下载文档原格式
十字相乘法十字相乘法数学公式十字相乘法（Cross Multiplication）是因式分解中十四种方法之一，主要用于对多项式的因式分解，基本式子：x² (p q)x pq=(x p)(x q)。
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，其实就是运用乘法公式(x a)(x b)=x² (a b)x ab的逆运算来进行因式分解。
中文名十字相乘法外文名Cross multiplication适用领域范围因式分解、数学应用学科数学别称十字相乘表达式x² (a b)x ab=(x a)(x b)适用领域范围二次多项式原理十字相乘法一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。
则：[A*M B*(S－M）]/S=CA*M/S B*(S-M)/S=CM/S=(C-B)/(A-B)1-M/S=(A-C)/(A-B)因此：M/S∶(1-M/S）=(C-B）∶(A-C)上面的计算过程可以抽象为：A ^C-B^CB^ A-C这就是所谓的十字分解法。
X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值）变小，C-B(每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。
判定对于形如ax² bx c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b²-4ac进行判定。
当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。
运算举例a² a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a ？）×(a -？），然后我们再看第二项，a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成 -21×2 或者21×（-2）。
因式分解——十字相乘法
1、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
2、十字分解法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是整数范围内）。
对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数
a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使
a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结
果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
3、示例：
（1)例1因式分解：x2-x-56；
分析：因为7x+(-8x)=-x；
解：原式=(x+7)(x-8)。
（2）例2因式分解：x2-10x+16；
分析：因为-2x+(-8x)=-10x；
解：原式=(x-2)(x-8)。
例1.十字相乘法的图解及待定系数
已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.
分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：
8-5=3=-m
解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20
∴-m=3
m=-3
（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有
什么新东西——像不像？只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？) 例2.因式分解与系数的关系
若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( )
A.5个
B.6个
C.8个
D.4个
分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数)
因为16=2×8，16=(-2)×(-8)
16=4×4，16=(-4)×(-4)
16=1×16，16=(-1)×(-16)
所以k=±10，±8，±16
答案：B
(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大)
例3.分组分解后再用十字相乘
把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式
解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15
=2(x-2y)2-11(x-2y)+15
=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]
=(x-2y-3)(2x-4y-5)
说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.
例4.换元法与十字相乘法
把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式
分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.
解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6
=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6
=(x2+x)2+3(x2+x)-4
=(x2+x+4)(x2+x-1)
说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C.
(上一次，我们说到的整体分析又用到了，还记得我们在哪提到它的？对，在分组分解法中，试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析) 例5.因式分解与十字相乘法
已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12
求：x2+y2的值
解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12
(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0
(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0
[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0
∵x2+y2≥0
∴(x2+y2)+3≠0
∴(x2+y2)-4=0
∴x2+y2=4
说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。
虽然目前还没学二次方程的解法，但通过这个题，我们可以发现，对二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.
(说“十字相乘”是冷饭，一点也不为过，炒完冷饭，尝尝味道怎样吧).
返回主题[强化练习]
1.把下列各式分解因式
(1)x-x2+42
(2)
(3)a2n+a4n-2a6n
(4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2
(5)x2-xy-2y2-x-y
2.已知：x2+xy-2y2=7,求：整数x、y的值
答案与提示：
1.(1)-(x-7)(x+6)
(2)
(3)-a2n(a n+1)(a n-1)(2a2n+1)
(4)-2y(5x+3y)
提示：可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母”，如设x-y=m，x+y=n，则原式化为m2+3mn-4n2
(5)(x+y)(x-2y-1)
提示：可参考“疑难精讲例3”
2.
提示：将已知条件的左边分解因式得： (x+2y)(x-y)=7
∵x、y都为整数
∴有。
