二次函数三性质应用

二次函数的性质与应用一、引言二次函数是高中数学中经常出现的一种函数形式，它具有许多独特的性质和广泛的应用。

本节课我们将学习二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。

二、二次函数的定义与基本性质1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如 y = ax² + bx + c （其中a ≠ 0）的函数。

其中a、b、c 是实数，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。

2. 二次函数图像的性质（1）抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

（2）抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是 x = -b/2a。

（3）抛物线的顶点坐标：顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。

三、二次函数的性质推导与证明1. 零点的性质（1）二次函数的零点是函数与 x 轴的交点，即使 f(x) = 0。

（2）根据二次函数定义，我们可以列出二次方程 ax² + bx + c = 0，其中a ≠ 0，然后利用求根公式和配方法进行求解。

2. 极值点的性质（1）二次函数的最值点是函数的极值点。

（2）当 a > 0 时，函数有最小值；当 a < 0 时，函数有最大值。

3. 单调性分析（1）当 a > 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递增，在无穷大的正值处单调递减；当 a < 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递减，在无穷大的正值处单调递增。

（2）证明单调性时，可通过求导或按照定义进行推导。

四、二次函数的应用实例1. 弹射运动二次函数可以用来描述抛体的弹射运动。

我们可以通过列出二次函数来分析弹射运动的高度、时间、最远水平距离等。

2. 变速运动二次函数也常常用于描述物体的运动情况，如物体的位移随时间的变化。

利用二次函数的特性，我们可以分析物体的运动过程。

3. 优化问题二次函数可应用于求解最值问题，如在给定条件下，求函数取得极值时的自变量取值。

二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。

二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质与应用。

一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。

a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。

2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。

一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。

顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。

对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。

当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。

2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。

当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。

三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。

对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。

这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。

2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。

例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。

通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。

二次函数的性质和应用二次函数是一种常见的函数形式，在数学中具有重要的地位。

本文将讨论二次函数的性质和应用，希望能帮助读者更好地理解这种函数形式。

一、二次函数的定义和基本性质二次函数的标准形式为f（x）=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a ≠ 0。

它的图象是一个开口向上或向下的抛物线。

1. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，它的方程式为x=-b/2a。

对称轴把图象分成两个对称的部分。

2. 零点：一个二次函数可以有两个、一个或零个零点。

其中，零点是函数的根，即f（x）=0的解。

3. 最值和顶点：当a>0时，f（x）的最小值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最小值。

当a<0时，f（x）的最大值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最大值。

最小值或最大值统称为顶点。

4. 函数的增减性：当a>0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）<f（x₂）。

当a<0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）>f（x₂）。

二、二次函数的应用1. 抛物线的运动学应用：抛物线可以描述物体的抛体运动轨迹，因此它在物理学中经常被使用。

例如，在高尔夫球运动中，运动员需要考虑到地面的摩擦力和空气的阻力等因素，以确定击球的位置和力度。

抛物线方程可以帮助运动员做出更精确的计算，从而提高得分率。

2. 光学应用：抛物线的形状与光的传播有关。

例如，抛物面反射镜常用于望远镜、卫星通信等光学领域中，因为它可以使光线以特定的角度集中在一个点上，从而使视野更宽广。

3. 非线性回归分析：在生物统计学、社会科学、经济学和金融学等领域中，二次函数经常被用于分析非线性回归方程。

非线性回归是指，回归方程中包含二次函数或更高次的函数。

例如，经济学家常用二次函数分析消费者的支出模式，这会帮助他们预测市场的需求变化。

4. 工程应用：二次函数也可以用于工程领域中的计算。

二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见且重要的一种函数类型。

它的特点是含有二次项的多项式函数，一般的形式为y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）。

本文将探讨二次函数的性质与应用，旨在帮助读者更好地理解和运用二次函数。

1. 二次函数的图像特点二次函数的图像一般为抛物线，其开口的方向与二次项系数a的正负有关。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

此外，二次函数的图像在经过顶点，顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

2. 二次函数的对称性二次函数具有关于顶点对称的性质，即当x轴上的一个点关于顶点对称时，对应的函数值也是相等的。

这一特性可以通过函数关于x=-b/2a的对称性来解释。

3. 二次函数与一次函数的关系若将二次函数的一次项系数b取为0，则得到的函数为f(x)=ax²+c，此时就变成了一元二次方程。

一次函数可以看作是二次函数的一种特殊情况，在一次函数中，a=0，即y=c，其中c为常数。

4. 二次函数的零点二次函数的零点即为函数的根，即f(x)=0的解。

对于一般形式的二次函数，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到它的零点。

根的情况有三种：当判别式b²-4ac>0时，有两个不相等的实根；当判别式b²-4ac=0时，有两个相等的实根；当判别式b²-4ac<0时，没有实根。

5. 二次函数的最值二次函数在抛物线的顶点处取得最值。

当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

6. 二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。

例如，抛物线的运动轨迹、物体自由落体的高度与时间的关系、利润与销量的关系等都可以用二次函数来描述和分析。

通过建立二次函数模型，可以对实际问题进行预测和优化。

总结：二次函数作为一种重要的数学工具，在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。

二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见的一类函数，它的特点是含有二次项的多项式函数，通常表示为y=ax^2+bx+c（其中a、b、c为实数且不全为零），在本文中我们将探讨二次函数的性质与应用。

一、二次函数的基本性质二次函数的图像为抛物线，其性质如下：1. 开口方向：由二次项的系数a的正负决定，若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为二次函数，即抛物线的对称轴为x=-b/2a。

3. 对称性：抛物线关于对称轴对称，即f(x)=f(-b/2a+x)。

4. 零点：二次函数的零点为使得f(x)=0的x值，可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。

二、二次函数的应用由于二次函数具有较为简洁的数学表达式和良好的图像特点，因此在实际问题中有广泛的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 物体运动的模拟二次函数可以用来模拟抛体运动的轨迹。

假设一个物体从地面上沿着水平方向射出，经过一段时间后，它的轨迹可以用二次函数表示。

其中，抛物线的开口方向取决于物体的发射角度和初速度大小，而顶点坐标则可以表示物体的最高和最远点。

2. 经济学中的成本和收益问题在经济学中，成本和收益通常与产量或销售额等变量相关。

二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系，从而帮助企业或个人做出决策。

例如，一个生产商可以通过分析其成本函数来确定最佳产量，从而实现成本最小化。

3. 工程学中的曲线拟合在工程学中，需要对一些实验数据进行拟合，以找出合适的曲线来描述数据之间的关系。

二次函数可以较好地拟合一些非线性数据，因为它具有一定的弹性和灵活性。

通过拟合二次函数，可以预测未知数据点的取值，并帮助工程师做出正确的决策。

4. 地理学中的地形分析地理学研究中，经常需要对地形进行分析和描述。

二次函数可以用来模拟山脉和河流的起伏曲线，帮助研究人员理解地理变量之间的关系，比如高度和距离之间的关系。

二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。

一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。

2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。

设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。

3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。

一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。

4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。

当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。

二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。

抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。

2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。

比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。

3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。

比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。

二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的一般表达式1、 一般式：c bx ax y ++=2（，，为常数，）；2、顶点式：k h x a y +-=2)(（，，为常数，）其中；二次函数知识点总结二次函数的概念二次函数的表达形式一般式顶点式双根式二次函数的图像特点及性质开口方向对称轴函数图像的变化特点最值二次函数系数与图像的关系二次函数与二次方程的关系二次函数中几个常见的函数二次函数平移变换0a ≠b c ，a b c 0a ≠a h k 0a ≠2424b ac b h k a a-=-=，3、 双根式：21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数的图像性质(轴对称图形)1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为， 顶点坐标为．当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．x x 240b ac -≥2y ax bx c =++0a >2bx a=-2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2bx a<-y x 2b x a >-y x 2bx a =-y 244ac b a -0a <2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 244ac b a-a 2y ax bx c =++a 0a ≠0a >a a 0a <a a a a a2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图像与轴的交点个数：① 当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． 和的一半恰好是对称轴的横坐标.② 当时，图像与轴只有一个交点；③ 当时，图像与轴没有交点.当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 2. 抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；b a b 0a >0b >02ba-<y 0b =02ba-=y 0b <02ba->y 0a <0b >02ba->y 0b =02ba-=y 0b <02ba-<y a b c 0c >y x y 0c =y y 00c <y x y c y a b c ，，x 20ax bx c ++=2y ax bx c =++0y =x 240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠12x x ，()200ax bx c a ++=≠12x x ，0∆=x 0∆<x 1'0a >x x 0y >2'0a <x x 0y <2y ax bx c =++y (0)c x⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

学习指导２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀把握三方面,利用二次函数性质解初中二次函数问题◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀董蔚仪㊀㊀摘要:二次函数解答题,对于初中生来说一直是一个很大的困扰．本文中在二次函数的定义㊁性质㊁图象等基础上,通过同类型例题总结怎样把握三方面,利用二次函数的性质,采用数形结合和分类讨论等数学思想方法去解决初中二次函数问题的方法．关键词:二次函数;初中数学;函数性质㊀㊀解答二次函数的大题时,学生常见的问题通常是不知道怎样数形结合㊁怎样分析题目等[１],不会根据二次函数图象的对称性以及对称轴两侧的增减性进行分析．二次函数图象开口方向的不同,对称轴两侧的单调性也不同．开口向上的二次函数的顶点为图象最低点,距离对称轴越近则函数值越小;开口向下的二次函数的顶点为图象最高点,距离对称轴越近则函数值越大．结合上述性质,围绕二次函数可以命制不同的函数问题．其实这类问题只要把握住三方面就可以迎刃而解,下面以几道题目举例说明．１例题剖析例１㊀(２０２１年北京西城区期末)已知抛物线y ＝－１２x ２＋x 经过A (３n ＋４,y １),B (２n －１,y ２)两点,若A ,B 两点在抛物线对称轴两侧,且y １＞y ２,求n 的取值范围．第一方面:审题．了解二次函数,判断二次函数的开口方向,计算对称轴或顶点(求对称轴或者顶点要根据题目而定)．由题意,可知,a ＝－１２,抛物线开口向下,对称轴x ＝－b ２a ＝－１－１＝１．第二方面:转化信息．将题中函数值的大小关系转换为图象上的点到对称轴距离的远近关系．由y １＞y ２及抛物线开口向下,可知函数图象的顶点为最高点．根据单调性,距离对称轴越近函数值越大,因此可以判断点B 到对称轴的距离大于点A 到对称轴的距离．第三方面:分类讨论,数形结合．分类讨论后,结合第二方面进行不等式的计算．(１)讨论给定点间的位置关系．如果给定两点A ,B ,那么有两种位置关系,即A 左B 右或A 右B 左．(如果给定多个点,则需根据给定点的数目进行分类讨论．)(２)讨论给定点与对称轴的位置关系．如果给定两点A ,B ,那么有三种位置关系,即点A ,B 均在对称轴左侧,点A ,B 均在对称轴右侧,点A ,B 分别在对称轴两侧．(如果给定多个点,则需依据题意进行分类讨论．)注意:①此步骤要结合图形分析．②弄清题目已知条件,判断并选择以上分类讨论的内容．③列不等式计算时不要遗漏．例１中已知A ,B 两点在抛物线对称轴两侧,所以无需讨论给定的点与对称轴的位置关系,只需讨论给定点间的位置关系,具体有两种情况,即A 左B 右,A 右B 左．图１㊀㊀㊀图２(ⅰ)A 左B 右:如图１,根据点A ,B 的坐标和第二方面A ,B 两点到对称轴的距离分析,可以得不等式２n －１＞１,３n ＋４＜１,２n －１－１＞１－(３n ＋４)．{此不等式组无解．(ⅱ)A 右B 左:如图２,同上述步骤可得不等式２n －１＜１,３n ＋４＞１,３n ＋４－１＜１－(２n －１)．{解得－１＜n ＜－１５．综上,－１＜n ＜－１５．例２㊀(２０２３年北京版万维中考试题研究)已知抛物线y ＝x ２－４m x ＋４m ２－１,若这条抛物线经过点８５２０２３年１２月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀P(２m＋１,y１),Q(２m－t,y２),且y１＜y２,求t的取值范围．第一方面:审题．了解二次函数．由题意可知a＝１,抛物线开口向上,对称轴x＝－b２a＝－－４m２＝２m．第二方面:转化信息．将题中函数值的大小关系转换为图象上的点到对称轴距离的远近关系．由y１＜y２及抛物线开口向上,可知图象有最低点,且点P距离对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离．第三方面:分类讨论．结合第二方面进行不等式的计算．由P(２m＋１,y１),Q(２m－t,y２)和对称轴x＝２m可知,无论t取何值,点P均在对称轴右侧,即只需讨论点Q与对称轴的位置关系即可．图３㊀㊀㊀图４①点Q在对称轴右侧:结合图３可得不等式２m－t＞２m＋１,解得t＜－１．②点Q在对称轴左侧:结合图４可得不等式２m－(２m－t)＞２m＋１－２m．解得t＞１．综上,t＞１或t＜－１．总结:(１)相比于例１,例２并没有确定的二次函数解析式,但是画出已知条件确定的大致图象进行分析也可以计算出参数的取值范围．(２)例２可判断出无论t取何值点P均在对称轴右侧,这里更考查了对 给定点与对称轴位置关系 进行分类讨论的理解程度．(３)列含多未知参数不等式时,要注意列能够消去多余参数的不等式．２真题演练例３㊀(２０２０年北京中考)在平面直角坐标系x O y中,M(x１,y１),N(x２,y２)为抛物线y＝a x２＋b x＋c(a＞０)上任意两点,其中x１＜x２．(１)若抛物线的对称轴为直线x＝１,当x１,x２为何值时,y１＝y２＝c(２)设抛物线的对称轴为直线x＝t．若对于x１＋x２＞３,都有y１＜y２,求t的取值范围．第(１)问要用好二次函数的对称轴[２]．由抛物线的解析式y＝a x２＋b x＋c,可知函数恒过定点(０,c),又y１＝y２＝c且x１＜x２,所以x１＝０．再由二次函数的对称性可知,点M,N关于对称轴对称,即点M,N到对称轴的距离相等,由此可列得１－x１＝x２－１,解得x２＝２．所以,当x１＝０,x２＝２时,y１＝y２＝c．第(２)问同样从三个方面进行解答．(２)第一方面:审题．了解二次函数．由题可知,a＞０,抛物线开口向上,对称轴为x＝t．第二方面:转化信息．将题中函数值的大小关系转换为图象上的点到对称轴距离的远近关系．由题中y１＜y２且抛物线开口向上,可知图象有最低点,由上述函数值的大小关系可判断点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离．第三方面:分类讨论㊁数形结合．分类讨论后,结合第二方面进行计算．由x１＜x２可知,点M,N之间的位置关系确定,点M在点N的左侧．所以只需讨论定点与对称轴的位置关系,一共有三种情况．①点M,N均在对称轴左侧．由第二方面推出的点M离对称轴更近,且点M 在点N左侧,矛盾,故第一种情况不满足条件．②点M,N均在对称轴右侧,如图５．图５㊀㊀㊀图６由图象可知xȡt时,恒有y１＜y２．③点M,N在对称轴异侧,其中点M在对称轴左侧,点N在对称轴右侧,如图６．由图象可知,x２－t＞t－x１,解得x１＋x２＞２t．又x１＋x２＞３,所以２tɤ３,解得tɤ３２．综上,tɤ３２．３总结通过以上三个例题分析发现,把握三个方面可以清晰地分析题目,进而运用数形结合和分类讨论等思想方法及二次函数的性质,解决同类型二次函数的大题,减少学生面对二次函数大题的困惑,提升学生的数学核心素养．参考文献:[１]黄亚军．初中生二次函数学习的难点与解决对策研究[J]．数学大世界(上旬),２０２２(５):６８Ｇ７０．[２]孙辉．用好二次函数图象的对称轴[J]．中学生数学,２０１４(１２):４Ｇ５．Z９５。

二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常考的难点之一。

本文将从三个方面进行探讨，分别是二次函数的定义和性质、三角形面积公式以及如何利用二次函数求解三角形面积定值问题。

一、二次函数的定义和性质二次函数是一种以 x 的平方为自变量的函数，通常的表达式为y=ax²+bx+c。

其中，a、b、c 分别是常数，a 不等于零。

二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其中顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

二次函数具有以下性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，方程为 x=-b/2a。

2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，方程为 ax²+bx+c=0。

3. 单调性：当 a 大于零时，二次函数开口朝上，图像在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，二次函数开口朝下，图像在顶点处取得最大值。

4. 范围：当 a 大于零时，二次函数的值域为 [c-b²/4a, +∞)；当a 小于零时，二次函数的值域为 (-∞, c-b²/4a]。

二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式，其表达式为S=1/2bh，其中S 表示三角形面积，b 和h 分别表示底边和高。

此外，还有两个重要的推论：1. 海伦公式：当已知三角形的三边长 a、b、c 时，可以利用海伦公式求出三角形面积 S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。

2. 正弦定理：当已知三角形的一个角度和两边长时，可以利用正弦定理求出第三边长，从而进一步计算出三角形面积。

正弦定理的表达式为 a/sinA=b/sinB=c/sinC。

三、利用二次函数求解三角形面积定值问题在高中数学中，经常会遇到给定三角形底边和两条高的长度，求解三角形面积的问题。

此类问题通常可以通过构建二次函数来解决。

以一个例子来说明：已知三角形底边长为 8，两条高分别为 6 和 10，求解该三角形的面积。

二次函数的性质与应用二次函数是高中数学中的重要内容，它具有独特的性质和广泛的应用。

本文将重点介绍二次函数的性质和应用，从而帮助读者全面了解和掌握二次函数的相关知识。

一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c ，其中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线，具体的形状取决于二次项系数 a 的正负情况。

二、二次函数的性质二次函数具有很多重要的性质，下面将对其中几个常见的性质进行详细介绍。

1. 零点：二次函数的零点即其图像与 x 轴的交点，可以通过求解方程 f(x) = 0 来获得。

根据二次函数的性质，若判别式 D = b^2 - 4ac 大于零，则函数有两个不相等的实根；若 D 等于零，则函数有两个相等的实根；若 D 小于零，则函数没有实根。

2. 非负性：二次函数的非负性指函数值大于等于零，可以通过判别式 D 的值来确定。

当 D 大于等于零时，函数的图像在其两个实根之间的部分大于等于零；当 D 小于零时，函数的图像要么完全位于 x 轴上方，要么完全位于 x 轴下方。

3. 极值：二次函数在抛物线的顶点处取得极值，其极值点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 来计算。

若 a 大于零，则抛物线开口朝上，极值是最小值；若 a 小于零，则抛物线开口朝下，极值是最大值。

三、二次函数的应用1. 抛物线的建模：许多现实生活中的问题可以通过二次函数来建立模型，并求解相关的问题。

例如，抛物线的形状可以用二次函数来描述，我们可以利用二次函数的性质来分析抛物线的最高点、最远距离等问题。

2. 物体的运动轨迹：在物理学中，许多物体的运动轨迹都可以用二次函数进行描述。

例如，自由落体运动的轨迹可以用二次函数来建模，我们可以通过分析二次函数的性质来研究物体的速度、加速度、运动时间等问题。

3. 经济学中的应用：在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润、需求等与价格相关的关系。

高中数学二次函数的零点情况及根的性质分析二次函数是高中数学中的重要内容，它的零点情况和根的性质对于理解和应用二次函数都具有重要意义。

在本文中，我将详细探讨二次函数的零点情况以及根的性质，并通过具体的题目举例，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、二次函数的零点情况首先，我们来分析二次函数的零点情况。

对于一般的二次函数f(x)=ax^2+bx+c （其中a≠0），它的零点就是使得f(x)=0的x值。

根据二次函数的性质，它的零点可能有三种情况：1. 有两个不相等的实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac大于0时，方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

例如，考虑函数f(x)=x^2-5x+6，它的判别式D=(-5)^2-4×1×6=1，大于0。

因此，方程x^2-5x+6=0有两个不相等的实数根x=2和x=3。

这种情况下，二次函数的图像与x轴交于两个点。

2. 有两个相等的实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac等于0时，方程ax^2+bx+c=0有两个相等的实数根。

例如，考虑函数f(x)=x^2-4x+4，它的判别式D=(-4)^2-4×1×4=0，等于0。

因此，方程x^2-4x+4=0有两个相等的实数根x=2。

这种情况下，二次函数的图像与x轴相切于一个点。

3. 没有实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac小于0时，方程ax^2+bx+c=0没有实数根。

例如，考虑函数f(x)=x^2+1，它的判别式D=0^2-4×1×1=-4，小于0。

因此，方程x^2+1=0没有实数根。

这种情况下，二次函数的图像与x轴没有交点。

通过上述例子，我们可以看出二次函数的零点情况与判别式的大小有关。

当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，函数有两个相等的实数根；当判别式小于0时，函数没有实数根。

二、二次函数根的性质除了零点情况，二次函数的根还具有一些重要的性质。

二次函数表达式、性质及其应用
1、二次函数表达式
①一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0,a、b 、c 为常数)。

②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,h、k 为常数)；
③二交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0)（适用于抛物线与x 轴有交点的情形）。

3、经典题例
如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且0<x 1<1, 1<x 2<2与y 轴交于点（0,2）
下列结论
①2a+b>-1 ②3a+b>0 ③a+b<-2 ④a>0 ⑤a-b<0 ⑥8a-b 2<0,其中正确的是①②③④⑥
〖解析〗：对于二次函数图像判断结论，我们一般总结出一句话：一口，二轴，三顶点，交点之后再增减。

由此可判断：
①a>0
②–b/2a>0,b<0
③顶点（-b/2a,(4ac-b2)/4a）
④b2-4ac>0,c=2,代入后得到b2-8a>0
⑤a+b+c<0,故而a+b+2<0
4a+2b+c>0,故而4a+2b+2>0，即2a+b+1>0
由以上两式可以推出3a+b>0
另外，这一题，也可以运用特值法，如x1=0.5, x2=1.5,通过交点解析式代入求得a 和b的值，从而判断各选项。

二次函数的实际应用总结二次函数是高中数学中重要的一类函数。

它具有形如y=ax^2+bx+c的特点，其中a、b、c是实数且a不等于0。

二次函数有许多实际应用，涉及到物理、经济和生活中的各种问题。

本文将总结几个二次函数的实际应用。

一、物体自由落体物体自由落体是一个常见的物理问题，可以用二次函数来描述。

当一物体从高处自由落下时，它的高度与时间之间的关系可以由二次函数表示。

设物体自由落下的高度为H（米），时间为t（秒），重力加速度为g（9.8米/秒²），则有公式H = -gt²/2。

其中负号表示高度的减小，因为物体向下运动。

通过这个二次函数，我们可以计算物体在不同时间下的高度，进而研究物体的运动规律。

例如，我们可以计算物体自由落地所需的时间，或者计算物体在某个时间点的高度。

这在工程设计和物理实验中具有重要意义，帮助我们预测和控制物体的运动。

二、开口向上/向下的抛物线二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

对于开口向上的抛物线，我们可以将其应用到生活中的一些情景。

比如，一个喷泉的水柱，水流高度与时间之间的变化可以用开口向上的二次函数来描述。

同样，开口向下的抛物线也有实际应用。

例如，一个弹簧的变形量与受力之间的关系常常是开口向下的二次函数。

通过了解抛物线的性质和方程，我们可以更好地理解和解决与之相关的问题。

三、经济学中的应用二次函数在经济学中也有广泛的应用。

例如，成本函数和收入函数常常是二次函数。

企业的成本与产量之间的关系可以用二次函数来刻画。

同样，市场需求和供给也可以用二次函数来表达。

在经济学中，研究成本、收入、需求和供给的函数对于决策和市场分析至关重要。

通过对二次函数的运用，我们可以计算某一产量下的成本和收入，并了解市场价格的影响因素。

这有助于企业决策和经济政策的制定。

四、其他实际应用除了以上提到的应用，二次函数还可以用于建模和预测其他实际问题。

二次函数与三角函数的关系二次函数和三角函数在数学中都是非常重要的概念，它们在许多数学问题和实际应用中起着重要的作用。

本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并分析它们在数学和物理中的应用。

一、二次函数的定义和性质二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个抛物线，它的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

二次函数的性质包括：1. 对称性：二次函数关于抛物线的顶点具有轴对称性，即f(x) = f(-x)。

2. 开口方向：a的正负决定了二次函数的开口方向，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

3. 零点和判别式：二次函数的零点是方程ax^2 + bx + c = 0的解，判别式b^2 - 4ac可以确定二次函数的零点情况。

二、三角函数的定义和性质三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)等。

它们是以角度或弧度作为自变量的函数。

三角函数的定义和性质如下：1. 正弦函数(sin)：在直角三角形中，正弦函数表示的是对边与斜边的比值，即sinθ = opp osite/hypotenuse。

2. 余弦函数(cos)：在直角三角形中，余弦函数表示的是邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。

3. 正切函数(tan)：在直角三角形中，正切函数表示的是对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。

4. 周期性：三角函数都具有周期性，其中正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。

三、二次函数和三角函数之间的关系1. 正弦函数与二次函数的关系：正弦函数的图像可以用二次函数来逼近，具体地，可以使用形式为f(x) = a*sin(bx + c) + d的二次函数来逼近正弦函数的周期部分。

其中，a决定了振幅，b影响了周期，c表示水平方向的平移，d表示垂直方向的平移。

二次函数的图像性质及应用二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。

在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。

一、图像性质1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。

当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。

2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。

这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。

3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。

对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。

4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。

首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。

二、应用1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。

例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。

2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。

例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。

3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。

例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。

4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。

总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。

而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。

通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。

二次函数与三次函数的性质比较在高中数学中，二次函数和三次函数都是很重要的函数类型。

它们在数学及其它学科中有广泛的应用，因此，深入了解它们的性质及其比较是很重要的。

以下是二次函数与三次函数的性质比较。

1. 定义二次函数是指函数 $y = ax^2+bx+c$，其中 $a\ne 0$。

它是一个二次多项式函数，其图像为开口向上或向下的抛物线。

三次函数是指函数 $y = ax^3+bx^2+cx + d$，其中 $a\ne 0$。

它是一个三次多项式函数，其图像通常呈现 S 曲线形态。

2. 对称性质二次函数的图像是关于其顶点对称的，在抛物线的开口方向垂直于轴线的方向与轴断面重合的位置处，有一个顶点。

顶点的横坐标为 $x = -\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = c-\frac{b^2}{4a}$。

此外，二次函数的图像在横轴上有一条对称轴，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。

而三次函数的图像通常具有对称性，其对称轴通常是 $x$ 轴或 $y$ 轴，或经过其中某个极值点。

3. 单调性二次函数的单调性和其开口方向有关。

若开口向上，则函数在$(-\infty,-\frac{b}{2a})$ 上单调递增，在 $(-\frac{b}{2a},+\infty)$ 上单调递减；若开口向下，则函数在 $(-\infty,-\frac{b}{2a})$ 上单调递减，在 $(-\frac{b}{2a},+\infty)$ 上单调递增。

三次函数的单调性则要依据其导数的正负性来分析。

当导数 $f'(x)>0$ 时，函数单调递增；当导数 $f'(x)<0$ 时，函数单调递减。

4. 零点二次函数的零点可以通过求解 $ax^2+bx+c=0$ 得到。

其判别式为 $D=b^2-4ac$，若 $D>0$，则有两个不同实根；若 $D=0$，则有一个重根；若 $D<0$，则无实根。

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。