人教新课标版数学高二-人教A必修5练习 余弦定理(一)

习题课 正弦定理与余弦定理双基达标(限时20分钟)1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )．A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60°解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc＞0，∴0°＜A ＜90°.答案 A3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )．A.21B.106C.69D.154解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106. 答案 B4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.答案 π65．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2得 sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1，∴B ＝π4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin Bb ＝2sin π42＝12， ∴A ＝π6或56π.∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π6.答案 π66．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故sin A sin C ＝12.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝－12，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°，或A ＝30°.综合提高 (限时25分钟)7．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析 由(a ＋b )2－c 2＝4得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，故方程①化为2ab (1＋cos C )＝4. ∴ab ＝21＋cos C.又∵C ＝60°，∴ab ＝43.答案 A8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴0＜A ≤π3.答案 C9．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccosC 2，则△ABC 的形状是________．解析 ∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2，∴sin A 2＝sin B 2＝sin C2，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＋B 2＋C 2＝π2.∴A 2＝B 2＝C 2，∴A ＝B ＝C ＝π3.答案 等边三角形10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是________．解析 由b a ＋ab ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B 切化弦，得sin C cos C ·⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B . 根据正、余定理得sin 2Ccos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 411．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m·n ＝3， 即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2＝3， ∴2＋2cos A ＝3.∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32.∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．12．(创新拓展)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos Csin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9， ∴a ＋c ＝3.。

1.1.2 余弦定理1．了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状．余弦定理(1)余弦定理中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量，即“知三求一”．(2)余弦定理适用的题型：①已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．(3)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．【做一做1】在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于()A．32－16 3 B．32＋16 3C．16 D．48【做一做2】 在△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，则cos B 等于( )． A.58B.6524C.1920D ．－720答案：减去 两 a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2－c 22ab【做一做1】 A【做一做2】 A cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝58.1．确定三角形中三个内角的范围剖析：由余弦定理，可得在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.若A 为锐角，则cos A ＞0，有b 2＋c 2－a 2＞0，即b 2＋c 2＞a 2；若A 为直角，则cos A ＝0，有b 2＋c 2－a 2＝0，即b 2＋c 2＝a 2；若A 为钝角，则cos A ＜0，有b 2＋c 2－a 2＜0，即b 2＋c 2＜a 2.由此可得到一个在解选择题和填空题时经常用到的结论：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角为直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．2．利用正弦定理、余弦定理求角的区别 剖析：如表所示．题型一 已知两边及夹角，解三角形【例题1】 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，解三角形． 分析：思路一：可先用余弦定理求边c ，再用正弦定理求角A . 思路二：可先用余弦定理求边c ，再用余弦定理的推论求角A . 反思：已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤：方法一：①利用余弦定理求出第三边； ②利用正弦定理求出另外一个角； ③利用三角形内角和定理求出第三个角． 方法二：①利用余弦定理求出第三边；②利用余弦定理的推论求出另外一个角； ③利用三角形内角和定理求出第三个角．此时方法一中②通常需要分类讨论，因此建议应用方法二解三角形． 题型二 已知三边，解三角形【例题2】 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，解三角形．(精确到1°) 分析：已知三边求三角，用余弦定理的推论，如用cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 求解．反思：已知三边解三角形的步骤： ①分别用余弦定理的推论求出两个角； ②用三角形内角和定理求出第三个角． 题型三 已知两边及一边的对角，解三角形【例题3】 在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求边a 的长．反思：用正弦定理解三角形时要注意解的个数，往往需要讨论边角关系，而用余弦定理求角时，结果是钝角、直角还是锐角从余弦值的正负情况便可以判断出来；如果求边则类似于本题，一般可借助一元二次方程求解，它的正根的个数即是三角形解的个数．特别地，已知两边及一边的对角解三角形，往往利用余弦定理建立等量关系，利用方程解决较方便，如本题解法二．题型四 判定三角形的形状【例题4】 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 分析：思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．反思：判定三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．依据边角关系判断时，主要有两条途径：①利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A ＋B ＋C ＝π这个结论．如本题解法一．②利用余弦定理转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．如本题解法二．在两种解法的等式变形中，一般两边不要随意约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解．题型五 易错辨析【例题5】 在钝角三角形ABC 中，a ＝1，b ＝2，c ＝t ，且C 是最大角，则t 的取值范围是__________．错解：∵△ABC 是钝角三角形且C 是最大角，∴C ＞90°， ∴cos C ＜0.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，∴a 2＋b 2－c 2＜0，即1＋4－t 2＜0. ∴t 2＞5.又t ＞0，∴t ＞5， 即t 的取值范围为(5，＋∞)．错因分析：错解忽略了两边之和大于第三边，即a ＋b ＞c 这个隐含条件，导致t 的取值范围变大．反思：解题时，容易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，从而使某些字母的取值范围变大．答案：【例题1】 解法一：cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2. 由正弦定理，得sin A ＝a c sin C ＝26－2×6－24＝12.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°或150°. 又b ＞a ，∴B ＞A ，∴角A 为锐角， ∴A ＝30°.∴B ＝180°－(A ＋C )＝135°. 解法二：cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2. ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°.∴B ＝180°－(A ＋C )＝135°.【例题2】 解：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44°.cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10≈0.807 1，∴C ≈36°.∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°. 【例题3】 解法一：(利用正弦定理) 由正弦定理，可得sin C ＝c sin B b ＝32.∵0°＜C ＜180°，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，则有A ＝180°－(B ＋C )＝90°， 于是a ＝b sin Asin B＝6；当C ＝120°时，则有A ＝180°－(B ＋C )＝30°， 于是a ＝b sin A sin B ＝3.∴a ＝6或3.解法二：(利用余弦定理)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 则32＝a 2＋(33)2－2a ·33·cos 30°， 即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝6或3.【例题4】 解法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，将原式化为R 2sin 2B sin 2C ＝R 2sin B sin C cos B cos C . ∵sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ， ∴cos B cos C －sin B sin C ＝0，即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°.∴△ABC 为直角三角形． 解法二：将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理，得 b 2＋c 2－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ，即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2.整理得b 2＋c 2＝a 2. 故△ABC 为直角三角形．【例题5】 正解：∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴c ＜a ＋b ， ∴t ＜1＋2＝3.又△ABC 是钝角三角形，且C 是最大角， ∴90°＜C ＜180°.∴cos C ＜0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝5－t 24＜0，∴t 2＞5.又t ＞0，∴t ＞ 5. ∴t 的取值范围是(5，3)．1已知△ABC 满足B ＝60°，AB ＝3，AC ，则BC 的长等于( ) A ．2B ．1C ．1或2D ．无解2在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形3在△ABC 中，若a ＝b ＝1，c ，则C ＝__________. 4(2012·北京昌平高三一模)在△ABC 中，1cos 22A ＝cos 2A －cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .答案：1．C 2.B 3.120° 4．解：(1)由已知得，12(2cos 2A －1)＝cos 2A －cos A ， ∴cos A ＝12. 又0＜A ＜π，∴A ＝3π. (2)由sin sin b c B C =，可得sin 2sin B bC c==，∴b ＝2c .cos A ＝222222491242b c a c c bc c +-+-==.解得c b ＝S △ABC ＝12bc sin A ＝12⨯=。

课时作业 2 余弦定理[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则cos B ＝( ) A ．－18 B.18C ．－916 D.916解析：由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋36－252×4×6＝916.答案：D2．在△ABC 中，c 2－a 2－b 2＝3ab ，则角C 为( ) A ．30° B．60°C ．150° D．45°或135°解析：由已知得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32.因为0°<C <180°，所以C ＝150°.答案：C3．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 解析：在△ABC 中，∵A ＝60°，a 2＝bc ，∴由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， ∴bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，∴b ＝c ，结合A ＝60°，得△ABC 一定是等边三角形．故选D. 答案：D4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．－5解析：cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17，∴cos〈AB →，BC →〉＝－17，∴AB →·BC →＝5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－5. 答案：D5．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：由余弦定理的推论，得b cos C ＋c cos B ＝b ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，因为A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，所以得49＝25＋AC 2＋5AC ， 即AC 2＋5AC －24＝0， 解得AC ＝3或－8(舍去)． 所以AC ＝3.所以sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：357．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ：B ：C ＝1：2：3，则a ：b ：c ＝1：2：3. 其中正确的序号为________．解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ：b ：c ＝1：3：2，错误． 答案：①8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由余弦定理易得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32，所以C ＝30°，B ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理得ADsin B ＝AB sin∠ADB ，所以AD 12＝222， 所以AD ＝ 2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解析：由余弦定理的推论及已知，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB ·cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.10．已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足sin 2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值．(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求△ABC 的周长． 解析：(1)△ABC 是锐角三角形，sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cosB ＋cos π3sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos B －cos π3sin B＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3(2)由AB →·AC →＝12，得bc cos A ＝12 ①， 由(1)知A ＝π3，所以bc ＝24 ②，由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将a ＝27及①代入可得c 2＋b 2＝52 ③， ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10，△ABC 的周长是10＋27.[能力提升](20分钟，40分)11．已知在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则这个三角形的最大角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C化简已知的等式得，A ：b ：c ＝3：5：7，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，k ＞0， 根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 230k 2＝－12. ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝120°. ∴这个三角形的最大角为120°.故选D. 答案：D12．在△ABC 中，已知(b ＋c )：(a ＋c )：(a ＋b )＝4：5：6，则△ABC 的最大内角为________． 解析：由题可设，b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k ，所以角A 最大，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又因为0°<A <180°，所以A ＝120°. 答案：120°13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．解析：已知a －b ＝4，则a >b 且a ＝b ＋4，又a ＋c ＝2b ，则b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝c ＋4，则b >c ，从而知a >b >c ，所以a 为最大边，故A ＝120°，b ＝a －4，c ＝2b －a ＝a －8.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(a －4)2＋(a －8)2＋(a －4)(a －8)，即a 2－18a ＋56＝0，解得a ＝4或a ＝14.又b ＝a －4>0，所以a ＝14，即此三角形的最大边长为14. 14．在△ABC 中，已知sin(A ＋B )＝sin B ＋sin(A －B )． (1)求角A ；(2)若|BC →|＝7，AB →·AC →＝20，求|AB →＋AC →|.解析：(1)原式可化为sin B ＝sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B . 因为B ∈(0，π)，所以sin B >0，所以cos A ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|·cos A . 因为|BC →|＝7，AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝20， 所以|AB →|2＋|AC →|2＝89.因为|AB →＋AC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →＝129，所以|AB →＋AC →|＝129.。

课时作业2 余弦定理时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝4，C ＝30°，则c 2等于( ) A ．32－16 3 B ．32＋16 3 C ．16D ．48解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋42－2× 4×4×32＝32－16 3.答案：A2．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝－3ab ，则角C ＝( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150°D ．30°解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32. ∵0°<C <180°，∴C ＝150°. 答案：C3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12解析：∵c <b <a ，∴最小角为角C .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6，故选B. 答案：B4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，故选B. 答案：B5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·AC →等于( ) A.152 B ．－152 C.1532D ．15解析：∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝5×3×(－12)＝－152，故选B.答案：B6．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝1:2:3，其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0， ∴A 为钝角，正确； ②∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， ∴A ＝120°，错误； ③∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，∴C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误； ④∵A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， ∴a :b :c ＝1:3:2，错误．故选A. 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝________.解析：由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，知C 是钝角． ∴由sin C ＝32得C ＝120°.答案：120°8．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则顶角的余弦值为________．解析：设顶角为A ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78.答案：789．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C ， 又∵0<C <π2，∴cos C ∈(0,1)．∴c 2∈(1,5)． ∴c ∈(1，5)． 答案：(1，5) 三、解答题(共计40分)10．(10分)在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b . 解：由正弦定理得 c a ＝sin C sin A ＝sin2Asin A ＝2cos A ， ∴c a ＝32.又a ＋c ＝10，∴a ＝4，c ＝6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋2012b ＝34，∴b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时，∵a ＝4，∴A ＝B . 又C ＝2A ，且A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π4，与已知cos A ＝34矛盾，不合题意，舍去． 当b ＝5时，满足题意，∴b ＝5.11．(15分)(2012·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解： (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.12．(15分)在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 的值是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．解：设三角形的另一边是c ，方程2x 2－3x －2＝0的根是x ＝－12或x ＝2.∵－1＜cos C＜1，∴cos C＝－12.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－2ab(－12)＝(a＋b)2－ab＝100－ab＝100－a·(10－a)＝100＋a2－10a＝75＋(a－5)2.要使三角形的周长最小，只要c最小，当a＝5时，c2最小，∴c最小，c的最小值是75＝53，∴三角形周长的最小值是10＋5 3.。

正弦定理、余弦定理（一）教学目标：进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性.教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换.教学难点：1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知△ABC ，BD 为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝AD ∶DC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，BC sin ∠BDC ＝DCsin ∠DBC，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，即AB AD ＝sin ∠ADB sin ∠ABD在△BCD 内，利用正弦定理得：BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC ，即BC DC ＝sin ∠BDC sin ∠DBC. ∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ，∴sin ABD ＝sin DBC .∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°，∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC∴AB AD ＝sin ∠ADB sin ∠ABD ＝sin ∠BDC sin ∠DBC ＝BC DC ，∴AB BC ＝AD DC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.［例2］在△ABC 中，求证：a 2sin2B ＋b 2sin2A ＝2ab sin C分析：此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B ＝2sin B ·cos B 等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.证明一：（化为三角函数）a 2sin2B ＋b 2sin2A＝（2R sin A ）2·2sin B ·cos B ＋（2R sin B ）2·2sin A ·cos A＝8R 2sin A ·sin B （sin A cos B ＋cos A sin B ）＝8R 2sin A sin B sin C＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C所以原式得证.证明二：（化为边的式子）左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A ·cos A＝a 2·2b k ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a k ·b 2＋c 2－a 22bc＝ab kc（a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2） ＝ab kc ·2c 2＝2ab ·c k ＝2ab sin C 评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A ＝2sin A ·cos A ，正弦两角和公式sin （A ＋B ）＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.［例3］已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足（sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A sin B求证：A ＋B ＝120°分析：要证A ＋B ＝120°，由于A ＋B ＋C ＝180°，只要证明C ＝60°，而已知条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应角唯一，故可证明cos C ＝12 ，而由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，所以应考虑把已知的角的关系式转化为边的关系.证明：由（sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A ·sin B可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A ·sin B又∵sin A ＝a k ，sin B ＝b k，sin C ＝c k， ∴a 2k 2 ＋b 2k 2 －c 2k 2 ＝a k ·b k整理得a 2＋b 2－c 2＝ab∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12又0°＜C ＜180°，∴C ＝60°∴A ＋B ＝180°－C ＝120° 评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，要求学生熟练掌握.［例4］在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，试判断三角形的形状.分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.解法一：利用余弦定理将角化为边.∵b cos A ＝a cos B∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2∴a 2＝b 2 ∴a ＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵b cos A ＝a cos B又b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A∴2R sin B cos A ＝2R sin A cos B∴sin A cos B －cos A sin B ＝0∴sin （A －B ）＝0∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π∴A －B ＝0，即A ＝B故此三角形是等腰三角形.评述：（1）在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sin B ·cos A ＝sin A cos B 两端同除以sin A sin B 得cot A ＝cot B ，再由0＜A ，B ＜π，而得A ＝B .为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0（2）cos2A a 2 －cos2B b 2 ＝1a 2 －1b 2 . 证明：（1）左边＝（a 2－b 2－c 2）sin A cos A ＋（a 2－b 2＋c 2）sin B cos B＝（a 2－b 2－c 2）·a k ·2bc b 2＋c 2－a 2 ＋（a 2－b 2＋c 2）·b k ·2ac a 2＋c 2－b 2＝2abc k [－（b 2＋c 2－a 2）b 2＋c 2－a 2 ＋a 2＋c 2－b 2a 2＋c 2－b 2] ＝2abc k（－1＋1）＝0＝右边 故原命题得证.（2）左边＝1－2sin 2A a 2 －1－2sin 2B b 2 ＝（1a 2 －1b 2 ）－2sin 2A k 2 sin 2A ＋2sin 2B k 2 sin 2B＝1a 2 －1b 2 －2k 2 ＋2k 2 ＝1a 2 －1b 2 ＝右边 故原命题得证.评述：（1）在（1）题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系；（2）（2）题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A ，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，在转化为边的关系时较为简便.2.在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 2A 2，试判断此三角形的类型. 解：∵sin B ·sin C ＝cos 2A 2 ，∴sin B ·sin C ＝1＋cos A 2∴2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］将cos （B ＋C ）＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1∴cos（B－C）＝1又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π∴B－C＝0，∴B＝C故此三角形是等腰三角形.评述：（1）此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos A＝2cos2A2－1的逆用，要求学生注意；（2）由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形.Ⅳ.课时小结通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.Ⅴ.课后作业补充作业：1.在△ABC中，已知sin Asin C＝sin（A－B）sin（B－C），求证：2b2＝a2＋c2.证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C2·1－cos2B2＝1－cos2A2＋1－cos2B2∴2sin2B＝sin2A＋sin2C由正弦定理可得2b2＝a2＋c2.2.在△ABC中，A＝30°，cos B＝2sin B－ 3 sin C.（1）求证：△ABC为等腰三角形；（提示B＝C＝75°）（2）设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值. 答案：（1）略（2）1∶ 3。

1.1.2 余弦定理(一)1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是 ．(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． (2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (1)(2)2．如图所示，在直角坐标系中，若A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )．利用两点间距离公式表示出|BC |，化简后会得出怎样的结论？解 a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A －0)2 ＝b 2(sin 2A ＋cos 2A )－2bc cos A ＋c 2 ＝b 2＋c 2－2bc cos A . 得出a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 2．余弦定理的变形 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.要点一 已知两边及一角解三角形例1 已知△ABC ，根据下列条件解三角形： (1)b ＝3，c ＝33，B ＝30°； (2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.解 (1)方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，由于b ＝3，∴A ＝B ＝30°，∴C ＝120°. 当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，由b <c ，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形． ∴a ＝b ＝3.(2)由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴2＝3＋c 2－23·22c . 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22， 当c ＝6＋22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝2＋(6＋22)2－32×2×6＋22＝12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋(6－22)2－32×2×6－22＝－12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75°或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.要点二 已知三边或三边关系解三角形例2 (1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数． (2)已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角． 解 (1)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°.(2)∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．由余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ， ∴cos C ＝－12，∵0°＜C ＜180°， ∴C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形． 跟踪演练2 在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解 由余弦定理和条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理，得 x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2·AC2·AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7.所以所求AC 边上的中线长为7. 要点三 三角形形状的判断例3 在△ABC 中，已知cos 2 A 2＝b ＋c2c ，判断△ABC 的形状．解 方法一 在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c 2c，得 1＋cos A 2＝b ＋c2c ， ∴cos A ＝b c.根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc .∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．方法二 在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，由正弦定理，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 由cos 2 A 2＝b ＋c 2c 知，cos A ＝bc .∴cos A ＝sin Bsin C ，即sin B ＝sin C cos A .∵B ＝π－(A ＋C )， ∴sin(A ＋C )＝sin C cos A ， ∴sin A cos C ＝0.∵A ，C 都是△ABC 的内角， ∴A ≠0，A ≠π.∴cos C ＝0，∴C ＝π2.∴△ABC 是直角三角形．规律方法 (1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段． (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪演练3 在△ABC 中，若(a －c cos B )sin B ＝(b －c cos A )sin A ，判断△ABC 的形状． 解 方法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a －c ·a 2＋c 2－b 22ac )b ＝(b －c ·b 2＋c 2－a 22bc )a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理，原等式可化为(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A ，∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4 答案 B解析 设另一边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x ＝213.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 答案 D解析 设顶角为C ，∵l ＝5c ，∴a ＝b ＝2c ， 由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为 ． 答案 4解析 设最大边为x 1，最小边为x 2， 则x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11， ∴第三边长＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(1＋cos A )＝4.5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状． 解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0)．c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而△ABC 为钝角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形．2．当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．3．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.一、基础达标1．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析 设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．4．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 答案 D 解析由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得(a 2＋c 2－b 2)2ac ＝32cos B sin B ，即cos B ＝32·cos Bsin B，∴sin B ＝32，又B 为△ABC 的内角，所以B 为π3或2π3. 5．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝ . 答案 120°解析 a 2－c 2＝b 2＋bc ，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，cos A ＝－12，又0°<A <180°，则A ＝120°.6．三角形三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为 ． 答案 120° 解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ， 则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，又0°<θ<180°，∴θ＝120°.7．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4，c ＝b －4.∴a >b >c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°， 即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×(－12)，即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.8．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；解 (1)∵cos C ＝cos ＝－cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10. 二、能力提升9．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B 解析∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．10．如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( )A ．50 mB ．45 m C. 507 m D ．47 m 答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°， 因此由余弦定理有：OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)．11．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 ． 答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 12．如图，已知圆内接四边形ABCD 的各边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解 连接AC .∵B ＋D ＝180°， ∴sin B ＝sin D ，cos D ＝－cos B . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12AB ·BC sin B ＋12AD ·DC sin D ＝14sin B . 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437.∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.三、探究与创新13．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(c 2＋a 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.。

1．1.2 余弦定理(一) 课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3C. 5 D ．5答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322³7³43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ²2a ＝34. 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B 解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°答案 B 解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2³2³4³cos 60°＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12， ∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22²AB ²AC ＝92＋82－722³9³8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2²AC 2²AB cos A ＝42＋92－2³4³9³23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 能力提升13．(2010²潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22³BC ³AC ＝22， ∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ²sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得a ²b 2＋c 2－a 22bc ＋b ²a 2＋c 2－b 22ac ＋c ²c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．。

1.1.2 余弦定理双基达标 (限时20分钟)1．在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( )． A.39 B ．8 3 C ．10 2 D ．7 3解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝92＋(23)2－2×9×23cos 150°＝147＝(73)2，∴c ＝7 3. 答案 D2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )．A.π3B.π6C.π4D.π12 解析 ∵c <b <a ，∴最小角为角C .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32. ∴C ＝π6，故选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC( )．A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析 ∵c 2－a 2－b 22ab>0，∴c 2－a 2－b 2>0. ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．故选C.答案 C4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac .∴原式为0.答案 05．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则A ＝________.解析 ∵(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，∴a 2－c 2＝b 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. ∵0°<A <180°，∴A ＝120°.答案 120°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．解 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bc ∴bc ＝8，又∵b ＋c ＝6，b <c ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8， 得b ＝2，c ＝4或b ＝4，c ＝2(舍)．∴b ＝2，c ＝4.综合提高(限时25分钟) 7．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c .∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°.故△ABC 为等边三角形．答案 B 8．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·A C →等于( )．A.152 B ．－152 C.1532D ．15 解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝5×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－152，故选B. 答案 B9．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C .又∵0<C <π2，∴cos C ∈(0,1)． ∴c 2∈(1,5)．∴c ∈(1，5)．答案 (1，5)10．已知等腰△ABC 的底边BC ＝2，腰AB ＝4，则腰上的中线长为________．解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝42＋42－222×4×4＝78. 设其中一腰中线长为x ，则x 满足：x 2＝42＋22－2×4×2cos A ＝20－16×78＝6.∴x ＝ 6. 答案 6 11．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714. ∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A .∵B ＝π3，∴sin A ＝2114.又∵b ＝7a >a ，则B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 12．(创新拓展)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12. 又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，即⎝⎛⎭⎫322＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12， 又0<B ，C <π3，∴B ＝C ， ∴△ABC 为等腰的钝角三角形．。

双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin Aa ＝10×1252＝22.又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C .则cos C ＝(2a )2＋(3a )2－(4a )22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知 a ＝b sin Asin B ，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A . 答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形．解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°. ∴BC sin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B ＝3×2232＝ 2.答案28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5.答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2. 答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝53.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22.由正弦定理，得sin A sin C ＝22. 即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3. (3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．。

人教版高中数学同步练习1．1.2 余弦定理(一) 课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3C. 5 D ．5答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120°答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12， ∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 能力提升13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22， ∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．。

1.1.2 余弦定理(一)教学目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：让学生通过观看《1.1.2余弦定理（一）》课件“课题引入—实际情景”部分，与大家分享自己对余弦定理的了解。

通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价。

二、自主学习1．a 2＝__________________________________________，b 2＝__________________________________________，c 2＝__________________________________________.2．cos____＝b 2＋c 2－a 22bc； cos____＝c 2＋a 2－b 22ca； cos____＝a 2＋b 2－c 22ab. 提示：1．b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C2．A B C三、合作探究探究点1：余弦定理的推导问题1 根据勾股定理，若△ABC 中，∠C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？提示：当a ＝b ＝c 时，∠C ＝60°，a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＋c 2－2c ·c cos60°＝c 2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .问题2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？提示：ab cos C ＝|CB →||CA →|cos CB →，CA →＝CB →·CA →.∴a 2＋b 2－2ab cos C＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →＝(CB →－CA →)2＝AB →2＝c 2.猜想得证．例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求解c .解 如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，由AB →＝CB →－CA →，知c ＝a －b ，则|c |2＝c ·c＝(a －b )·(a －b )＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C .所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .名师点评：所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．探究点2： 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题问题1 观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？提示：每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．问题2 观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？提示：每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．例2 在△ABC 中，已知b ＝60cm ，c ＝34cm ，A ＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm)解 根据余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676.78，所以a ≈41(cm)．由正弦定理得，sin C ＝c sin A a ≈34×sin41°41≈0.5440. 因为c 不是三角形中最大的边，所以C 为锐角，利用计算器可得C ≈33°，所以B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(41°＋33°)＝106°.名师点评：已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．例3 在△ABC 中，已知a ＝134.6cm ，b ＝87.8cm ，c ＝161.7cm ，解三角形．(角度精确到1′)解 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝87.82＋161.72－134.622×87.8×161.7≈0.5543，∴A ≈56°20′.∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝134.62＋161.72－87.822×134.6×161.7≈0.8398，∴B ≈32°53′.∴C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.名师点评：已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．四、当堂检测1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．42．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π123．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.78提示：1．B 2.B 3.D五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．六、课例点评本节课教学过程以“解三角形”为主题，以“提出问题—确定方案—探究解决”为主线，从解三角形完备性出发，提出问题，引发学生思考，引导和组织学生积极探究，学生完整经历从解三角形中自然发现余弦定理的过程，并对余弦定理的内涵和外延做了一定的研究。

数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( )A ．8B ．217C ．6 2D ．219解析：根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.答案：D2．在△ABD 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°解析：由题意知b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12. ∵0°<A <180°，∴A ＝120°.答案：C3．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A 、B 、C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．(0，π3] B ．[π3，π) C ．(0，π6] D ．[π6，π) 解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B <π，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 答案：A4．已知△ABC 的三边满足(a ＋b ＋c )·(a ＋b －c )＝3ab ，则C 等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：由条件将a ＋b 看作一个整体，利用平方差公式得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，化简整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. 且0°<C <180°，得C ＝60°.答案：D二、填空题5．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为______________．解析：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac又∵b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－ac .即(a －c )2＝0.∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形6．(2012·龙山高二检测)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34，则BC ·CA ＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理得|AB |2＝|CA |2＋|CB |2－2|CA |·|CB |cos C ，即2＝|CA |2＋1－2|CA |×34. ∴|CA |2－32|CA |－1＝0.∴|CA |＝2. ∴BC ·CA ＝|BC ||CA |cos(180°－C )＝－|BC ||CA |cos C＝－1×2×34＝－32. 答案：－32三、解答题7．(2011·山东高考)在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入c ＝a cos B 得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2.∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a ·c a.∴b ＝c . ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．10．(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sinA .故sin B ＝2sin A ，所以b a ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c. 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22. 所以B ＝45°.。