十字相乘法精华版

十字相乘法分解因式因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．1．二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．例1、 因式分解。

分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、 因式分解。

分析：因为-2x+（-8x ）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8）(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例3、 因式分解。

十字相乘法口诀：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

其实就是运用乘法公式=的逆运算来进行因式分解。

2。

十字相乘法公式:可以分成两种情况：型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解十字相乘法公式十字相乘法：十字分解法能把二次三项式分解因式。

要务必注意各项系数的符号，以及写在十字交叉线四个部分的项。

方法是：交叉相乘，水平书写.公式：X²+（a+b)x+ab=（x+a)（x+b）十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解.因式分解:把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。

在数学求根作图方面有很广泛的应用。

原则：1、分解必须要彻底（即分解后之因式均不能再做分解）2、结果最后只留下小括号3、结果的多项式首项为正. 在一个公式内把其公因子抽出，其中，是公因子。

因此,因式分解后得到的答案是：公式重组，透过公式重组，然后再抽出公因子十字相乘法口诀十字相乘法--借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法)然后按斜线交叉相乘、再相加,若有 ,则有，否则,需交换的位置再试，若仍不行,再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止.口诀：分解二次三项式，尝试十字相乘法。

分解二次常数项，交叉相乘做加法；叉乘和是一次项,十字相乘分解它。

十字相乘法练习题1.例析“十字相乘法分解因式”同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察=，可知=。

十字相乘法顺口溜
1. 十字相乘法呀，真神奇，算起来那叫一个快！就像孙悟空的七十二变，看我给你变一变，比如分解x²+5x+6，一下子就能变成(x+2)(x+3)啦！
2. 嘿，十字相乘法顺口溜，那可是解题的好帮手！好比一把钥匙开一把锁，遇到x²+3x-4，咱就能轻松搞定，变成(x-1)(x+4)呀！
3. 哇塞，十字相乘法顺口溜太好用啦！就像有了魔法棒一样，看分解x²-2x-3，轻松变成(x-3)(x+1)，厉害吧！
4. 十字相乘法顺口溜，这可不得了！如同给你装上了翅膀，比如算x²+6x+8，马上得出(x+2)(x+4)，是不是很牛！
5. 哎呀呀，十字相乘法顺口溜，简直妙不可言！就像找到了宝藏的地图，碰到x²-5x+6，一下子就知道是(x-2)(x-3)啦！
6. 嘿嘿，十字相乘法顺口溜，可太有意思啦！好像给你指引方向的明灯，算x²-3x+2，马上变成(x-1)(x-2)咯！
7. 哇哦，十字相乘法顺口溜，这也太好用了吧！就像拥有了超能力，看分解x²+4x-5，轻松变成(x-1)(x+5)，牛不牛！
8. 十字相乘法顺口溜，那真是绝了！如同给你开了外挂，比如算x²-4x-12，迅速得出(x-6)(x+2)，厉害吧！
9. 哟呵，十字相乘法顺口溜，真的超厉害！就像有了秘密武器，分解
x²+7x+10，一下子就是(x+2)(x+5)啦！
10. 哈哈，十字相乘法顺口溜，简直太棒啦！好像是解题的神器，算x²-7x+12，轻松得出(x-3)(x-4)呀！
我的观点结论：十字相乘法顺口溜真的是非常实用的工具，能让我们在数学计算中事半功倍，大家一定要好好掌握呀！。

十字相乘法知识点总结1. “哎呀，十字相乘法就是把二次项系数分解成两个数相乘，常数项也分解成两个数相乘，然后交叉相乘再相加，看是不是等于一次项系数呀！”就像妈妈切菜一样，把一个大的任务分成小块来处理。

比如算2x^2+5x+3，2 可以分成 1 和 2，3 可以分成 1 和 3，交叉相乘1×3+2×1 不就正好等于 5 嘛！2. “嘿，用十字相乘法可得细心点哟！要像找宝藏一样仔细去找那些能凑对的数！”就好像在一堆玩具里找自己最喜欢的那个。

比如3x^2+7x+2，3 只能分成 1 和 3，2 只能分成 1 和 2，很快就能发现1×2+3×1 等于 5 啦！3. “你们知道吗，十字相乘法可有意思啦！就像是拼图游戏，要把合适的部分拼在一起。

”比如解 4x^2+8x-5，4 可以分成 2 和 2，-5 可以分成1 和-5，试试就知道怎么组合啦！4. “哇塞，十字相乘法不难呀，就是找对搭配嘛！这多像我们搭配衣服呀，要好看就得搭对。

”像算 5x^2-6x+1，5 分成 1 和 5，1 还是 1，找找就能发现搭配的窍门啦！5. “哈哈，十字相乘法其实很简单呀，只要多试试就能掌握啦，就像骑自行车一样，一开始难，后来就熟练啦！”比如面对 6x^2+5x-6，6 可以有很多分法，慢慢试就找到合适的啦！6. “哎呀呀，十字相乘法不就是那么回事嘛，把数字拆来拆去，总能找到合适的组合呀！”就好像搭积木，要找到合适的那块放上去。

比如算3x^2-4x-4，3 分成 1 和 3，-4 可以分成 2 和-2，找找规律呀！7. “十字相乘法呀，可别小瞧它哦，这可是解决好多问题的好办法呢！就像我们的秘密武器！”就像碰到 2x^2+3x-2，2 分成 1 和 2，-2 分成 1 和-2，动动脑筋就能搞定啦！8. “嘿，学十字相乘法得有点耐心哦，就像钓鱼一样，得等鱼儿上钩。

”比如解 6x^2-7x+2，6 有多种分法，耐心点就能找到啦！9. “哇，十字相乘法可神奇啦，能让那些复杂的式子变简单呢，就像魔法一样！”比如算 4x^2-9x+2，4 分成 2 和 2，2 还是 2，是不是很神奇呀！10. “十字相乘法真的很有用呀，学会了它就像有了一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！”就像面对 5x^2+6x-8，5 分成 1 和 5，-8 分成 2 和-4，用十字相乘法不就解开啦！。

因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。

这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

【思考】10~20以内的平方数心算办法。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。

例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。

十字相乘的公式
（实用版）
目录
1.十字相乘公式的定义与结构
2.十字相乘公式的运算规则
3.十字相乘公式的应用实例
4.十字相乘公式的优点与局限性
正文
十字相乘公式是一种常用的数学公式，尤其在代数学和微积分学中具有重要的地位。

其结构简单，运算规则明确，应用广泛，是数学研究中的一种基本工具。

一、十字相乘公式的定义与结构
十字相乘公式，顾名思义，就是将一个数或一个代数式分解成两个数或代数式的乘积，其形式为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2。

这种公式因其结构像一个十字架，故称为十字相乘公式。

二、十字相乘公式的运算规则
十字相乘公式的运算规则简单明了，即任何形式的 (a+b)(a-b) 都可以化简为 a^2-b^2。

例如，(2x+3)(2x-3)=4x^2-9，(5y-4)(5y+4)=25y^2-16 等。

三、十字相乘公式的应用实例
十字相乘公式在解决实际问题中具有广泛的应用。

例如，在求解平方差公式、解决勾股定理等问题时，都可以运用十字相乘公式进行简化。

同时，在求解一些复合函数的值，如 (f(x)+f(y))(f(x)-f(y)) 等，也可以运用十字相乘公式进行化简。

四、十字相乘公式的优点与局限性
十字相乘公式的优点在于其结构简单，运算规则明确，易于理解和掌握。

同时，其应用广泛，可以大大简化一些复杂的数学运算。

然而，十字相乘公式也有其局限性，即只能应用于 (a+b)(a-b) 的形式，对于其他形式的代数式，无法运用。

十字相乘法万能公式一、十字相乘法原理。

1. 对于二次三项式ax^2+bx + c（a≠0）- 若能将a分解成a = m× n，c分解成c=p× q，且满足m× q + n× p=b。

- 那么ax^2+bx + c=(mx + p)(nx+q)。

2. 举例说明。

- 例如对于二次三项式x^2+5x + 6。

- 这里a = 1（可分解为1×1），c = 6（可分解为2×3）。

- 并且1×3+1×2 = 5（满足m× q + n× p=b）。

- 所以x^2+5x + 6=(x + 2)(x+3)。

二、十字相乘法的步骤。

1. 分解二次项系数a- 先将二次项系数a分解成两个因数m和n的乘积。

2. 分解常数项c- 再将常数项c分解成两个因数p和q的乘积。

3. 尝试组合。

- 按照十字相乘的形式排列，即begin{array}{ccc}mp nqend{array}，计算m× q + n× p，看是否等于一次项系数b。

- 如果不等于，就重新调整p和q的分解组合，直到满足m× q + n× p=b为止。

三、特殊情况及注意事项。

1. 当a = 1时。

- 对于二次三项式x^2+bx + c，只需要将c分解成两个数p和q，使得p + q=b 即可。

- 例如x^2-3x - 4，c=-4，可分解为-4 = 1×(-4)或者-4=(-1)×4，经过尝试1+(-4)= - 3，所以x^2-3x - 4=(x + 1)(x - 4)。

2. 系数有正负情况。

- 在分解因数时要注意正负号的搭配。

例如对于2x^2-5x - 3。

- a = 2，可分解为2×1；c=-3，可分解为-3 = 1×(-3)。

- 按照十字相乘begin{array}{ccc}21 1-3end{array}，计算2×(-3)+1×1=-5，所以2x^2-5x - 3=(2x + 1)(x - 3)。

十字相乘因式分解法（实用版）目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法的基本原理3.十字相乘法的具体步骤4.十字相乘法的应用举例5.十字相乘法的优点与局限性正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法，又称为“十字相乘因式分解法”，是一种常用的因式分解方法。

这种方法主要适用于两个数的乘积为四位数或者更高位数的情况。

它通过将两个数的个位数相乘得到一个两位数，然后将这个两位数分解为两个一位数的乘积，再将这两个一位数分别乘以两个数的十位数，最后将四个乘积相加，从而得到原数的因式分解式。

【2.十字相乘法的基本原理】十字相乘法的基本原理是将一个四位数分解为两个两位数的乘积，而这两个两位数分别是由原数的个位数和十位数相乘得到的。

具体来说，设原数为 abcd，其中 a 和 b 为十位数，c 和 d 为个位数，则可以将原数分解为 (10a+c)(10b+d) 的形式。

【3.十字相乘法的具体步骤】(1) 将原数的个位数与十位数相乘，得到一个两位数 ac。

(2) 将这个两位数 ac 分解为两个一位数的乘积，即 a 和 c。

(3) 将原数的十位数分别乘以 a 和 c，得到两个乘积 10a 和 10c。

(4) 将原数的个位数分别乘以 b 和 d，得到两个乘积 bd 和 cd。

(5) 将这四个乘积相加，即 10a+ac+10b+bd=10(a+b)+(ac+bd)，得到原数的因式分解式。

【4.十字相乘法的应用举例】以原数 325 为例，按照十字相乘法的步骤进行分解：(1)3×2=6，得到两位数 62。

(2)62 分解为 2 和 31，即 62=2×31。

(3)3×2=6，1×3=3，得到两个乘积 6 和 3。

(4)2×3=6，5×1=5，得到两个乘积 6 和 5。

(5) 将四个乘积相加，即 6+3+6+5=20，得到原数的因式分解式325=(5×6)(3×4)=15×12。

七年级知识点十字相乘法在初中的数学学习中，我们必须会掌握乘法，而十字相乘法作为乘法的一种常用方法，也需要我们掌握和熟练使用。

一、十字相乘法的定义和原理十字相乘法是一种简便的乘法法则。

具体来说，就是将两个乘数分别的每一位上的数字相乘后在竖式上错位排列，最后再把各项之和就即等于乘积。

具体步骤如下：1. 将被乘数和乘数按照各位数值的大小写成竖式。

2. 将被乘数每一位上的数字与乘数每一位上的数字相乘。

3. 将结果横放在竖式上，错位排列。

4. 将所有交叉相乘的结果相加即可得到乘积。

二、十字相乘法的应用场景一般来说，十字相乘法主要适用于两位数相乘的情况。

但在实际运用中，如果我们熟练掌握了这种方法，也可以用于更多位数相乘的计算。

具体来说，十字相乘法应用于以下情景：1. 两个多位数的乘法计算。

2. 分解多项式的乘法计算。

3. 求解数字因子中的根。

三、十字相乘法的计算步骤1. 将两个乘数分别的每一位数字相乘，将结果写在竖式上。

2. 求出所有竖式中的相乘结果。

3. 每一项的结果相加即可得到最终乘积。

具体计算步骤如下：例如，计算23×17的乘积。

首先，将23和17按照个位、十位分别写于竖式两侧。

23× 17=根据十字相乘法则，计算出每个竖式中的结果，放在竖式中的相应位置。

23× 17=2149最后，将所有交叉相乘的结果相加即可得到最终结果。

23× 17= 391因此，23×17=391。

四、十字相乘法的优点十字相乘法是一种简单又实用的乘法方法，具有以下优点：1. 可以快速计算两位数的积，缩短计算时间。

2. 可以避免手算中的繁琐乘法步骤，降低计算错误率。

3. 可以适用于多项式、因式分解等部分数学题型的计算，拓展应用范围。

五、十字相乘法的练习方法熟练使用十字相乘法需要长时间的练习和掌握。

以下是一些十字相乘法的练习方法：1. 从简单的一位数乘一位数练习起，逐渐提高难度。

可以用练习册、习题集等教材进行练习。

十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。

但是，如果使用不对，就会犯错。

（一）原理介绍通过一个例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。

求该班男生和女生的比例。

方法一：搞笑（也是高效）的方法。

男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。

男生和女生的比例是1：1。

方法二：假设男生有A，女生有B。

（A*75+B85）/（A+B）=80整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。

方法三：男生：75 580女生：85 5男生：女生=1：1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设A有X，B有（1-X）。

AX+B（1-X）=CX=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5答案：C分析：男教练：90% 2%82%男运动员：80% 8%男教练：男运动员=2%：8%=1：42.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2答案：B分析：职工平均工资15000/25=600男职工工资：580 30600女职工工资：630 20男职工：女职工=30：20=3：23．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。

十字相乘法公式技巧
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：
（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：
用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：
（1）、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

（2）、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

（3）、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：
例1把m+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1-21╳6所以m+4m-12=（m-2）（m+6）
例2：把5x+6x-8
分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为╳-4所以5x+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3：解方程x-8x+15=0
分析：把x-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为1-31╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3x2=5。