江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试

市2011届高三第一次模拟考试21. A. 选修4­1：几何证明选讲 证明：(方法1)连结BE .因为AB 是半圆O 的直径，E 为圆周上一点，所以∠AEB ＝90°， 即BE ⊥AD . 又AD ⊥l ， 所以BE ∥l . 所以∠DCE ＝∠CEB .(5分) 因为直线l 是圆O 的切线，所以∠DCE ＝∠CBE ， 所以∠CBE ＝∠CEB ，所以CE ＝CB .(10分) (方法2)连结AC 、BE ，在DC 延长线上取一点F . 因为AB 是半圆O 的直径，C 为圆周上一点， 所以∠ACB ＝90°，即∠BCF ＋∠ACD ＝90°. 又AD ⊥l ，所以∠DAC ＋∠ACD ＝90°. 所以∠BCF ＝∠DAC .(5分) 又直线l 是圆O 的切线， 所以∠CEB ＝∠BCF . 又∠DAC ＝∠CBE ，所以∠CBE ＝∠CEB .所以CE ＝CB .(10分)B. 选修4­2：矩阵与变换 解：(方法1)在直线l ：x ＋y ＋2＝0上分别取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ， 所以A ′的坐标为(－2，－2b )； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8， 所以B ′的坐标为(－2a ，－8)．(6分) 由题意A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－－2b －4＝0，－2a －－8－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.(10分)(方法2)设直线l ：x ＋y ＋2＝0上任意点(x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下对应于点(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋4y .解得x ＝－4x ′＋ay ′ab －4，y ＝bx ′－y ′ab －4.(6分)因此－4x ′＋ay ′ab －4＋bx ′－y ′ab －4＋2＝0， 即(b －4)x ′＋(a －1)y ′＋(2ab －8)＝0. 因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0.所以b －41＝a －1－1＝2ab －8－4.解得a ＝2，b ＝3.(10分) C. 选修4­4：坐标系与参数方程解：分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25， 圆心C (5,0)．直线l ：3x －4y －30＝0.(6分) 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5＝3. 所以AB ＝225－d 2＝8.(10分)D. 选修4­5：不等式选讲解：当x ＞2时，原不等式同解于2x －4＜4－x ，解得x ＜83.所以2＜x ＜83；(4分) 当0≤x ≤2时，原不等式同解于4－2x＜4－x ，解得x ＞0，所以0＜x ≤2；(6分)当x ＜0时，原不等式同解于4－2x ＜4＋x ，解得x ＞0，所以x ∈∅.(8分) 综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜83.(10分)22. (1) 证明：以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系C —xyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M (0,0，62)．所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝(0，－3，62)．(2分)因为A 1B →·AM →＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×(62)＝0，所以A 1B ⊥AM .(4分)(2) 解：因为ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面ACC 1，即BC ⊥平面AMC .所以CB →是平面AMC 的一个法向量，CB →＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA →＝(－1，3，0)，BM →＝(－1,0，62)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，－x ＋62z ＝0.令z ＝2，得x ＝6，y ＝2，所以n ＝(6，2，2)．(8分)因为|CB →|＝1，|n|＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n|＝22.因此二面角B —AM —C 的大小为45°.(10分)23. 证明：由已知，得S n ＝3n－1，S n ＋1S n ≤3n ＋1n 等价于3n ＋1－13n －1≤3n ＋1n ， 即3n≥2n ＋1.(*)(2分)(方法1)用数学归纳法证明．① 当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立；(4分)② 假设当n ＝k 时，(*)成立，即3k≥2k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，3k ＋1＝3×3k≥3(2k ＋1)＝6k ＋3≥2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，(*)成立．(8分)综合①②，得3n≥2n ＋1成立．所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n.(10分)(方法2)当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立；(4分)当n ≥2时，3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ×2＋C 2n ×22＋…＋C n n ×2n＝1＋2n ＋…＞1＋2n .所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n.(10分)21. A. 选修41：几何证明选讲 解： 连OC .∵ ∠ABC ＝60°，∠BAC ＝40°， ∴ ∠ACB ＝80°.(4分) ∵ OE ⊥AB ，∴ E 为AB 的中点，∴ BE 和BC 的度数均为80°. ∴ ∠EOC ＝80°＋80°＝160°.(8分)∴ ∠OEC ＝10°.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解： 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .(5分) ∵ P ′是曲线C 1上的点，∴ C 2的方程(x －2y )2＋2y 2＝1.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：将曲线C 1化成普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，圆心是(1,0)，直线C 2化成普通方程是y －2＝0，则圆心到直线的距离为2.(5分)∴ 曲线C 1上的点到直线C 2的距离的最小值为1，该点为(1,1)．(10分)D. 选修45：不等式选讲 证明：由柯西不等式，得(C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )2≤(1＋1＋…＋1)(C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn )(5分)＝n [(1＋1)n －1]＝n (2n－1)．∴ C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn≤n 2n－1.(10分)22. 证明：①当n ＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝1×2×3×44＝6＝左边，∴ 等式成立；(2分)② 设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立， 即1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＝k k ＋1k ＋2k ＋34.(4分)则当n ＝k ＋1时， 左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k＋1)×(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝k k ＋1k ＋2k ＋34＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k 4＋1)＝k ＋1k ＋2k ＋3k ＋44＝k ＋1k ＋1＋1k ＋1＋2k ＋1＋34.∴ n ＝k ＋1时，等式成立．(8分) 由①、②可知，原等式对于任意n ∈N *成立．(10分) 23. 解：(1)第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，其概率为 P ＝2＋4＝4.(3分) (2) 旅客候车时间的分布列为 (6分)(3) 候车时间的数学期望为10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝5＋152＋258＋354＋458＝30.(9分)答： 这旅客候车时间的数学期望是30分钟．(10分)候车时间(分) 10 30 50 70 90 概率12 14 14×14 14×12 14×1421. 解：(1) 设P (x ，y )，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x .(4分)(2) l ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4y －4＝0.(6分) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1,2＝2±22；|y 2－y 1|＝4 2.(8分) ∴ △AOB 的面积S ＝12×OF ×|y 2－y 1|＝12×1×42＝2 2.(10分) 22. 解：(1) 记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件A ，依题意知 P (A )＝C 15C 23＋C 25C 13C 38＝4556.(3分) ∴ 摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为4556.(4分) (2) P (X ＝0)＝C 05C 33C 38＝156， P (X ＝1)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝2)＝C 25C 13C 38＝3056，P (X ＝3)＝C 35C 03C 38＝1056.则X 的分布列为X 0 1 2 3 P 156 **** **** 1056∴ X 的数学期望E (X )＝0×156＋1×1556＋2×3056＋3×1056＝158.(10分)23. 解：(1) 以D 为原点，建立空间直角坐标系D —xyz 如图所示，则A (3,0,0)，C 1(0,3,3)，AC 1→＝(－3,3,3)， D 1(0,0,3)，E (3,0,2)，D 1E →＝(3,0，－1)．(2分)∴ cos 〈AC 1→，D 1E →〉＝AC 1→·D 1E →|AC 1→||D 1E →| ＝－9－333×10 ＝－23015.(4分)则两条异面直线AC 1与D 1E 所成角的余弦值为23015.(5分) (2) B (3,3,0)，BE →＝(0，－3,2)，D 1E →＝(3,0，－1)．设平面BED 1F 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －z ＝0，－3y ＋2z ＝0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝3x . 则n ＝(x,2x,3x )． 取x ＝1，得n ＝(1,2,3)．(8分) 设直线AC 1与平面BED 1F 所成角为α，则sin α＝|cos 〈AC 1→，n 〉| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·n |AC 1→||n| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3＋6＋933×14＝24221. ∴ 直线AC 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为24221.(10分) 24. 解：(1) f (1)＜g (1)，f (2)＜g (2)，f (3)＞g (3)，f (4)＞g (4)．(2分) (2) 猜想：当n ≥3，n ∈N *时，有nn ＋1＞(n ＋1)n.(3分)证明：① 当n ＝3时，猜想成立(已验证)；② 假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即k k ＋1＞(k ＋1)k(*)． 下面证明当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由(*)得k k＋1k ＋1k＞1.∵ (k＋1)2＞k(k＋2)，∴k＋1k＋2＞kk＋1.(5分)∴k＋1k＋2k＋2k＋1＝(k＋1k＋2)k·k＋12k＋2(7分)＞(kk＋1)k·k＝k k＋1k＋1k＞1.(9分)则(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1.由①②知，猜想对一切n≥3，n∈N*都成立．(10分)市2010年秋学期高三期末考试试卷1. 解：设OM →＝λOC →＝(0，λ，2λ)．(2分)∴ MA →＝MO →＋OA →＝(1，－λ，2－2λ)，(3分) MB →＝MO →＋OB →＝(2,2－λ，－2λ)，(4分)∴ MA →·MB →＝2－λ(2－λ)－2λ(2－2λ) ＝5λ2－6λ＋2(6分)＝5(λ－35)2＋15，(8分) ∴ 当λ＝35时，MA →·MB →最小，此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35，65.(10分)2. 解：(1) X 的分布列为： X 0 1 2 P (X )611 922 122(2) E (X )＝0×611＋1×922＋2×122＝12，(8分)V (X )＝12×922＋22×122－14＝1544.(10分)3. 解：(1) ∵ T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x n －r (x )r，(1分)x 的指数为－n －r 3＋r2＝0，(2分)∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x ＋x n 的展开式中的常数项为第五项， ∴ r ＝4.(3分)解得n ＝10.(4分)(2) ∵ T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 10－r (x )r，其系数为C r 10·210－r.(5分) 设第k ＋1项的系数最大， 则⎩⎪⎨⎪⎧C k 10·210－k ≥C k ＋110·29－k ，C k 10·210－k ≥C k －110·211－k，(6分) 化简得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋1≥10－k ，11－k ≥2k ， 即83≤k ≤113，∴ k ＝3.(8分) 即第四项系数最大，则T 4＝C 310·27·x －56＝15 360x －56.(10分) 4. 解：当n ＝1时，51＋2×30＋1＝8，∴ m ≤8，(2分)下证5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被8整除．(3分)① 当n ＝1时已证；(4分)② 假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即5k ＋2×3k －1＋1能被8整除．(5分) 则当n ＝k ＋1时， 5k ＋1＋2×3k ＋1＝5·5k ＋6·3k －1＋1(6分)＝(5k ＋2×3k －1＋1)＋4(5k ＋3k －1)，(7分)∵ 5k ＋2×3k －1＋1能被8整除，而5k＋3k －1为偶数，∴ 4(5k ＋3k －1)也能被8整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．(8分)由①②得m 的最大值为8.(10分)市教育学会学生学业水平监测21. A. 选修41：几何证明选讲 解：∵ PA ＝10－2OA ＝4，PC ·PD ＝PA ·PB ＝40， ∴ PC ＝5，CD ＝PD －PC ＝3.(4分) ∴ △OCD 为正三角形．∴ ∠COD ＝60°.(8分) ∴ ∠CBD ＝30°.(10分) B. 选修42：矩阵与变换 解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 在M 的变换下得到⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋2y ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋ay ，y 0＝bx ＋2y .(2分)由题意，得(x ＋ay )＋2(bx ＋2y )＝1， 即(1＋2b )x ＋(a ＋4)y ＝1. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2b ＝1，a ＋4＝2.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0.(5分)∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.(7分)∴ M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 2202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 12.(10分) C. 选修44：坐标系与参数方程解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以曲线C 是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．(3分) 直线l 的普通方程为x －y －2＝0.(6分) 所以d min ＝|0－2－2|2－2＝22－2.(10分) D. 选修45：不等式选讲 证明：∵ A －B ＝(2x 2＋y 2＋1)－(2xy －2x ) ＝(x 2－2xy ＋y 2)＋(x 2＋2x ＋1)(4分) ＝(x －y )2＋(x ＋1)2≥0，(6分) ∴ A ≥B .(8分)当且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立．(10分)22. 解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＋12＝34，p 1＋p 2＝12，解得p 1＝p 2＝14.(2分) (1) 设事件A 为学生甲不能通过A 高校自主招生考试，则P (A )＝14＋34×14＋34×34×14＝3764. 答：学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率为3764.(4分) (2) 由题意知：ξ＝0,1,2,3. P (ξ＝0)＝14＋12×14＋12×12×14＋12×12×12＝916， P (ξ＝2)＝14×14×14＋14×14×12＋14×12×14＋12×14×14＝764，P (ξ＝3)＝14×14×14＝164， ∵ P(ξ＝i )＝1， ∴ P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3) ＝516.(7分) ξ 0 1 2 3 P 916 516 764 164ξ的数学期望Eξ＝0×16＋1×16＋2×764＋3×164＝3764.(10分)23. 解：如图，以B 为原点，BA 、BC 、BP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝a ，BP ＝b ，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0，a,0)，D (2,2,0)，P (0,0，b )．∵ PD →＝(2,2，－b )，CD →＝(2,2－a,0)，CD ⊥PD ，∴ CD →·PD →＝0.∴ 4＋4－2a ＝0，a ＝4. 又PA →＝(2,0，－b )，CD →＝(2，－2,0)， 异面直线PA 和CD 所成角等于60°，∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·CD →|PA →||CD →|＝12，即4b 2＋4·22＝12， 解得b ＝2.(2分)(1) PC →＝(0,4，－2)，AD →＝(0,2,0)，PA →＝(2,0，－2)．设平面PAD 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·PA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，x 1－z 1＝0.(4分)取n 1＝(1,0,1)，∵ sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC →·n 1|PC →||n 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－220·2＝1010， ∴ 直线PC 和平面PAD 所成角的正弦值为1010.(6分) (2) 假设存在．设PE →＝λPA →，且E (x ，y ，z )，则(x ，y ，z －2)＝λ(2,0，－2)，E (2λ，0,2－2λ)．设平面DEB 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝0，n 2·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λx 2＝λ－1z 2，x 2＝－y 2.(8分)取n 2＝(λ－1,1－λ，λ)，又平面ABE 的法向量n 3＝(0,1,0)，由cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 2·n 3|n 2||n 3|＝66，得|1－λ|21－λ2＋λ2＝66， 解得λ＝23或λ＝2(不合题意)．故存在这样的E 点，E 为棱PA 上的靠近A 的三等分点．(10分)市2010～2011学年度高三年级第一次调研考试21. A. 选修41：几何证明选讲 证明：连结OF ，因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD ＝90°， 所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°. 因为OC ＝OF ， 所以∠OCF ＝∠OFC . 又CO ⊥AB 于O ， 所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°， 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ， 所以DF ＝DE .(6分) 又DF 是⊙O 的切线，所以DF 2＝DB ·DA ， 所以DE 2＝DB ·DA .(10分) B. 选修42：矩阵与变换 解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.(3分)由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.(5分) 将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量；(8分)同理，当λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 综上所述，该矩阵的特征值为λ1＝1，λ2＝3；对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1与⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分) C. 选修44：坐标系与参数方程 解：(1) 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(5分)(2) 令y ＝0，得点M 的坐标为(2,0)．(7分)又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，则|MC |＝5， 所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.(10分) D. 选修45：不等式选讲 证明：因为1＋m ＞0，所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 只要证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，(5分)即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0，显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m.(10分) 22. 解：(1) 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 011＝(1－2)2 011＋(1－1)2 0 11＝－1.(4分)(2) 因为2C 1m ＋C 1n ＝2m ＋n ＝20，所以n ＝20－2m ，则x 2的系数为22C 2m ＋C 2n ＝4×m m －12＋n n －12 ＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190，(7分)所以当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值为85.(10分) 23. 解：(1) 记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则P (A )＝34·616＝932.(4分)(2) 由题意得，ξ的取值有0,1,2,3， 则P (ξ＝0)＝14， P (ξ＝1)＝932， P (ξ＝2)＝34·1016·5464＝4051 024， P (ξ＝3)＝34·1016·1064＝751 024， 即随机变量ξ的概率分布列为ξ 0 1 2 3 P 14 932 4051 024 751 024所以Eξ＝0×14＋1×932＋2×4051 024＋3×751 024 ＝1 3231 024.(10分)市2010～2011学年度第一学期期末调研测试试题21. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤b d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.(2分)再由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，c ＝1.(4分)所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，(6分) M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.(10分)22. 解：由ρ＝8sin θ1＋cos2θ，得ρcos 2θ＝4sin θ，ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，故所求曲线的直角坐标方程是x 2＝4y ，(8分)故焦点到准线的距离为2.(10分) 23. 解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，所以AB →＝(3，1,0)，CA 1→＝(0，－2,2)， A 1B →＝(3，1，－2)． 因为PC ⊥AB ，所以CP →·AB →＝0，(CA 1→＋A 1P →)·AB →＝0，(CA 1→＋λA 1B →)·AB →＝0，λ＝－CA 1→·AB →A 1B →·AB→＝12.(5分)(2)由(1)知：CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AC 1→＝(0,2,2)，cos 〈CP →，AC 1→〉＝CP →·AC 1→|CP →||AC 1→|＝－3＋22·22＝－28， 所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.(10分) 24. 证明：由x 1＝1，x n ＋1＝1＋x np ＋x n知，x n ＞0(n ∈N *)．(1)当p ＝2时，x n ＋1＝1＋x n2＋x n， ①当n ＝1时，x 1＝1＜2，命题成立； ②假设当n ＝k 时，x k ＜2， 则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝1＋x k 2＋x k ＝2－22＋x k ＜2－22＋2＝2，即n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②，x n ＜2(n ∈N *)．(4分) (2)用数学归纳法证明，x n ＋1＞x n (n ∈N *)．①当n ＝1时，x 2＝1＋x 1p ＋x 1＞1＝x 1，命题成立；②假设当n ＝k 时，x k ＋1＞x k ，∵ x k ＞0，p ＞0，∴ p p ＋x k ＋1＜pp ＋x k ，则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝1＋x k p ＋x k＝2－pp ＋x k＜2－p p ＋x k ＋1＝x k ＋2，即n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②，x n ＋1＞x n (n ∈N *)．(8分) 故不存在正整数M ，使得对于任意正整数n ，都有x M ≥x n .(10分)北四市2011届高三年级期末考试试卷21. A. 选修41：几何证明选讲证明：因为PA 与圆相切于A ，所以DA 2＝DB ·DC .因为D 为PA 中点，所以DP ＝DA ， 所以DP 2＝DB ·DC ， 即PD DC ＝DB PD .(5分) 因为∠BDP ＝∠PDC ， 所以△BDP ∽△PDC ，所以∠DPB ＝∠DCP .(10分) B. 选修42：矩阵与变换 解：矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.(1分)因为λ1＝3方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1.(3分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，(5分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y ，(8分) 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；(2分)ρ＝22(sin θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，(6分)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2， 所以直线l 和⊙C 相交．(10分) D. 选修45：不等式选讲解：因为y 2＝(1－x ＋2·2＋x )2≤[12＋(2)2][1－x ＋2＋x ]＝3×3，(6分) 所以y ≤3.(8分) 当且仅当11－x ＝22＋x时取“＝”号，即当x ＝0时，y max ＝3.(10分) 22. (1) 解：根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为x 2＝y .(4分) (2) 证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，∵ y ＝x 2， ∴ y ′＝2x ， ∴ AN 、BN 的斜率分别为2x 1、2x 2， 故AN 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，BN 的方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，(7分) 即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22，两式相减，得x N ＝x 1＋x 22.又x M ＝x 1＋x 22， ∴ M 、N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴．(10分)23. 解：(1) P (ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 01(1－12)C 02(1－a )2＝12(1－a )2，P (ξ＝1)＝C 11·12C 02(1－a )2＋C 01(1－12)C 12a (1－a )＝12(1－a 2)，P (ξ＝2)＝C 11·12C 12a (1－a )＋C 01(1－12)C 22a 2＝12(2a －a 2)， P (ξ＝3)＝C 11·12C 22a 2＝a 22.所以ξ的分布列为 ξ的数学期望为Eξ＝0×12(1－a )2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12.(5分) (2) P (ξ＝1)－P (ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a )2]＝a (1－a )，P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a－a 2)]＝1－2a 2，P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a ≥0，1－2a 2≥0，1－2a 22≥0和0＜a ＜1，得0＜a ≤12，即a 的取值围是(0，12]．(10分)ξ 0 1 2 3P12(1－a )2 12(1－a 2) 12(2a －a 2) a 22市2011届高三第二次模拟考试21. A. 选修4­1：几何证明选讲 证明：因为CE 为圆的切线， 所以∠DCE ＝∠DAC .(3分) 因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠BCA . 所以∠DCE ＝∠BCA .(6分) 因为梯形ABCD 为圆接四边形， 所以∠EDC ＝∠ABC . 所以△ABC ∽△EDC .(10分) B. 选修4­2：矩阵与变换 解：由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，(4分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.(7分) 因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4， 所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 10－5 14.(10分) C. 选修4­4：坐标系与参数方程解：曲线C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4.曲线D 的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0.(4分) 因为曲线C 、D 有公共点，所以|3m ＋2|5≤2，|3m ＋2|≤10.(8分) 解得－4≤m ≤83，即m 的取值围是[－4，83]．(10分)D. 选修4­5：不等式选讲证明：(方法1)因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2， 所以2a ＋b ≥22ab ＝4.(5分) 所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9.(10分) (方法2)因为a 、b 都是正实数，所以由柯西不等式可知 (1＋2a )(1＋b )＝[12＋(2a )2][12＋(b )2]≥(1＋2ab )2.(7分) 又ab ＝2，所以(1＋2ab )2＝9.所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分) (方法3)因为ab ＝2， 所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋2a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .(5分)因为a 为正实数，所以a ＋1a ≥2a ·1a＝4. 所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分)(方法4)因为a 、b 都是正实数， 所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋a ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＋b 2≥3·3a 2·3·3b 24＝9·3a 2b 24.(8分)又ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分)22. 解：以AC 的中点O 为坐标原点，OB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系O —xyz ，则 A (0，－1,0)，D (0,0,1)， B (3，0,0)，B 1(3，0,1)， C (0,1,0)． 所以AD →＝(0,1,1)，BB 1＝(0,0,1)， B 1C →＝(－3，1，－1)， 所以BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋λB 1C →＝(－3λ，λ，－λ＋1)．(4分)因为向量AD →与BM →的夹角小于45°，所以cos 〈AD →，BM →〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1， 即22＜12×4λ2＋－λ＋12≤1，(8分) 解得0＜λ＜25.所以λ的取值围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25.(10分)23. 解：(1) X的概率分布列为E(X)＝0×116＋2×14＋4×38＋6×14＋8×116＝4.(或E(X)＝8×12＝4)(4分)(2) ①连续3次投篮未中，不同投法为1＋C16＋C26＋(C36－4)＋(C13＋C13)＝44(种)；②只因累计7次投篮未中，不同投法为C13＋1＝4(种)．所以该同学恰好投篮10次，被停止投篮测试的概率为P＝481 024＝364.(10分)锡常镇四市2011届高三调研测试(一)21. A. 选修4­1：几何证明选讲 证明：∵ AT 是圆O 的切线，∠ATP ＝∠ANT ， 又∠TAP ＝∠NAT ，∴ △ATP ∽△ANT ，(3分) ∴ AT AN ＝PTTN ，(4分)同理AS AN ＝PSNS，(6分)两式相乘AT ·AS AN 2＝PT ·PSNT ·NS.(8分)∵ AT ＝AS ，∴ AT 2AN 2＝PT ·PSNT ·NS.(10分)B. 选修4­2：矩阵与变换解：这个变换的逆变换是先作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转45°变换，(2分)其矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －45° －sin －45°sin －45° cos －45°·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1(6分) ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22 －22.(10分)C. 选修4­4：坐标系与参数方程 解：曲线ρ＝12sin θ的直角坐标系方程为x 2＋(y －6)2＝36，(2分)其圆心为(0,6)，半径为6；(4分)曲线ρ＝12cos(θ－π6)的直角坐标系方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36，(6分)其圆心为(33，3)，半径为6.(8分) ∴ AB 的最大值＝33－02＋3－62＋6＋6＝18.(10分)D. 选修4­5：不等式选讲证明：∵ m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n＋n 3－m 3m(2分) ＝m 3－n 3m －nmn＝m －n2m 2＋mn ＋n 2mn，(6分)又m 、n 均为正实数，(8分) ∴ m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2.(10分)22. (1) 证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系．则B (1,0,0)，D 1(0,1,1)，E (0,0，t )，F (1,1,1－t )，其中0≤t ≤1，则BE →＝FD 1→＝(－1,0，t )， 所以BE ∥FD 1，所以B 、E 、D 1、F 四点共面．(5分)(2) 解：BA 1→＝(－1,0,1)， BE →＝(－1,0，t )，BF →＝(0,1,1－t )， 可求平面BFE 的法向量n ＝(t ，t －1,1)，由已知sin30°＝|BA 1→·n ||BA 1→||n|，所以12＝|－t ＋1|2t 2＋1＋t －12， 平方可求得t ＝0，所以点E 与点A 重合时，直线A 1B 和平面BFE 所成角等于π6.(10分)23. 证明：(1) (1＋3)k＝1＋C 1k 3＋C 2k (3)2＋…＋C k k (3)k，(1－3)k ＝1－C 1k 3＋C 2k (3)2－…＋C kk (－1)k (3)k，因此(1＋3)k ＋(1－3)k ＝2[1＋C 2k (3)2＋C 4k (3)4＋…]．∵ 3的偶数次幂均为正整数，∴ (1＋3)k ＋(1－3)k是正整数．(5分)(2) (证法1)因为0＜(1－3)2n＜1，由(1)知(1＋3)2n ＋(1－3)2n为正整数，所以大于(1＋3)2n 的最小整数为(1＋3)2n＋(1－3)2n.由于(1＋3)2n ＋(1－3)2n＝[(1＋3)2]n ＋[(1－3)2]n ＝2n [(2＋3)n＋(2－3)n]，由二项式定理知(2＋3)n ＋(2－3)n是一偶数，所以(1＋3)2n＋(1－3)2n能被2n＋1整除．(10分)(证法2)大于(1＋3)2n的最小整数为(1＋3)2n＋(1－3)2n，设a＝4＋23，b＝4－23，只要证a n＋b n能被2n＋1整除，由a n＋1＋b n＋1＝(a＋b)(a n＋b n)－ab(a n－1＋b n－1)及数学归纳法获证．市2011届高三第二次调研测试21. A. 选修4­1：几何证明选讲 解：因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC .又M 为PA 的中点，所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ，所以△BMP ∽△PMC .(5分)于是∠MPB ＝∠MCP . 在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.(10分) B. 选修4­2：矩阵与变换解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.(5分) 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.(10分) C. 选修4­4：坐标系与参数方程 解：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4.(4分)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin α＋φ－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.(8分)当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102.(10分) D. 选修4­5：不等式选讲 解：因为正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，(5分) 即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1.(10分)22. 解：(1) 不妨设正方体的棱长为1，以DA →、DC →、DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz .则A (1,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)， D 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，12， 于是DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，12，CD 1→＝(0，－1,1)．由cos 〈DE →，CD 1→〉＝DE →·CD 1→|DE →||CD 1→|＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36.(5分)(2) 设平面CD 1O 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由m ·CO →＝0，m ·CD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12x 1－12y 1＝0，－y 1＋z 1＝0，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1， 即m ＝(1,1,1) .(7分) 由D 1E ＝λEO ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ21＋λ，λ21＋λ，11＋λ，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ21＋λ，λ21＋λ，11＋λ. 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·CD →＝0，n ·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝0，λx 221＋λ＋λy 221＋λ＋z 21＋λ＝0，取x 2＝2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2,0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m·n ＝0，得λ＝2.(10分)23. 解：(1) 所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )＝C i －55⎝ ⎛⎭⎪⎫125(i ＝5,6,7,8,9,10)，其分布列如下：ξ 5 6 7 8 9 10P 132 532 516 516 532 132Eξ＝·C i －55⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝152(分)．(5分)(2) 令p n 表示恰好得到n 分的概率．不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面．因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n ＝12p n －1，(7分)即p n －23＝－12⎝⎛⎭⎪⎫p n －1－23.于是⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －23是以p 1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列．所以p n －23＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，即p n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .答：恰好得到n 分的概率是13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .(10分)北四市高三年级第三次模拟考试21. A. 选修4­1：几何证明选讲 证明：(1) 因为MA 是圆O 的切线， 所以OA ⊥AM . 又AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中， 由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(4分) (2) 因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同(1)，有OB 2＝ON ·OK .又OB ＝OA ，所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OMOK .又∠NOP ＝∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ， 故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.(10分)B. 选修4­2：矩阵与变换 解：(1) 由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b c 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤812， 即2＋3b ＝8,2c ＋6＝12，b ＝2，c ＝3， 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2.(4分) (2) 设曲线上任一点P (x ，y )，P 在M作用下对应点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋2y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′－x ′2，y ＝3x ′－y ′4， 代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x ′2＋y ′2＝2， 即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2.(10分)C. 选修4­4：坐标系与参数方程 解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32， 则22ρsin θ－22ρcos θ＝32， 即ρsin θ－ρcos θ＝6， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(4分) (2) P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点， 设P (4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)， 则P 到直线l 的距离d ＝|4cos α－3sin α＋6|2＝|5cos α＋φ＋6|2，其中cos φ＝45， 所以当cos(α＋φ)＝1时，d 的最大值为1122.(10分) D. 选修4­5：不等式选讲 证明：因为x 2＋y 2≥2xy ≥0，所以x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)≥xy (x ＋y )，(4分)同理y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，z 3＋x 3≥zx (z＋x )， 三式相加即可得2(x 3＋y 3＋z 3)≥xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )．又xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )＝x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )， 所以2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．(10分)22. (1) 证明：建立如图所示直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0,1)， B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12. 因为PN →·AM →＝0×0＋1×12＋(－1)×12＝0，所以PN ⊥AM .(4分) (2) 解：设平面PMN 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·NP →＝0n 1·NM →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－12y 1＋z 1＝0，－12x 1＋12y 1＋12z 1＝0.令y 1＝2，得z 1＝1，x 1＝3， 所以n 1＝(3,2,1)．(6分)又MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，－12，所以sin θ＝n 1·MB→|n 1||MB →|＝1232×14＝1442.(10分) 23. 证明：(1) 因为|a n |＞1，a n ＋1＝4a 3n－3a n所以|a n ＋1|＝|4a 3n －3a n |＝|a n |(4|a n |2－3)＞1.(2分)(2) ① 假设|a 1|＞1，则|a 2|＝|4a 31－3a 1|＝|a 1|(4|a 1|2－3)＞1.若|a k |＞1，则|a k ＋1|＝|4a 3k －3a k |＝|a k |(4|a k |2－3)＞1.所以当|a 1|＞1时，有|a n |＞1(n ∈N *)， 这与已知a m ＝1矛盾， 所以|a 1|≤1.(6分) ② 由①可知，存在θ，使得a 1＝cos θ.则a 2＝4cos 3θ－3cos θ＝cos3θ假设n ＝k 时，有a n ＝cos3n －1θ即a k ＝cos3k －1θ，则a k ＋1＝4a 3k －3a k ＝4(cos3k －1θ)3－3(cos3k －1θ)＝cos3kθ.所以对任意n ∈N *，a n ＝cos3n －1θ，则a m ＝cos3m －1θ＝1,3m －1θ＝2k π，其中k ∈Z ，即θ＝2k π3m －1，所以a 1＝cos 2k π3m －1(其中k 为整数)．(10分)市2010～2011学年度高三年级第二次调研考试21. A. 选修41：几何证明选讲 解：连结AO ，PA 为圆的切线， ∴ △PAO 为Rt △，122＋r 2＝(r ＋6)2，(4分) ∴ r ＝9.(6分) 又CD 垂直于PA ，于是PC PO ＝CDAO ，∴ CD ＝185cm.(10分) B. 选修42：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4，(4分) 因为λ1＝3方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1.(7分) 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1.(10分) C. 选修44：坐标系与参数方程 解：(1) 由ρ＝1得x 2＋y 2＝1，又ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ，∴ ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.(5分)∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0， 得A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝3.(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3m＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3 ≥33a 1·a 2·a 3·331a 1·1a 2·1a 3＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m3时等号成立，(5分)又m ＝a 1＋a 2＋a 3＞0，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.(10分)22. 解：(1) 因为y ＝21－x 2，所以y ′＝22×11－x 2×(－2x )＝－2x1－x2，(3分) 故切线l 的方程为y －21－x 20＝－2x 01－x 20(x －x 0)，即y ＝－2x 01－x 2x ＋21－x 2.(5分) (2) 设A (x 1,0)、B (0，y 2)，M (x ，y )是轨迹上任一点， 在y ＝－2x 01－x 20x ＋21－x 20中令y ＝0， 得x 1＝1x 0；令x ＝0，得y 2＝21－x 2， 则由OM →＝OA →＋OB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x 0，y ＝21－x 20，(8分) 消去x 0，得动点M 的轨迹方程为1x 2＋4y2＝1(x ＞1)．(10分)23. 解：当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )，因为a 1∈(0,2)，所以欲a 2∈(0,2)恒成立．则要⎩⎪⎨⎪⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p＜22，由此猜想p 的最小值为2.(4分) 因为p ≥2，所以要证该猜想成立， 只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立．(5分)现用数学归纳法证明：① 当n ＝1时结论显然成立．(6分) ② 假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0, 2)，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )，一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )>0成立，(8分)另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1<2，所以a k ＋1∈(0, 2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．(9分) 由①、②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.(10分)。

江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试生物2011.01 本试卷分为选择题和非选择题两部分，共120分。

考试用时100分钟。

注意事项：答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，选择题答案按要求填涂在答题纸上；非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，答案写在试卷上无效。

考试结束后，交回答题纸。

第Ⅰ卷（选择题共55分）一、单项选择题：本部分包括20小题，每小题2分，共计40分。

每题只有一个选项最符合题意。

1．以下是生物体内四种有机物的组成与功能关系图，有关叙述错误的是A．小麦种子细胞中，物质A是葡萄糖，物质E是淀粉B．相同质量的E和F彻底氧化分解，释放能量较多的是FC．物质C的种类约20种，基本化学元素是C、H、O、ND．SARS病毒的物质H彻底水解后，产物是CO2和H2O2．下列关于细胞结构和功能的叙述正确的是A．绿色植物所有的细胞都有叶绿体B．小鼠细胞内核糖体和中心体无磷脂双分子层C．人体细胞在无氧条件下能分解有机物产生水D．蓝藻没有膜结构和染色体属于原核生物3．对下列各曲线生物学含义的描述合理的是A．甲图表示人肌肉细胞中A TP生成速率与氧气浓度的关系B．乙图表示小鼠离体细胞内酶活性与温度变化的关系C．丙图表示物质运输速率不受呼吸酶抑制剂的影响D．丁图表示种群增长速率与时间的关系，t1时种群数量最多4．右图表示人体的一些生命活动，下列有关说法正确的是A．①过程的细胞核膜核仁始终存在B．②过程细胞中的遗传物质发生改变C．③过程中细胞内多种酶的活性下降D．④过程中原癌基因从激活状态转为抑制状态5．以下是有关生物实验的四组图，其中描述正确的是A．图1中紫色洋葱细胞液浓度变小、颜色变深B．图2中的两个胚芽鞘将向不同方向弯曲生长C．图3中换用乙观察③处的细胞，应将装片向右移动D．图4中色素带①～④依次呈橙黄色、黄色、蓝绿色、黄绿色6．下图是某高等生物体内细胞分裂的一组图像，相关描述错误的是A．A、B、C、E细胞中均含有同源染色体B．基因重组发生在A、B、C、E细胞中C．B、C、E细胞中每条染色体含2个DNA分子D．B、C、D、E细胞中均含有2个染色体组7．通过许多科学家的不懈努力，遗传物质之谜终于被揭开。

南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011.01参考公式：1.样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。

2.柱体、椎体的体积公式：1,3VSh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。

一、填空题：（5分×14=70分）1.函数y 的定义域是 . 2.已知复数z 满足(2)1z ii -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,0,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 . 5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 . 6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3π，以,a b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 . 7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若t a n 21t a n A c B b+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。

南京市2011届高三第一次模拟考试语文2011．01 注意事项：1本试卷共l60分。

考试用时l 50分钟。

2．答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

答案写在答题纸上对应题目的横线上。

考试结束后，请交回答题纸。

一、语言文字运用(15分)1．下列加点的字，每对读音都不相同的一组是(3分)( ▲ )2．下列句子中，没有语病的一项是(3分)( ▲)A．现在全社会关注通货膨胀，民众担心物价持续上涨，围家发改委多次表示，物价上涨的主要原因是游资炒作造成的。

B．体育已经不能仅仅满足于存赛场上通过争金夺银来提振士气，更应在提升国民素质和公民意识方面为国人带来实实在在的好处。

c．发展圄际汉语教育与推广斑业，对于促进中外人文交流合作，建设持久和平、共同繁荣的和谐世界具有重要意义。

D 目前血液供应相当紧张．中国人口众多，不缺血源，能否真正建立无偿献血的长效机制，是解决“血荒”问题的根本办法。

3 提取并整合下面材料的主要信息，绐“自主招生”下定义。

(4分)①自主招生由高校自行组织考试，扩大了高技自主权．是深化高校招生录取制度改革的一项重要举措。

②高校通过考试选拔出具有超常创新和实践能力，或在文学、艺术、体育等方面有特殊才能或综合素质名列前茅的应届高中毕业生。

③考生通过招生考试并与高校签订协议，可被降分录取。

④自主招生制度始于2003年，首先在22所大学进行试点，现在已经在80所大学实行。

答：_________________________________________________4 在中国有这样一群儿童：父母为了生计外出打工，将他们留在了农村。

这个特殊群体被称为留守儿童。

下面是某省关于留守儿童问题的部分调查数据：(1)从以上的数据可以得出以下结论：(3分)答：①_____________________▲________________________② _______________ ▲__________________________(2)请针对留守儿童现象。

南京市2011届高三第一次模拟考试英语2011.01本式卷分第一卷（选择题）和第二卷(非选择题）两部分，共六大题o满分120分。

考试用吋120分钟。

注意事项：答题前,考生务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

选择题答案按要求填涂在答题卡上，非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，答案不写在试卷上。

考试结束后，题卡、答题纸一并交回。

第一卷（三部分，共85分）第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题:每小题1分，满分5分）听下面5段对话每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项巾选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

昕完每段对话后，你都有10秒钟的时间来囡答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. £19. 15.B. £9. 15.C. £9. 18.答案是B。

1.What does the woman suggest?A. Setting off early.B. Not going by car.C. Going another day.2.Where are the two speakers?A. At home.B. In a restaurant.C. On the street.3.What is the relationship between the two speakers?A. Friends.B. Strangers.C. Husband and wife.4.What is Frank planning to do?A.To move to a big city.B.To work in London.C.To become a teacher.5.When will Mr Smith see the man speaker?A. In the morning.B. At noon.C. In the afternoon.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分）每段对话或独白后有几个小题，从题巾所给的A、B、C二个选项中选出最听下面5段对话或独白9佳选项，汴标在试卷的相应位镋。

南京市2011届高三第一次模拟考试生物2011．01本试卷分为选择题和非选择题两部分,共l20分.考试用时l00分钟.注意事项：答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

选择题答案按要求填涂在答题纸上；非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，答案写在试卷上无效。

考试结束后，交回答题纸。

第I卷（选择题共55分）一、单项选择题:本部分包括20小题,每小题2分，共计40分.每题只有一个选项最符合题意。

1．以下是生物体内四种确机物的组成与功能关系图,有关叙述错误的是A．小麦种子细胞中,物质A是葡萄糖，物质E是淀粉B．相同质量的E和F彻底氧化分解．释放能量较多的是Fc．物质C的种类约20种，基本化学元素是C、H、0、ND．SARS病毒的物质H彻底水解后，产物是C02和H2O．2 下列关于细胞结构和功能的叙述正确的是A．绿色植物所有的细胞都有叶绿体和液泡B．小鼠细胞内核糖体和中心体无磷脂双分子层C．人体细胞在无氧条件下能分解有机物产生水D．蓝藻没有膜结构和染色体属于原核生物3．列下列各曲线生物学含义的描述合理的是A．甲图表示人肌肉细胞中ATP生成速率与氧气浓度的关系B 乙图表示小鼠离体细咆内酶活性与温度变化的关系C．丙图表示物质运输速率不受呼吸酶抑制剂的影响D．丁图表示种群增长速率与时间的关系．T1时种群数量最多4．右图表示人体的一些生命活动，下列有关说法正确的是A．①过程的细胞核膜按仁始终存在B．②过程细胞中的遗传物质发生改变C．③过程中细胞内多种酶的活性下降D．④过程中原癌基因从激活状态转为抑制状态5．以下是有关生物实验的四组图，其中描述正确的是A．图l中紫色洋葱细胞液浓度变小、颜色变深B．图2巾的两个胚芽鞘将向不同方向弯越生长C．圈3中换用乙观察③处的细胞，应将装片向左移动D．图4中色素带①~④依次呈橙黄色、黄色、蓝绿色、黄绿色6．下图是某高等生物体内细胞分裂的一组图像，其中描述错误的是A．A、B、C、E细胞中均含有同源染色体B．基因重组发生在A、B、C、E细胞中C B、C、E细胞中每条染色体含2个DNA分子D．B、C、D、E细胞中均含有2个染色体组7．通过许多科学家的不懈努力。

南京市2011届高三第一次模拟考试英语本式卷分第一卷（选择题）和第二卷(非选择题）两部分，共六大题o满分120分。

考试用吋120分钟。

注意事项：答题前,考生务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

选择题答案按要求填涂在答题卡上，非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，答案不写在试卷上。

考试结束后，题卡、答题纸一并交回。

第一卷（三部分，共85分）第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题:每小题1分，满分5分）听下面5段对话每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项巾选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

昕完每段对话后，你都有10秒钟的时间来囡答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. £19. 15.B. £9. 15.C. £9. 18.答案是B。

1.What does the woman suggest?A. Setting off early.B. Not going by car.C.Going another day.2.Where are the two speakers?A. At home.B. In a restaurant.C.On the street.3.What is the relationship between the two speakers?A. Friends.B. Strangers.C.Husband and wife.4.What is Frank planning to do?A.To move to a big city.B.To work in London.C.To become a teacher.5.When will Mr Smith see the man speaker?A. In the morning.B. At noon.C.In the afternoon.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白每段对话或独白后有几个小题，从题巾所9给的A、B、C二个选项中选出最佳选项，汴标在试卷的相应位镋。

物理卷·2011届江苏省南京市高三第次模拟考试本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共120分．考试用时l00分钟．注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、学号写在答题纸的密封线内．选择题答案按要求填涂在答题纸上；非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，答案不写在试卷上．考试结束后，交回答题纸．第I卷(选择题共31分)一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计l5分．每小题只有一个选项符合题意．1．物理学中的许多规律是通过实验发现的，下列说法中符合史实的是A麦克斯韦通过实验首次证明了电磁波的存在B．牛顿通过理想斜面实验发现了物体的运动不需要力来维持C．奥斯特通过实验发现了电流的热效应D．法拉第通过实验发现了电磁感应现象2．如图所示，一轻绳的两端分别固定在不等高的A、B两点，现用另一轻绳将一物体系于。

点，设轻绳A0、BO相互垂直，a>β，且两绳中的拉力分别为F A、F B物体受到的重力为G．下列表述正确的是A．F A一定大于GB．F A一定大于F BC．F A一定小于F B D．F A一定大于F B一大小之和一定等于G3．如图所示的电路中，电流表A和电压表v均可视为理想电表．现闭合开关S后，将滑动变阻器滑片P向左移动，下列结论正确的是A．电流表A的示数变小，电压表v的示数变大B．小灯泡L变亮C．电容器c上电荷量减小D．电源的总功率变大4．如图所示，空间存在两个磁场，磁感应强度大小均为B，方向相反且垂直纸面，MN、PQ为其边界00’为其对称轴．一导线折成边长为l的正方形闭合线框abcd，线框在外力作用下由纸面内图示位置从静止开始向右做匀加速运动，若以逆时针方向为电流的正方向，则从线框开始运动到曲边刚进入到PQ右PS：双击获取文档，ctrl+a,ctrl+c,然后粘贴到word即可。

未能直接提供word 文档，抱歉。

线框在外力作用下由纸面内图示位置从静止开始向右做匀加速运动，若以逆时针方向为电流的正方向，则从线框开始运动到曲边刚进入到PQ 右。

南京市2011届离三第一次模拟考试化学2011。

l 本试卷分选择题和非选择题两部分，共120分。

考试用时l00分钟。

注意事项：答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

进择题答案按要求填涂在答题纸上；非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，答案写在试卷上无效。

考试结束后，交回答题纸。

可能用到的相对原子质量；H一1 H一14 0一16 C1—35.5 Fe-56 Ni一59选择题共42分单项选择题：本题包括7小题，每小题1分，共4分。

每小题只有-个选项符合题意。

1．联合国气候变化大会于2010年1l月在墨西好召开。

“减碳”措施之一是节能。

下列制氢方法最节能的是 A．金属钠与水反应：2Na+2H2O=2NaOH+H2B．焦炭与水反应：C+H2O=CO+H2C．太阳能光催化分解水．2H2O=2H2+O2D．天然气与水反应：CH4+H2O=CO+3H22．下列有关化学用语或名称表达正确的是A．亚硫酸的电离方程式：H2SOs===2H++SO32-B．乙炔的分子结构模型示意图：C．H2O2的电子式D 的名称3-甲基-1-丁醇3．设n A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A．0.01mol Mg在空气中完全燃烧生成Mg0和Mg3N2．转移的电子数目为0.02n AB．1mol H2O+中含有的电子数目为11n AC．100 mL l mol·L-1的Na2C03溶液中含有的离子总数为0．3n AD．标准状况下，44．8L H2O中含有的水分子数目为27N A[来源:学_科_网]4．下列表述正确的是A在电热水器的钢铁内胆中装入铜棒可以防止内胆被腐蚀B二氧化氯和臭氧可用作自来水消毒剂C．二氧化硅具有半导体性能。

可以制成光电池D．油脂水解可得到氨基酸和甘油5．下列实验操作不能达到目的的是6．下列各组离子在给定条件下．一定能大垃共存的是[来源:学科网]A含有大量N0的水溶液中：NH4+、Fe2+ S042- H+B．在pH＝12的溶液中：c l0一、S032- Na+ K+C．含有大最HC03-。

南京市2011届高三第一次模拟考试21. A。

选修4-1：几何证明选讲证明：（方法1)连结BE。

因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.又AD⊥l，所以BE∥l.所以∠DCE＝∠CEB。

(5分)因为直线l是圆O的切线,所以∠DCE＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以CE＝CB.（10分）（方法2）连结AC、BE,在DC延长线上取一点F.因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°。

所以∠BCF＝∠DAC.(5分）又直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF。

又∠DAC＝∠CBE,所以∠CBE＝∠CEB。

所以CE＝CB.（10分)B. 选修4.2：矩阵与变换解：（方法1)在直线l：x＋y＋2＝0上分别取两点A(－2,0）,B（0,－2)．A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′。

因为错误!错误!＝错误!,所以A′的坐标为(－2，－2b）;错误!错误!＝错误!,所以B′的坐标为(－2a,－8)．（6分）由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以错误!解得a＝2，b＝3.（10分）（方法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意点（x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点（x′，y′）．因为错误!错误!＝错误!,所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y。

解得x＝错误!，y＝错误!。

（6分)因此错误!＋错误!＋2＝0，即（b－4)x′＋（a－1)y′＋（2ab－8)＝0.因为直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0.所以错误!＝错误!＝错误!。

解得a＝2，b＝3.（10分）C. 选修4-4：坐标系与参数方程解:分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程:圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5）2＋y2＝25，圆心C（5,0)．直线l：3x－4y－30＝0。

南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011.01参考公式：1.样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。

2.柱体、椎体的体积公式：1,3V Sh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。

一、填空题：（5分×14=70分）1.函数22y x x =-的定义域是 .2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,0,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 .5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3π，以,a b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22221(0,0)xy a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。

南京市2Oll届高三第一次模拟考试地理2011．01本试卷分为选择题和综合题两部分，共l20分。

考试用时l00分钟。

注意事项：答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

选择题答案按要求填涂在答题纸上；非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，答案写在试卷上无效。

考试结束后。

交回答题纸。

第I卷(选择题共60分)一、选择题(共60分)(一)单项选择题：本大题共l8小题，每小题2分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

某学校地理兴趣小组设计并散了如下实验(图1)。

据此回答1～3题，，1．该实验的主要目的是为了测试A．水循环 8．温室效应 c．热力环流 D，海陆热力陛质差异2．图2中所示地理现象的成因与图l所示实验原理相同的是A．① 8．② C．③ D．④3．关于图2的叙述，正确的是A．①图所示原理对地表形态塑造的影响较小B．②图所示天气系统过境时会造成我国大范围的降温c．③图反映了东亚季风冬季风的成困D ④图所示原理是马达加斯加岛东侧热带雨林气候的重要成因之一图3为某地相关气象资料示意圈。

读图回答4～5题。

4．关于图3中天气系统的判断，正确的是A．北半球的冷锋 B．北半球的暖锋 C．南半球的冷锋 D．南半球的暖锋5关于图3中甲、乙两地的叙述，正确的是A．甲地气压小于乙地 B．目前，乙地气温低、气压高c．此时，甲地可能为阴雨天气 D 乙地风向为东北风6．大西洋上的"三角贸易"长达400年不衰，既有社会经济原因，也有自然原因。

综合考虑盛行风和洋流因素，图4中有关"三角贸易"的航程示意矧，正确的是读某地地质构造剖面示意图(图5)，完成第7题。

7关于陵地的叙述，正确的是A．该区域只发生过水平方同的地壳运动B．刚中的地貌都是内力怍用形成的C．甲处山地的形成是地党抬升的结果D．乙处附近不宜修建大型水库读我国部分省区某外力侵蚀作用统计圈(图6)，回答8～10题。

南京市高三数学试卷南京市2011届高三第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)2011．01参考公式：1.样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n 错误!(x i －x －)2，其中x －是这组数据的平均数．2.柱体、锥体的体积公式：V 柱体＝Sh ，V 锥体＝13Sh ，其中S 是柱(锥)体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.函数y ＝2x －x 2的定义域是____________．2.已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为____________．(第4题)3.已知实数x 、y －y ＋2≥0，＋y ≥0，≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是____________．4.如图所示的流程图，若输入的x ＝－9.5，则输出的结果为________．5.在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为__________．6.已知平面向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为π3.以a 、b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____________．7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如右图，则该组数据的方差为__________．8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若1＋tan A tan B ＝2c b，则角A 的大小为________．9.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为____________．10.已知正数数列{a n }对任意p 、q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q .若a 2＝4，则a 9＝__________.11.已知l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．下列命题：①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β；②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ；③若α∥β，l ∥α，则l ∥β；④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．12.已知f (x )＝log 2(x －2)．若实数m 、n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是________．13.在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 面积的最大值是________．14.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＋4x ＋1，x ＜0，x ≥0，则f (x )的“友好点对”有________个．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且f (π4)＝2.(1)求ω、φ的值；(2)若f (α2)＝－65(0＜α＜π)，求cos2α的值．(本小题满分14分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 、D 1分别是BC 和B 1C 1的中点．(1)求证：A 1D 1∥平面AB 1D ；(2)若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∠B 1BC ＝60°，求三棱锥B 1—ABC 的体积．如图，在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9…已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{b n}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{c n}，其前n项和为S n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13＝1.①求S n；②记M＝{n|(n＋1)c n≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．已知函数f (x )＝x －1－a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为3x －y －3＝0，求实数a 的值；(2)求证：f (x )≥0恒成立的充要条件是a ＝1；(3)若a ＜0，且对任意x 1，x 2∈(0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4|1x 1－1x 2|，求实数a 的取值范围.南京市高三数学附加题试卷第页(共2页)南京市2011届高三第一次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4­1：几何证明选讲如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A 作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.B.选修4­2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝1ab4对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b的值．C.选修4­4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C：ρ＝10cosθ和直线l：3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A、B两点，求线段AB的长．D.选修4­5：不等式选讲解不等式|2x－4|＜4－|x|.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B—AM—C的平面角的大小．23.已知等比数列{a n}的首项a1＝2，公比q＝3，S n是它的前n项和．求证：S n＋1S n≤3n＋1 n.南京市高三数学参考答案第页(共4页)南京市2011届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1.[0,2]2.103.－14.15.136.37.58.π39.2＋110.51211.②④12.713.214.215.解：(1)由函数的周期为π，可知2πω＝π，所以ω＝2.(2分)又由f (π4)＝2，得2sin(π2＋φ)＝2，所以cos φ＝22.又φ∈(0，π)，所以φ＝π4.(5分)(2)(方法1)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分)因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)，所以cos(α＋π4)＝－45.(10分)所以cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2425.(14分)(方法2)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分)因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)，所以cos(α＋π4)＝－45.(10分)所以cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－7210.所以cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－7210)2－1＝2425.(14分)(方法3)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分)所以sin α＋cos α＝－325.所以1＋sin2α＝1825，即sin2α＝－725.(10分)因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)，即α∈(3π4，π)，2α∈(3π2，2π)．所以cos2α＝1－sin 22α＝2425.(14分)16.(1)证明：如图，连结DD 1.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，因为D 、D 1分别是BC 与B 1C 1的中点，所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1＝BD .所以四边形B 1BDD 1为平行四边形，所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1.又AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1，所以AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，所以A 1D 1∥AD .(4分)又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，故A 1D 1∥平面AB 1D .(6分)(2)解：(方法1)在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A —B 1BC 的高．(10分)在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝2 3.在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，所以△B 1BC 的面积S △B 1BC ＝34×42＝4 3.所以三棱锥B 1—ABC 的体积，即三棱锥A —B 1BC 的体积V ＝13×S △B 1BC ·AD ＝13×43×23＝8.(14分)(方法2)在△B 1BC 中，因为B 1B ＝BC ，∠B 1BC ＝60°，所以△B 1BC 为正三角形，因此B 1D ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，B 1D ⊂平面B 1C 1CB ，所以B 1D ⊥平面ABC ，即B 1D 是三棱锥B 1—ABC 的高．(10分)在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4得△ABC 的面积S △ABC ＝34×42＝4 3.在△B 1BC 中，因为B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，所以B 1D ＝23.所以三棱锥B 1—ABC 的体积V ＝13×S △ABC ·B 1D ＝13×43×23＝8.(14分)17.解：(1)(方法1)连结OC .设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S .则AB ＝2900－x 2，其中0＜x ＜30.(2分)所以S ＝2x 900－x 2＝2x 2(900－x 2)≤x 2＋(900－x 2)＝900.(4分)当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值为900cm 2.答：取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900cm 2.(6分)(方法2)连结OC .设∠BOC ＝θ，矩形ABCD 的面积为S .则BC ＝30sin θ，OB ＝30cos θ，其中0＜θ＜π2.(2分)所以S ＝AB ·BC ＝2OB ·BC ＝900sin2θ.(4分)所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S 取最大值为900cm 2，此时BC ＝15 2.答：取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900cm 2.(6分)(2)(方法1)设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π，所以V ＝πr 2h ＝1π(900x －x 3)，其中0＜x ＜30.(10分)由V ′＝1π(900－3x 2)＝0，得x ＝103，因此V ＝1π(900x －x 3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．(12分)所以当x ＝103时，V 的最大值为60003π.答：取BC 为103cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003πcm 3.(14分)(方法2)连结OC ，设∠BOC ＝θ，圆柱底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则圆柱的底面半径为r ＝30cos θπ，高h ＝30sin θ，其中0＜θ＜π2.所以V ＝πr 2h ＝27000πsin θcos 2θ＝27000π(sin θ－sin 3θ)．(10分)设t ＝sin θ，则V ＝27000π(t －t 3)．由V ′＝27000π(1－3t 2)＝0，得t ＝33，因此V ＝27000π(t －t 3)在(0，33)上是增函数，在(33，1)上是减函数．(12分)所以当t ＝33时，即sin θ＝33，此时BC ＝103时，V 的最大值为60003π.答：取BC 为103cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003πcm 3.(14分)18.(1)解：由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.(2分)因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.(5分)(2)证明：设Ay 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜y 2＞0)．点F 的坐标为F (3,0)．由AF →＝3FB →－x 1＝3(x 2－3)，y 1＝3y 2，1＝－3x 2＋12，1＝－3y 2，①(7分)又A 、B在椭圆C 上，＋(－3y 2)23＝1，2＝103，2＝23.所以B (103，23)，代入①得A 点坐标为(2，－2)．(12分)因为OA →·AB →＝0，所以OA ⊥AB .所以过O 、A 、B 三点的圆就是以OB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.(16分)19.解：(1)设数列{b n }的公差为d 1＋d ＝4，1＋4d ＝10，1＝2，＝2，所以b n ＝2n .(4分)(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且32＜13＜42，所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3.又a 13＝1，解得q ＝12.因此c n ＝2n ·(12)n －1＝n 2n －2.(7分)所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n 2n －2.12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n 2n －1.因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.解得S n ＝8－n ＋22n －2.(10分)②由①知，c n ＝n 2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n (n ＋1)2n －2≥λ.设f (n )＝n (n ＋1)2n －2，计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154.因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(2－n )2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)＜f (n )．(14分)因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]．(16分)20.(1)解：因为f ′(x )＝1－a x，所以f ′(1)＝1－a .所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的斜率为1－a .因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为3x －y －3＝0，所以1－a ＝3，解得a ＝－2.(3分)(2)证明：①充分性．当a ＝1时，f (x )＝x －1－ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0,1)上是减函数．所以f (x )≥f (1)＝0.(5分)②必要性．(方法1)f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，其中x ＞0.(ⅰ)当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．而f (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，f (x )＜0，与f (x )≥0恒成立相矛盾．所以a ≤0不满足题意．(7分)(ⅱ)当a ＞0时，因为当x ＞a 时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数；当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，a )上是减函数．所以f (x )≥f (a )＝a －1－a ln a .因为f (1)＝0，所以当a ≠1时，f (a )＜f (1)＝0，此时与f (x )≥0恒成立相矛盾．所以a ＝1.综上所述，f (x )≥0恒成立的充要条件是a ＝1.(10分)(方法2)f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，其中x ＞0.(ⅰ)当a ≤0时，因为f ′(x )＞0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．而f (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，f (x )＜0，与f (x )≥0恒成立相矛盾．所以a ≤0不满足题意．(7分)(ⅱ)当a ＞0时，因为当x ＞a 时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数；当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，a )上是减函数．所以f (x )≥f (a )＝a －1－a ln a .于是，由f (x )≥0恒成立可知，存在a ＞0，使得f (a )＝a －1－a ln a ≥0.记函数φ(x )＝x －1－x ln x ，则φ′(x )＝－ln x ，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，所以函数φ(x )在(0,1)上是增函数，当x ＞1时，φ′(x )＜0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上是减函数，所以φ(x )≤φ(1)＝0，所以a ＝1.综上所述，f (x )≥0恒成立的充要条件是a ＝1.(10分)(3)解：由(2)可知，当a ＜0时，函数f (x )在(0,1]上是增函数．又函数y ＝1x在(0,1]上是减函数．不妨设0＜x 1≤x 2≤1，则|f (x 1)－f (x 2)|＝f (x 2)－f (x 1)，1x 1－1x 2＝1x 1－1x 2，所以|f (x 1)－f (x 2)|≤41x 1－1x 2等价于f (x 2)－f (x 1)≤4x 1－4x 2，即f (x 2)＋4x 2≤f (x 1)＋4x 1.设h (x )＝f (x )＋4x ＝x －1－a ln x ＋4x ，则|f (x 1)－f (x 2)|≤41x 1－1x 2等价于函数h (x )在区间(0,1]上是减函数．(13分)因为h ′(x )＝1－a x －4x 2＝x 2－ax －4x 2，所以x 2－ax －4≤0在x ∈(0,1]时恒成立，即a ≥x －4x 在x ∈(0,1]上恒成立，即a 不小于y ＝x －4x 在区间(0,1]内的最大值．而函数y ＝x －4x 在区间(0,1]上是增函数，所以y ＝x －4x的最大值为－3.所以a ≥－3.又a ＜0，所以a ∈[－3,0)．(16分)南京市高三数学附加题参考答案第页(共2页)南京市2011届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21.A.选修4­1：几何证明选讲证明：(方法1)连结BE .因为AB 是半圆O 的直径，E 为圆周上一点，所以∠AEB ＝90°，即BE ⊥AD .又因为AD ⊥l ，所以BE ∥l .所以∠DCE ＝∠CEB .(5分)因为直线l 是圆O 的切线，所以∠DCE ＝∠CBE .所以∠CBE ＝∠CEB .所以CE ＝CB .(10分)(方法2)连结AC 、BE ，在DC 延长线上取一点F .因为AB 是半圆O 的直径，C 为圆周上一点，所以∠ACB ＝90°，即∠BCF ＋∠ACD ＝90°.又因为AD ⊥l ，所以∠DAC ＋∠ACD ＝90°.所以∠BCF ＝∠DAC .(5分)又因为直线l 是圆O 的切线，所以∠CEB ＝∠BCF .又∠DAC ＝∠CBE ，所以∠CBE ＝∠CEB .所以CE ＝CB .(10分)B.选修4­2：矩阵与变换解：(方法1)在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′.因为1a b 4－20＝－2－2b ，所以A ′的坐标为(－2，－2b )；1a b 40－2＝－2a －8，所以B ′的坐标为(－2a ，－8)．(6分)由题意A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0－2)－(－2b )－4＝0，－2a )－(－8)－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.(10分)(方法2)设直线l ：x ＋y ＋2＝0上任意点(x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下对应于点(x ′，y ′)．因为1a b 4x y ＝x ′y ′，所以x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋4y .解得x ＝－4x ′＋ay ′ab －4，y ＝bx ′－y ′ab －4.(6分)因此－4x ′＋ay ′ab －4＋bx ′－y ′ab －42＝0，即(b －4)x ′＋(a －1)y ′＋(2ab －8)＝0.因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0.所以b －41＝a －1－1＝2ab －8－4.解得a ＝2，b ＝3.(10分)C.选修4­4：坐标系与参数方程解：分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25，圆心C (5,0)．直线l ：3x －4y －30＝0.(6分)因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5＝3.所以AB ＝225－d 2＝8.(10分)D.选修4­5：不等式选讲解：当x ＞2时，原不等式同解于2x －4＜4－x ，解得x ＜83所以2＜x ＜83；(4分)当0≤x ≤2时，原不等式同解于4－2x ＜4－x ，解得x ＞0，所以0＜x ≤2；(6分)当x ＜0时，原不等式同解于4－2x ＜4＋x ，解得x ＞0，所以x ∈∅.(8分)|0＜x 分)22.(1)证明：以点C 、1所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M (0,0，62)．所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝(0，－3，62)．(2分)因为A 1B →·AM →＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×(62)＝0，所以A 1B ⊥AM .(4分)(2)解：因为ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC .因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面ACC 1，即BC ⊥平面AMC .所以CB →是平面AMC 的一个法向量，CB →＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA →＝(－1，3，0)，BM →＝(－1,0，62)．·BA →＝0，·BM →＝0，x ＋3y ＝0，x ＋62z ＝0.令z ＝2，得x ＝6，y ＝2，所以n ＝(6，2，2)．(8分)因为|CB →|＝1，|n|＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n|＝22.因此二面角B —AM —C 的大小为45°.(10分)23.证明：由已知，得S n ＝3n －1，S n ＋1S n ≤3n ＋1n 等价于3n ＋1－13n －1≤3n ＋1n ，即3n ≥2n ＋1.(*)(2分)(方法1)用数学归纳法证明．①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．(4分)②假设当n ＝k 时，(*)成立，即3k ≥2k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，3k ＋1＝3×3k ≥3(2k ＋1)＝6k ＋3≥2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，(*)成立．(8分)综合①②，得3n ≥2n ＋1成立．所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n .(10分)(方法2)当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．(4分)当n ≥2时，3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ×2＋C 2n ×22＋…＋C n n ×2n ＝1＋2n ＋…＞1＋2n .所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n .(10分)。