人教b版数学必修三：2.3《变量的相关性(1)》导学案(含答案)

§2.3 变量的相关性课时目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的回归直线方程系数公式建立回归直线方程．1．两个变量间的相互关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的______关系，另一类是带有随机性的______关系． 2．相关关系的分类(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也____________，这种相关称为正相关．(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值____________，这种相关称为负相关． 3．散点图在一个统计数表中，为了更清楚地看出x 和y 是否具有相关关系，常将x 的取值作为_ _________，将y 的相应取值作为________，在直角坐标中描点___，这样的图形叫散点图．4．回归直线方程 一般地，设x 和y 是具有相关关系的两个变量，且对应于n 个观测值的n 个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线方程y ^＝a ^＋b ^x ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝ a ^＝ .我们将这个方程叫做y 对x 的________________，b ^叫做__________，相应的直线叫做回归直线． 5．最小二乘法设x 、y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx ，当x 取值x i (i ＝1,2，…，n)时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n)刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝______________________作为总离差，并使之达到______．这样，回归直线就是所有直线中Q 取__________的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“________________”的方法，叫最小二乘法．一、选择题1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系？( ) A ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 B ．圆半径与圆的面积C ．正n 边形的边数与内角度数之和D ．人的年龄与身高2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元D ．劳动生产率为1千元时，工资90元4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是( ) A .y ^＝－10x ＋200 B .y ^＝10x ＋200C .y ^＝－10x －200 D .y ^＝10x －2005．给出两组数据x 、y 的对应值如下表，若已知x 、y 是线性相关的，且回归直线方程：y ^＝a ^＋b ^x ，^^A . 17.4 C ．0.6 D ．－0.6 6．回归直线方程表示的直线y ^＝a ^＋b ^x 必经过点( ) A ．(0,0) B ．(x ，0) C ．(x ，y ) D ．(0，y )7．若对某个地区人均工资x 与该地区人均消费y 进行调查统计得y 与x 具有相关关系，且回归直线方程y ^＝0.7x ＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归直线方程y ^＝3－2.5x ，当变量x 增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^ ＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分． 三、解答题10．11．5画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归直线方程．能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度x(℃) 0 10 20 50 70 溶解度y 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0则由此得到回归直线的斜率约为________．13．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位从192～3246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006 2×轮船吨位．(不足1人的舍去)(1)假设两轮船吨位相差1 000吨，船员人数平均相差多少？(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少？对于最大的轮船估计的船员人数是多少？1． 由最小二乘法得⎩⎨⎧b ^＝∑n i ＝1(x i－x )(y i－y )∑n i ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i－n x y ∑n i ＝1x 2i－n x 2a ^ ＝y －b ^x其中：b ^是回归直线方程的斜率，a ^是截距． 2． 回归直线方程的求解过程 计算x ，y，∑ni ＝1x 2i ，∑n i ＝1x i y i计算b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^ ＝y －b ^xy ^＝b ^x ＋a ^3．在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，当回归系数b ^>0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b ^个单位；当b ^<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少|b ^|个单位．§2.3 变量的相关性知识梳理1．函数 相关 2.(1)由小变大 (2)由大变小 3．横坐标 纵坐标 (x i ，y i )(i ＝1,2，…，n) 4.∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2y －b ^x 回归直线方程 回归系数5.∑n i ＝1 (y i －a －bx i )2 最小 最小值 离差平方和为最小 作业设计 1．D 2．D 3．C 4．A5．A x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ^＝y －b ^x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4.由a ^＝y －b ^x 得y ＝b ^x ＋a ^，即点(x ，y )适合方程y ^＝b ^x ＋a ^.7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ，则y ＝0.7x ＋2.1， 当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12. 10.512×100%＝87.5%.8．减少2.5解析 y ^′＝3－2.5(x ＋1)＝3－2.5x －2.5＝y ^－2.5， 因此，y 的值平均减少2.5个单位． 9．20解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.10．解 x ＝706＝353，y ＝2306＝1153，∑6i ＝1x 2i ＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i ＝1x i y i ＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ^ ＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝3 474－6×353×11531 286－6×(353)2≈1.68，a ^＝y －b ^ x ≈18.73，即所求的回归直线方程为y ^＝1.68x ＋18.73.11．解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关． 列表，计算i 12 3 4 5 x i 80 75 70 65 60 y i 70 66 68 64 62 x i y i 5 600 4 950 4 760 4 160 3 720 x 2i6 4005 6254 900 4 2253 600x ＝70，y ＝66，∑5i ＝1x 2i ＝24 750，∑5i ＝1x i y i ＝23 190 设所求回归直线方程为y ＝b x ＋a ，则由上表可得 b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝90250＝0.36， a ^ ＝y －b ^x ＝40.8.∴所求回归直线方程为y ^＝0.36x ＋40.8. 12．解析 x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i ＝7 900， ∑5i ＝1x i y i ＝17 035，所以回归直线的斜率 b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.13．解 (1)由y ^＝9.5＋0.006 2x 可知，当x 1与x 2相差1 000吨时，船员平均人数相差y ^1－y ^2＝(9.5＋0.006 2x 1)－(9.5＋0.006 2x 2)＝0.006 2×1000≈6(人)．(2)当取最小吨位192时，预计船员人数为y ^＝9.5＋0.006 2×192≈10(人)． 当取最大吨位3 246时，预计船员人数为y ^＝9.5＋0.006 2×3 246≈29(人)．。

2.3变量的相关性自主学习学习目标1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．2．经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．自学导引1．两个变量间的相互关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的________关系，另一类是带有随机性的________关系．2．相关关系的分类(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也____________，这种相关称为正相关．(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值____________，这种相关称为负相关．3．散点图在一个统计数表中，为了更清楚地看出x 和y 是否具有相关关系，常将x 的取值作为________，将y 的相应取值作为________，在直角坐标中描点____________________，这样的图形叫散点图．4．回归直线方程一般地，设x 和y 是具有相关关系的两个变量，且对应于n 个观测值的n 个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线方程y ^＝a ^＋b ^x ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝ ，a ^＝ .我们将这个方程叫做y 对x 的________________，b ^叫做____________，相应的直线叫做回归直线．5．最小二乘法设x 、y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx ，当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝________________作为总离差，并使之达到________．这样，回归直线就是所有直线中Q 取________的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“____________________”的方法，叫最小二乘法．对点讲练知识点一 相关关系的判断例1根据你的生活经验及掌握的知识，将下列所有你认为正确的结论填入题空中．①一般的，学生的数学成绩与物理成绩之间是正相关的；②一般的，学生的数学成绩与英语成绩是负相关的；③一块农田的水稻产量与施肥量之间是相关关系；④对于在校儿童，脚的大小与阅读能力有很强的相关关系．以上正确的结论是________．变式迁移1下列两变量中具有相关关系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积C．人的年龄与身高D．人的身高和体重知识点二散点图的应用例2某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：(施化肥15202530354045量x水稻产330345365405445450455量y变式迁移25学生学科 A B C D E数学8075706560物理7066686462知识点三回归直线方程及应用例3 随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并使用年限x 2 3 4 5 6 总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料，知(1)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的回归系数a ^、b ^；(2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？变式迁移3 某厂某产品的产量x (单位：千件)与单位成本y (单位：万元/千件)的对应数据如下：x 29 28 28.5 29.5 30 31 30 29 y 500 510 504 494 493485 492 498(2)若y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程； (3)预测产量x ＝25千件时的单位成本．1．相关关系与函数关系(1)相同点：两者均是指两个变量的关系． (2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．用回归直线进行拟合两变量关系的线性相关的一般步骤为： (1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a ^、b ^，并写出线性回归方程．3．在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表x 每增加一个单位，y 平均增加的单位数．一般地说，当回归系数b ^>0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b ^个单位；当b ^<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少|b ^|个单位.课时作业一、选择题1．下列两变量中不属于相关关系的是( ) A ．产品的成本与产量 B ．家庭的收入与支出 C ．球的表面积与体积 D ．吸烟与健康2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 3．设一个回归方程为y ^＝3－1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减小3个单位4．2003年春季，我国部分地区SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS 病患治愈者日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 人数 100 109 115 118 121 134 日期 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人数 141 152 168 175 186 203下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系； ③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%；④后三天中每天治愈出院的人数均超过这12天内北京市SARS 病患治愈者总人数的10%.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．回归方程为y ^＝1.5x －15，则( ) A.y ＝1.5x －15B ．15是回归系数a ^C ．1.5是回归系数a ^D ．x ＝10时，y ＝0 二、填空题6．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④圆的周长与面积的关系是相关关系；⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．其中正确的命题序号是________．7．已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为________．8．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度x (℃) 0 10 20 50 70 溶解度y 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0三、解答题9．一般来说，一个人的身高越高，他的手就越大，为调查这一问题，对某校10名高一男生的身高与右手长度进行测量得到如下数据(单位：cm)：身高 168 170 171 172 174 176 178 178 180 181 右手长度19.0 20.0 21.0 21.5 21.0 22.0 24.0 23.0 22.5 23.0(2)如果具有线性相关关系，求回归方程；(3)如果一名同学身高为185 cm ，估计他的右手长．(精确到小数点后一位)§2.3 变量的相关性自学导引1．函数 相关2．(1)由小变大 (2)由大变小3．横坐标 纵坐标 (x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)4.∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2y －b ^x 回归直线方程 回归系数5.∑ni ＝1 (y i －a －bx i )2 最小 最小值 离差平方和为最小 对点讲练例1①③④解析①由于数学是自然科学的基础，数学成绩好，往往有利于学好与之相关联的学科，特别是物理，实际统计情况也是如此．所以①是正确的．②在时间有限的情况下，数学学习投入多，英语学习投入就少，反之亦然．于是就断定二者成绩是负相关的．这种主观臆断是错误的．因为实际情况是：有不少学生数学成绩与英语成绩都好或者是都不好．所以②是错误的．③一般情况下，一块农田的水稻产量与施肥量之间是相关的．④有很强的相关关系．这是因为在校儿童随着年龄的增长阅读能力在变强，而年龄增长了，脚也在长大．脚的大小和阅读能力之间无因果关系，而是通过第三个因素“年龄”沟通起来的．变式迁移1D[A、B具有确定性的函数关系．C无相关关系．一般地，身高越高，体重越重，是相关的．]例2解作出散点图进行分析．散点图如下：从散点图可以看出施化肥量x和水稻产量y的确存在一定相关关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加．可见散点图能直观形象地反映两个变量的相关程度．变式迁移2解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系．例3i 12 3 4 5 x i 2 3 4 5 6 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 x i y i 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 2i4916 25 36 x ＝4，y ＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3于是b ^＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23； a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08. (2)线性回归直线方程是y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10(年)时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时，支出总费用是12.38万元． 变式迁移3 解 (1)散点图如下：(2)x ＝29.375，y ＝497，∑8i ＝1x 2i ＝6 909.5，∑8i ＝1y 2i ＝1 976 494， ∑8i ＝1x i y i ＝116 744.∴b ^＝∑8i ＝1x i y i －8x y ∑8i ＝1x 2i －8x2＝－516.375＝－8， a ^＝497－(－8)×29.375＝732， ∴y ^＝－8x ＋732.(3)当x ＝25时，y ^＝－8×25＋732＝532(万元/千件)． 课时作业1．C [球的表面积与体积是函数关系．] 2．D 3．C 4．B 5．A 6．②⑤ 7．11.69 8．0.880 9解析 x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i ＝7 900， ∑5i ＝1x i y i ＝17 035，所以回归直线的斜率 b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.9．解 (1)散点图如下图所示：可见，身高与右手长之间的总体趋势成一条直线，即它们线性相关． (2)设回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x. 根据以上数据可由计算器计算得 x ＝174.8，y ＝21.7， ∑10i ＝1x 2i ＝305 730，∑10i ＝1x i y i ＝37 986. ∴b ^ ＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10i ＝1x 2i－10x2＝37 986－10×174.8×21.7305 730－10×174.82≈0.303，a ^＝y －b ^x ≈－31.264.∴回归直线方程为y ^＝0.303x －31.264. (3)当x ＝185时，y ^ ＝0.303×185－31.264 ＝24.791.故该同学的右手长可估测为24.8 cm .。

提出问题（1）粮食产量与施肥量有关系吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断.讨论结果：（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.（2）相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系, 例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系, 例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.（3）两个变量间的相关关系的判断：①散点图: (散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图)②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.(a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系)③正相关、负相关:正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）应用示例例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与体重之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系知能训练以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？解：（1）数据对应的散点图如下图所示：§2.3.2两个变量的线性相关提出问题（1）什么是线性相关？ （2）什么叫做回归直线？（3）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？ 讨论结果（1）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.（2）如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程) （3）实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.)1(,)())((2121121x b y a x n x yx n yx x x y y x x b n i i ni ii n i i ni i i其中，b 是回归系数，a 是截距. 推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )，且所求回归方程是^y =bx+a,,其中a 、b 是待定参数.当变量x 取x i (i=1,2,…,n)时可以得到^y =bx i +a(i=1,2,…,n),它与实际收集到的y i 之间的偏差是y i -^y =y i -(bx i +a) (i=1,2,…,n).这样，用这n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y i -^y ）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用∑=-ni i iy y1^||来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2 =()21^∑=-ni ii y y②来刻画n 个点与回归直线在整体上的偏差.这样，问题就归结为:当a,b 取什么值时Q 最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b 的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square ）. 应用示例(2)求出回归直线的方程.解：(1)散点图如下图．故可得到 b=230770003.39930787175⨯-⨯⨯-≈4.75, a=399.3-4.75×30≈257.从而得回归直线方程是^y =4.75x+257.例2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验,解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：∑===1012,7.91,55i ix y x =38 500,∑=1012i iy =87 777,∑=101i i i y x =55 950.b=2210121015510385007.915510559501010⨯-⨯⨯-=--∑∑==x xyx yx i ii ii≈0.668. a=x b y -=91.7-0.668×55≈54.96.因此,所求线性回归方程为^y =bx+a=0.668x+54.96.点评：对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数a,b 的计算公式,算出a,b ．求线性回归方程的步骤：计算平均数y x ,；计算x i 与y i 的积,求∑x i y i ；计算∑x i 2；将结果代入公式求b ；用a=x b y -求a ；写出回归直线方程． 知能训练1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ） A.^y =5.75-1.75x B.^y =1.75+5.75x C.^y =1.75-5.75x D.^y =5.75+1.75x设y 对x 呈线性相关关系．试求： （1）线性回归方程^y =bx+a 的回归系数a,b ； （2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？课堂小结1．求线性回归方程的步骤： （1）计算平均数y x ,； （2）计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ; （3）计算∑x i 2,∑y i 2，(4)将上述有关结果代入公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a x n x yx n yx x x y y x x b n i i ni ii ni i ni i i ,)())((1221121求b,a,写出回归直线方程．2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.。

课题：变量间的相关关系授课教师：杨扬教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修3 人教B版从散点图中，可以更清楚地看出随着气温的升高，空调销量也有增加的趋势因此，要判断两变量是否有相关关系，我们可以借助——散点图与图表比较散点图有什么优点？——更直观，形象，容易得到相关信息教师用Ece演示散点图的操作过程3相关关系的分类：正相关，负相关练习：1下面是某小卖部9天卖出的热饮的杯数与当天天气温度的散点图，请判断两个变量是否具有相关关系？2请判断以下两个变量是否具有相关关系？其他学生在学案上完成发现两变量的变化趋势，类比函数的单调性引出相关关系的分类：正相关和负相关请画图的学生描述两变量的关系特征学生回答：是相关关系，负相关学生用已知的知识来研究未知的事物，并且渗透函数思想，为后面学习回归直线方程做铺垫联系函数的相关知识，体现了知识的迁移数学与计算机技术的融合，让学生体会现代信息技术的广有的同学可能有这样的疑问：我们为什么要学习相关关系呢？函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是更为一般的情况，因此研究相关关系可以处理更广泛的数学问题五、学生活动（一）给出本班10名学生期中考试的数学以及物理成绩，请对成绩进行分析：姓名数学物理夏晗77 80张铭梁74 73何颖媛69 73支张69 61薛闻达67 63拉巴雍措66 54李泽昂60 56孙雨59 48杜思旭55 37具浩宇48 281画出散点图，并判断是否具有相关关系？2通过分析，你能得到什么结论？学生回答：没有规律，是离散的点，不具有相关关系，学生活动5分钟，先独自完成散点图，再分析数据特征教师巡视，进行指导泛应用，同时为作业中用Ece拟合函数做基础深化概念,了解散点图可以判断相关关系的功能，并且从散点图上看出是正相关还是负相关，深刻体会到散点图的作用说明：“数理不分家”，它们之间的关系是正相关事实上，两个成绩都是随机变量1影响成绩的因素有哪些？2假如一名同学的数学成绩是70分，你能估测他的物理成绩吗？从趋势上看，可以估计是60分左右，但是不能确定，因为影响物理成绩的因素有很多从整体上看，散点图的形状接近什么函数？——一次函数，所以我们可以用一次函数来对散点图进行拟合定性分析——定量分析——进行预测（二）回到引例,气温升高空调销量上升,假如你是销售部经理，明天的气温是31℃,你该作何准备？看视频截取，卖场经理也在做预测如何画出这条直线？在画直线时，怎样能更贴近它的真实值是下节课的内容展示台展示学生作图，并提问学生回答问题1，是相关关系，是正相关提问成绩较好的同学，说出影响成绩的因素提问学生，关注学生的回答，进行分析解释截取视频中预测一让学生体会到数学的重要性，它是学好其他理科的必备工具并对学习方法进行总结，引导学生如何学好数学让学生体会到研究相关关系九、教学反思在前面的学习中，学生对统计学有了一定的认识和理解，在生活中统计学应用很广泛。

2.3变量的相关性【入门向导】西方流传的一首民谣丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国．马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多大呢？显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么样的关系？相关关系我们可以从以下三个方面加以认识：(1)相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系．(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，还可能是伴随关系．(3)函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．例1有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中是相关关系的是________．解析②⑤中两变量间的关系是函数关系；①③④中两变量的关系是非确定性关系，是相关关系．答案①③④将样本中的n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．根据散点图中点的分布趋势可直观地判断并得出两个变量的关系．散点图定义在具有相关关系的两个变量基础上，借助散点图，我们可以看两个变量关系的密切程度，进行相关回归分析．如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们称正相关；如果散点图中的点散布在左上角到右下角的区域，我们称为负相关．例2x 24568y 30 40 6050 70试就此数据判断x 与y 之间是否有相关关系． 分析 怎样看两变量之间是否有相关关系呢？从数据表中看得出来吗？目前，简明直观的方法是画出散点图．解 根据所给数据，画出散点图如下图．由图可知，这些点大致位于一条直线的附近，故知广告支出费x 与销售额y 之间具有相关关系．在观察散点图特征时，我们会发现有时各点大致分布在一条直线的附近，且可以画出不止一条类似的直线，而最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征，即为n 个偏差的平方和最小．设所求直线方程y ^＝a ＋bx ，其中a ，b 是待定系数，则y ^i ＝a ＋bx i (i ＝1,2，…，n )．于是得到各个偏差y i －y ^i ＝y i －(bx i ＋a )(i ＝1,2，…，n )．显然，偏差y i －y ^i 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n 个偏差的平方和Q ＝∑n i ＝1(y i －bx i －a )2.采用最小二乘法可求出使Q 为最小值时的a 和b . b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2， a ^＝y －b ^x ， 其中x ＝1n ∑n i ＝1x i ，y ＝1n ∑ni ＝1y i.x 151152153154156157158160160 162 163 164 y40 41 41 41.5 42 42.5 43 44 45454645.5(1)画出散点图；(2)如果变量x 、y 有线性关系，求出回归直线方程. 解 (1)画出散点图．(2)由(1)得变量x 、y 具有线性相关关系．用计算器求得回归直线方程：y ^＝0.450x －27.759.1．散点图及回归直线方程在实际中的应用有误例1 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一人均GDP (万元) 10 8 6 4 3 1 患白血病 的儿童数351312207175132180(1)画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；(2)通过计算可得两个变量的回归直线方程为y ^＝23.25x ＋102.25，假如一个城市的人均GDP 为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？错解 (1)根据表中数据画出散点图，如图所示，从图可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线的附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．(2)将x ＝12代入y ^＝23.25x ＋102.25， 得y ^＝23.25×12＋102.25＝381.25>380， 所以上述断言是正确的．错解辨析 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.正解 (1)根据表中数据画散点图，如错解图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．(2)将x ＝12代入y ^＝23.25x ＋102.25，得y ^＝23.25×12＋102.25＝381.25>380，即便如此，但因381.25只是一个估计值，会受其他情况的影响，所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．2．忽略线性相关关系的判断致误在学习本章内容时，很多同学总是认为，只要是给出数据，就一定存在线性相关关系，当然一定可以求回归直线方程；其实不然，并非给出数据，就有线性相关关系，即便是求出回归直线也不一定有价值．例2 假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：x /年 123456y /万元5.0 0.8 0.56.57.0 1.2根据资料判断y 对x 是否呈线性相关关系？若存在，借助回归直线方程估计使用年限为10年时，维修费用大约是多少？若不存在，请根据资料，求出第二年到第五年维修费用总共是多少？错解 由于x ＝3.5，y ＝3.5，∑6i ＝1x 2i ＝91， ∑6i ＝1x i y i ＝76.3， b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝2.817.5＝0.16， a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.16×3.5＝2.94， 于是回归直线方程为y ^＝0.16x ＋2.94，当x ＝10(年)时，y ^＝0.16×10＋2.94＝4.54(万元)．正解 先画出散点图，如下图所示．观察这个散点图，这些点没有分布在一条直线附近，所以y 对x 不呈线性相关关系． 由于第二年到第五年的维修费用表中已经给出，所以总费用W ＝0.8＋0.5＋6.5＋7.0＝14.8(万元)，即第二年到第五年的维修费用为14.8万元.1．数形结合的思想方法数形结合是统计内容中一个很突出的特点．获取了一个科学样本后，需要对样本数据进行整理分析，为了使样本的数据特征更直观，我们经常需要作图、读图，并精确地作出样本数据的频率分布直方图、茎叶图、折线图、散点图等，还要能理解各种图所包含的意义，通过图看出样本数据的分布状况、数据的变化趋势、变量间的关系，进而估计总体的状况．2．转化与化归的思想方法统计中充分体现出了转化与化归的思想方法，如部分与整体的转化，数与图的转化，随机性问题与确定性问题的转化等．统计的基本思想是用样本去估计总体，也就是用有代表性的一部分来估计整体的情况，这就反映出由部分向整体转化的思想．例 对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析 图(1)中的数据y 随着x 的增大而减小，因此变量x 与变量y 负相关；图(2)中的数据随着u 的增大，v 也增大，因此u 与v 正相关．答案 C1．(辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加______万元．解析 由题意知－(0.254x ＋0.321)＝0.254.答案 0.2542．(广东)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.解析 儿子和父亲的身高可列表如下：父亲身高 173 170 176 儿子身高170176182设回归直线方程y ^＝a ^＋b x ，由表中的三组数据可求得b ＝1，故a ^＝y －b ^x ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案 1853．(威海模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (x3456y 2.53 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解 (1)散点图如下：(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋4×5＋6×4.5＝66.5. ∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x ·y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝66.5－4×3.5×4.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴y ^＝0.7x ＋0.35.(3)现在生产100吨甲产品用煤 y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴90－70.35＝19.65.∴降低19.65吨标准煤．。

高中斯谏标ft#:人敦版二魏学由可2.3.1变量之间的相关关系教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学过程：案例分析：一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。

为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。

（1）根据上表中的数据，制成散点图。

你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。

（3）如果一个学生的身高是188cm你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据，制成的散点图如下。

3025201510150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 从散点图上可以发现，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线，也就是说，它们之间是线性相关的。

那么，怎样确定这条直线呢？同学1:选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条直线。

同学2:在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同。

同学3:多取几组点对，确定几条直线方程。

再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。

同学4:我从左端点开始，取两条直线，如下图。

再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。

同学5:我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多。

3025201510 III I L I II______________150 155 160 165 170 175 180 185 190 195同学6:我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm以下的，一部分是身高在170 cm以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”一一身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（164，19），（177, 21）；最后，将这两点连接成一条直线。

高中二年级（上）数学必修3 第二章：统计——2.3：变量间的相关关系一：知识点讲解（一）：变量间的相关关系相关关系的定义：变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系。

常见的两个变量之间的关系分为 和 。

散点图：将样本中n 个数据点()i i y x ，（i ＝1、2、……、n ）描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图。

正相关与负相关：✧ 正相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 。

✧ 负相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值由大变小，这种相关称为 。

（二）：两个变量的线性相关最小二乘法：设x 、y 的一组观察值为()i i y x ，（i ＝1、2、……、n ），且回归直线方程为x b a y ˆˆˆ+=。

当x 取值i x （i ＝1、2、……、n ）时，y 的观察值为i y ，则i iy y ˆ- （i ＝1、2、……、n ）刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点的纵坐标之间的离差（偏离程度），通常用离差的平方和，即Q ＝ 作为总离差，并使之达到 。

回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条。

由于平方又叫二乘方，所以这种使“ ”的方法，叫做最小二乘法。

回归直线方程：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程简称回归方程。

例1：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

1) ( )相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系。

2) ( )“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的学业水平成正相关关系。

3) ( )某同学研究卖出的热饮杯数y （杯）与气温x （℃）之间的关系，得到回归方程767.147352.2ˆ+-=x y，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮。

高中数学人教B版必修三第二章《2.3.1 变量间的相关关系》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
知识与技能: (1)了解事件之间的相互包含关系、相等关系,知到和事件、积事件的意义,
(2)通过实例,理解互斥事件、对立事件的概念及实际意义;
(3)掌握概率的几个基本性质并能简单应用。

过程与方法: 类比集合,揭示事件的关系与运算,培养学生的类比与归纳的数学思想,
情感态度与价值观: 通过各种有趣的,贴近学生生活的素材,激发学生学习数学的热情和兴趣,在参与探究活动中,培养学生的合作精神. 在观察发现中树立探索精神,在探索成功后体验学习乐趣。

2学情分析
高一的学生具备一定的理解能力和计算能力,通过概率的学习,加深对数学知识的理解。

3重点难点
重点:互斥事件、对立事件的概念及概率的加法公式的应用。

难点:正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【讲授】概率的基本性质
教学程序及设计
设计意图及评价分析
创设问题情境
俗话说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”能顶上吗?
在一次有关“三国演义”的知识竞赛中,三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(C)=1/5,
(他们能答对的题目不重复)诸葛亮D能答对的概率P(D)=2/3,如果三个臭皮匠组成一组与诸葛亮比赛,答对题目多者为胜,问哪方胜?。

变量的相关性 变量间的相关关系 两个变量的线性相关
.理解两个变量的相关关系的概念.(难点)
.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.(重点) .会求回归直线方程.(重点) .相关关系与函数关系.(易混点)
[基础·初探]
教材整理 变量间的相关关系 阅读教材，完成下列问题. .两个变量的关系
.将样本中个数据点(，)(＝，…，)描在平面直角坐标系中得到的图形. .正相关与负相关
()正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.
()负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.
图--所示的两个变量不具有相关关系的有.
图--
【解析】①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，，不具有相关关系.
【答案】①④
教材整理两个变量的线性相关
阅读教材～，完成下列问题.
.最小二乘法
设、的一组观察值为(，)，＝，…，，且回归直线方程为
＝＋.当取值(＝，…，)时，的观察值为，差－
(＝，…，)刻画了实际观察值与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即＝
(－－)作为总离差，并使之达到最小.这样，回归直线就是所有直线中取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法.
.回归直线方程的系数计算公式
.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)。