2012年中考数学复习考点跟踪训练46函数型综合问题

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题24：方程、不等式和函数的综合一、选择题1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x -④2y=3x A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 【答案】B 。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断：①∵y=x 的k ＞0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大；②∵y=－2x ＋1的k ＜0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小；③∵1y=x-的k ＜0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大； ④∵2y=3x 的a ＞0，对称轴为x=0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小。

∴正确的有2个。

故选B 。

2. （2012四川广元3分） 已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1b y x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =- B. 1y x = C. 2y x = D. 2y x=- 【答案】D 。

【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。

【分析】关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=化成一般形式是：2x 2＋（2－2b ）x ＋（b 2－1）=0，∵它有唯一实数解，∴△=（2－2b ）2－8（b 2－1）=－4（b ＋3）（b －1）=0，解得：b=－3或1。

∵反比例函数1b y x+= 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大， ∴1+b＜0。

∴b＜－1。

∴b=－3。

∴反比例函数的解析式是13y x -=，即2y x=-。

故选D 。

3. （2012山东菏泽3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D【答案】C 。

备考2024年中考数学一轮复习-函数_函数基础知识_函数的图象-综合题专训及答案函数的图象综合题专训1、(2012南京.中考真卷) 看图说故事．请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x和y的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．2、(2017平谷.中考模拟) 有这样一个问题：探究函数y=﹣+|x|的图象与性质．小军根据学习函数的经验，对函数y=﹣+|x|的图象与性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：（1）函数y=﹣+|x|的自变量x的取值范围是；x ﹣2 ﹣1.9 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 1 2 3 4 …y 2 1.60 0.80 0 ﹣0.72 ﹣1.41 ﹣0.37 0 0.76 1.55 …在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察图象，函数的最小值是；（4）进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条性质（函数最小值除外）：．3、(2017顺义.中考模拟) 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y= 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）该函数的自变量x的取值范围是；（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：．4、(2017海淀.中考模拟) 有这样一个问题：探究函数y= 的图象与性质．下面是小文的探究过程，请补充完整：（1）函数y= 的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …y …﹣﹣﹣0 2 …如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数y= 的表达式发现：当x＜1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为；（3）小文补充了该函数图象上两个点（，﹣），（，），①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；②写出该函数的一条性质：．5、(2017徐州.中考模拟) 如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．（1）求点Q运动的速度；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．6、(2017罗山.中考模拟) 顺丰快递公司派甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5h后乙开始出发，结果比甲早1（h）到达B地，如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，a表示A、B两地之间的距离．请结合图中的信息解决如下问题：（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；（2）乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象．7、(2017柘城.中考模拟) 九年级七班“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究发现运用过程，请补充完整．（1）操作发现，在作函数y=|x|的图象时，采用了分段函数的办法，该函数转化为y= ，请在如图1所示的平面直角坐标系中作出函数的图象；（2）类比探究作函数y=|x﹣1|的图象，可以转化为分段函数，然后分别作出两段函数的图象．聪明的小昕，利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y=x﹣1在x轴下面部分，沿x轴进行翻折，与x轴上及上面部分组成了函数y=|x﹣1|的图象，如图所示；（3）拓展提高如图2右图是函数y=x2﹣2x﹣3的图象，请在原坐标系作函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象；（4）实际运用①函数的图象与x轴有个交点，对应方程|x2﹣2x﹣3|=0有个实根；②函数的图象与直线y=5有个交点，对应方程|x2﹣2x﹣3|=5有个实根；③函数的图象与直线y=4有个交点，对应方程有个实根；④关于x的方程有4个实根时，a的取值范围是．8、(2018深圳.中考模拟) 甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示．（1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）求乙组加工零件总量a的值；9、(2017自贡.中考真卷) 【探究函数y=x+ 的图象与性质】（1）函数y=x+ 的自变量x的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数y=x+ 的图象大致是；（3）对于函数y=x+ ，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+ =（）2+（）2=（﹣）2+∵（﹣）2≥0∴y≥．（4）若函数y= ，则y的取值范围．10、(2020西安.中考模拟) 小丽和哥哥小明分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小丽开始跑步，遇到哥哥后改为步行，到达图书馆恰好用35分钟，小明匀速骑自行车直接回家，骑行10分钟后遇到了妹妺，再继续骑行5分钟，到家两人距离家的路程y（m）与各自离开出发的时间x（min）之间的函数图象如图所示：（1）求两人相遇时小明离家的距离；（2）求小丽离距离图书馆500m时所用的时间．11、(2020许昌.中考模拟) 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.（1）列表：x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y …3 m 1 0 1 2 1 n …其中，m＝________ ， n＝________.（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象.（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2， 6）在函数图象上，则y1▲ y2， x1▲ x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝1时，求自变量x的值；（4）若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围.12、(2020牡丹江.中考真卷) 在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）甲车行驶速度是________千米1时，B，C两地的路程为________千米；（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．13、(2020武威.中考真卷) 通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：…0 1 2 3 4 5 ……6 3 2 1.5 1.2 1 …（1）当________时，；（2）根据表中数值描点，并画出函数图象；（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：________.14、(2021吉林.中考模拟) 一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地，路线图如图①所示，当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地，已知游轮的速度为，离开甲地的时间记为t（单位：h），两艘轮船离甲地的路程s（单位：）关于t的图象如图②所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．货轮比游轮早到达丙地．根据相关信息，解答下列问题：（1）填表：游轮离开甲地的时间/h 5 14 16 21 24100 280游轮离甲地的路程/（2）填空：①游轮在乙地停靠的时长为h；②货轮从甲地到丙地所用的时长为h，行驶的速度为；③游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程为．（3）当时，请直接写出游轮离甲地的路程s关于t的函数解析式．15、小明在学习过程中，遇到这样一个问题：如图1，在菱形中，点M，N分别是边，的中点，点P是对角线上的动点，连接，，，当是等腰三角形时，求线段的长度.小明根据学习函数的经验，对此问题进行了以下探究，请补充完整.（1）对于点P在对角线上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表：0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.02.5 1.8 1.4 1.8 2.53.34.25.26.26.2 5.2 4.2 3.3 2.5 1.8 1.4 1.8 2.5①通过观察（1）中表格，可以得到菱形的对角线长为，菱形的边长为；②在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数.（2）在平面直角坐标系中画出（1）②中确定的函数图象.（3）结合函数图象，当是等腰三角形时，线段的长度为.（结果保留一位小数）函数的图象综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题一、选择题1．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－1与x 轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 B解析 令y ＝0，得x 2－1＝0，x ＝1或－1，抛物线交x 轴于点(1,0)，(－1,0)．2．(2011·兰州)如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac >0；(2)c >1；(3)2a －b <0；(4)a ＋b ＋c <0.你认为其中错误．．的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 答案 D解析 由抛物线与x 轴交于两点，可知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0；又抛物线的对标轴直线x ＝－b 2a >－1，而a <0，所以b >2a,2a －b <0；当x ＝1时，函数值y ＝a ＋b ＋c <0，信息(1)，(3)，(4)正确；抛物线与y 轴交于点(0，c )，在点(0,1)下方，c <1，信息(2)错误．3．(2011·潍坊)已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4和x 1·x 2＝3，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象有可能是( )答案 C解析 由x 1＋x 2＝4和x 1x 2＝3，可解得两根为1、3，抛物线与x 轴交点为(1,0)，(3,0)，选C.4．(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点⎝⎛⎭⎫－45，y 1、⎝⎛⎭⎫－54，y 2、⎝⎛⎭⎫16，y 3，y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ． y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3 C ． y 3<y 1<y 2 D ．y 1<y 3<y 2答案 A解析 当方程的一根为x ＝－3时，(－3)2－3b －3＝0，b ＝2，所以y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴对称轴x ＝－1，∴x ＝－54与x ＝－34时y 值相同，∵在x ＝－1右侧，y 随x 增大而增大，∴y 1<y 2<y 3，选A.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是( )A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根 答案 D解析 画直线y ＝－2，与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于两点，且在第四象限，故方程ax 2＋bx ＋c ＝－2，有两个不等的正数根．二、填空题 6．(2008·义乌)李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式____________________．答案 形如y ＝kx ＋b (k >0，b >0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b >0)7．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A 点的坐标为(0,3)，B 点的坐标为(6,5)，则从A 、B 两点到奶站距离之和的最小值是__________．答案 10解析 如图，画点A 关于x 轴的对称点A 1，其坐标为(0，－3)，根据两点之间线段最短，可知AC 、BC 距离之和的最小值为线段A 1B ，画BD ⊥y 轴于D ，在Rt △A 1BD 中，A 1D ＝3＋5＝8，BD ＝6，所以A 1B ＝62＋82＝10.8．(2010·绥化)已知关于x 的分式方程 a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是____________．答案 a ≤－1且a ≠－2解析 去分母，a ＋2＝x ＋1，∵x ≠－1，a ≠－2，x ＝a ＋1≤0，∴a ≤－1且a ≠－2.9．(2008·西宁)如图所示的是函数y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx ＋n 的解关于原点对称的点的坐标是___________．答案 (－3，－4)解析 两直线y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 交于点(3,4)，所以关于原点对标的点的坐标为(－3，－4)．10．如图，点D 的纵坐标等于______________；点A 的横坐标是方程______________的解；大于点B 的横坐标是不等式______________的解集；点C 的坐标是方程组______________的解；小于点C 的横坐标是不等式______________的解集．答案 b ；k 1x ＋b 1＝0；kx ＋b ＜0；⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝kx ＋b；kx ＋b ＞k 1x ＋b 1三、解答题11．如果一个二次函数的图象经过点A (6,10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐标为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式．解 ∵这个二次函数的图象与x 轴交于B (x 1,0)、C (x 2,0)两点，∴这个二次函数的解析式是y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，即y ＝a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]． ∵x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5， ∴y ＝a (x 2－6x ＋5)．∵这个二次函数的图象经过点A (6,10)， ∴a ×(62－6×6＋5)＝10， 解之，得a ＝2，∴所求二次函数的解析式为：y ＝2x 2－12x ＋10.12．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为(－1,0)，点B 在抛物线y ＝ax 2＋ax －2上．(1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________； (2)抛物线的关系式为________________；(3)设(2)中抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积； (4)将三角尺ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达△AB ′C ′的位置．请判断点B ′、C ′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．解 (1)A (0,2)，B (－3,1)． (2)y ＝12x 2＋12x －2.(3)如图①，可求得抛物线的顶点D ⎝⎛⎭⎫－12，－178.设直线BD 的关系式为y ＝kx ＋b ，将点B 、D 的坐标代入，求得k ＝－54，b ＝－114，∴BD 的关系式为y ＝－54x －114.设直线BD 和x 轴交点为E ，则点E ⎝⎛⎭⎫－115，0，CE ＝65. ∴△DBC 的面积为12×65×⎝⎛⎭⎫1＋178＝158.(4)如图②，过点B ′作B ′M ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ，过点C ′作C ′P ⊥y 轴于点P .在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中，∵AB ＝AB ′，∠AB ′M ＝∠BAN ＝90°－∠B ′AM ， ∴Rt △AB ′M ≌Rt △BAN .∴B ′M ＝AN ＝1，AM ＝BN ＝3，∴B ′(1，－1)．同理：△AC ′P ≌△CAO ，C ′P ＝OA ＝2，AP ＝OC ＝1， ∴C ′(2,1)．将点B ′、C ′的坐标代入y ＝12x 2＋12x －2，可知点B ′、C ′在抛物线上(事实上，点P与点N 重合)．13．已知抛物线y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m 的顶点D 在双曲线y ＝－5x上，直线y ＝kx＋c 过点D 和点C (a ，b )，且y 随x 的增大而减小，a 、b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－3＝0，2a 2－5ab ＋2b 2＝0.求直线y ＝kx ＋c 的解析式．解 ∵y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m ，∴抛物线的顶点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1m ＋3，3m 2＋10m －3m ＋3.∵点D 在双曲线y ＝－5x 上，∴⎝⎛⎭⎫－1m ＋3·⎝⎛⎭⎫3m 2＋10m －3m ＋3＝－5， 整理得：m 2＋10m ＋24＝0， 解之，得m 1＝－4，m 2＝－6，∴D 点的坐标为D 1(1，－5)或D 2⎝⎛⎭⎫13，－15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－3＝0，2a 2－5ab ＋2b 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，b 1＝－1，，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴C 点的坐标为C 1(－2，－1)或C 2(2,1)．∵直线y ＝kx ＋c 经过D 、C 两点，且y 随x 的增大而减小， ∴点C 2(2,1)不合题意，舍去．∴直线x 1y ＝kx ＋c 经过点D 1(1，－5)和点C 1(－2，－1)或点D 2⎝⎛⎭⎫13，－15和C 1(－2，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋c ＝－5，－2k ＋c ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋c ＝－15，－2k ＋c ＝－1，解之，得⎩⎨⎧k ＝－43，c ＝－113，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6，c ＝－13. ∴这条直线的解析式为y ＝－43x －113或y ＝－6x －13.。

2012年中考数学压轴题专题：函数问题91. （2012山东菏泽10分）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？【答案】解：（1）画图如下：由图可猜想y 与x 是一次函数关系，设这个一次函数为(0)y kx b k =+≠，∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）两点，∴5002040030k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得10700k b =-⎧⎨=⎩。

∴函数关系式是10700y x =-+。

经验证，其它各点也在10700y x =-+上。

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得：22W (10)(10700)10800700010(40)+9000x x x x x =--+=-+-=--，∴当40x =时，W 有最大值9000。

（3）对于函数2W 10(40)+9000x =--，当35x ≤时，W 的值随着x 值的增大而增大，∴销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大。

【考点】二次函数和一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值和增减性。

【分析】（1）利用表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再取任意两点用待定系数法得出y 与x 的函数关系式，求出即可。

（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W (10)(10700)x x =--+，从而利用二次函数最值求法得出即可。

考点跟踪训练46 函数型综合问题一、选择题1．(2010·绥化)已知函数y＝1 x的图象如图所示，当x≥－1时，y的取值范围是( ) A．y＜－1 B．y≤－1C．y≤－1或y＞0 D．y＜－1或y≥0答案 C解析根据反比例函数的性质和图象，可知x≥－1时，在第三象限为y≤－1；在第一象限y>0，故选C.2．(2010·贵阳)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是( )A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2答案 D解析根据图象和数据可知，当y<0时，直线在x轴下方的部分，x的取值范围是x>2.3．(2010·黔东南州)在直角坐标系中，若解析式为y ＝2x 2－4x ＋5 的图象沿着x 轴向左平移两个单位，再沿着y 轴向下平移一个单位，此时图象的解析式为( )A ．y ＝2(x －3)2＋4B ．y ＝2(x －3)2＋2C ．y ＝2(x ＋1)2＋4D ．y ＝2(x ＋1)2＋2答案 D解析 y ＝2x 2－4x ＋5配方得y ＝2(x －1)2＋3，由题意得y ＝2(x －1＋2)2＋3－1，即y ＝2(x ＋1)2＋2.4．(2010·孝感)双曲线y ＝4x 与y ＝2x在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 设直线AB 交于x 轴于C ，则S △AOC ＝12×4＝2，S △BOC＝12×2＝1，∴S △AOB ＝2－1＝1.5．(2011·聊城)某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m答案 C解析 如图，以抛物线的顶点为坐标原点，平行于地面的直线为x 轴建立坐标系；设函数解析式为y ＝ax 2，当x ＝1时，y ＝－0.5，所以a ＝－0.5，y ＝－0.5x 2.当x ＝0.2时，y ＝－0.5×0.22＝－0.02；当x ＝0.6时，y ＝－0.5×0.62＝－0.18，所以每段防护栏的支柱长度为2×错误!＝1.6米，100段防护栏的支柱总长为100×1.6＝160米．二、填空题6．(2010·自贡)如图，点Q 在直线y ＝－x 上运动，点A 的坐标为(1,0)，当线段AQ 最短时，点Q 的坐标为____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12解析 当AQ 垂直于直线y ＝－x 时，线段AQ 最短．在Rt △AOQ 中，AO ＝1，∠AOQ ＝45°，画QH ⊥OA 于H ，则QH ＝12OA ＝12，OH ＝12，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12. 7．(2011·怀化)出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．答案 4解析 由题意，得y ＝x (8－x )＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，当x ＝4时，y 有最大值．8．(2010·武汉)如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A (0,2)，且与直线y 2＝mx 交于点P (1，m )，则不等式组mx >kx ＋b >mx －2的解集是______________．答案 1<x <2解析 由直线y 1＝kx ＋b 过点A (0,2)，P (1，m )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝m ，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝m －2，b ＝2，∴y 1＝(m －2)x ＋2，故所求的不等式组可化为mx >(m －2)x ＋2>mx －2，解得1<x <2.9．(2010·莆田)某同学利用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：x 0123 4y 30－20 3经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：____________.答案y＝x2－4x＋3解析选取三点(0,3)，(1,0)，(3,0)，设抛物线的解析式为y ＝a(x－1)(x－3)，则a(0－1)(0－3)＝3，a＝1，∴y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.10．(2010·昆明)如图，点A(x1，y1)、B(x2，y2)都在双曲线y＝k x(x>0)上，且x2－x1＝4，y1－y2＝2.分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形F OCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为_______________．答案y＝6x解析∵x2－x1＝4，y1－y2＝2，∴BG＝4，AG＝2.∴S△AGB＝4.∵S矩形AEOC＝S矩形OFBD，S矩形FOCG＝2，∴S矩形AEOC＝S矩形OFBD＝12(S五边形AEODB－S△AGB－S矩形FOCG)＋S矩形FOCG ＝12(14－4－2)＋2＝6，即AE·AC＝6，∴k＝6，∴y＝6x.三、解答题11．(2011·滨州)如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC.点A、B 在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC＝4米，点B到水平面距离为2米，OC＝8米．(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱P A、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P？(无需证明)(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是多少？(请写出求解过程)解 (1)以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴与射线CA 平行方向为x 轴正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2，由题意知点A 的坐标为(4,8)，且点A 在抛物线上，所以8＝a ×42，解得a ＝12， 故所求抛物线的函数解析式为y ＝12x 2.(2)延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D,则点A 、D 关于OC 对称．连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求．(3)由题意知点B 的横坐标为2，且点B 在抛物线上，所以点B 的坐标为(2,2)．又知点A 的坐标为(4,8)，所以点D 的坐标为(－4,8)． 设直线BD 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b ＝2，－4k ＋b ＝8，解得k ＝－1，b ＝4.故直线BD 的函数解析式为y ＝－x ＋4，把x ＝0代入y ＝－x ＋4，得点P 的坐标为(0,4)．即两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米．12．(2011·重庆)某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：月份x 123456789 价格y1(元/件)560580600620640660680700720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至1 2月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式；根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足函数关系式p2＝－0.1x＋2. 9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大？并求出这个最大利润；(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801,982＝9604,972＝9409,962＝9216,952＝9025)解(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630.(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)＝(0.1x＋1.1)(1000－50－30－20x－540)＝(0.1x＋1.1)(380－20x)＝－2x2＋160x＋418＝－2(x－4)2＋450(1≤x≤9，且x取整数)，∵－2＜0,1≤x≤9，∴当x＝4时，w有最大值，且w＝450(万元)；去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2(10≤x≤12，且x取整数)，当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，∴当x＝10时，w有最大值，且w＝361(万元)．∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．(3)去年12月份销售量为：－0.1×12＋2.9＝1.7(万件)，今年原材料的价格为：750＋60＝810(元)，今年人力成本为：50×(1＋20%)＝60(元)，由题意，得5×[1000(1＋a%)－810－60－30]×1.7(1－0.1a%)＝1700，设t＝a%，整理，得10t2－99t＋10＝0，解得t＝99±940120.∵972＝9409,962＝9216，而9401更接近9409.∴9401≈97.∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980.∵1.7(1－0.1a%)≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10.答：a的整数值为10.13．(2011·河南)如图，一次函数y1＝k1x＋2与反比例函数y2＝k2 x的图象交于点A(4，m)和B(－8，－2)，与y轴交于点C.(1)k1＝______，k2＝________；(2)根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是______________；(3)过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC ∶S △ODE ＝3∶1时，求点P 的坐标．解 (1)12，16.(2)－8＜x ＜0或x ＞4.(3)由(1)知，y 1＝12x ＋2，y 2＝16x .∴m ＝4，点C 的坐标是(0,2)，点A 的坐标是(4,4)． ∴CO ＝2，AD ＝OD ＝4.∴S 梯形ODAC ＝CO ＋AD 2·OD ＝2＋42×4＝12. ∵S 梯形ODAC ∶S △ODE ＝3∶1，∴S △ODE ＝13×S 梯形ODAC ＝13×12＝4.即12OD ·DE ＝4，∴DE ＝2.∴点E 的坐标为(4,2)．又点E 在直线OP 上，∴直线OP 的解析式是y ＝12x .∴直线OP 与y 2＝16x 的图象在第一象限内的交点P 的坐标为(4 2，2 2)．。

考点跟踪训练7 一元二次方程一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1 2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．25．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．x2－y2－4＋(3 5x－5y－10)2＝0的解是__________________．9．(2011·黄石)解方程：||10．(2011·兰州)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．三、解答题11．(2011·南京)解方程：x2－4x＋1＝0.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4.14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解．15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．参考答案一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1答案 C解析x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝1.2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9答案 C解析x2－2x－5＝0，x2－2x＝5，x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6.3．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案 A解析x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 A解析当x＝－a时，得a2－ab＋a＝0，a(a－b＋1)＝0，又a≠0.所以a－b＋1＝0，a－b＝－1.5．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8答案 D解析由题意，得b2－4ac＝0，(m－2)2－4(m＋1)＝0，m2－8m＝0，m＝0或m＝8. 二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．答案x1＝0，x2＝2解析x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2.7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.答案a1＝2＋11，a2＝2－11解析a2－4a－7＝0，a2－4a＝7.a2－4a＋4＝11，(a－2)2＝11，a－2＝±11，∴a＝2±11. 8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．答案 1，－3解析 当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是__________________．答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝2 5，y ＝4解析 ⎩⎨⎧ x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4， 相应地x 1＝5，x 2＝2 5.10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．答案 x 1＝－4，x 2＝－1解析 依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1.三、解答题11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0.解 解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12>0，x ＝4±122＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0.解得：y ＝1或y ＝－3.将y ＝1或y ＝－3代入①，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－3. ∴原方程的解有两个，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解． 解 由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.由方程1x－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0. 解之，得x 1＝－1，x 2＝12. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解． ∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12. 15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．解 由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121，解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.答：这两段铁丝的总长为420 cm.四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.由(1)可知k ≤12. ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0，∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.。

2012年中考数学复习专题四：函数应用函数是初中数学重要的组成部分，它有着广泛的应用，尤其在中考中占有很大比重。

函数在初中阶段包括一次函数，反比例函数和二次函数，初中数学函数应用题一般包含两个过程：建立函数关系、利用函数关系解决实际问题。

一、一次函数应用题解法：一次函数应用题语言叙述较多，数据量较大，经常给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误也较多。

这里向同学们介绍四种处理这类问题的方法，供同学们参考。

1．直译法即将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。

例1. 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。

该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。

甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；乙：按购买金额打9折付款。

某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(10x )本。

（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。

（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。

（3）如果商场允许即可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。

2. 列表法列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。

例2. 某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。

已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。

（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。

（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。

2012年中考复习考点跟踪训练（四十四）《分类讨论问题》一、选择题1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0) 答案 B解析 当P 点坐标为(4,0)时，点A 在OP 的中垂线上，OA ＝P A ；当P 点坐标为(－2 2，0)时，OP ＝OA ＝2 2；当P 点坐标为(2,0)时，OP ＝AP ＝2，所以P 点坐标不可能为(1,0)．2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．±6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 6 答案 D解析 当x ≤2时，x 2＋2＝8，x ＝±6(舍去6)；当x >2时，2x ＝8，x ＝4.综上，x ＝－6或x ＝4.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，4 答案 D解析 ∵点A 的坐标为(3,4)，∴OA ＝32＋42＝5. 当AP ＝AO 时，可知P 1(－2,4)，P 2(8,4)，当OP ＝OA 时，可知P 3(－3,4)， 当PO ＝P A 时，设PO ＝P A ＝m .有(m －3)2＋42＝m 2，m ＝256，∴m －3＝76，P 4⎝⎛⎭⎫－76，4，故选D. 4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或8 答案 C解析 如图①，S 矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S 矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.5．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22C.22D. 2 答案 B解析 A (m,1)代入y ＝k x 中，得m ＝k ，代入y ＝2kx 中，得2k 2＝1，k 2＝12，所以k ＝±22.二、填空题6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．答案 70°，70°，40°或55°，55°，70°解析 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为180°－70°2＝55°.7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC 上一定点，且MC ＝8.动点P 从C 点出发沿C →D →A →B 的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P 有________个．答案 4解析 当MC 为底边时，MC 的中垂线交CD 于一点P ，该点能满足PM ＝PC ；当MC 为腰时，分别以C 、M 为圆心，MC 长为半径画圆，⊙C 与CD 交于一点P ，⊙M 与AB 、AD 各有一个交点，因此，满足条件的点P 有4个．8．在△ABC 中 ，AB ＝AC ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1 cm 的速度沿B →A →C 的方向运动，设运动的时间为t 秒，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t 的值为________．答案 11或13解析 当0<t ≤12时，点P 在AB 上，2(t ＋3)＝12＋3＋(12－t )，t ＝11；当12<t <24时，点P 在AC 上，2[3＋(24－t )]＝3＋12＋t ，解得t ＝13.9．(2010·上海)已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1，如图所示．把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为_______．答案 1或5解析 题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F 1点，则F 1C ＝1；旋转得到F 2点，则F 2B ＝DE ＝2，F 2C ＝F 2B ＋BC ＝5.10．如图，点A 、B 在直线MN 上， AB ＝11 cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1 cm ，⊙A 以每秒2 cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (秒)之间的关系式为r ＝1＋t (t ≥0)，当点A 出发后________秒两圆相切．答案 3或113或11或13解析 两圆相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外切，由题意， 可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3； ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝113；③当两圆第二次内切，由题意， 可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11； ④当两圆第二次外切，由题意， 可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13.所以，点A 出发后3秒或113秒或11秒或13秒两圆相切．三、解答题 11．(2010·柳州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝2 cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC ＝60°.若动点E 以2 cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s)(0≤t <3)，连接EF ，当t 值为多少时，△BEF 是直角三角形．解 ∵AB 是⊙O 的直径， ∠ABC ＝60°， ∴∠C ＝90°，AB ＝2BC ＝4. 当∠BFE ＝90°时， ∵F 是BC 中点，∴BF ＝12×2＝1.在Rt △BEF 中，∠B ＝60°，∴BE ＝2BF ＝2×1＝2，AE ＝4－2＝2. 又∵AE ＝2t ，∴2t ＝2，t ＝1. 当∠BEF ＝90°时，在Rt △BEF 时，BE ＝12BF ＝12，∴AE ＝4－12＝312，∴2t ＝312，t ＝1.75.同样，当t ＝1.75＋12＝2.25时，∠BEF ＝90°.综上，t ＝1或1.75或2.25. 12．(2011·南通)已知A (1,0)，B (0，－1)，C (－1,2)，D (2，－1)，E (4,2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上； (2)点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上吗？为什么？ (3)求a 和k 的值．解 (1)证明：将C ，E 两点的坐标代入y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝2，9a ＋k ＝2，解得a＝0，∴与条件a ＞0不符，∴C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上． (2)解法一：∵A 、C 、D 三点共线(如下图)，∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上． ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A 、B 、C ； ②A 、B 、E ； ③A 、B 、D ； ④A 、D 、E ； ⑤B 、C 、D ； ⑥B 、D 、E .将①、②、③、④四种情况(都含A 点)的三点坐标分别代入y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解．所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上．解法二：抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)的顶点为(1，k )，假设抛物线过A (1,0)，则点A 必为抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A 、B 、C 、D 、E 中的三点，所以必过x 轴上方的另外两点C 、E ，这与(1)矛盾，所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上．(3)①当抛物线经过(2)中⑤B 、C 、D 三点时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋k ＝－1，4a ＋k ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－2. ②当抛物线经过(2)中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求：⎩⎨⎧a ＝38，k ＝－118.综上，a 和k 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－2或⎩⎨⎧a ＝38，k ＝－118.13．(2011·贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)为端点的线段中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)． 【运用】(1)如图，矩形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4,3)，则点M 的坐标为__________；(2)在直角坐标系中，有A (－1,2)，B (3,1)，C (1,4)三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．解 (1)∵四边形ONEF 是矩形， ∴点M 是OE 的中点． ∵O (0,0)，E (4,3)，∴点M 的坐标为(2，32)．(2)设点D 的坐标为(x ，y )．若以AB 为对角线，AC 、BC 为邻边构成平行四边形，则AB 、CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.若以BC 为对角线，AB 、AC 为邻边构成平行四边形，则AD 、BC 的中点重合， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋x 2＝1＋32，2＋y 2＝4＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.若以AC 为对角线，AB 、BC 为邻边构成平行四边形，则BD 、AC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5.综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5,3)或(－3,5)．。

2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练一次函数、二次函数（附中考数学最新复习提纲）目录页码一次函数篇 (2)二次函数篇 (34)最新中考复习提纲 (47)一次函数篇◆知识讲解1．正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．2．正比例函数的图像正比例函数y=kx（k是常数且k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k）•的直线，我们称它为直线y=kx；当k>0时，直线y=kx经过第一，三象限，y随着x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二，四象限，y随着x的增大而减少．3．一次函数的定义如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b，是关于x的一次二项式，其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数．当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－bk，0）就行了．5．一次函数的图像与性质直线y=kx+b（k≠0）中，k和b决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y随x的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b经过第一，三，四象限，当k<0时，y随x的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b经过第二，三，四象限．6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）•个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、•右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－bk，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S △=12²│－b k │²│b │．◆例题解析 例1 （2006，江西省）已知直线L 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）．（1）求直线L 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．【分析】函数图像上的两点坐标也即是x ，y 的两组对应值，•可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k ，b 的值．【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,1.k b =⎧⎨=⎩所以，直线L 1的解析式为y=x+1．（2）当点P 在点A 的右侧时，AP=m －（－1）=m+1，有S △APC =12³（m+1）³3=3．解得m=1，此时点P 的坐标为（1，0）；当点P 在点A 的左侧时，AP=－1－m ，有S=³（－m －1）³3=3，解得m=－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）．综上所述，m 的值为1或－3．【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代，求、答．例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．【分析】观察图像知，甲选手的路程y 随时间x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在AB 段，故求出15≤x ≤33时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，•即先求甲在BC 段的函数关系式，再求出BC 和OD 的交点坐标即可．【解答】（1）当15≤x ≤33时，设y AB =k 1x+b 1，将（15，5）与（33，7）代入得：1111515733k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得1119103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y AB =19x+103当y=6时，有：6=19x+103，解得x=24．∴比赛进行到24min 时，两人第一次相遇．（2）设y OD =kx ，将（24，6）代入得：6=24k, ∴k=14 ∴y OD =14x当x=48时，y OD =14³48=12∴比赛全程为12km ．（3）当33≤x ≤43时，设y BC =k 2x+b 2，将（33，7）和（43，12）代入得：22227331243k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2212192k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴y BC =12x －192 ∴1192214x y x y -=⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得19238x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴比赛进行到38min 时，两人第二次相遇．【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题．例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t ，柚子12t ，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t 和柚子1t ，乙种货车可装西瓜，柚子各2t ．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，•则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车为（10－x ）辆，依题意，得42(10)312(10)12x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ 解这个不等式组，得5.5≤x ≤8．∵x 是整数，∴x 可取6，7，8．即安排甲，乙两种货车有三种方案：①甲种货车6辆，乙种货车4辆②甲种货车7辆，乙种货车3辆③甲种货车8辆，乙种货车2辆（2）设运费为y 元，则y=1800x+1200（10－x ）=600x+12000．∴当x 取6时，运费最少，最少运费是：15600元．【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力．◆强化训练一、填空题1．（2006，绍兴）如图所示，一次函数y=x+5的图像经过点P（a，b），Q（c，d），•则a（c－d）－b（c－d）的值为______．2．（2005，重庆市）直线y=－43x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，•若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的解析式为______．3．（2006，白云区）关于x的一次函数y=（a－3）x+2a－5的图像与y轴的交点不在x•轴的下方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是______．4．已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，•请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______．5．（2005，黑龙江省）一次函数y=kx+3•的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．6．（2005，包头市）若一次函数y=ax+1－a中，y随x的增大而增大，且它的图像与y轴交于正半轴，则│a－1│．7．（2005，四川省）如果记y=221xx+=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=22()112(1)2+=15；如果f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n）+f（1n）=______．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．8．如图所示，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN 垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形．在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M．请你写出其他符合条件的点P的坐标_______．二、选择题9．（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化．h与t的函数的大致图像为（）10．（2005，杭州市）已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（）A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限D．第一，三，四象限11．（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（t）•与时间t（h）之间的函数关系如图5－35所示，•这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（）A．4h B．4.4h C．4.8h D．5h12．（2006，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5min到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（）13．（2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，•乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，•下列说法正确的（）A．乙比甲先到达终点B．乙测试的速度随时间增加而增大C．比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快14．（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，•出的水量都是一定的．已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min可把空容器注满．若同时打开进，出水管，20min可把满容器的水放完．现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（）15．（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（•至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（）(a) (b) (c)A．①③B．②③C．③D．①②③16．（2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，•以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，而四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大致是（）三、解答题17．（2008，河北）如图所示，直线L1的解析表达式为y=－3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线L2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．18．（2008，南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），下图中的折线表示y•与x之间的函数关系．根据图像进行以下探究：信息读取:（1）甲，乙两地之间的距离为_____km;（2）请解释图中点B的实际意义．图像理解:（3）求慢车和快车的速度;（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．问题解决:（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．•在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇，•求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．19．（2005，•黑龙江省）•某企业有甲，•乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以6m3/h 的速度注入乙池，甲，乙两个蓄水池中水的深度y（m）与注水时间x（h）之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：（1）分别求出甲，乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水的深度相同；（3）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池的蓄水池相同．20．（2005，哈尔滨市）甲，乙两名同学进行登山比赛，图5－42所示为甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，•各自行进的路程随时间变化的图象，根据图像中的有关数据回答下列问题：（1）分别求出表示甲，乙两同学登山过程中路程s（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；（3）在（2）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1h，沿原路下山，在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5km，相遇后甲，•乙各自按原来的线路下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？21．（2005，长春市）如图a所示，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=34x，AD=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1•单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14s．（1）求矩形ABCD的周长．（2）如图b所示，图形运动到第5s时，求点P的坐标；（3）设矩形运动的时间为t．当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，•请求出线段所在直线的函数关系式；（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似（或位似）？若能，求出t的值；若不能，说明理由．22．（2006，绍兴）某校部分住校学生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2L，•他们先同时打开两个放水龙头，后来故故障关闭一个放水龙头，假设前后两个接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（L）与接水时间x（min）的函数图像如图所示．请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3min”．•你说可能吗？请说明理由．答案:1．25 2．y=－12x+3 3．52≤a<3 4．y=3x+1（答案不唯一）5．±346．1 7．n－128．（0，0）（0，34）（0，－3）9．C 10．B 11．B 12．D 13．C 14．A 15．D 16．D 17．（1）由y=－3x+3知，令y=0，得－3x+3=0，∴x=1．∴D（1，0）．（2）设直线L2的解析式表达式为y=kx+b，由图像知：直线L2过点A（4，0）和点B（3，－32），∴40,332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴3,26.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线L 的解析表达式为y=32x －6．（3）由33,36.2y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得2,3.x y =⎧⎨=-⎩ ∴C （2，－3）． ∵AD=3，∴S △=12³3³│－3│=92．（4）P （6，3）． 18．（1）900．（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． （3）由图像可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 所以慢车的速度为90012km/h=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇， 两车行驶的路程之和为900km ， 所以慢车和快车行驶的速度之和为9004km/h=225km/h ．所以快车的速度为150km/h ．（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地， 所以快车行驶900150h=6h 到达乙地．此时两车之间的距离为6³75km=450km ， 所以点C 的坐标为（6，450）．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ， 把（4，0），（6，450）代入得 04,4506,k b k b=+⎧⎨=+⎩解得225,900.k b =⎧⎨=-⎩所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x －900，自变量x •的取值范围是4≤x ≤6．（5）慢车与第一列快车相遇30min后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把x=4.5代入y=225x－900．得y=112.5．此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离，是112.5km．所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150h=0.75h．即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．19．（1）设y甲=k1x+b1，把（0，2）和（3，0）代入，解得k1=－23，b1=2．∴y甲=－23x+2．设y乙=k2x+b2，把（0，1）和（3，4）代入．解得k2=1，b2=1，∴y乙=x+1．（2）根据题意，得2231xy xy+=-+⎧=⎪⎨⎪⎩解得x=35．所以注水35h甲，乙两个蓄水池中水的深度相同．（3）设甲蓄水池的底面积为S1，乙蓄水池的底面积为S2，th甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同，根据题意，得2S1=3³6，S1=9（4－1）S2=3³6=，S2=6S1（－23t+2）=S2（t+1）解得t=1．∴注水1h甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同．20．（1）设甲，乙两同学登山过程中，路程s（km）与时间t（h）•的函数解析式分别为s甲=k1t，s乙=k2t，由题意，得6=2k1，6=3k2．∴k1=3，k2=2∴解析式分别为s甲=3t，s乙=2t．（2）甲到在山顶时，由图像可知，当s甲=12（km），代入s甲=3t，得：t=4（h）．∴s乙=2³4=8（km）∴12－8=4（km）答：当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为4km．（3）由图像可知：甲到达山顶并休息1h后点D的坐标为（5，12）由题意，得：点B的纵坐标为12－32=212，代入s乙=2t，解得：t=214，∴点B（214，212）设过B，D两点直线解析式为s=kx+b．由题意，得212124125t bt b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩解得642kb=-⎧⎨=⎩∴直线BD的解析式为s=－6t+42∴当乙达到山顶时，s乙=12，得t=6，把t代入s=－6t+42得s=6（km）答：当乙达到山顶时，甲距山脚6km．21．（1）AD=8，B点在y=34x上，则y=6，B点坐标为（8，6），AB=6，矩形的周长为28．（2）由（1）可知AB+BC=14，P点走过AB，BC的时间为14s，因此点P的速度为每秒1•个单位．∵矩形沿DB方向以每秒1个单位长运动，出发5s后，OD=5，此时D点坐标为（4，3）同时，点P沿AB方向运动了5个单位，则点P坐标为（12，8）．（3）点P运动前的位置为（8，0），5s后运动到（12，8）已知它运动路线是一条线段，•设线段所在直线为y=kx+b．∴80,128.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得216.kb=⎧⎨=-⎩直线解析式为y=2x－16．（4）方法一：①当点P在AB边运动时，即0≤t≤6．点D的坐标为（45t，35t）．∴点P 的坐标为（8+45t ，85t ）．若P E B A O ED A=，则85485t t+=68，解得t=6．当t=6时，点P 与点B 重合，此时△PEO 与△BAD 相形．若P E D A O EB A=，则85485t t+=86，解得t=20．因为20>6，所以此时点P 不在AB 边上，舍去． ②当点P 在BC 边运动时，即6≤t ≤14． 点D 的坐标为（45t ，35t ）． ∴点P 的坐标为（14－15t ，35t+6）．若P E B A O ED A=，则3651145t t+-=68，解得t=6．此情况①已讨论．若P E D A O EB A=，则3651145t t+-=86，解得t=19013．因为19013>14，此时点P 不在BC 边上，舍去．综上，当t=6时，点P 到达点B 时，此时△PEO 与△BAD 相形． 方法二：当点P 在AB 上没有到达点B 时，P E B E O EO E <=34，P E O E更不能等于43．则点P 在AB 上没到达点B 时，两个三角形不能构成相似形． 当点P 到达点B 时，△PEO 与△BAD 相似，此时t=6． 当点P 越过点B 在BC 上时，P E O E>34．若P E O E=43时，由点P 在BC 上时，坐标为（14－15t ，35t+6），（6≤t ≤14）．3651145t t+-=43，解得t=19013，但19013>14．因此当P 在BC 上（不包括点B ）时，△PEO 与△BAD 不相似． 综上所述，当t=6时，点P 到达点B ，△PEO 与△BAD 是相似形． 22．（1）锅炉内原有水96L ，接水2min 后锅炉内的余水量为80L ，等． （2）当0≤x ≤2时，y=－8x+96 当x>2时，y=－4x+88∵前15位同学接完水时余水量为 （96－15³2L ）=66L ∴66=－4x+88 x=5.5min（3）小敏说法是可能的，即从第1min 开始8位同学连接接完水恰好用了3min ．一次函数◆知识讲解1．正比例函数的定义一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．2．正比例函数的图像正比例函数y=kx （k 是常数且k ≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k ）•的直线，我们称它为直线y=kx ；当k>0时，直线y=kx 经过第一，三象限，y 随着x 的增大而增大，当k<0时，直线y=kx 经过第二，四象限，y 随着x 的增大而减少． 3．一次函数的定义如果y=kx+b （k ，b 为常数，且k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b ，是关于x 的一次二项式，其中一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可以为任何常数．当b=0而k ≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b ≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像一次函数y=kx+b （k ≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b ，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b ），（－b k，0）就行了．5．一次函数的图像与性质直线y=kx+b （k ≠0）中，k 和b 决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y 随x 的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b 经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b 经过第一，三，四象限，当k<0时，y 随x 的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b 经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b 经过第二，三，四象限． 6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积一次函数y=kx+b 沿着y 轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m （m>0）•个单位得到一次函数y=kx+b ±m ；一次函数y=kx+b 沿着x 轴向左（“＋”）、•右（“－”）平移n （n>0）个单位得到一次函数y=k （x ±n ）+b ；一次函数沿着y 轴平移与沿着x 轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k ，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S △=12²│－b k│²│b │．◆例题解析例1 （2006，江西省）已知直线L 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）． （1）求直线L 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．【分析】函数图像上的两点坐标也即是x ，y 的两组对应值，•可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k ，b 的值． 【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,1.k b =⎧⎨=⎩所以，直线L 1的解析式为y=x+1．（2）当点P 在点A 的右侧时，AP=m －（－1）=m+1，有S △APC =12³（m+1）³3=3．解得m=1，此时点P 的坐标为（1，0）；当点P 在点A 的左侧时，AP=－1－m ，有S=³（－m －1）³3=3，解得m=－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）． 综上所述，m 的值为1或－3．【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代，求、答．例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题： （1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ （2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．【分析】观察图像知，甲选手的路程y 随时间x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在AB 段，故求出15≤x ≤33时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，•即先求甲在BC 段的函数关系式，再求出BC 和OD 的交点坐标即可．【解答】（1）当15≤x ≤33时，设y AB =k 1x+b 1，将（15，5）与（33，7）代入得：1111515733k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得1119103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y AB =19x+103当y=6时，有：6=19x+103，解得x=24．∴比赛进行到24min 时，两人第一次相遇． （2）设y OD =kx ，将（24，6）代入得：6=24k, ∴k=14∴y OD =14x当x=48时，y OD =14³48=12∴比赛全程为12km ．（3）当33≤x ≤43时，设y BC =k 2x+b 2，将（33，7）和（43，12）代入得：22227331243k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2212192k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴y BC =12x －192∴1192214x y xy -=⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得19238x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴比赛进行到38min 时，两人第二次相遇．【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题．例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t ，柚子12t ，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t 和柚子1t ，乙种货车可装西瓜，柚子各2t ．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，•则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车为（10－x ）辆，依题意，得42(10)312(10)12x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ 解这个不等式组，得5.5≤x ≤8． ∵x 是整数，∴x 可取6，7，8． 即安排甲，乙两种货车有三种方案： ①甲种货车6辆，乙种货车4辆 ②甲种货车7辆，乙种货车3辆 ③甲种货车8辆，乙种货车2辆（2）设运费为y 元，则y=1800x+1200（10－x ）=600x+12000． ∴当x 取6时，运费最少，最少运费是：15600元．【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力．◆强化训练 一、填空题1．（2006，绍兴）如图所示，一次函数y=x+5的图像经过点P （a ，b ），Q （c ，d ），•则a （c －d ）－b （c －d ）的值为______．2．（2005，重庆市）直线y=－43x+8与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，•若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，则直线AM 的解析式为______．3．（2006，白云区）关于x 的一次函数y=（a －3）x+2a －5的图像与y 轴的交点不在x •轴的下方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是______．4．已知一次函数y=kx+b （k ≠0）的图像经过点（0，1），且y 随x 的增大而增大，•请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______．5．（2005，黑龙江省）一次函数y=kx+3•的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．6．（2005，包头市）若一次函数y=ax+1－a 中，y 随x 的增大而增大，且它的图像与y 轴交于正半轴，则│a－1│．7．（2005，四川省）如果记y=221xx+=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=22()112(1)2+=15；如果f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n）+f（1n）=______．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．8．如图所示，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN 垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形．在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M．请你写出其他符合条件的点P的坐标_______．二、选择题9．（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化．h与t的函数的大致图像为（）10．（2005，杭州市）已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（）A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限D．第一，三，四象限11．（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（t）•与时间t（h）之间的函数关系如图5－35所示，•这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（）A．4h B．4.4h C．4.8h D．5h12．（2006，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5min到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（）13．（2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，•乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，•下列说法正确的（）A．乙比甲先到达终点B．乙测试的速度随时间增加而增大C．比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快14．（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，•出的水量都是一定的．已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min可把空容器注满．若同时打开进，出水管，20min可把满容器的水放完．现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（）15．（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（•至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（）(a) (b) (c)A．①③B．②③C．③D．①②③16．（2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，•以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，而四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大致是（）三、解答题17．（2008，河北）如图所示，直线L1的解析表达式为y=－3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线L2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．。

2012中考数学试题及答案分类汇编：函数的图像与性质一、选择题1.（4分）抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为A、（3，﹣4）B、（3，4）C、（﹣3，﹣4）D、（﹣3，4）【答案】A。

【考点】二次函数的性质。

【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标，或者用顶点坐标公式求解：∵y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣9+5=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y=x2+6x+5的顶点坐标是（3，﹣4）．故选A。

2.（某某3分）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。

若上网所用时问为x分．计费为y元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论：① 图象甲描述的是方式A：② 图象乙描述的是方式B；③ 当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱．其中，正确结论的个数是(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0【答案】A。

【考点】一次函数的图象和性质。

【分析】① 方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算，函数关系式为y x，与图象甲描述的是方式相同，故结论正确；②方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费，函数关系式为y x+20，与图象乙描述的是方式相同，故结论正确；③从图象观察可知，当x>400时，y乙<y甲，所以当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱，故结论正确。

综上，选A。

3.（某某省2分）一次函数y=6x+1的图象不经过A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】D。

【考点】一次函数的性质。

【分析】由一次函数y=6x+1中k的符号，根据一次函数的性质，得：∵一次函数y=6x+1中k=6＞0，b=1＞0，∴此函数经过一、二、三象限。

故选D。

4.（某某省3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是A、1米B、5米C、6米D、7米【答案】C。

考点跟踪训练45 方程型综合问题一、选择题1．已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片．若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？( )A. 0B. 3C. 7 D ．10 答案 C解析 设这包饼干有y 片，则y >23x ＋3(x 是大于0的整数)，而10y ＝230x ＋30，因而10y23＝10x ＋3023＝10x ＋1＋723，考虑余数723，故最少剩7片．2．一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根 答案 C解析 由x 2＋x ＋2＝0，得x 2＋x ＋14＝－74，所以⎝⎛⎭⎫x ＋122＝－74，方程没有实数根．3．(2010·攀枝花)下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋1＝0B ．9x 2－6x ＋1＝0 C ．x 2－x ＋2＝0 D ．x 2－2x －1＝0 答案 D解析 x 2－2x －1＝0，x 2－2x ＋1＝2，(x －1)2＝2，x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. 4．(2010·莆田)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )A ．x (x －1)＝10 B.x (x －1)2＝10C ．x (x ＋1)＝10 D.x (x ＋1)2＝10答案 B解析 设有x 人参加聚会，则每个人需握手(x －1)次，所以x (x －1)2＝10.5．设a 、b 是方程x 2＋x －2009＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为( ) A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 答案 C解析 根据题意，有a 2＋a －2009＝0，a 2＋a ＝2009；又a ＋b ＝－1，所以a 2＋2a ＋b ＝2008.二、填空题6．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．答案 60解析 450×0.8－450÷(1＋50%)＝360－300＝60. 7．(2009·牡丹江)五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了________折优惠．答案 九解析 设贵宾卡又享受x 折优惠，则有10000×0.8×⎝⎛⎭⎫x 10＝10000－2800,800x ＝7200，x ＝9.8．(2011·铜仁)当k ________时，关于x 的一元二次方程x 2＋6kx ＋3k 3＋6＝0有两个相等的实数根．答案 ±1解析 当(6k )2－4×1×(3k 2＋6)＝0时，方程有两个相等的实数根，解这个方程，得k ＝±1.9．(2011·苏州)已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式()a －b ()a ＋b －2＋ab 的值等于________．答案 －1解析 由根与系数的关系得a ＋b ＝2，ab ＝－1，所以(a －b )(a ＋b －2)＋ab ＝(a －b )×0＋(－1)＝－1.10．(2009·江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程__________．答案 7800(1＋x )2＝9100 三、解答题11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E .(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式； (2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF ＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，得C (3,0)，D (2,2)， ∵∠ADE ＝90°－∠CDB ＝∠BCD ， 又∠AOD ＝∠COD ＝∠ADO ， ∴AD ＝AO ＝BC ＝2. 又∠DAE ＝∠B ＝90°， ∴△ADE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ＝1，∴OE ＝1， ∴E (0,1)．设过点E 、D 、C 的抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．将点E 的坐标代入，得c ＝1.将c ＝1和点D 、C 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋1＝2，9a ＋3b ＋1＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－56，b ＝136.故抛物线的解析式为y ＝－56x 2＋136x ＋1.(2)EF ＝2GO 成立，证明如下：∵点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65，∴点M 的纵坐标为125.设DM 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，将点D 、M 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b 1＝2，65k ＋b 1＝125.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b 1＝3. ∴DM 的解析式为y ＝－12x ＋3.∴F (0,3)，EF ＝2.如图①，过点D 作DK ⊥OC 于点K ，则DA ＝DK .∵∠ADK ＝∠FDG ＝90°，∴∠FDA ＝∠GDK . 又∵∠FAD ＝∠GKD ＝90°，∴△DAF ≌△DKG . ∴KG ＝AF ＝1.∴GO ＝1.∴EF ＝2GO .(3)∵点P 在AB 上，G (1,0)，C (3,0)，设P (t,2)． ∴PG 2＝(t －1)2＋22，PC 2＝(3－t )2＋22，GC ＝2.①若PG ＝PC ，则(t －1)2＋22＝(3－t )2＋22， 解得t ＝2.∴P (2,2)，此时点Q 与点P 重合，∴Q (2,2)． ②若PG ＝GC ，则(t －1)2＋22＝22，解得t ＝1，∴P (1,2)，此时GP ⊥x 轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73.∴Q ⎝⎛⎭⎫1，73. ③若PC ＝GC ，则(3－t )2＋22＝22， 解得t ＝3，∴P (3,2)，此时PC ＝GC ＝2，△PCG 是等腰直角三角形．如图②，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则QH ＝GH ，设QH ＝h ， ∴Q (h ＋1，h )．∴－56(h ＋1)2＋136(h ＋1)＋1＝h .解得h 1＝75，h 2＝－2(舍去)．∴Q ⎝⎛⎭⎫125，75.综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即Q 1(2,2)或Q 2⎝⎛⎭⎫1，73或Q 3⎝⎛⎭⎫125，75. 12．已知，如图抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 的面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)∵对称轴x ＝－3a 2a ＝－32，又∵OC ＝3OB ＝3，a >0，∴C (0，－3)． 把B (1,0)、C (0，－3)代入y ＝ax 2＋3ax ＋c 得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，a ＋3a ＋c ＝0，解得a ＝34，c ＝－3.∴y ＝34x 2＋94x －3(2)过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N .∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝152＋12·DM ·(AN ＋ON )＝152＋2DM .∵A (－4,0)，C (0，－3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入求得：y ＝－34x －3，令D ⎝⎛⎭⎫x ，34x 2＋94x －3，M ⎝⎛⎭⎫x ，－34x －3， 则DM ＝－34x －3－⎝⎛⎭⎫34x 2＋94x －3 ＝－34(x ＋2)2＋3.当x ＝－2时，DM 有最大值3，此时四边形ABCD 面积有最大值272.(3)如图①所示，讨论：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形，∵C (0，－3)，令34x 2＋94x －3＝－3得x 1＝0，x 2＝－3，∴CP 1＝3.∴P 1(－3，－3)．②如图②，平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴可令P (x,3)，由34x 2＋94x －3＝3得：x 2＋3x －8＝0，解得x 1＝－3＋412或x 2＝－3－412，此时存在点P 2⎝⎛⎭⎫－3＋412，3和P 3⎝⎛⎭⎫－3－412，3.综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2⎝⎛⎭⎫－3＋412，3，P 3⎝⎛⎭⎫－3－412，3.13．(2011·北京)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m >0)的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C .(1)求点A 的坐标； (2)当∠ABC ＝45°时，求m 的值；(3)已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P (n,0)是x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数的图象于N .若只有当－2<n <2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．解 (1)∵ 点A 、B 是二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3 (m >0)的图象与x 轴的交点，∴ 令y ＝0，即mx 2＋(m －3)x －3＝0，解得x 1＝－1, x 2＝3m.又∵ 点A 在点B 左侧且m >0，∴ 点A 的坐标为(－1,0)．(2)由(1)可知点B 的坐标为(3m，0)．∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC ＝45°，∴3m＝3，∴m ＝1.(3)由(2)得，二次函数解析式为y ＝x 2－2x －3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ＋b ＝5，2k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1. ∴ 一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1.。

专题十一 函数及其图象的综合应用（时间：90分钟 满分：100分）一、选择题（每小题3分，共18分）1．（2011年凉山州）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝a x与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象是 ( )2．（2011年杭州）如图，函数y 1＝x －1和函数y 2＝2x的图象相交于点M(2，m)，N(－1，n)．若y 1>y 2，则x 的取值范围是 ( )A ．x <－1或0<x <2B ．x <－1或x >2C ．－1<x <0或0<x <2D ．－1<x <0或x >23．（2011年宜昌）如图，直线y ＝x ＋2与双曲线y ＝3m x在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为 ( )4．（2011年枣庄）如图，函数y 1＝x 和y 2＝13x ＋43的图象相交于(－1，1)，(2，2)两点．当y 1>y 2时，x 的取值范围是 ( )A ．x <－1B ．－1<x <2C ．x >2D ．x <－1或x >25．(2011年台州)如图，反比例函数y ＝m x的图象与一次函数y ＝k x ＋b 的图象交于点M 、N ，已知点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程m x＝k x ＋b 的解为 ( ) A ．－3，1 B ．－3，3 C ．－1，1 D ．3，－16．（2011年潍坊）已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4和x 1·x 2＝3，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象有可能是 ( )二、填空题（每小题3分，共9分）7．（2011年舟山）如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，（1，－2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是______．8．（2011年江西省）将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是_______．9．（2011年义乌）如图，一次函数y ＝－2x 的图象与二次函数y ＝－x 2＋3x 图象的对称轴交于点B ．(1)写出点B 的坐标_______；(2)已知点P 是二次函数y ＝－x 2＋3x 图象在y 轴右侧部分上的一个动点，将直线y ＝－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为______．三、解答题（73分）10．（8分）（2011年呼和浩特）在同一直角坐标系中反比例函数y ＝m x的图象与一次函数y ＝k x ＋b 的图象相交，且其中一个交点A 的坐标为(－2，3)．若一次函数的图象又与x 轴相交于点B ，且△AOB 的面积为6（点O 为坐标原点）．求一次函数与反比例函数的解析式．11．（11分）（2011年成都）如图，已知反比例函数y ＝k x （k ≠0）的图象经过点(12，8)，直线y ＝－x ＋b 经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；(2)设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另—个交点为P ，连接OP 、CQ ，求△OPQ 的面积．12． (13分)（2011年潍坊）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上场．8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元／千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元／千克与月份x呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元／千克、26元／千克、14元／千克、11元／千克．(1)分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；(2)2010年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？(3)若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？13．（14分）（2011年桂林）已知二次函数y＝－14x2＋32x的图象如图．(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标；(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点．若∠ACB＝90°，求此时抛物线的解析式；(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．14．（13分）（2011年成都）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）?并求出这个最值；(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(1)中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．15．（14分）（2011年重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式；根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式；(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其他成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1（万件）与月份x 满足函数关系式p 1＝0.1x ＋1.1（1≤x ≤9，且x 取整数），10至12月的销售量p 2（万件）与月份x 满足函数关系式p 2＝－0. 1x ＋2.9（10≤x ≤12，且x 取整数）．去年哪个月销售该配件的利润最大？并求出这个最大利润；(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其他成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a %，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a %．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)参考答案1.B2.D3.B4.D5.A6.C7.x >12 8.2y －x ＝180(或y ＝12x ＋90) 9.(1)(3,32-) (2)(2，2)、(12，54)、(114，1116)、(135，2625) 10.362y x =+ 11.(1)y ＝－x ＋5 (2)15212.(1)y ＝3x ＋5 y ＝x 2－22x ＋131 (2)1月 8元/千克 (3) 4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格．13.(1)(3，0) (2)213442y x x =-++ (3)相切 14.(1)S ＝x (120－2x ) 当x ＝30(米)时，S 最大值＝1800(平方米) (2)这个设计不可行15.(1) (1)y 1 ＝540＋20x (1≤x ≤9，且x 取整数)；y 2＝ 630＋10x (10≤x ≤12，且x 取整数)．(2) 去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．(3)a 的整数值为10．。

2012年中考数学综合型问题试题考点解析归总综合型问题一、选择题1.（2011重庆江津4分）下列说法不正确是A、两直线平行，同位角相等B、两点之间直线最短C、对顶角相等D、半圆所对的圆周角是直角【答案】B。

【考点】平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，圆周角定理。

【分析】利用平行线的性质可以判断A正确；利用两点之间线段最短的线段公理可以判断B错误；利用对顶角相等的性质可以判断C正确；利用圆周角定理可以判断D正确。

故选B。

2．（2011重庆潼南4分）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠B C），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是A、①②B、②③C、②④D、③④【答案】B。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定。

【分析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即判定该选项错误；②由ASA可证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO，该选项正确；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN，该选项正确；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误。

即②③正确。

故选B。

3.（2011浙江杭州3分）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 梯形D. 菱形【答案】 C。

【考点】剪纸问题。

【分析】此题可以直接作图，由图形求得答案，也可利用排除法求解：如图，若沿着EF剪下，可得梯形ABEF与梯形FECD，∴能剪得的图形是梯形；∵如果剪得的有三角形，则一定是直角三角形，∴排除A与B；如果有四边形，则一定有两个角为90°，且有一边为正方形的边，∴不可能是菱形，排除D。

故选C。

4.（2011浙江义乌3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD 交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；④ CD AE=EF CG；一定正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D。

2012年中考复习考点跟踪训练（三十九）《代数应用性问题（3）》一、选择题1．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5 mB ．6 mC ．7 mD ．8 m 答案 A解析 如图，在Rt △ABC 中，ACBC＝0.75，BC ＝4，则AC ＝3，AB ＝5.2．如图，小红同学要用纸板制作一个高4 cm ，底面周长是6π cm 的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．18π cm 2D ．24π cm 2答案 B解析 因为底面周长为6π，设底面半径为r ，所以2πr ＝6π，r ＝3，又h ＝4，所以l ＝5，S 圆锥侧＝πrl ＝15π，应选B.3．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝30 cm ，AB ＝50 cm ，依次裁下宽为1 cm 的矩形纸条a 1、a 2、a 3……，若使裁得矩形纸条的长都不小于5 cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ．26D ．27 答案 C解析 如图，在△ABC 中，可求得BC ＝40，设B 1C 1∥BC ，得B 1C 1＝5，由△AB 1C 1∽△ABC ，得B 1C 1BC ＝AC 1AC ，于是540＝AC130，∴AC 1＝3.75，∴CC 1＝26.25≈26.4．如图，在正方形铁皮上(图①)剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成(图②)所示的一个圆锥模型，该圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为( )A ．R ＝2rB ．R ＝94r C ．R ＝3r D ．R ＝4r答案 D解析 由图①，可知圆锥侧面展开图圆心角为90°，则rR×360＝90，R ＝4r .5．(2010·达州)如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A →M →N →C 的小路(M 、N 分别是AB 、CD 中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC 行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )A ．7 mB ．6 mC ．5 mD ．4 m 答案 B解析 在Rt △ABC 中，AC ＝122＋162＝20；过D 画DE ⊥BC 于E ，在Rt △CDE 中，CD ＝122＋52＝13，所以NC ＝6.5，又MN ＝12×(11＋16)＝13.5，所以AM ＋MN ＋NC ＝6＋6.5＋13.5＝26，与AC 相差6米． 二、填空题6．如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O (A 与O 点重合)．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A ′重合，则点A ′对应的实数是________．答案 π解析 由题意，可知线段AA ′长等于圆的周长π×1＝π.7．(2010·江西)一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则∠ABC＋∠BCD＝________度．答案270解析过B画BG∥CD，则∠BCD＋∠CBG＝180°，又CD∥AE，所以BG∥AE. ∠ABF ＋∠BAE＝180°，可知∠BAE＝90°，所以∠ABF＝90°，∠ABC＋∠BCD＝180°＋90°＝270°.8．(2010·宁波)如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC＝15°，则引桥的水平距离BC的长是________米(精确到0.1米)．答案11.2解析过A作∠BAD＝∠B＝15°，交BC于D，则BD＝AD，∠ADC＝30°.在Rt△ADC 中，由∠ADC＝30°，得AD＝2AC＝2×3＝6，所以DC＝3AC＝3 3，故BC＝BD＋DC＝6＋3 3≈11.2.9．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC ＝OD)量零件的内孔直径A B.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝________mm.答案 2.5解析由题意，易知△OAB∽△OCD，OC∶OA＝CD∶AB.∵OC∶OA＝1∶2，∴CD∶AB＝1∶2，AB＝2CD＝20，∴x＝(25－20)÷2＝2.5.10．(2010·江西)如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC(假设AC>AB)，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m>AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确的结论的序号是__________．答案①③④解析如图所示，当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，有m>AC，①成立，则②不成立；当旋转到达地面时，为最短影子，n＝AB，③成立；由此可知，影子的长度先增大，后减小，④成立．三、解答题11．如图，路灯(P 点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O 点)20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解 由题意可知：△POM ∽△EAM ，△PON ∽△FBN ， 又∵OA ＝20，AB ＝14，∴OB ＝6， ∴AM OM ＝AEPO，∴AM AM ＋20＝1.68，解得AM ＝5(米)．又BN ON ＝FB PO， ∴BN BN ＋6＝1.68，解得BN ＝1.5(米)，AM >BN ， ∴身影变短了3.5米． 12．(2011·成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABC D.已知木栏总长为120m ，设AB 边的长为x m ，长方形ABCD 的面积为S (m 2)．(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值；(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O 1和O 2，且O 1到AB 、BC 、AD 的距离与O 2到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5m 宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(1)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．解 (1)S ＝x (120－2x )＝－2(x －30)2＋1800，当x ＝30时，S 取最大值为1800.(2)如图所示，过O 1、O 2分别作到AB 、BC 、AD 和CD 、BC 、AD 的垂线，垂足如图，根据题意可知，O 1E ＝O 1F ＝O 1J ＝O 2G ＝O 2H ＝O 2I ；当S 取最大值时，AB ＝CD ＝30，BC ＝60，∴O 1F ＝O 1J ＝O 2G ＝O 2I ＝12AB ＝15，∴O 1E ＝O 2H ＝15，∴O 1O 2＝EH －O 1E －O 2H ＝60－15－15＝30， ∴两个等圆的半径为15，由于圆O 1、圆O 2相切，所以左右不能够留0.5米的平直路面． ∴设计不可行． 13．(2011·江西)图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O 到BC (或DE )的距离大于或等于⊙O 的半径时(⊙O 是桶口所在圆，半径为OA )，提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格．现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙A －B －C －D －E －F ，C －D 是圆弧，其余是线段)，O 是AF 的中点，桶口直径AF ＝34 cm ，AB ＝FE ＝5 cm ，∠ABC ＝∠FED ＝149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格．(参考数据：314≈17.72，tan 73.6°≈3.40，sin 75.4°≈0.97.)解 解法一：如图，连接OB ，过点O 作OG ⊥BC 于点G . 在Rt △ABO 中，AB ＝5，AO ＝AF2＝17，∴ tan ∠ABO ＝AO AB ＝175＝3.4，∴∠ABO ＝73.6°，∴∠GBO ＝∠ABC －∠ABO ＝149°－73.6°＝75.4°. 又 ∵OB ＝52＋172＝314≈17.72， ∴在Rt △OBG 中， .OG ＝OB ·sin ∠OBG ＝17.72×0.97≈17.19>17. ∴水桶提手合格．解法二：如图，连接OB ，过点O 作OG ⊥BC 于点G . 在Rt △ABO 中，AB ＝5，AO ＝17， ∴ tan ∠ABO ＝AO AB ＝175＝3.4，∴∠ABO ＝73.6°.要使OG ≥OA ，只需∠OBC ≥∠ABO ，∵∠OBC ＝∠ABC －∠ABO ＝149°－73.6°＝75.4°＞73.6°， ∴水桶提手合格．。

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题2：函数问题35. （2012吉林长春10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+42交x 轴与点A,交直线y=x 于点B,抛物线2y=ax 2x+c -分别交线段AB 、OB 于点C 、D ，点C 和点D 的横坐标分别为16和4，点P 在这条抛物线上． （1）求点C 、D 的纵坐标（2）求a 、c 的值（3）若Q 为线段OB 上一点，且P 、Q 两点的纵坐标都为5，求线段PQ 的长（4）若Q 为线段OB 或线段AB 上的一点，PQ⊥x 轴，设P 、Q 两点之间的距离为d （d ＞0），点Q 的横坐标为m ，直接写出d 随m 的增大而减小时m 的取值范围．（参考公式：二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠图像的顶点坐标为2b4ac b 2a 4a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，）35、解：（1）∵点C 在直线AB ：y=－2x+42上，且C 点的横坐标为16，∴y=－2×16+42=10，即点C 的纵坐标为10 D 点在直线OB ：y=x 上，且D 点的横坐标为4，∴点D 的纵坐标为4（2）由（1）知点C 的坐标为（16，10），点D 的坐标为（4，4），∵抛物线2y=ax 2x+c -经过C 、D 两点，∴256a 32c 1016a 8c 4-+=⎧⎨-+=⎩，解得：1a 8c 10⎧=⎪⎨⎪=⎩。

∴抛物线的解析式为21y=x 2x+108-（3）∵P 为线段OB 上一点，纵坐标为5，∴P 点的横坐标也为5。

∵点Q 在抛物线上，纵坐标为5，∴215=x 2x+108-，解得12x 826x 826=+=-，当点Q 的坐标为（826+5），点P 的坐标为（5，5），线段PQ 的长为263；当点Q 的坐标为（826-，5），点P 的坐标为（5，5），线段PQ 的长为263。

所以线段PQ 的长为263+或263。

（4）当0≤m＜4或12≤m＜16时，d 随m 的增大而减小。