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第5讲 导数及其应用(推荐时间：60分钟)一、填空题1．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为____________．2．(原创题)已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩(∁I N )＝__________.3．(2011·辽宁改编)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．4．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是____________．5．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．6．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．7．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )·g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x·g (x )，(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )(n ＝1,2，…10)中，任意取正整数k (1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是______．8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．11．函数f (x )＝2m cos 2x 2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．12．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是______．二、解答题13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)14.若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得图象过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为x －y －2＝0，求函数y ＝f (x )的解析式．15．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值；(3)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围． 答 案1．(1,0) 2.[32，2] 3．(－1，＋∞)4．(－∞，10) 5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 6．[1，＋∞) 7.358．0<t <1或2<t <3 9．[1，＋∞)10．[－2，－1] 11．±1 12.12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e13．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x <10时， 由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0； 当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．14．解 因为f (x )图象过点P (0,1)， 所以c ＝1，即f (x )＝ax 4＋bx 2＋1， 则f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，所以k ＝f ′(1)＝4a ＋2b ＝1. ①由f (x )在x ＝1的切线方程为x －y －2＝0得切点为M (1，－1)，将M (1，－1)代入f (x )＝ax 4＋bx 2＋1，得a ＋b ＋1＝－1.②由①②解得a ＝52，b ＝－92，所以f (x )＝52x 4－92x 2＋1.15．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)．而过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.故⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，－a ＋c －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0， ①c －a ＝3. ②∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值， 故f ′(－2)＝0. ∴－4a ＋b ＝－12. ③由①②③联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝－2.∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527.又∵f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13. (3)y ＝f (x )在[－2,1]上单调递增． 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由(1)知2a ＋b ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－bx ＋b .依题意在[－2,1]上恒有f ′(x )≥0， 即3x 2－bx ＋b ≥0在[－2,1]上恒成立，当x ＝b 6≥1时，即b ≥6时，[f ′(x )]min ＝f ′(1)＝3－b ＋b >0，∴b ≥6时符合要求．当x ＝b6≤－2时，即b ≤－12时，[f ′(x )]min ＝f ′(－2)＝12＋2b ＋b ≥0，∴b 不存在．当－2<b 6<1即－12<b <6时，[f ′(x )]min ＝12b －b 212≥0，∴0≤b <6，综上所述b ≥0.。
