新北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件

北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教案一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径，以及如何根据这些条件来确定一个圆。

同时，通过实例让学生理解圆的方程的意义和应用。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了坐标系和方程的基础知识，对几何图形也有一定的认识。

但是，对于圆的方程的理解可能还需要进一步的引导和培养。

三. 教学目标1.让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径。

2.让学生理解圆的方程的意义和应用。

3.培养学生的空间想象能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.圆的方程的意义的理解和应用。

2.如何引导学生从实际问题中抽象出圆的方程。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生理解圆的方程的意义和应用，然后通过练习让学生进一步巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。

2.准备课件和黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考如何确定一个圆。

例如，给出一个圆的三个点，让学生思考如何确定这个圆。

2.呈现（15分钟）通过课件或者板书，呈现圆的方程。

解释圆的方程的意义，包括圆心坐标和半径。

让学生理解圆的方程是如何表示一个圆的。

3.操练（15分钟）让学生通过练习题来巩固对圆的方程的理解。

可以给出一些具体的圆的方程，让学生求解圆心坐标和半径，或者给出圆心坐标和半径，让学生写出对应的圆的方程。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生应用圆的方程来解决问题。

例如，给出一个圆的方程，让学生求解圆与直线的交点，或者求解圆的面积。

5.拓展（10分钟）可以让学生思考一些拓展问题，例如，如何确定一个圆的位置和大小，如何求解两个圆的交点等。

6.小结（5分钟）通过小结，让学生回顾所学知识，加深对圆的方程的理解。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生在家里完成。

8.板书（5分钟）在黑板上写出圆的方程，以及解题的关键步骤。

3.5确定圆的条件教学设计（1）线段垂直平分线上的点有怎样的性质？（2）怎样用尺规作一条线段的垂直平分线多媒体出示垂直平分线的画法(3)构成圆的基本要素有哪些?车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，确定它的尺寸（圆盘的大小），你有办法吗？思考：那么过几点可以确定一个圆呢？探究2 过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？探究3 过三点作圆问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？归纳：不在同一条直线上的三点确定一个圆讨论：如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B 两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB 的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆。

试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.由上可知，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.1.以已知点O为圆心、线段a为半径作圆,可以作( )A.1个圆B.2个圆C.3个圆D.无数个圆2.下列语句正确的是( )A.直径是弦,弦是直径B.相等的圆心角所对的弦相等C.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D.三点确定一个圆3.三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．5.如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD 交△ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．。

北师大版九年级数学下第三章5 确定圆的条件（含答案）一、选择题1．下列四个命题中，正确的有()①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是()A．到三角形三个顶点的距离相等B．到三角形三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点3．如图1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是()图1A．1 B．2C．3 D．44．如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知，△ABC的外心的坐标应是()图2A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)5．如图3，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()图3A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图4所示，利用三块碎片中的一块最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()图4A．①B．②C．③D．均不可能7．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为()A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题8．如图5，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．图59．如图6，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为6，则点P到AC的距离的最大值是________．图610．若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为________________________________________________．三、解答题11．如图7，已知圆弧上有三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；链接听P34例1归纳总结 (2)若△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R.图712.如图8，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(6，8)，点B 的坐标为(12，0)． (1)求证：AO ＝AB ；(2)用直尺和圆规作出△AOB 的外心P ； (3)求点P 的坐标．图813．如图9①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．图9附加题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形的四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图10①②③中四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图10(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试写出图④⑤中∠B＋∠D与180°之间的关系；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．。

3.5 确定圆的条件1．理解平面内确定一个圆的条件，掌握经过不在同一直线上三个点作圆的方法；(重点)2．理解三角形的外接圆、三角形外心等概念；(重点)3．利用三角形外心解决实际问题．(难点)一、情境导入经过一点可以作无数条直线．经过两点只能作一条直线．那么经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？二、合作探究探究点一：确定圆的条件【类型一】判断确定圆的条件下列关于确定一个圆的说法中，正确的是()A．三个点一定能确定一个圆B．以已知线段为半径能确定一个圆C．以已知线段为直径能确定一个圆D．菱形的四个顶点能确定一个圆解析：A.不在同一直线上的三点可确定一个圆，没有强调不在同一直线上，错误；B.以已知线段为半径能确定2个圆，分别以线段的两个端点为圆心，错误；C.以已知线段为直径能确定一个圆，此时圆心为线段的中点，半径为线段长度的一半，正确；D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆，错误．故选C.方法总结：解答本题的关键是仔细分析各个选项能否满足确定一个圆的条件．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】经过不在同一直线上的三个点作一个圆已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C.解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线并相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可．解：(1)连接AB、BC；(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的⊙O的圆心；(3)以点O为圆心，OC长为半径作圆．则⊙O就是所求作的圆．方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的外接圆【类型一】利用三角形的外接圆、外心求角的度数如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数．解析：由点O 为△ABC 的外心，可得OA ＝OB ＝OC ，由等边对等角的性质可得∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC ，又由三角形内角和定理，可求得∠ACB ＝90°. 解：∵点O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC .∵∠OAC ＋∠OCA ＋∠OCB ＋∠OBC ＝180°，∴∠OCA ＋∠OCB ＝90°，即∠ACB ＝90°.方法总结：熟记三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等是解题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 三角形外接圆在平面直角坐标系中的应用如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，O 为原点，∠ABO ＝60°，若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D (0，3)．(1)求∠DAO 的度数；(2)求点A 的坐标和△AOB 外接圆的面积．解析：(1)利用圆周角定理的推论即可直接求解；(2)在直角△AOD 中利用三角函数即可求得OA 和AD 的长，则A 的坐标即可求得，然后利用圆的面积公式求解． 解：(1)∵∠ADO ＝∠ABO ＝60°，∠DOA ＝90°，∴∠DAO ＝30°；(2)∵点D 的坐标是(0，3)，∴OD ＝3.在直角△AOD 中，OA ＝OD ·tan ∠ADO ＝33，AD ＝2OD ＝6，∴点A 的坐标是(33，0)．∵∠AOD ＝90°，∴AD 是圆的直径，∴△AOB 外接圆的面积是9π.方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．三、板书设计确定圆的条件1．确定圆的条件经过不在同一直线的三个点确定一个圆．2．三角形的外接圆和外心的概念 3．三角形的外接圆的应用本节课通过问题导入激发了学生的学习兴趣，通过探究题的设计，调动了学生学习的积极性、主动性，提高了课堂效率．本堂课首先充分调动了学生的积极性，不论从回答问题还是画图点评都比预想的结果要好，碰到难题主动交流，小组合作非常默契.。

知识点总结
知识点1：过三点的圆。

由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，作图的关键是确定圆心的位置和半径的大小。

探索1：作圆，使它经过已知点A
由于所求的圆的圆心和半径都没有限制，因此，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点（圆心）与点A的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个。

探索2：作圆，使它经过A，B两点。

要作经过A、B两个点的圆，就必须以与点A、B距离相等的点为圆心。

所以只要以线段AB为垂直平分线上任意一点为圆心，以这点与A或B的距离为半径长，就可以作出要求作的圆，这样的圆也有无数个。

探索3：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点。

作圆的关键是圆心和半径，要求圆心到三点的距离相等。

因此符合这样条件的点是唯一的，而半径也是唯一的。

所以这样的圆是唯一的。

结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆。

知识点2：三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。

如图，⊙O为△ABC的外接圆，O为△ABC的外心，△ABC是⊙O的内接三角形。

说明：
1、锐角三角形的外心在三角形的内部
2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，
“内”“外”是相对的位置关系。

以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，
就说圆是三角形的外接圆。

习题解析
图文导学。

北师大版数学九年级下册第三章 3.5 确定圆的条件1. 圆的定义圆是平面上的一组点，这些点到一个固定点的距离都相等，这个固定点叫做圆心，以圆心为距离的长度叫做半径。

符号表示：圆心O，半径R，圆⊙O(R)。

2. 确定圆的条件对于平面内的一组点，如何确定这组点是一个圆呢？下面介绍两种确定圆的条件。

2.1 三点共线如果平面内的三个点A,B和C共线，即A,B和C三个点在一条直线上，那么这三个点不可能构成一个圆。

一个圆上的任意三个点不共线。

2.2 半径相等如果平面内的一组点到一个固定点的距离都相等，那么这组点构成了一个圆。

这个固定点叫做圆心，到这个圆心的距离叫做半径。

例如，有一组点A,B和C，到点O的距离分别是r1,r2和r3，如果r1=r2=r3，那么这组点构成了一个圆。

2.3 综合应用在实际问题中，我们可能需要综合运用以上两种条件来确定一个圆。

例如，已知一个四边形ABCD，如果四边形的对角线AC和BD的交点O与四边形的其他三个顶点A,B和C的距离相等，即OA=OB=OC=OD，那么点O是这个四边形内切圆的圆心，OA=OB=OC=OD就是这个内切圆的半径。

3. 性质和定理下面介绍一些与圆相关的性质和定理。

3.1 弧弧长是弧所对的圆心角的大小占360°的比例。

弧度是弧长与半径的比值。

3.2 弧度制与度制的转换角度d转换成弧度r的公式为：$r=\\frac{d\\pi}{180}$。

弧度r转换成角度d的公式为：$d=\\frac{r\\times180}{\\pi}$。

3.3 弦弦是圆上的两个点所确定的线段。

3.4 弧和弦的关系当弦AB是一个圆的直径时，弦AB所对的弧是一个半圆。

当弦AB不是一个圆的直径时，弦AB所对的弧小于一个半圆。

3.5 切线如果过圆上某一点P作圆的半径，切线与半径垂直。

切线的斜率是与半径所在直线的斜率相反数。

3.6 切线和半径的关系切线与半径的长度的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》教案一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生了解确定圆的三个重要条件：圆心、半径和圆的方程。

通过学习，学生能够掌握圆的定义，理解圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，以及如何用圆的方程来表示圆。

这一节的内容是九年级数学的重要知识点，也是高考的考点之一。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。

但是，对于圆的概念和性质可能还不够深入，因此，在学习这一节时，需要引导学生通过实际操作和思考，来理解和掌握圆的性质。

三. 教学目标1.让学生了解圆的定义，理解圆心、半径在确定圆的重要性。

2.让学生掌握圆的方程表示方法，能运用圆的性质解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.圆的定义和性质2.圆的方程表示方法3.运用圆的性质解决实际问题五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的性质。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示圆的性质，提高学生的空间想象能力。

3.通过实际操作，让学生亲身体验圆的性质，加深对知识的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备2.圆的模型或图片3.圆的方程示例题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示圆的模型或图片，引导学生思考：什么是圆？圆有哪些性质？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，介绍圆的定义和性质，让学生理解圆心、半径在确定圆的重要性。

同时，引导学生思考如何用数学语言来表示圆。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组设计一个圆的方程，并解释其含义。

教师巡回指导，给予反馈。

4.巩固（10分钟）教师出示几个实际问题，让学生运用圆的性质来解决。

例如：一个圆的半径为5cm，求其面积、周长等。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：圆的性质在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，强化对圆的性质的理解。

北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教学设计一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生了解确定圆的三个重要条件：圆心、半径和圆的方程。

通过本节课的学习，学生能够掌握圆的定义，理解圆心、半径的概念，并能够运用这些知识解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于圆的特殊性质和圆的方程可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握圆的性质和方程。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解圆的定义，掌握圆心、半径的概念，能够运用圆的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点重点：圆的定义，圆心、半径的概念。

难点：理解圆的性质，能够运用圆的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和情境教学法，引导学生观察、思考、交流，从而掌握圆的性质和方程。

六. 教学准备1.准备一些关于圆的图片，如硬币、地球等，用于导入和呈现。

2.准备一些圆形物品，如圆规、圆盘等，用于操练和巩固。

3.准备一些实际问题，如圆形操场、圆形桌面等，用于拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些关于圆的图片，如硬币、地球等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？从而引出圆的定义。

2.呈现（10分钟）向学生介绍圆心、半径的概念，并通过动画演示圆的性质。

同时，引导学生进行合作学习，互相交流对圆的理解。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，使用圆规、圆盘等工具，亲自操作并观察圆的性质。

然后，各组汇报实验结果，全班共同总结。

4.巩固（10分钟）出示一些关于圆的实际问题，如圆形操场、圆形桌面等，让学生运用所学的圆的性质进行解决。

教师巡回指导，帮助学生巩固所学知识。