莆田一中2014-2015学年度理科数学模拟考试卷

莆田一中2015年高三数学考前模拟试卷（理科有答案）莆田一中2015年高三数学考前模拟试卷（理科有答案）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,主要考试范围为：高考所有内容,试卷满分150分,完卷时间120分种.2.答题前,考生先将自己的班级、姓名、座号等信息填写在答题卷、答题卡指定位置.3.考生作答时,将答案写在答题卷上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.4.严禁携带计算器、电子存储器、手机等违反数数考试纪律的一切设备进入考场.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．设（i为虚数单位）为正实数，则a等于（）A．1B．0C．-1D．0或-12.“1gx,1gy,1gz成等差数列”是“y2=xz”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（）A．B．C．D．4.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别是（）A．12.512.5B．12.513C．1312.5D．13135.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量，向量，则的概率是（）A．B．C．D．6.一个算法的程序框图如下图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A.i≤5?B.i≤4?C.i≥4?D.i≥5?第6题图7.在平面四边形ABCD中，若＝（2，4）,＝(1,3)，则等于（）A.（2，4）B.（3，5）C.（－3，－5）D.（－2，－4）8.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第秒内的位移为，则数列是（）A.公差为的等差数列B.公差为的等差数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列9.函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为：，如果函数在区间上的图像如图所示，且，那么（）A．是的极大值点B．=是的极小值点C．不是极值点D．是极值点10.已知函数f(x)的定义域为D,若存在非零常数t，使得对于任意xM(MD),有x+1∈d,且f(x+t)≥f(x),则称f(x)为M上的x1函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=|x－a2｜－a2，且f(x)为R上的x4函数,那么实数a的取值范围是()A.0＜a＜1B.－2＜a＜2C.－1≤a≤1D.－2≤a≤2第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置)11．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是。

莆田一中2013–2014学年度上学期第一学段考试试卷高三理科数学试卷满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷(共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．1。

已知集合}2|{≤=xxA，}0)3(|{<-=xxxB，则BA =( )A．}20|{≤<xx B．}0|{<xx C．2|{≤xx，或}3>x D．0|{<xx，或}2≥x2。

已知a为常数,则使得e11 da xx>⎰成立的一个充分而不必要条件是( ) A．0>a B．0<a C．e>a D．e<a3.已知抛物线243x=的准线过双曲线2221xym-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A 。

324B.62C.3 D 。

334.ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别,,a b c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则角B 等于（ ） A 。

030B 。

060 C. 090 D. 01205.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中A ＞0,2πϕ＜)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x=的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A 。

向右平移6π个长度单位 B 。

向右平移3π个长度单位C 。

向左平移6π个长度单位 D 。

向左平移3π个长度单位6.已知O 为坐标原点,直线y x a =+与圆224xy +=分别交于,A B 两点．若2-=⋅OB OA ，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1±D ．2±7.过抛物线24yx =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点,若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ） A ．5B ．52C ．32D ．1788。

三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（ ） A ．130B ．115C ．110D ．15【答案】C ． 【解析】试题分析：由已知把第二个及第三个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共323323A A A 种方法，而三个学校的学生随便排有66A 种方法,有古典概型的概率计算公式得所求概率32332366110A A A P A ==，故选C ．考点:古典概型的概率计算．9.设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m =，11(,sin )n x x =．点Q 在()y f x =的图像上运动,且满足OQ m n =⊗ （其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（ ) A ．1,2π B ．2,π C ．1,42π D ．2,4π10.对于函数()f x 与()g x 和区间D,如果存在0x D ∈,使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数： ①2()f x x =，22)(-=x x g ；②()f x x=,()2g x x =+;③xx f -=e )(，1()g x x=-;④()f x ln x =,x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是( ）A ．①②B ．③④C ． ②③D ．①④第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分,满分25分，将答案填在答题纸上） 11.7312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．12.已知随机变量2(0,)N ξσ，若(2)0.8P ξ<=，则(2)P ξ<-= ．【答案】0.2． 【解析】试题分析：由正态分布曲线及其性质可得(2)(2)1(2)0.2P P P ξξξ<-=>=-<=． 考点：正态分布曲线及其性质．13.已知变量,x y 满足20230,0x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2log (1)z x y =++的最大值是 ．试题分析：如图作出不等式组表示的可行域可知,当1,2x y ==时，z 取最大值，max2log (121)2z=++=．考点：线性目标函数的最值问题．14.已知()41xf x =+,()4xg x -=，若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+（其中m ，n为常数），且最小值为1,则m n += ． 【答案】23．【解析】 试题分析：()h x 是偶函数，()()h x h x ∴-=,即()()414414x x x x m n m n --++⋅=++⋅，()()()()440,,441x x x x m n m n h x m --∴--=∴=∴=++．又()h x 的最小值为1,()()()112441244131,,,333xx x x h x m m m m n m m n --∴=++≥⋅==∴=∴==∴+=．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的最值；3．均值不等式．15.对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥;②()11f =;③若12120,0,1,xx x x ≥≥+≤都有()()()1212f x x f x f x +≥+成立;则称函数()f x 为ϖ函数． 下面有三个命题:（1）若函数()f x 为ϖ函数，则()00f =；(2）函数()[]()210,1xf x x =-∈是ϖ函数；（3）若函数()f x 为ϖ函数，假定存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈,且()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则()0f x x =； 其中真命题．．．是________．（填上所有真命题的序号)三、解答题 （本大题共6小题，共75分。

福建省莆田一中2014年高考考前模拟数学理试题2014-5-24（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1.如图，在复平面内，复数12,Z Z对应的向量分别是,,OA OB则12||Z Z+=（）A．2 B.3 C. D.2．抛物线24xy=的焦点坐标为( )A．)1,0(B．)0,1(C．)161,0(D．)0,161(3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（），，(nx x++-A.23π B. 3π C. 29π D. 169π 4. 设随机变量ζ服从正态分布)4,3(N ,若)2()32(+>=-<a P a P ζζ,则=a ( )A ．3B ．35C ．5D ．37 5. 设函数4log )(2x x f =，等比数列{}n a 中，8852=⋅⋅a a a ，129()()...()f a f a f a +++=（ ）A. -9B. -8C. -7D. -106． 若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是（ ）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a . 7.设P 为曲线x y 43=上任一点，)0,5(),0,5(21F F -，则下列命题正确的是：（ ） A.821≥-PF PF B.821≤-PF PF C.821>-PF PF D.821<-PF PF 8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )A ．20 B.22 C.24 D. 369．已知,,a b c 均为单位向量，且满足0a b =，则()()a b c a c +++的最大值为（ ）.1.3.2.2A B C D +++10.已知函数21(0)()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 ( )A ．*(1)()2n n n a n -=∈NB ．*(1)()n a n n n =-∈NC ．*1()n a n n =-∈ND ．*22()n n a n =-∈N 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 把函数 sin(2)3y x π=-的图象向____平移 ____个单位长度就可得到函数y=sin2x 的图象。

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．D 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．{}11<<-x x 12．7.5 13．3414．1 15．②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：1(2)n =≥，所以是首项为1，公差为1的等差数列，………1分－1)1=n ，……………2分从而S n =n 2．…………………3分当n=1时，a 1=S 1=1，当n>1时，a n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2 =2n －1．因为11a =也符合上式，所以a n =2n －1．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，……………8分 所以1211111111(1)()()2323522121n b b b n n +++=-+-++--+L L 11(1)22121n n n =-=++，……………10分 由122125n n >+，解得n>12．………………12分 所以使不等式成立的最小正整数为13．……………13分17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．………1 分1cos 21()222x f x x ωω+=-+………3分12cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-．………4分 因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω=，即()sin()6f x x π=-．………5分 因为,23x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2366x πππ-≤-≤，所以11sin()62x π-≤-≤， 从而得到)(x f 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………7 分 （Ⅱ）因为()sin()136f A A ππ+=+=，又0,A π<<所以7666A πππ<+<， 得62A ππ+=，3A π=．………9分 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()2cos3b c bc bc π=+--2()3b c bc =+-，即2243bc =-，所以3bc =．………11分所以 ABC ∆的面积11sin 322==⨯=S bc A ．………13 分 18．本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．满分13分．解：（I ）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙．8381937978848894858+++++++==x 甲，8998777487787988858+++++++==x 乙．……………… 2分222222222165[(8385)(8185)(9385)(7985)(7885)(8485)(8885)(9485)]82=-+-+-+-+-+-+-+-=s 甲，2222222221[(8985)(9885)(7785)(7485)(8785)(7885)(8985)(8885)]568=-+-+-+-+-+-+-+-=s 乙． ………………4分 因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．………………5分（II ）记事件C 表示为“甲回答问题A 成功”，事件D 表示为“甲回答问题B 成功”，则P(C)=34, P(D)=14,且事件C 与事件D 相互独立．………………6分 记甲按AB 顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0,100,400．P(ξ=0)=P(C )=14,P(ξ=100)=P(C D )=3394416⨯=,P(ξ=400)=P(CD )=3134416⨯=．即ξ的分布列为：所以甲按AB 顺序获得奖品价值的数学期望0100400416164E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………9分记甲按BA 顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0,300,400．P(η=0)=P(D )=34,P(η=300)=P(DC )=1114416⨯=,P(η=400)=P(DC )=3134416⨯=，即η的分布列为：η 0 300 400 P34 116 316 所以甲按BA 顺序获得奖品价值的数学期望0300400416164E η=⨯+⨯+⨯=．………………12分 因为E ξ>E η，所以甲应选择AB 的答题顺序，获得的奖品价值更高．………………13分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．(Ⅰ)证明：正方形ABCD 中，CD //BA ，正方形ABEF 中，EF //BA ．…………2分∴EF //CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE//DF ．…………3分又DF ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，∴CE//平面ADF ． …………5分(Ⅱ)解：ΘBE=BC=2，CE=22，∴222BE BC CE +=，∴∆BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，……………6分又BE ⊥BA ，BC ⋂BA=B ，BC 、BA ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． ……………7分以B 为原点，uuu r BC 、u u u r BA 、u u u r BE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），F （0，2，2），A （0，2，0），)0,2,2(=BD ，)2,2,0(=BF ．设K （0，0，m ），平面BDF 的一个法向量为),,(z y x n =．由0=⋅BD n ，0=⋅BF n ，得220,220,+=⎧⎨+=⎩x y y z 可取)1,1,1(-=n ，………… …9分又),2,0(m AK -=，于是sin =ϕ=2432m m+⋅+，Θ︒︒≤≤4530ϕ，∴22sin 21≤≤ϕ，即⎧⎪⎨⎪⎩…………11分结合20<<m ，解得3240-≤<m ，即BK 的取值范围为（0，324-]．………… …13分20．本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由题意得222222,,⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a b a b c 解得a=2，b=1，…………………………………3分 所以椭圆方程为2214x y +=．………………………………………………………………3分 （Ⅱ）（i ）解法一：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x 2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++，又3||2=PD ．……5分所以S △PMN =12|PD|·|x 1－x 2……………………………………………6分==．…………………………………7分 令t22316t k -= 所以S △PMN =223661312(14)16==-+++⋅t t t t t t ，………………………………………………8分 令h(t)=1t t+，t ∈，+∞),则22211'()1t h t t t -=-=>0，所以h(t)在+∞)单调递增， 则tk=0时，h(t)的最小值，为h）， 所以△PMN面积的最大值为2．……………………9分 解法二：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x 2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++．…………………5分 所以|MN|==点P （0，1）到直线MN 的距离=6分所以S △PMN =12|MN|·=7分 以下同解法一．（ii ）假设存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．（1）当P 在y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则M ，N 关于y 轴对称，MN 的中点Q 在y 轴上．又O 为△PMN 的中心，所以2PO OQ =u u u r u u u r，可知111(0,),(),)222Q M N ---． 从而|MN|=|PM|=2，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾． （2）当P 在x 轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾．……………10分（3）当P 不在坐标轴时，设P （x 0，y 0），MN 的中点为Q ，则k OP =00y x ， 又O 为∆PMN 的中心，则2PO OQ =u u u r u u u r ，可知00(,)22--x y Q ． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则1202+==-Q x x x x ，1202+==-Q y y y y ，又x 12+4y 12=4，x 22+4y 22=4，两式相减得k MN =01212121212120111444-++=-=-⋅=-⋅-++x y y x x x x x x y y y y y ，……11分 从而k MN =0014-⋅x y ．……12分所以k OP ·k MN =00y x ·（0014x y -⋅）=14-≠ －1， 所以OP 与MN 不垂直，与等边△PMN 矛盾．……13分综上所述，不存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．………………………14分21．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由已知得1(1)1,2(1)10,f a b f a ⎧=+=-⎪⎨⎪'=+=⎩解得1,1.2a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩…………… 2分 此时211()ln 22f x x x =--，1(1)(1)()x x f x x x x-+'=-=-（x>0）． 令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：（Ⅱ）211()ax f x ax x x+'=+=（x>0）． （1）当a≥0时，()0f x '>恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．………5分（2）当a<0时，令()0f x '=，得x =f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0+∞）．……………… 7分 要使函数f(x)在区间(m ，+∞)，即210a m -<<． 所以对任意给定的正数m ，只须取满足210a m -<<的实数a ，就能使得函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调．…… 8分 （Ⅲ）存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于0()f x '．………… 9分证明如下：令g(x)=lnx －x+1（x>0），则1()1g x x '=-， 易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)≤0，从而得lnx≤x －1． （*）……… 10分由21021()()()f x f x f x x x -'=-，得21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=+-．……………… 11分 令211()()2p x a x x ax =+-，2121ln ln 1()x x q x x x x -=--，则p(x)，q(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增． 且12112111()()()022p x a x x ax a x x =+-=-<，22121211()()()022p x a x x ax a x x =+-=->， 结合（*）式可得，2221111211211211ln1ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x --=-=-<-=---，1121222212212212ln(1)ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x ----=-=->-=---． 令h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h(x 1)<0，h(x 2)>0，…… 13分 所以函数h(x)在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0， 即21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=--成立，从而命题成立．…………… 14分 （注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）。

莆田一中2014-2015学年度高三第三次月考试卷科目 数学（文）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合{}{}240,5M x x x N x m x =-<=<<，若{}3M N x x n⋂=<<，则m n+等于( )A.9B.8C.7D.62．复数11i -的共轭复数为（ ）A ．1122i +B ．1122i -C ．1122i --D ．1122i -+3．以下结论：①若()b a R λλ=∈，则//a b ；②若//a b ，则存在实数λ，使b a λ=；③若a b 、是非零向量，R λμ∈、，那么；④平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底。

其中正确结论个数是( )A 、B 、C 、D 、4．在一次实验中，采集到如下一组数据： x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00y0.24 0.51 1 2.02 3.988.02则,x y 的函数关系与下列（）类函数最接近（其中,a b 为待定系数）A ．y a bx =+B .x y a b =+ C.2y ax b =+ D.by a x =+5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.2B.92C.32 D.36．将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π7．若下框图所给的程序运行结果为35S =，那判断框中应填入的关于k 的条件是( )(A)7k =(B)6k ≤(C)6k <(D)6k >8．设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件9．函数sin 222x x xy -=+的图像大致为（ ）(A) (B) (C) (D)10．已知0a b ＞＞，椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +，双曲线2C 的方程为22221y x a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C的渐近线方程为( ). 20A x y ±=11．已知函数1()|log |()(02x a f x x a =->且有两个零点、，则有（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）的范围不确定sin(2)3y x π=-(0)ϕ>ϕ.20B x y ±=.20C x y ±=.2D x ±1)a ≠21201x x <<=1>12x x 输出S12．定义在R 上的函数()()()()(),21)5(,11,00x f x f x f x f f x f ==-+=满足且当1021≤<≤x x 时，()()21x f x f ≤.则)20071(f 等于 （ ）A ．21B ．161C ．321D ．641二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案卷的相应位置.13．曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________. 14．设函数24 6 (0)() 6 (0)x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式的解集是_______________.15．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 1sin sin b Ca c A B =-++已知，且5,5b CA CB =⋅=-，则ABC △的面积是________．16．集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：；；则________．（写出计算结果）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131nn n b b b ba =++++++++，求数列{}n b 的通项公式；18．已知函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2，且当]6,0[π∈x 时，)(x f 的最小值为2.（1）求a 的值，并求)(x f 的单调增区间；)1()(f x f >{1,2,3,,}(3)n n ≥n 22223112123[6(123)]112=⨯+⨯=-+=2222241232434[10(1234)]352T ⨯+⨯+⨯=-+++=22222251314153545[15(12345)]852⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=-++++=7T =（2）将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21倍，再把所得图象向右平移12π个单位，得到函数)(x g y =，求方程2)(=x g 在区间]2,0[π上的所有根之和.19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖。

莆田一中2014-2015学年度下学期高三考前模拟考数学理科注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,主要考试范围为：高考所有内容,试卷满分150分,完卷时间120分种.2.答题前,考生先将自己的班级、姓名、座号等信息填写在答题卷、答题卡指定位置.3.考生作答时,将答案写在答题卷上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.4.严禁携带计算器、电子存储器、手机等违反数数考试纪律的一切设备进入考场.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设,()2a R a i i ∈-⋅且（i 为虚数单位）为正实数，则a 等于 （ ） A ．1 B ．0 C ．-1D ．0或-12.“1g x ,1g y ,1g z 成等差数列”是“y 2=x ·z ”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 与椭圆222211312x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=4. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5 12.5B ．12.5 13C ．13 12.5D ．13 135. 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n =，向量(1,2)b =-，则a b ⊥的概率是（ ）A ．112 B ．16 C ．736D ．296.一个算法的程序框图如下图所示，若运行该程序后输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ）A .i ≤ 5 ? B. i ≤ 4 ? C .i≥4? D .i ≥5 ?第6题图7.在平面四边形ABCD 中，若AB ＝（2，4）,AC ＝(1,3)，则BD 等于（ ） A. （2，4） B. （3，5） C. （－3，－5） D. （－2，－4） 8.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为()2012S t v t at =+，设物体第n 秒内的位移为n a ，则数列{}n a 是（ ）A.公差为a 的等差数列B.公差为a -的等差数列C.公比为a 的等比数列D.公比为1a的等比数列9.函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线为：000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像如图所示，且0a x b <<，那么 （ ）A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点10. 已知函数f(x)的定义域为D,若存在非零常数t ，使得对于任意x ∈M(M ⊆D),有x+1∈d,且f(x+t )≥f(x),则称f(x)为M 上的x1函数，如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=|x －a2｜－a2，且f(x)为R 上的x4函数,那么实数a 的取值范围是( ) A.0＜a ＜1 B.－2＜a ＜2 C.－1≤a≤1 D.－2≤a≤2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置．．．．．．．．．．．．．) 11．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是 。

2014年福建省莆田市某校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ） A 32 B 36 C 18 D 862. 平面向量a →=(2, 1)，b →=(m 2, m)，若“m =2”是“a →与b →共线”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3. 已知ξ∼N(0, σ2)，且P(−2≤ξ≤0)=0.4，则P(ξ>2)等于（ ） A 0.1 B 0.2 C 0.6 D 0.84. 已知集合 A ={x|x 2+x −2≤0}，B ={x|−2≤x ≤a}，若A ∩B ≠⌀，则（ ） A a >−2 B a ≥−2 C a >1 D a ≥15. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a 的等腰三角形，俯视图是半径为a 的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A 32πa 2+2√3a 2 B πa 2+2√3a 2 C 32πa 2+√3a 2 D πa 2+√3a 2 6. 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为（ ）A 4031B 4029C −4023D −40257. 已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是( ) A 若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n B 若m ⊥α，n // β，α⊥β，则m ⊥n C 若m // α，n // β，α // β，则m // n D 若m // α，n ⊥β，α⊥β，则m // n 8. 已知函数f(x)=|lgx|−(12)x 有两个零点x 1，x 2，则有( )A x 1x 2<0B x 1x 2=1C x 1x 2>1D 0<x 1x 2<19. 函数：①y =x ⋅sinx②y =x ⋅cosx③y =x ⋅|cosx|④y =x ⋅2x 的图象（部）如图所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ④①②③B ①④③②C ①④②③D ③④②①10. 如图，P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0,xy ≠0)上的动点，F 1、F 2是双曲线的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且F 2M →⋅MP →=0．有一同学用以下方法研究|OM|：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点，得|OM|=12|NF 1|=⋯=a ．类似地：P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0,xy ≠0)上的动点，F 1、F 2是椭圆的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且F 2M →⋅MP →=0．则|OM|的取值范围是（ ）A [0,√a 2−b 2]B [0,√a 2+b 2]C (0,√a 2+b 2)D (0,√a 2−b 2)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11. 已知集合A ={x|log 2x <1, x ∈R}，则∁R A =________．12. 在(√x √x 3)24的展开式中x 的幂指数是整数的项共有________项．13. 在区间[0, 2]上随机取两个数x 、y ，则xy ∈[0, 2]的概率是________．14. 在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ≥0x −y +4≥0x ≤a （a 为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．15. 在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i （a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，为虚数单位），“z 1›z 2”当且仅当“a 1>a 2”或“a 1=a 2且b 1>b 2”．现有以下命题： ①若z 1›z 2，则|z 1|›|z 2|；②若z 1›z 2，则z 12›z 22；③若z 1›z 2，z 2›z 3，则z 1›z 3；④对于复数z›0，若z 1›z 2，则z ⋅z 1›z ⋅z 2；其中正确命题的序号的是________（写出所以正确命题的序号）．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =4acosB −ccosB ． （1）求cosB 的值；（2）若BA →⋅BC →=2，且b =2√3，求a 和c 的值．17. 某校要用甲、乙、丙三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为13，不堵车的概率为23．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他 原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）求三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率；（2）求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．18.如图，已知体积为8，高为4的三棱柱ABC −A 1B 1C 1，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，点D 、E 分别在棱AA 1和CC 1上，且DE ⊥B 1C 1，DA 1=3，EC 1=2． （1）求证C 1A 1⊥C 1B 1；（2）求平面BDE 与平面ABC 所成锐二面角的最小值；（3）若用此三棱柱作为无盖（上底面ABC ）盛水容器，盛水时发现在D 、E 两处有泄露，试问此容器最多能盛水多少？19.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(1,32)的椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若点B 的坐标为(85，3√35)，试求直线PA 的方程； （3）记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，试问y M ⋅y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．20. 已知函数f(x)=x −alnx ，g(x)=lnx x．（1） 若函数f(x)存在不大于0的最小值，求实数a 的取值范围； （2）设x =1是函数f(x)的极小值点．(I)若函数f(x)与函数g(x)的图象分别在直线y =kx 的两侧，求k 的取值范围；(II) 若M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)(0<x 1<x 2)是f(x)图象上的两点，且存在实x 0∈(0, +∞) 使得f′(x 0)=f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1，证明：x 1<x 0<x 2．四．选做题，本题有（21）、（22）、（23）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．选修4-2：矩阵与变换 21. 设矩阵M =[1a b1]． （1）若a =2，b =3，求矩阵M 的逆矩阵M −1；（2）若曲线C:x 2+4xy +2y 2=1在矩阵M 的作用下变换成曲线C′:x 2−2y 2=1，求a +b 的值．选修4-4：极坐标与参数方程22. 以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2+6ρcosθ−2ρsinθ+6=0，曲线C 2的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ（θ为参数）．（1）将曲线C 1的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的长．选修4-5：不等式选讲23. 关于x 的一元二次方程x 2+2tx +|a +2|+|a −1|=0对任意a ∈R 无实根，求实数t 的取值范围．2014年福建省莆田市某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. C2. A3. A4. B5. C6. D7. A8. D9. C 10. D11. (−∞, 0]∪[2, +∞) 12. 5 13.1+ln2214. 1 15. ③ 16. 解：（1）由正弦定理可得a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， ∴ 2RsinBcosC =8RsinAcosB −2RsinCcosB ， 化为sinBcosC =4sinAcosB −sinCcosB ， 可得sinBcosC +cosBsinC =4sinAcosB ，∴ sin(B +C)=4sinAcosB ，可得sinA =4sinAcosB ， ∵ sinA ≠0，∴ cosB =14． （2）∵ BA →⋅BC →=2，∴ accosB =2，又cosB =14，∴ ac =8，由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∵ b =2√3，∴ 12=a 2+c 2−4，化为a 2+c 2=16． 联立{ac =8a 2+c 2=16，解得a =c =2√2．17. 三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716． … （2）ξ可能的取值为0，1，2，3 … P(ξ=0)=34⋅34⋅23=38；P(ξ=1)=716；P(ξ=2)=14⋅14⋅23+C 21⋅14⋅34⋅13=16；P(ξ=3)=14⋅14⋅13=148 … ξ的分布列为：所以Eξ=0⋅38+1⋅716+2⋅16+3⋅148=56…18. （1）证明：∵ AA 1⊥平面A 1B 1C 1， ∴ AA 1⊥B 1C 1，又DE ⊥B 1C 1，且DE ∩AA 1=D ，∴ B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，∴ C 1A 1⊥C 1B 1．…（2）解：分别以C 1A 1→，C 1B 1→，C 1C →的方向为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系，…设C 1A 1=a ，C 1B 1=b ，则A 1(a, 0, 0)，B 1(0, b, 0)，A(a, 0, 4)，B(0, b, 4)，C(0, 0, 4)，D(a, 0, 3)，E(0, 0, 2)， 又V ABC−A 1B 1C 1=S △ABC ⋅AA 1=12×AC ×BC ×4=8，得：ab =4， 设n →=(x,y,z)是平面BDE 的一个法向量， EB →=(0,b,2)，ED →=(a,0,1)，由{n →⊥EB →n →⊥ED →，得{by +2z =0ax +z =0，取n →=(b,−2a,ab)． … 又C 1C →=(0,0,4)是平面ABC 的一个法向量， cos <C 1C →，n →>=√b 2+4a 2+(ab)2=√b 2+4a 2+16，∵ b 2+4a 2≥4ab =16，当且仅当a =2b 时等号成立，∴ cos⟨C 1C →，n →>的最大值为√22， 所以平面BDE 与平面ABC 所成锐二面角的最小值450．… （3）V B−ADEC =13S ADEC ⋅BC =13⋅12(AD +CE)⋅AC ⋅BC =2 此容器最多能盛水：V ABC−A 1B 1C 1−V B−ADEC =6（平方单位）．…19. 解：（1）如图所示，∵ 过点(1,32)的椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，∴ {1a 2+94b 2=1c =1a 2=b 2+c 2，解得c =1，b 2=3，a 2=4． ∴ 椭圆C 的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）∵ 点B 的坐标为(85，3√35)，点P 与点B 关于坐标原点对称．∴ P(−85，−3√35)． 可得k BF =3√3585−1=√3．∴ 直线BF 的方程y =√3(x −1)． 联立{y =√3(x −1)x 24+y 23=1，化为5x 2−8x =0，解得x =0或85．把x =0代入直线方程可得y =−√3． ∴ A(0,−√3)． ∴ k PA =−3√35+√3−85−0=−√34． ∴ 直线PA 的方程为：y =−√34x −√3． （3）椭圆C 的右准线l 为：x =a 2c=4．①当直线AB ⊥x 轴时，B(1, 32)，A(1,−32)，P(−1,−32)． ∴ 直线PB 的方程为：y =32x ，联立{x =4y =32x ，解得y N =6．直线PA 的方程为：y =−32，∴ y M =−32． ∴ y N ⋅y M =6×(−32)=−9．②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．则P(−x 2, −y 2)．∴ 直线PB 的方程为：y =y 2x 2x ，联立{x =4y =y 2x 2x ，解得y N =4y2x 2．设直线AB 的方程为：y =k(x −1)． 直线PA 的方程为：k PA =y 1+y2x 1+x 2．由x 124+y 123=1，x 224+y 223=1， 两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0．∴ 34+k PA ⋅k AB =0，∴ k PA =−34k．得到直线PA 的方程为：y +y 2=−34k(x +x 2)．联立直线PA 与l 的方程{x =4y +y 2=−34k(x +x 2)，解得y =−y 2−3(4+x 2)4k=−3(4+x 2)(x 2−1)4y 2−y 2=−[4y 22+3x 22−12+9x 2]4y 2．∵x 224+y 223=1，∴ 4y 22+3x 22−12=0． ∴ y M =−9x24y 2．∴ y M ⋅y N =−9x24y 2⋅4y 2x 2=−9．综上可知：y M ⋅y N =−9，为定值． 20. 解：（1）∵ f /(x)=1−ax =x−a x，x >0；当a ≤0时，函数f(x)在(0, +∞)递增，∴ f(x)不存在最小值； 当a >0时，由f′(x)≤0，得0<x ≤a ； 由f′(x)>0，得x >a ；∴ 函数f(x)在(0, a)递减，在(a, +∞)递增，∴ 当x =a 时，[f(x)]min =a −alna ； 由a −alna ≤0，得a ≥e ；∴ 实数a 的取值范围为[e, +∞)．（2）∵ 设x =1是函数f(x)的极小值点， 由(I)知：f(x)极小值=f(a)，∴ a =1．(I)设直线y =kx 与函数f(x)的图象相切于点(x 1, y 1)， 则{k =1−1x 1y 1=x 1−lnx 1y 1=kx 1解得k =1−1e ； 设直线y =kx 与函数g(x)的图象相切于点(x 2, y 2)， ∵ g /(x)=1−lnx x 2，则{k =1−lnx2x 22y 2=lnx 2x 2y 2=kx 2解得k =12e ； ∵ 函数f(x)与函数g(x)的图象分别在直线y =kx 的两侧（如图示），，∴ k 的取值范围为(1−1e ，12e )． (II)∵ f′(x 0)=f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1， ∴ 1−1x 0=(x 2−lnx 2)−(x 1−lnx 1)x 2−x 1，∴ 1x 0=lnx 2−lnx 1x 2−x 1；∵ 1x 0−1x 1=lnx 2−lnx 1x 2−x 1−1x 1=x 1(ln x 2x 1−x 2x 1+1)(x 2−x 1)x 1又∵ 0<x 1<x 2， ∴ (x 2−x 1)x 1>0；记x2x 1=t ，ℎ(t)=lnt −t +1，t >1，∵ ℎ/(t)=1t−1<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)递减， ∴ ℎ(t)<ℎ(1)=0， 即1x 0−1x 1<0⇒1x 0<1x 1，∴ x 1<x 0；同理∴ x 0<x 2， ∴ x 1<x 0<x 2． 21. 解：（1）当a =2，b =3时，M 的行列式det(M)=−5， 故所求的逆矩阵M −1=[−152535−15]．… （2）设曲线C 上任意一点P(x, y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′, y ′)，则[1a b 1][xy ]=[x′y′]，即{x +ay =x′bx +y =y′又点P ′(x ′, y ′)在曲线C ′上，所以x ′2−2y ′2=1，则(x +ay)2−2(bx +y)2=1，即(1−2b 2)x 2+(2a −4b)xy +(a 2−2)y 2=1为曲线C 的方程，… 又已知曲线C 的方程为x 2+4xy +2y 2=1，比较系数可得{1−2b 2=12a −4b =4a 2−2=2，解得b =0，a =2，∴ a +b =2．…22. 解：（1）∵ 曲线C 1的极坐标方程为ρ2+6ρcosθ−2ρsinθ+6=0， 且ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴ 曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2+6x −2y +6=0；… （2）由{x =3cosθy =3sinθ知，两个方程平方相加得，曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=9， 圆C 1的方程减去圆C 2的方程得：6x −2y +15=0， ∴ 公共弦所在的直线AB 的方程为6x −2y +15=0， ∴ 公共弦|AB|=2√9−(√36+4)2=3√62．…23. 解：∵ 关于x 的一元二次方程x 2+2tx +|a +2|+|a −1|=0对任意a ∈R 无实根， ∴ △=4t 2−4(|a +2|+|a −1|)<0，即t 2<|a +2|+|a −1|对a ∈R 恒成立， 而|a +2|+|a −1|≥|(a +2)−(a −1)|=3，当且仅当(a +2)(a −1)≤0，即−2≤a ≤1时等号成立，∴ (|a +2|+|a −1|)min =3， ∴ t 2<3，求得−√3<t <√3，∴ 实数t 的取值范围为(−√3, √3)．。

2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．3．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减B．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβD．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数4．（5分）将函数y=f′（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=1﹣2sin2x 的图象，则f（x）是（）A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx5．（5分）（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]8．（5分）函数y+1=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）已知向量，，满足||=4，||=2，与的夹角为，（﹣）•（﹣）=﹣1，则|﹣|的最大值为（）A．+B．+1 C．D．+110．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣4||；当x＞1时，f（x）=af（x﹣1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：①当a=2时，；②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[﹣2，2]；③当a＞0时，不等式在区间[0，+∞）上恒成立；④当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．其中描述正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=xe﹣x，则当x＞0时，f（x）=．12．（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）13．（4分）过函数f（x）=x3﹣3x上的点M（﹣2，﹣2）的切线方程是．14．（4分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为．15．（4分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为．三．解答题（本大题有5小题，共80分）16．（13分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．17．（13分）叙述并证明余弦定理．18．（13分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．19．（13分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．20．（14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．21．（4分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．四、自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总分）22．（10分）求函数f（x）=+++++的最大值．2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．【解答】解：=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选：D．3．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减B．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβD．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数【解答】解：A中由幂函数的定义m﹣1=1，所以f（x）=x﹣1，在（0，+∞）上递减正确；B中函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点⇔方程ln2x+lnx=a有解，而y=ln2x+lnx∈故a∈，所以结论正确；C中取时成立，故正确；D中φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos（2x），是偶函数，故错误故选：D．4．（5分）将函数y=f′（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=1﹣2sin2x 的图象，则f（x）是（）A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx【解答】解：y=1﹣2sin2x=cos2x，向右平移个单位得y=cos2（x﹣）=cos（2x ﹣）=sin2x=2cosx•sinx的图象，就是函数y=f′（x）sinx的图象，故f′（x）=2cosx，∴f（x）=2sinx，故选：A．5．（5分）（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．【解答】解：依题意，由得，又α是第二象限角，所以，，故选：C．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．7．（5分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选：D．8．（5分）函数y+1=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：函数y+1=可以化为y=，函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（2，）上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（，3）上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4．故选：B．9．（5分）已知向量，，满足||=4，||=2，与的夹角为，（﹣）•（﹣）=﹣1，则|﹣|的最大值为（）A．+B．+1 C．D．+1【解答】解：设，，；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系，∵||=4，||=2，与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）∵（﹣）•（﹣）=﹣1，∴x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，|﹣|表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离；∵圆心到A的距离为，∴|﹣|的最大值为，故选：D．10．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣4||；当x＞1时，f（x）=af（x﹣1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：①当a=2时，；②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[﹣2，2]；③当a＞0时，不等式在区间[0，+∞）上恒成立；④当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．其中描述正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意知，．在描述①中，由x＞1，将a=2及代入f（x）=af（x﹣1）中，得=，可知描述①正确．在描述②中，（1）若0＜a＜1，当0≤x≤1时，，其图象是一条折线段，当x＞1时，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，且每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x轴距离的a倍，由知，0≤f（x）≤2．其图象如图1所示．（2）若a=0，则，此时亦有0≤f（x）≤2．（3）若﹣1＜a＜0，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，每条折线段在x轴上下交替出现，且从第二段起，每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x 轴距离的|a|倍，此时，﹣2＜f（x）≤2．其图象如图2所示．综合（1），（2），（3）知，f（x）的值域为（﹣2，2]，所以描述②错．在描述③中，取a=44，，则，而＜1，故描述③错．在描述④中，由图2知，当n=1时，f（x）的图象与直线y=2a1﹣1即y=2在[0，1]内的交点个数为1，即；当n=2时，f（x）的图象与直线y=2a2﹣1即y=2a在[0，2]内的交点个数为1，即；当n=3时，f（x）的图象与直线y=2a3﹣1即y=2a2在[0，3]内的交点个数为3，即；当n=4时，f（x）的图象与直线y=2a4﹣1即y=2a3在[0，4]内的交点个数为3，即；…由此猜想：当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．现用数学归纳法证明之．（1）由上可知，当n=1时，猜想成立．（2）假设n=k时，猜想成立，即函数f（x）的图象与直线y=2a k﹣1（k∈N*）在[0，k]内的交点个数为k﹣．则当n=k+1时，如图2所示，若k为奇数，则交点个数与n=k时情形相同；若k为偶数，则交点个数在n=k时的基础上增加2个，所以当n=k+1时的交点个数在n=k时的基础上增加了1+（﹣1）k个，从而交点个数为=，得，即当n=k+1时，猜想也成立．综合（1），（2）知，猜想成立，所以描述④正确．故选：C．二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=xe﹣x，则当x＞0时，f（x）=xe x．【解答】解：∵x＞0，∴﹣x＜0，又x＜0时，f（x）=xe﹣x，∴f（﹣x）=﹣xe x，又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=xe x．故答案为：xe x．12．（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．13．（4分）过函数f（x）=x3﹣3x上的点M（﹣2，﹣2）的切线方程是y=﹣2和y=9x+16．【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣3t），∵f′（x）=3x2﹣3，∴切线斜率为3t2﹣3=3（t2﹣1），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点M（﹣2，﹣2），故坐标M满足切线方程，∴﹣2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（﹣2﹣t），整理得2t3+6t2﹣8=（t+2）2（t﹣1）=0解得t=﹣2或t=1．当t=﹣2时，t3﹣3t=﹣2，3t2﹣3=9；当t=1时，t3﹣3t=﹣2，3t2﹣3=0；故切点为（﹣2，﹣2）时，切线斜率为9，则切线方程为y+2=9（x+2）；切点为（1，﹣2）时，切线斜率为0，则切线方程为y+2=0（x﹣1）；∴切线方程为9x﹣y+16=0或y=﹣2故答案为：9x﹣y+16=0或y=﹣2．14．（4分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为1：3．【解答】解：由可得，∴==，∴=2∴P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R分别AB，BC的一个三等分点，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴S=S△ABC﹣△PQR（++）=S△ABC﹣（×+×+×）=S△ABC﹣（S△ABC+S△ABC+S△ABC）=S△ABC∴所求的面积比为1：3，故答案为：1：315．（4分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为（2e+，e2+2）．【解答】解：函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），如图，不妨设a＜b＜c，由已知条件可知：0＜a＜1＜b＜e＜c＜e2，∵﹣lna=lnb，∴ab=1∵lnb=2﹣1nc∴bc=e2，∴a+b+c=b+，（1＜b＜e），由（b+）′=1﹣＜0，故（1，e）为减区间，∴2e+＜a+b+c＜e2+2，∴a+b+c的取值范围是：（2e+，e2+2）．故答案为：（2e+，e2+2）．三．解答题（本大题有5小题，共80分）16．（13分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1∴A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a﹣1}，C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a﹣1＞2∴a＞3（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C．∴解可得0≤a≤317．（13分）叙述并证明余弦定理．【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．18．（13分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，解得．…．（6分）（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max =h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．…（14分）19．（13分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]20．（14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【解答】解：（1）梯形ABCD的面积S==sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，）．…（2分）体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．…（3分）（2）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）．∵θ∈（0，），∴θ=．…（5分）当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＜0，V（θ）为减函数．…（7分）∴当θ=时，体积V最大．…（8分）（3）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，）．侧∴表面积S=2（siθcosθ+sinθ）+20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，）．…（10分）设g（θ）=cosθ+2sin+1，θ∈（0，）．∵g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin=，即q=时，g（q）最大．…（12分）又由（2）知θ=时，sinθcosθ+sinθ取得最大值，∴θ=时，木梁的表面积S最大．…（13分）综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．…（14分）21．（4分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，F′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．故x∈（0，）时，F（x）是减函数；故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．F（x）在x=处有极小值且F（）=．（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x），即log 2（x﹣1）+log2=log2，⇔⇔①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；③当a=5时，原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时，原方程无解．（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为s n，且s n=f（n）g（n）﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时，a k=s k﹣s k﹣1=，a k﹣=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]==＞0．即对任意的2＜k≤100，都有a k＞．又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．故f（100）h（100）﹣＞．四、自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总分）22．（10分）求函数f（x）=+++++的最大值．【解答】解：设：）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（f（x），f（x））|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=所以：当且仅当：==即sinx=0，即x=kπ时，函数赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)log a y x=xyO (1,0)log a y x=。

福建省莆田一中2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确答案）1. （3分）如图，可表示函数y=f（x）的图象的只能是（）2. (3分)函数y= ——7的定义域为()A. (0, e]B.(-汽e]C. (0, 10]D. (- ^, 10]3. (3分)已知函数f (匚+1) =x+1，则函数f (x)的解析式为()2 2A . f (x) =xB . f (x) =x +1 (x羽)2 2C. f (x) =x - 2x+2 (x》)D. f (x) =x - 2x (x》)4. (3 分)已知全集U={1 , 2, 3, 4, 5}，集合A={x|x - 3x+2=0} , B={x|x=2a , a3}，则集合?U (A UB)中元素的个数为()A . 1 B. 2 C. 3 D . 45. (3分)设aC - .二H,则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是()A. 1, 3B. - 1 , 1C. - 1, 3 D . - 1, 1, 30 7 66. (3分)三个数6 , 0.7 , log o.76的大小顺序是()607 6 07A . 0.7 < 6 ' < log o.76B . 0.7 < log o.76v 6 .0.7 c r6 6 Q.7C . log0.76< 6 < 0.7D . log0.76< 0.7 < 6X x7. (3分)设f (x) =3 +3x - 8,用二分法求方程3 +3x - 8=0在x €( 1, 2 )内近似解的过程中得f (1)< 0,f (1.5)> 0, f (1.25)< 0,则方程的根落在区间()A . (1 , 1.25) B. (1.25, 1.5) C. (1.5, 2) D .不能确定f4x _ 4, xVl& （3分）函数：：■-的图象和函数g （ x ） =log 2X 的图象的交点个数[/ -x>l是（）A . 4B . 3C . 2D . 129. （3分）定义在上的偶函数 f （x ） =ax +bx - 2在区间上是（） A •增函数B •减函数C .先增后减函数D •先减后增函数 f （it ） — f （if ）10（3分）设奇函数f （x ）在（0,+^）上为增函数，且f （1）=0，则不等式.'-Ix的解集为（）B . (-g,- 1)U( 0, 1)C . (- g,-(-1, 0)U( 0, 1)二、填空题（本大题共 11小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）x - 111. （ 5分）若a >0, a ^,则函数y=a +2的图象一定过点.1五4 12. （ 5分）已知二 一，^U 」」：：-，_=.1213. （5分）定义 f （x , y ） = （y , 2y - x ）,若 f （m , n ） = （1, 2）,则（m , n ）=.214. （ 5分）二次函数 y=ax +bx+c 中，若ac v 0,则函数的零点个数是个. 15. （ 5分）一个高中研究性学习小组对本地区2002年至2004年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图， 根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒.快饕公司盒饭年销售莹的平均数情况图16. （ 8分）计算：A .( - 1, 0)U( 1, +s) 1)U( 1, + g) D.快餐公司个数情况图n Q ——」（"：三■'+ ：717. ( 8 分)A={x| - 2v x <5}, B={x|m+1 纟 <2m - 1}，若 B?A ，贝U m 的取值范围是.218. ( 8分)已知函数 f (x ) =x + (lga+2) x+lgb , - 1 是函数 F ( x ) =f (x ) +2 的一个零点, 且对于任意x€R ,恒有f (x ) ^2x 成立，求实数a , b 的值.19. ( 8分)某工厂生厂了一种电子元件，每月生产的数据如表：月份 1 2 3 4 产量(千件)505256.263.5为估计一年内每月该电子元件的产量，以这 4个月的产量为依据，拟选用 y=ax+b 或y=a x +b为拟合函数，来模拟电子元件的产量 y 与月份x 的关系•请问：哪个函数较好？并由此估计5月份的产量.20. ----------------------------------------------- (11 分)已知函数 f (x ) =a :—2X +1(1) 求证：不论a 为何实数f (x )总是为增函数； (2) 确定a 的值，使(x )为奇函数； (3) 当f (x )为奇函数时，求f (x 的值域.21. (12 分)已知：函数 f (x )对一切实数 x , y 都有 f (x+y ) - f (y ) =x (x+2y+1 )成立， 且 f (1) =0.(1) 求f (0)的值. (2) 求f (x )的解析式.(3) 已知a€R ,设P ：当0v x v _时，不等式f (x ) +3v 2x+a 恒成立；Q :当x €时，g(x )2=f (x ) - ax 是单调函数.如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B , 求A A ?R B ( R为全集).福建省莆田一中2014-2015学年高一上学期第一次段考数 学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确答案)1. (3分)如图，可表示函数 y=f (x )的图象的只能是()75(2) log 2 (47>25) +lg考点： 抽象函数及其应用. 专题： 函数的性质及应用.分析：本题利用函数的定义，对于定义域内的任意的自变量 判断出那个图形符合函数的对应法则，得到本题结论.解答： 解：根据函数的定义，对于定义域内的任意的一个自变量 应，故任作一条垂直于 x 轴的直线，与函数的图象最多有一个交点. 故应选D . 点评： 本题考查了函数的定义，本题难度不大，属于基础题.2. （3分）函数y=的定义域为（）解答：解：T 函数沪一- •： /• 1 — lnx 为， 即 lnx <1; 解得0 v x 它，•••函数y 的定义域为（0, e]. 故选：A .点评： 本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出使解析式有意 义的不等式的解集，是基础题.2B . f (x ) =x +1 (x 羽)D . f (x ) =x 3 4 — 2x (x 》)考点： 函数解析式的求解及常用方法.3 （3分）已知函数f （ -+1） =x+1，则函数f （x ）的解析式为（）4 A . f (x ) =x2C . f (x ) =x — 2x+2 (x 》)考点： 函数的定义域及其求法.分析：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可.A . (0, e]B .(—汽 e]C . (0, 10]x ，有唯一的函数值与之对应， X ,有唯一的函数值与之对D . (— s, 10]专题：计算题.分析：通过换元：令.• •，将已知条件中的x都换为t,得到关于t的函数解析式，再将t换为x即可.解答：解：令「一二i则x= ( t- 1) 2( t》)2 2••• f (t) = (t- 1) +仁t - 2t+22• f (x) =x2- 2x+2 (x 羽)故选C点评：已知f (ax+b)的解析式来求f (x)的解析式，一般通过换元的方法或配凑的方法.2 、4. (3 分)已知全集U={1 , 2, 3, 4, 5}，集合A={x|x - 3x+2=0} , B={x|x=2a , a3}，则集合?U (A UB)中元素的个数为()A . 1 B. 2 C. 3 D . 4考点：交、并、补集的混合运算.分析：用列举法表示出A、B，求解即可.解答：解：A={1 , 2} , B={2 , 4}, A U B={1 , 2, 4},• C U (A U B) ={3 , 5},故选B点评：本题考查集合的混合运算，较简单，注意集合两种表达方法的互化.5. (3分)设a€,..',则使函数y=x日的定义域是R,且为奇函数的所有a的值2是()A. 1, 3B. - 1 , 1C. - 1, 3 D . - 1, 1, 3考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断.专题：计算题.分析：分别验证a= - 1, 1, —, 3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R且为奇函数.2解答：解：当a= - 1时，y=x 1的定义域是x|x用，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；丄当a=时，函数y=:的定义域是x|x为且为非奇非偶函数.2当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数.故选A.点评：本题考查幕函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幕函数的概念和性质.0 7 66. （3分）三个数6 , 0.7 , log0.76的大小顺序是（）6 \ 6 .0.7A . 0.7 V 6 V log0.76B . 0.7 < 80.76V 60.7 c r6 6 _0.7C. log0.76< 6 V 0.7D. log0.76< 0.7 < 6考点：不等关系与不等式. 专题：函数的性质及应用.分析：由指数函数和对数函数的图象可以判断60.7, o.76, log o.76和0和1的大小，从而可以判断60.7, 0.76, log o.76的大小.解答：解：由指数函数和对数函数的图象可知：0.7 6 ..6 > 1, 0< 0.7 v 1, log0.76< 0,「•log0.76< 0.76< 6°7故选：D.点评：本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查.x x7. (3分)设f (x) =3 +3x - 8,用二分法求方程3 +3x - 8=0在x €( 1, 2)内近似解的过程中得f (1)< 0,f (1.5)> 0, f (1.25)< 0,则方程的根落在区间()A . (1 , 1.25) B. (1.25, 1.5) C. (1.5, 2) D .不能确定考点：二分法求方程的近似解.专题：计算题.分析：由已知方程3x+3x - 8=0在x €( 1, 2)内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f (1.5)> 0, f (1.25)< 0，它们异号.解答：解析：••• f (1.5) ?f (1.25)< 0,由零点存在定理，得，•••方程的根落在区间(1.25, 1.5).故选B.点评：二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f (x)在区间上的图象是一条不间断的曲线，且f (a) f (b)< 0,则函数y=f (x)在区间(a, b)上有零点.f4x _43x=Cl&( 3分)函数t. 的图象和函数g (x) =log2x的图象的交点个数x>l是()A . 4 B. 3 C. 2 D . 1考点：函数的图象与图象变化.专题：计算题；压轴题；数形结合.分析：根据分段函数图象分段画的原则，结合一次函数、二次函数、对数函数图象的画出，f4x _4, xVl我们在同一坐标系中画出函数的图象和函数g (x) =log2x的图[J-4工+队I>1象，数形结合即可得到答案.f _4, Ki解答：解：在同一坐标系中画出函数f (x) i c 的图象和函数g (x),- 4x+3, x>l=log 2x的图象如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有 3个交点故选B点评：本题考查的知识函数的图象与图象的变化，其中在同一坐标系中画出两个函数的图 象是解答的关键.29. (3分)定义在上的偶函数 f (x ) =ax+bx - 2在区间上是() A .增函数B .减函数C .先增后减函数D .先减后增函数考点： 函数奇偶性的性质；二次函数在闭区间上的最值. 专题： 函数的性质及应用. 分析：根据偶函数的性质先求出a ,b ,然后利用二次函数的性质确定函数的单调性.解答： 解：••• f (x )是定义在上的偶函数， •••区间关于原点对称，即 1+a+2=0 , 解得a= - 3, 且 f (- x ) =f (x ),2 2• ax - bx - 2=ax +bx — 2, 即-bx=bx ，解得 b=0,2 2• f (x ) =ax +bx - 2= - 3x - 2, • f (x )在区间上是减函数. 故选：B .点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键.f (乂)—f (一 x)10.(3分)设奇函数f(x)在(0,+s)上为增函数，且f(1)=0，则不等式' ■-1X的解集为()A . ( - 1, 0)U( 1, +s)B . ( -m ,-1)U( 0, 1) C .(-8,1)U( 1, + 8) D . (-1, 0)U (0, 1)考点： 奇函数. 专题： 压轴题.分析： 首先利用奇函数定义与亠一:得出x 与f (x )异号,然后由奇函数定义求出f (- 1) = - f (1) =0,最后结合f (x)的单调性解出答案.解答：解：由奇函数f (x)可知一二 ----- L_—U ---------- L—一 '(，即卩x与f (X)异号，而f (1) =0，则f (- 1) =-f (1) =0,又f (x)在(0, + 8)上为增函数，则奇函数f (x)在(-8, 0)上也为增函数，当x > 0 时，f ( x)v 0=f (1);当x v 0 时，f ( x)> 0=f (- 1),所以0v x v 1 或-1 v x v 0.故选D.点评：本题综合考查奇函数定义与它的单调性.二、填空题(本大题共11小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上)x - 1 ..11. ( 5分)若a> 0, a^l,则函数y=a +2的图象一定过点(1, 3);.考点：指数函数的图像与性质.专题：函数的性质及应用.分析：利用指数函数过定点的性质进行判断.解答：解：方法1:平移法T y=a x过定点(0, 1),将函数y=a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=a x需2，此时函数过定点(1, 3),方法2 :解方程法由x -仁0,解得x=1 ,此时y=1+2=3 ,x - 1即函数y=a +2的图象一定过点(1, 3).故答案为：(1, 3)点评：本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1,则用解方程的方法比较简单.12 412. ( 5分)已知二一，^U—=4 .1考点：对数的运算性质.丄分析：根据-'可先求出a的值，然后代入即可得到答案.解答：解：•••—. : •••••_19 3 3••一二：一一二3故答案为：4.点评：本题主要考查指数与对数的运算.指数与对数的运算法则一定要熟练掌握.213. (5分)定义f (x, y) = (y , 2y- x),若f (m, n) = (1, 2),则(m, n) =(0, 1) 或(-4，- 1).考点：函数的值.专题：函数的性质及应用.2分析：由已知得y =1，从而2y - x=2,由此能求出（m, n）= （- 4,- 1）或（0, 1）.2解答：解：•••定义f （x, y）= （y , 2y- x）,••• f （m, n）= （1, 2）,• • 2 *-y =1,•2y- x=2 ,解得y= - 1或y=1,•x= - 4 或x=0,故（m, n）= （- 4,- 1）或（0, 1）.故答案为：（-4,- 1 ）或（0, 1）.点评：本题考查函数值的求法，是基础题，注意函数性质的合理运用.214. （5分）二次函数y=ax +bx+c中，若ac v 0,则函数的零点个数是2个.考点：二次函数的性质.专题：计算题.分析：有a?c v 0,可得对应方程ax2+bx+c=0的厶=b2-4ac>0，可得对应方程有两个不等实根，可得结论.2解答：解：ac v0,•△ =b - 4ac> 0,r、、2•••对应方程ax +bx+c=0有两个不等实根，故所求二次函数与x轴有两个交点.故答案为：2点评：本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标.15. （5分）一个高中研究性学习小组对本地区2002年至2004年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭85万盒.考点：用样本的数字特征估计总体的数字特征.快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图专题： 图表型.分析： 本题是求加权平均数，依据加权平均数的计算公式即可求解.解答： 解：2( 30 >1+45 >2+90 XI.5) =853即这三年中该地区每年平均销售盒饭 85万盒.故答案为：85. 点评：本题主要考查了加权平均数，正确理解以及公式是解决本题的关键.16. ( 8分)计算：n Q——」("一 ；+ : +— ；(2)82 (47>25)+lg ： r+lo 」？1。