7，∴BD=BC+CD=AD-AB=5，∵AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，∴BC=AB 或BC=CD，∴BC=2或BC=2.5，故答案为：2或2.5．8．【答案】3【解析】∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．9．【答案】2327△是锐角三角形，如图1，【解析】分两种情况：①当ABC∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=3，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4-1=3，∴BC2222CD BD+=+=；3(3)23②当ABC△是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC=2222CD BD+=+=．综上所述，BC的长为23或27，(3)527故答案为：23或27．10．【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D为的AC中点，∴DA=DC．又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF（HL），∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等边三角形．11．【解析】如图所示：。

第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】1、等腰三角形：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。

】3、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴4、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形5、线段的垂直平分线和角的平分线●定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线●性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等●判定：到一条线段两端点距离相等的点在●角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等●角的平分线判定：到角两边距离相等的点在6、直角三角形：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形7、除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例1如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（） A．3 B．4 C．6 D．5考点二：线段垂直平分线例2 如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M 相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何（）A．24 B．30 C．32 D．36考点三：等腰三角形性质的运用例3 如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=________°考点四：等边三角形的判定与性质例4 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．考点五：三角形中位线定理例5如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（）米． A．7.5 B．15 C．22.5 D．30考点六：直角三角形例6 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） A．2.5 B．2考点七：勾股定理例7 如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于________【聚焦中考】3．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，3与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10【备考真题过关】一、选择题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或173．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（） A．4 B．．．85．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：27．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（） A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD=30°B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A．2cm C．3cm D．4cm10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB 的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．2511．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A．．二、填空题1．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为 _____．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AB的长是________.3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________.4．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B=40°，则∠A= ________度．5．如图，△ABC 中，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∠DBC=30°，若AB=m ，BC=n ，则△DBC 的周长为_________ ．6．如图，在△ABC 中，若E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，∠B=50°，则∠AEF=__________.7．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________米．8．已知：如图，在△ABC 中，点111A B C ，，分别是BC 、AC 、AB 的中点，222A B C ，，分别是111111B C A C A B ，，的中点，依此类推…．若△ABC 的周长为1，则n n n A B C 的周长为_________.三、解答题1.在△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE=AF ，BF 与CE 相交于点P ．求证：PB=PC ，并直接写出图中其他相等的线段．2.（1）在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，垂足为D ，过D 作DE ∥AC ，交AB 于E ，若AB=5，求线段DE 的长.。