2017年天津市河西区高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I 卷(选择题)和第H 卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时120分钟。

至2页，第n 卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷 时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1•每小题选出答案后， 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,他答案标号。

2•本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A , B 互斥，那么 如果事件A , B 相互独立，那么 P(A U B)=P(A)+P(B). P(AB)=P(A) P(B).1棱柱的体积公式 V=Sh. 棱锥的体积公式 V Sh .3其中S 表示棱柱的底面面积， 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合 A {1,2,6}, B {2,4}, C {x R| 1 (A) {2} ( B ) {1,2,4} ( C ) {1,2,4,6} ( D ) {x2x y 0,y 3,(A) - ( B ) 1 ( C ) - ( D ) 33 2绝密★启用前再选涂其x 5}，贝U (AUB)I C5}(2)设变量x,y 满足约束条件x 0y 2 0,则目标函数z x y的最大值为(3)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24,则输出N 的值为(A )0 ( B )1( C ) 2( D )3n n1(4 )设 R ，则 “ || ”是 “si n — ” 的 12 12 2(A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为c的大小关系为(A ) a b c (B ) c b a (C ) b a c(D ) b c a(7)设函数f (x) 2si n( x ),x R , 其中0 , 1| 若f®2 ,f(8)0 ,且f (x)的最小正周期大于2 ，则(A )2, 312(B )2 312(C )1 3，241 (D )1, 324(8 )已知函数 2xf(x)x x 3,x 2 ,x 1.x1,设aR , 若关于x 的不等式 f(x) U 2 a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是(5)已知双曲线b 21(a 0,b 0)的左焦点为F ，学 科&网离心率为 2 •若经过F 和P(0, 4)两2‘ x1 (B )82y_ 8 2 , x 1 (C )4 2 y_ 8 2 ,x 1 (D ) 82y_ 4 (6)已知奇函数f (x)在R 上是增函数,g(x) xf(x).若 a0 Qg( log 2 5.1) , b g(2 ■ ) , cg(3)，则 a , b ,(A)47,2] (C) [ 2.3,2]注意事项:1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市河西区2017届高三一模数学（理）试题一、选择题A）∩B=（）1．集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（∁RA．（0，+∞） B．{﹣2，﹣1，1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}2．已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[6，10] B．（6，10] C．（﹣2，10] D．[﹣2，10）3．如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．30 B．10 C．15 D．214．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2 C．1 D．5．α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）A．B．3 C．D．47．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（2π，2017π）B．（2π，2018π）C．（，）D．（π，2017π）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i为虚数单位，则复数= ．10．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为．11．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB= ．12．已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．13．已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x）=1；④等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是．（只填写序号）14．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（logx）＞的解集为．2三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．18．（13分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＞0，S 2=2a 2﹣2，S 3=a 4﹣2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．19．（14分）已知函数f （x ）=x ﹣﹣2lnx ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：f （x 2）＜x 2﹣1．20．（14分）已知椭圆E ：（a ＞b ＞0）的离心率，且点在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点．求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．天津市河西区2017届高三一模数学（理）试题参考答案与试题解析一、选择题1．集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（∁A）∩B=（）RA．（0，+∞） B．{﹣2，﹣1，1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，A={x|x≤0}，则∁RA）∩B={﹣2，﹣1}．所以（∁R故选：C．【点评】本题考查了交集和补集的定义与运算问题，是基础题．2．已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[6，10] B．（6，10] C．（﹣2，10] D．[﹣2，10）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，z取最大值，=3×4﹣2=10；由，得A（4，﹣2），此时zmax当直线y=﹣3x+z过点B时，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2=﹣2．综上，z=3x+y的取值范围为（﹣2，10]．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．30 B．10 C．15 D．21【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3，t=3当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6，t=4当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10，t=5当S=15时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为15故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2 C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，可得CD⊥AB，PD⊥AB．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，则CD⊥AB，PD⊥AB，CD=，PD===．∴S==．△PAB故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、三角形面积计算公式、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的性质进行判断即可．【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m⊂α，m⊂β，∵l∥m，l⊄α，l⊄β，∴l∥α，l∥β，必要性：过l作平面γ交β于直线n，∵l∥β，∴l∥n，若n与m重合，则l∥m，若n与m不重合，则n⊄α，∵l∥α，∴n∥α，∵n⊂β，α∩β=m，∴n∥m，故l∥m，故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，根据空间直线和平面平行的位置关系是解决本题的关键．6．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且，则A 点的横坐标为（ ）A ．B ．3C ．D ．4【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K 的坐标，设A （x 0，y 0），过A 点向准线作垂线AB ，则B （﹣3，y 0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x 0﹣（﹣3）=x 0+3，进而可求得A 点坐标．【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．∴抛物线C ：y 2=12x ，准线为x=﹣3， ∴K （﹣3，0）设A （x 0，y 0），过A 点向准线作垂线AB ，则B （﹣3，y 0）∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x 0﹣（﹣3）=x 0+3，∴由BK 2=AK 2﹣AB 2得BK 2=AB 2，从而y 02=（x 0+3）2，即12x 0=（x 0+3）2， 解得x 0=3． 故选B ．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．7．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则•的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（2π，2017π）B．（2π，2018π）C．（，）D．（π，2017π）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=f（x）的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=π，求出c的范围即可得出答案．【解答】解：当x∈[0，π]时，f（x）=cos（x﹣）=sinx，（x）=1，∴f（x）在[0，π]上关于x=对称，且fmax又当x∈（π，+∞）时，f（x）=log是增函数，2017作出y=f（x）的函数图象如图所示：=1得x=2017π，令log2017∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=π，c∈（π，2017π），∴a+b+c=π+c∈（2π，2018π）．故选：B．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i为虚数单位，则复数= ﹣4﹣3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解： =，故答案为：﹣4﹣3i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．【解答】解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是T=•（2x2）5﹣r•=（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，r+1令10﹣3r=1，解得r=3；=（﹣1）3••22••x；∴T3+1∴x的系数是﹣•22•=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目．11．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理与sinA=2sinC，可解得a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于cosB 的方程即可求出．【解答】解：在△ABC中，∵sinA=2sinC，∴由正弦定理得a=2c，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，将b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB===．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题．12．已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【分析】首先将曲线C化成普通方程，得出它是以P（0，1）为圆心半径为1的圆，然后将直线L化成普通方程，得出它与x轴的交点M的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出PM的距离，从而得出曲C上一动点N到M的最大距离．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，化成普通方程：x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1∴曲线C表示以点P（0，1）为圆心，半径为1的圆∵直L的参数方程是：∴直L的普通方程是：4x+3y﹣8=0∴可得L与x轴的交点M坐标为（2，0）∴由此可得曲C上一动点N到M的最大距离等于故答案为：【点评】本题考查了简单的曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点，属于中档题．13．已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x）=1；④等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是①②④⑤．（只填写序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，根据含有量词的命题的否定形式判定；②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），；③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=1时，f（x）=1；④，，；⑤，若A＞B，则a＞b，⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，．【解答】解：对于①，命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3，正确；对于②，若f （x ）=2x ﹣2﹣x ，则∀x ∈R ，f （﹣x ）=﹣f （x ），正确；对于③，对于函数f （x ）=x+，当且仅当x=0时，f （x ）=1，故错；对于④，等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=3，，故正确；对于⑤，在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ⇒2RsinA ＞2RsinB ⇒sinA ＞sinB ，故正确． 故答案为：①②④⑤【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、数列等基础知识，属于中档题．14．定义在R 上的函数f （x ）满足：f （2）=1，且对于任意的x ∈R ，都有f′（x ）＜，则不等式f （log 2x ）＞的解集为 {x 丨0＜x ＜4} ．【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．【分析】构造辅助函数，求导，由题意可知F （x ）=f （x ）﹣x 在R 单调递减，原不等式转化成F （log 2x ）＞F （2），（x ＞0），根据函数的单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：设F （x ）=f （x ）﹣x ，求导F′（x ）=f′（x ）﹣＜0，则F （x ）在R 单调递减，由f （log 2x ）＞，即f （log 2x ）﹣•log 2x ＞，由f （2）﹣×2=，∴F （log 2x ）＞F （2），（x ＞0）， 则log 2x ＜2，解得：0＜x ＜4， ∴不等式的解集为：{x 丨0＜x ＜4}， 故答案为：：{x 丨0＜x ＜4}． 故答案为：{x 丨0＜x ＜4}．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（2017•红桥区一模）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．16．（13分）（2017•红桥区一模）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其对应的概率，能得到ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．P（B）=P（A1）+P（A2）=+==．所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是．…（6分）（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以ξ的分布列为所以．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式．17．（13分）（2017•红桥区一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由•=0，可解a，然后求得的值．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．…（9分）（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则， =（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．…（14分）【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．18．（13分）（2017•红桥区一模）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＞0，S 2=2a 2﹣2，S 3=a 4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＞0，S 2=2a 2﹣2，S 3=a 4﹣2．可得a 3=a 4﹣2a 2，a 2q=a 2（q 2﹣2），解得q ．进而得出a 1，可得a n ．（II ）n 为奇数时，b n ===．n 为偶数时，b n =．分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．【解答】解：（I ）∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＞0，S 2=2a 2﹣2，S 3=a 4﹣2． ∴a 3=a 4﹣2a 2，可得a 2q=a 2（q 2﹣2），∴q 2﹣q ﹣2=0，解得q=2．∴a 1+a 2=2a 2﹣2，即a 1=a 2﹣2=2a 1﹣2，解得a 1=2． ∴a n =2n ．（II ）n 为奇数时，b n ===．n 为偶数时，b n =．∴T 2n =++…+++…+=++…+=++…+．设A=+…+，则A=+…++，∴A=+…+﹣=﹣，∴A=﹣．∴T2n=+﹣．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）（2017•红桥区一模）已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：f（x2）＜x2﹣1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的定义域为（0，+∞），函数的导数，令f′（x）=0，①当△≤0，②当△＞0，a＜1时，若a≤0，若a＞0，分别判断导函数的符号，得到函数的单调性．当0＜a＜1时，（2）求出函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出结果．（3）通过（1），（2），推出0＜a＜1，构造新函数g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函数的单调性证明求解即可．【解答】（本小题满分14分）（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，…（1分）令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判别式△=4﹣4a，①当△≤0，即a≥1时，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（2分）②当△＞0，即a＜1时，方程x2﹣2x+a=0的两根为，，…（3分）若a ≤0，则x 1≤0，则x ∈（0，x 2）时，f′（x ）＜0，x ∈（x 2，+∞）时，f′（x ）＞0， 此时，f （x ）在（0，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增；…（4分）若a ＞0，则x 1＞0，则x ∈（0，x 1）时，f′（x ）＞0，x ∈（x 1，x 2）时，f′（x ）＜0，x ∈（x 2，+∞）时，f′（x ）＞0，此时，f （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增．… 综上所述，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增；当a ≥1时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）（2）解：由（1）可知，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，等价于方程x 2﹣2x+a=0在（0，+∞）有两不等实根，故0＜a ＜1．…（7分）（3）证明：由（1），（2）得0＜a ＜1，，且1＜x 2＜2，．…（8分），…（9分）令g （t ）=t ﹣2lnt ﹣1，1＜t ＜2，则，…（10分）由于1＜t ＜2，则g′（t ）＜0，故g （t ）在（1，2）上单调递减．…（11分） 故g （t ）＜g （1）=1﹣2ln1﹣1=0．…（12分） ∴f （x 2）﹣x 2+1=g （x 2）＜0．…（13分） ∴f （x 2）＜x 2﹣1．…（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．20．（14分）（2017•红桥区一模）已知椭圆E ：（a ＞b ＞0）的离心率，且点在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点．求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），讨论直线AB 的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，e==，a 2﹣b 2=c 2，∵点在椭圆上，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵AB 的垂直平分线过点，∴AB 的斜率k 存在．当直线AB 的斜率k=0时，x 1=﹣x 2，y 1=y 2，∴S △AOB =•2|x|•|y|=|x|•=≤•=1，当且仅当x 12=4﹣x 12，取得等号，∴时，（S △AOB ）max =1；当直线AB 的斜率k ≠0时，设l ：y=kx+m （m ≠0）．消去y 得：（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，由△＞0可得4k 2+1＞m 2①，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，可得，，∴AB 的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k 2=﹣6m ②由①②得﹣6m ＞m 2，解得﹣6＜m ＜0，又O （0，0）到直线y=kx+m 的距离为，，=，∵﹣6＜m ＜0，∴m=﹣3时，．由m=﹣3，∴1+4k 2=18，解得；即时，（S △AOB ）max =1；综上：（S △AOB ）max =1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2017年普通高等学校招生统一考试（天津卷）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C = （A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-= ，，，，，， ,选B.（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D.（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ,7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C. （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. （10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】92π 【解析】设正方体边长为，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯= （11）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点（12）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当21a b ==时取等号 （13）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R，且4AD AE ⋅=- ，则λ的值为___________.【答案】311（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080【解析】413454541080A C C A +=三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.【答案】 (1) b =2616.（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 (1)1312 (2) 1148【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. （17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE AH 的长.【答案】 （1）证明见解析（2 （3）85 或12（Ⅰ）证明：DE =（0，2，0），DB=（2，0，2-）.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又MN =（1，2，1-），可得0MN ⋅=n.所以，线段AH 的长为或12.18.（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为.由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前项和为1328433n n +-⨯+. （19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与轴相交于点D .若APD △AP 的方程.【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）330x -=，或330x -=. 【解析】（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. （20）（本小题满分14分）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ，函数0()()()()h x g x mx f m =--，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈满足041||p x q Aq -≥. 【答案】（1）增区间是(,1)-∞-，1(,)4+∞，减区间是1(1,)4-.（2）（3）证明见解析 【解析】（Ⅰ）由432()2336f x xxx x a=+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--，进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，，且00[1)(,],2px x q∈ ， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.- 11 - 所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq -≥.。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .（5 分）设集合 A={1, 2，6}，B={2, 4}，C={x € R - 1< x < 5}，则（A U B ）n C =（ ）A . {2}B . {1，2，4}C . {1，2，4，5}D. {x € R| - 1<x < 5}为（ ） A .B . 1C . — D. 3 3 23. （5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为24,则输（5分）设变量x ，y 满足约束条件则目标函数 z=x+y 的最大值■JV JT4 . （5 分）设氏 R ,则 “ 9-— | <— ”是 “ sin<9”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件=1 （a >0, b >0）的左焦点为F ,离心率为比丄 若经过F 和P （0, 4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，贝U 双曲线的方程为（ ）出N 的值为（25. （5分）已知双曲线兰臣=16. (5分)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x ) =x f (x ).若a=g (- log 25.1), b=g (20'8), c=g (3),则 a , b , c 的大小关系为( A . a v b v c B. c v b v a C. b v a v c D . b v c v a .填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.十为实数,则a 的值为 .10. （5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为18 ,则这个球的体积为 ________ .11. （5分）在极坐标系中，直线4p co （ 9- 个数为13. (5 分)在厶 ABC 中,/ A=60° ° AB=3, € R ）,且厶-―二-4,贝U 入的值为14. （5 分）用数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. （13分）在厶ABC 中，内角A , B, C 所对的边分别为a , b , c .已知a >b ,A .二4 4B . 4=18 82 X 2 yV7. (5 分)设函数 f (x ) =2sin (^x©), x € R ,其中 3> 0 , | © v x . 若 f ( 5JT~8~A . C . =0,且f （x ）的最小正周期大于2n£CD— 11兀123'(5 分) 已知函数f （x ）,设 a € R, 若关于x 的不等式f （x ）> Hy+a|在R 上恒成立，贝U 16 a 的取值范围是（）A .[-,2] B .[-47 16 39 16]C. [ - 2_ ； , 2]D. [-2 ；，-T9. （5分）已知a € R , i 为虚数单位，若）+仁0与圆p =2sin 的公共点的12. (5分)若 a , b € R , ab >0,则a^+4b 4+lab的最小值为AC=2若而=尿,75=就-忑（入8 , 9组成没有重复数字，且至多有 个.（用数字作答）=1 D .=2, fD .a=5, c=6, sinB 土.5 (I ) 求 b 和 si nA 的值； (U )求 sin (2A+—)的值.4(I )设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和 数学期望;(U)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这 2辆车共遇到1个红灯的概率.17. (13分)如图，在三棱锥 P -ABC 中，PA!底面ABC, / BAC=90.点D , E , N 分别为棱PA PC, BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4 AB=2. (I )求证：MN //平面BDE(II )求二面角C- EM - N 的正弦值；(m)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为二Q ,求线18. (13分)已知｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S h (n € N +), ｛b n ｝是首项为2的 等比数列，且公比大于 0, b 2+b 3=12, b 3=a 4- 2a 1, Sn=11b 4. (I )求｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式； (I )求数列｛a 2n b 2n -1｝的前n 项和(n € N +).16. (13分)从甲地到乙地要经过 3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立, 且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 112, 3 4段AH 的长.2•已知A 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线I 的距离为寺. (I) 求椭圆的方程和抛物线的方程；(II) 设I 上两点P , Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B ( B 异于A )，直线BQ 与x 轴相交于点。

天津市河西区2017届高三下学期总复习质量调查（一） 数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=·如果事件A ，B 相互·柱体的体积公式Sh V = ·锥体的体积公式Sh V 31=独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=其中S 表示柱（锥）体的底面面积 h 表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1z i =+，则z i z i+⋅=（A ） 2- （B ） 2 （C ） 2i - （D ） 2i（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的K和S值分别为（A）9，49（B）11，511（C）13，613调（4）函数()()2ln23f x x x=--的单递减区间为（A）(),1-∞（B）()1,+∞（C）(),1-∞-（D）()3,+∞（5）已知双曲线C：22221x ya b-=的焦距为10，点(1,2)P在C的渐近线上，则C的方程为（A）221205x y-=（B）221520x y-=（C）2218020x y-=（D）2212080x y-=（6）设ABC∆的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且3b=，1c=，2A B=.则a的值为（A（B）（C）（D）（7）若0a>，0b>，2a b+=，则下列不等式中①1ab≤+≤；③222a b+≥；④112a b+≥.对一切满足条件的a，b恒成立的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）①③④ （D ）②③④（8）在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD=，CA CEλ= ，若14AD BE ⋅=- ，则λ的值为（A ）12（B ）2（C ）13（D ）3河西区2017—2017学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数 学 试 卷（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年高考模拟测试天津卷理科数学理科数学考试时间：____分钟单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

）1.设集合，则( )A.B.C.D.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )A.B. 1C.D. 33.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 34.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.B.C.D.6.已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为( )A.B.C.D.7.设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是( ）A.B.C.D.填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

）9.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 ____ .10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ____ .11.在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.12.若，，则的最小值为___________.13.在中，，，.若，，且，则的值为___________.14.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

）15.在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.16.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.17.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，P C，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.18.已知为等差数列，前n项和为，是学科.网首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.19.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.20.设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.答案单选题1. B2. D3. C4. A5. B6. C7. A8. A 填空题9.10.11.212.413.14.简答题15.(1) .；(2)16.(1)(2)17.（1）证明见解析（2）（3）或18.（1）..（2）.19.（1），.（2），或.20.（1）增区间是，，减区间是.（2）见解析（3）证明见解析解析单选题1.,选B.2.目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D3.依次为,，输出，选C.4.但不满足，所以是充分不必要条件，选A.5.由题意得，选B.6.奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g （x ）=xf （x ），则g ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）＞0， ∴g （x ）在（0，+∞）单调递增，且g （x ）=xf （x ）偶函数， ∴a=g （-log 25.1）=g （log 25.1）， 则2＜-log 25.1＜3，1＜20.8＜2，由g （x ）在（0，+∞）单调递增，则g （20.8）＜g （log 25.1）＜g （3）， ∴b ＜a ＜c ， 故选C ． 7.由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A ． 8. 当 时，关于x 的不等式在R 上恒成立，即为 即有由的对称轴为，可得处取得最大值- 由的对称轴为，可得处取得最小值，则①当x＞1时，关于x的不等式在R上恒成立，即为，即有由（当且仅当）取得最大值；由（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则②由①②可得，-综上．故选A．填空题9.为实数，则10.设正方体边长为，则，外接球直径为11.直线为，圆为，因为，所以有两个交点12.，当且仅当时取等号13.,则14.根据题意，分2种情况讨论：①四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A 54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C 53•C 41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A 44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个； 故答案为：1080． 简答题 15.（Ⅰ）在△ABC 中，∵，故由，可得由已知及余弦定理，有b 2＝a 2+c 2−2ac cos B ＝25+36−2×5×6×=13 ∴，由正弦定理，得．∴，；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，∴,,故．16.（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为随机变量的数学期望.（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.17.（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=或t=．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为或．18.（I ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知b 2+b 3=12，得b 1（q+q 2）=12，而b 1=2，所以q+q 2-6=0． 又因为q ＞0，解得q=2．所以，b n =2n ． 由b 3=a 4-2a 1，可得3d-a 1=8①． 由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16②，联立①②，解得a 1=1，d=3，由此可得a n =3n-2．所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n-2，数列{b n }的通项公式为b n =2n ．（II ）设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ， 由，，有，故，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.19.（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．所以，直线的方程为，或.20.（Ⅰ）由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.（Ⅱ）证明：由，得，.令函数H 1（x ）=g （x ）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则H ′1（x ）=g ′（x ）（x ﹣x 0）．由（Ⅰ）知，当x ∈[1，2]时，g ′（x ）＞0，故当x ∈[1，x 0）时，H ′1（x ）＜0，H 1（x ）单调递减； 当x ∈（x 0，2]时，H ′1（x ）＞0，H 1（x ）单调递增． 因此，当x ∈[1，x 0）∪（x 0，2]时，H 1（x ）＞H 1（x 0）=﹣f （x 0）=0，可得H 1（m ）＞0即h （m ）＞0，令函数H 2（x ）=g （x 0）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则H ′2（x ）=g ′（x 0）﹣g （x ）．由（Ⅰ）知，g （x ）在[1，2]上单调递增，故当x ∈[1，x 0）时，H ′2（x ）＞0，H 2（x ）单调递增；当x ∈（x 0，2]时，H ′2（x ）＜0，H 2（x ）单调递减．因此，当x ∈[1，x 0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x）=0，可得得H2（m）＜0即h（x）＜0，．所以，h（m）h（x）＜0．（Ⅲ）证明：对于任意的正整数，，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以.所以，只要取，就有.。

第 1 页 共 12 页绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么·如果事件A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A )P (B )．·棱柱的体积公式V=Sh ．·球的体积公式343V R =π． 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B【解析】(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A B C =-=U I I ，故选B ．（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A）23（B）1（C）32（D）3 【答案】D（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】初始：24N=，进入循环后N的值依次为8,7,6,2N N N N====，输出2N=，故选C．（4）设θ∈R，则“ππ||1212θ-<”是“1sin2θ<”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin2θ⇒<，但0θ=时1sin02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，第 2 页共 12 页所以“ππ||1212θ-<”是“1sin2θ<”的充分而不必要条件，故选A．（5）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，离心率为2．若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）22144x y-=（B）22188x y-=（C）22148x y-=（D）22184x y-=【答案】B【解析】由题意得2240,14,2210()88x ya b c a bc-==⇒===⇒-=--，故选B．（6）已知奇函数()f x在R上是增函数，()()g x xf x=．若2(log5.1)a g=-，0.8(2)b g=，(3)c g=，则a，b，c的大小关系为（A）a b c<<（B）c b a<<（C）b a c<<（D）b c a<<【答案】C（7）设函数()2sin()f x xωϕ=+，x∈R，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28fπ=，()08f11π=，且()f x的最小正周期大于2π，则（A）23ω=，12ϕπ=（B）23ω=，12ϕ11π=-（C）13ω=，24ϕ11π=-（D）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118kkωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k∈Z，所以2142(2)33k kω=--，又22Tωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212kϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x xf xx xx⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a∈R，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取第 3 页共 12 页值范围是（A）47 [,2] 16-（B）4739[,]1616-（C）[23,2]-（D）39[23,]16-【答案】A当1x>时，(*)式为222xx a xx x--≤+≤+，32222xx ax x--≤≤+．又3232()2322x xx x--=-+≤-23x=，22222x xx x+≥⨯=（当2x=时取等号），所以232a-≤≤．综上，47216a-≤≤．故选A．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷参考公式：·如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =A ．{}2B ．{124}，，C ．16}2{4，，， D ．{}1|5x R x ∈-≤≤2．设变量x ，y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．33．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的 A ．0B ．1C ．2D ．34．设θ∈R ，则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144y x -= B ．22188y x -= C ．22148y x -= D ．22184y x -=6．已知奇函数f x （）在R 上是增函数，g x xf x =（）（）．若25.1a g log =-（），0.82b g =（），3c g =（），则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．设函数2sin f x x ωϕ=+（）（），x ∈R ，其中0ω>，πϕ<．若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f x （）的最小正周期大于2π，则 A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==8．已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）A ．47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦-B ．4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2-⎡⎤⎣⎦D．3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 10．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．11．在极坐标系中，直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ．12．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求π24sin A +（）的值． 16．（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）18．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*n S n ∈Ν（），{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N （）．19．（本小题满分14分）设椭圆222210x y a ba b +=>>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程．20．（本小题满分14分）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12，内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈，）（，，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且00[]12qx x p∈，）（，，满足041p x q Aq -≥．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析1．【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==，选项B 符合．【提示】解题时应根据集合的运算法则，以及集合元素的三大特征，借助数轴或图示求解．【考点】集合的运算 2．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z x y =+得y x z =-+，作出直线y x =-，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在()03B，处取得，故max 033z =+=，选项D 符合．【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域，画图时一定要注意边界是实线还是虚线，求解时要注意z 的几何意义。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）（2）设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）（B）（C）（D）（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）（B）（C）（D）（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆中，、是弦的三等分点，弦、分别经过点、.若，，，则线段的长为（A）（B）（C）（D）（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则、、的大小关系为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第II卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.（9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.（11）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.（12）在的展开式中，的系数为.（13）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知的面积为，，则的值为.（14）在等腰梯形中,已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共80分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.(I)设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；(II)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长18.（本小题满分13分）已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设（），求数列的前项和.19.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数（），其中，.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程（为实数）有两个正实根、，求证：．2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B A A D C D二、填空题（满分30分）9．10．11．12．13．14．三、解答题（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知所以．（Ⅱ）因为，所以，，所以的最小值为，最大值为．16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”．由题意可知，．（Ⅱ）由题意，的可能取值为，，，．由题意可知，，，，．所以的分布列为：所以．17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在,且与交于点，由题意可知四棱柱中，所以，又因为为的中点，所以，,又因为为的中点，所以，．所以四边形是平行四边形．所以．平面因为平面，所以平面．（Ⅱ）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，,平面的法向量为,为，，，令得，．设平面的法向量为，、为，，，令得，．所以，因为二面角为锐角，所以二面角的正弦值为．（Ⅲ）设，，，．所以．平面的法向量为,由已知得，，解得，所以，线段的长为.18.（本小题满分13分）解：(I)依题意，，．因为，，成等差数列，所以，所以，或者（舍）当时，；当时，。