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选修4-5 第一章不等式的基本性质和证明的基本方法本章小结教学设计一、教材地位与作用本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，在学习了高中必修五个模块的基础上展开的，作为一个选修专题，教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性。
通过本专题的学习，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。
二、学情分析学生在初中阶段已掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，学习了高中必修五个模块，以此为基础，在教学中充分以学生为主体，教师为主导，让学生体会数形结合、转化、函数的数学思想。
三、教学目标（一）知识与技能1理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单绝对值不等式。
2掌握||)(0)ax b c c c +≤≥>（和)(0)x a x b c c c -+-≥≤>（型不等式的解法。
3了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式问题。
（二）过程与方法无论是基本不等式，还是解含有绝对值的不等式，都要抓住教学的重点，抓住基本思想方法。
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法，重视通过比较简单的问题让学生认识、理解和掌握这部分的基本数学思想和方法。
（三）情感态度与价值观通过不等式的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强小组合作意识，让学生体验成功的喜悦感，培养学生的自信心。
四、重难点重点：含有绝对值不等式的解法问题；难点：证明一些简单不等式问题。
五、教学方法与教学手段本节课为习题课，根据实际情况，在教学中践行新课程理念，倡导合作学习，注重动手操作能力与自主探究能力，在教学过程中始终以学生为主体，教师为主导，让学生经历合作交流、观察发现、归纳总结的学习过程。
教学方法是综合法，教学手段是学案和多媒体辅助教学。
选修4--5 不等式选讲一、课程目标解读选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。
二、教材内容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。
回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。
对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。
通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。
第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。
其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。
这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。
本讲内容也是本专题的一个基础内容。
第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。
选修4_5 不等式选讲课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程：二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ⇒a>c 。
③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c 。
推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．⑤、如果a>b >0，那么n nba >(n ∈N ，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1)。
三、典型例题：例1、已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．例2已知a>b>0，c<0，求证：bc a c >。
四、练习：选修4_5 不等式选讲课 题： 第02课时 含有绝对值的不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
1.2.2 绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法． 四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .五、教学过程 （一）导入新课解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R )．【解】 若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|＜2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1＞0，即m ＞12，则－(2m －1)＜2x －1＜2m －1，所以1－m ＜x ＜m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m ＞12时，原不等式的解集为{x |1－m ＜x ＜m }．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解． （三）重难点精讲题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法 例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6， 即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. (2)∵3≤|x －2|＜4，∴3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3，即5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}． (3)法一 由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6. ∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－5x －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －3)＞0，(x －6)(x ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞3，－1＜x ＜6. ∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 法二 作函数y ＝x 2－5x 的图象，如图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x ′1＝2，x ′2＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 规律总结：1．形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a .2．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇔－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . (2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔|f (x )|≠0.(3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义． [再练一题] 1．解不等式： (1)3＜|x ＋2|≤4； (2)|5x －x 2|≥6.【解】 (1)∵3＜|x ＋2|≤4，∴3＜x ＋2≤4或－4≤x ＋2＜－3，即1＜x ≤2或－6≤x ＜－5，所以原不等式的解集为{x |1＜x ≤2或－6≤x ＜－5}．(2)∵|5x －x 2|≥6，∴5x －x 2≥6或5x －x 2≤－6，由5x －x 2≥6，即x 2－5x ＋6≤0，∴2≤x ≤3， 由5x －x 2≤－6，即x 2－5x －6≥0，∴x ≥6或x ≤－1， 所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或2≤x ≤3或x ≥6}． 题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题 例2已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【精彩点拨】 解f (x )≤3，由集合相等，求a →求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 的取值范围【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]． 规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x 的不等式lg(|x ＋3|－|x －7|)<m . (1)当m ＝1时，解此不等式；(2)设函数f (x )＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，当m 为何值时，f (x )<m 恒成立？【解】 (1)当m ＝1时，原不等式可变为0<|x ＋3|－|x －7|<10，可得其解集为{x |2<x <7}． (2)设t ＝|x ＋3|－|x －7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t ≤10， 因y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， 则lg t ≤1，当t ＝10，x ≥7时，lg t ＝1， 故只需m >1即可，即m >1时，f (x )<m 恒成立． 题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x ＋2|＞|x －1|；(2)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】 (1)|x ＋2|＞|x －1|，可化为(x ＋2)2－(x －1)2＞0，即6x ＋3＞0，解得x ＞－12，∴|x ＋2|＞|x －1|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－12. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3. 所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)解不等式f (x )>2. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，12－2x ，4<x ≤8，－4，x >8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5， 根据函数f (x )的图象可知， 原不等式的解集为 (－∞，5)． （四）归纳小结绝对值不等式的解法—⎪⎪⎪⎪—绝对值的几何意义—|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等式—含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题（五）随堂检测1．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 【答案】 B2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)【解析】 由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32且x ≠－2六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。
《绝对值不等式的解法》（第一课时）教学设计一、教学内容解析《绝对值不等式的解法》是选修4-5第一章第三节内容，我们这里讲解第一课时。
该内容是在初中学习了绝对值的概念，学习了一元一次不等式；高中必修1学习了绝对值函数图像的画法，必修5学习了一元二次不等式的基础上展开的。
通过本节课可渗透数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法，因此它是本章的重点之一，在整个数学学科中占有重要地位。
解含绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，转化为同解的不含绝对值符号的一般不等式去解.而去绝对值的方法主要有定义法（分类讨论法）、平方法、几何法、图像法等，实际上，这四种方法也是解绝对值不等式问题的基本思路，为下一节学习含有两个绝对值的不等式的解法做好铺垫.而本节的重点是运用绝对值的几何意义去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解，并从中总结规律，形成解绝对值不等式的规律公式及口诀。
本节课在求解过程中也是对集合知识的应用和巩固，同时，为以后不等式的学习打下了基础，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
二、教学目标设置【教学目标】1、知识与技能：使学生熟练掌握()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；2、过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，渗透数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法；培养学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
3、情感态度价值观：向学生渗透“具体-抽象-具体”辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质。
感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美。
【教学重点与难点】重点：()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；难点：利用绝对值的几何意义解绝对值不等式。
三、学生学情分析学生在初中已经学过绝对值的定义，在高中必修1中，也会画简单的绝对值函数的图像，也接触过两边平方的方法。
1.1 课时 1 不等式的基本性质一、教学目标 （一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中， 对不等式的基本性质进行系统地归纳整理， 并对“不等式有哪 些基本性质和如何研究这些基本性质” 进行讨论， 使学生掌握相应的思想方法， 以提高学生对 不等式基本性质的认识水平 . （二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2. 掌握不等式的基本性质，并能加以证明 .3. 会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法 .（三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明 . （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质 . 二、教学设计 （一）课前设计1.预习任务1）读一读：阅读教材第 2页至第 4页，填空：2）判断：下列说法是否正确？2.预习自测知识点】作差比较法解题过程】 （x 1）2 （x 1） x 2x x （x 1） 思路点拨】熟悉作差比较法 答案】 [0,1] （ 2）若 c R ，则ac 2 bc 2a bA. B. C. D. 【知识点】不等式的基本性质a b a bab① a b,b c a c ④ a b a 3 b 3⑤a b a2b2③ ac bc a b⑥ a b,c d ac bd1）当 x，代数式 （x 1）2 的值不大于 x 1的值.【解题过程】由 ac2 bc2，得c 0，所以 c2 0；当 a b,c 0时， ac2 bc2. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数 a, b满足怎样条件时，由a b能推出 1 1?ab【知识点】作差比较法【解题过程】 1 1 b a，因为a b，所以当ab 0时， 1 1.a b ab a b 【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当ab 0时， 1 1.ab（二）课堂设计1.问题探究探究一结合实例，认识不等式•活动① 归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程.•活动② 认识作差比较法关于实数 a,b 的大小关系，有以下基本事实：如果a b，那么a b是正数；如果a b，那么a b等于零；如果a b，那么a b是负数. 反过来也对.这个基本事实可以表示为： a b a b 0;a b a b 0;a b a b 0 ，上面的符号“ ”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.•活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较 (x 3)(x 7)和(x 5)(x 6)的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差 (x 3)(x 7) (x 5)(x 6)第二步：变形(x 3)(x 7) (x 5)(x 6) (x210x 21) (x211x 30) x 9第三步：定号当x 9 0时，x 9；当x 9 0时，x= 9 ；当x 9 0 时，x 9 第四步：结论当x 9时， (x3)(x 7) (x 5)(x 6) ；当x 9时， (x3)(x 7)=( x 5)(x 6)；当x 9时， (x3)(x 7) (x 5)(x 6) ；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当x 9时， (x3)(x 7) (x 5)(x 6) ；当x 9时， (x3)(x 7)=( x 5)(x 6) ；当x 9时， (x3)(x 7) (x 5)(x 6) ；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，方，平方，有理化等.同类训练比较(x 1)(x 2)与 (x 3)(x 6)的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】因为(x 1)(x 2) (x 3)(x 6) (x23x 2) (x23x 18) 20 0，所以 (x 1)(x 2) (x 3)(x 6)思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】（x 1）（x 2）（x 3）（x 6）【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二探究不等式的基本性质•活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.（1）如果a b，那么b a；如果b a，那么a b.即a b b a.（2）如果 a b,b c，那么a c.即a b,b c a c.（3）如果a b ，那么a c b c.（4）如果 a b,c 0，那么ac bc；如果 a b,c 0，那么ac bc.（5）如果a b 0 ，那么a n b n（n N,n 2）.（6）如果a b 0，那么n a n b（n N,n 2）. 通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向. 对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：ac bc c（a b），如果 a b,c 0，则a b 0,c 0，所以 ac bc c（a b） 0，即ac bc ，同理如果 a b,c 0 ，那么ac bc.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.•活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：1)如果a b,c d，那么a c b d；2）如果 a b 0,c d 0，那么ac bd ；(3)如果 ab 0,a b ，那么 1 1. ab对于上述( 2)，可由如下方法证明：ac bd (ac bc) (bc bd) c(a b) b(c d) 0，所以ac bd .【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识探究三不等式性质的应用•活动① 利用性质证明不等式例2 已知 a b 0,c d 0 ，求证：知识点】不等式的基本性质解题过程】证明：因为 a b 0,c d 0，所以 a b 0,1 1 0.所以 a b，故 a bd c d c d c【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练求证：如果 a b 0,c d 0，那么ac bd .【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为c d 0，所以c d 0 ，又因为a b 0，所以两式可相乘，得ac bd ，所以ac bd.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.•活动② 互动交流、判断正误例3 若 1 1 0 ，以下结论中正确的有ab①a b ab；②|a| |b|；③a b；④ a2 ab 0知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1：由 1 1 0，得b a 0 ，所以a b 0 ab，①正确，②③错误； aba2ab a（a b） 0 ，④正确法2：取 a 1,b 2 ，可算出各式的值，得出答案. 【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】①④同类训练判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果a b，那么ac bc ；（2）如果a b，那么 ac2 bc2；（3）如果a b，那么a n b n（n N*） a n b n（n R ）；（4）如果 a b,c d，那么a c b d. 【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知c的正负；（2）是假命题，因为当c 0时不成立；（3）是假命题，因为不知 a,b的正负；（4）是真命题，因为 a b, c d ，由同向不等式的可加性知,a c b d .【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（1） a b a b 0;a b a b 0;a b a b 0.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质. 重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型自主突破1.设a,b R , 则“（a b）a2 0”是“ a b”的（）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若(a b)a2 0，则a b；若a b，则(a b)a2 0，所以“ (a b)a2 0”是“a b” 的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2.对于任意实数 a,b,c,d ，下列五个命题中:①若 a b,c 0，则ac bc；②若a b，则 ac2 bc2；③若ac2 bc2，则a b；④若 a b,则 1 1；ab⑤若 a b 0,c d ，则ac bd .其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】 a b,c 0，当c 0时，ac bc不成立，①是假命题；a b，当c 0,c20时，ac2 bc2不成立，②是假命题；因为 ac2 bc2，所以，c2 0，a b ，③是真命题； a b,当a,b 1 1 1 1同号时， 1 1成立，而a,b异号时， 1 1不成立，④是假命题； a b 0,c d 时，ac bd不 ab a b一定成立，只有当 a b 0,c d 0时，ac bd 成立，⑤是假命题. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3.如果a b 0, 那么( )2 2 1 1A. a b 0B. ac bcC.a2 b2D.ab【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: a b 0 1 1 0ba思路点拨】掌握不等式的基本性质答案】 D4. 不等式 lgx 2 lg 2x 的解集是（知识点】不等式性质及对数运算【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于 0. 【答案】 D5.设 a 1 b 1,则下列不等式中恒成立的是（）21 1 1 12 A. a b 2B. C.D.a 22ba b a b 【知识点】不等式的性质及应用 【解题过程】由 1 b 1 0 b 21, 又 a 1, a b 2.【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】 A6.若 a b 0 ，则下列不等式一定成立的是（）A. 1 1B.a 2abC.a ab aa b b 【知识点】不等式的性质 . 【数学思想】特殊与一般思想11b ，a 4 b 1， 选项 A 、C 都不成立， 又a b 0， a 2ab ， 选项 B 不成立，又 |b a |||b a || 11 |a |b |(||a ||a|1) |a|(b |a|a 1)0，即思路点拨】掌握不等式的基本性质 答案】 D能力型 师生共研7. 已知命题 p: x [1,2], x 2 a 0，命题 q: x R ,x 2 2ax 2 a 0，若命题 p q 是真命A. ( 1,1) B. (100, )1001 C.(1010,1) (100, ) D.(0,1) (100, )解题过程】：由 lgx 2lg 2x 2lg x lg 2xlg x 2或lg x 0 x 100或 0 x 1D.|ba |||b a || 11解题过程】当 a 2 b 1 0 时，1 ab |a b|||a b|| 11成立.题，则实数a 的取值范围是( )A. a 2或a 1B.a 2或1 a 2C.a 2D. 2 a 1 【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题 p 为真命题时，要使x [1,2], x2a 0，只需 a (x2)min，因为 x [1,2] ，所以 1 x2 4 ，所以 (x2)min 1 ，所以 a 1 ①；命题 q 为真命题时，x R,x22ax 2 a 0，即 x2 2ax 2 a 0有实数根，所以(2a)24(2 a) 0，解得a 2或a 1②.因为 p q是真命题，所以 p,q均为真命题.①②取交集得a 2或a 1. 【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8.已知 a,b,c R ，给出下列命题：①若a b，则ac2 bc2；②若ab 0，则a b 2；③若a b 0,n N ，则a n b n；ba④若log a b 0(a 0,a 1)，则 a, b中至少有一个大于1.其中真命题的个数为( )A.2B.3C.4D.1 【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当c 0时， ac2 bc2 0，所以①为假命题；当 a与b异号时，a 0，b 0，ba所以②为假命题；因为a b 0,n N ，所以a n b n，③为真命题. ④若log a b 0(a 0,a 1)，则有可能 a 1,0 b 1或 b 1,0 a 1，即 a,b 中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型多维突破9.集合 S { x,y,z x、y、z N*，且 x y z、 y z x、 z x y恰有一个成立}，若x,y,z S且z,w,x S,则下列选项正确的是( )A. y,z,w S, x, y,w SB. y,z,w S, x, y,w SC. y,z,w S, x,y,w SD. y,z,w S, x, y,w S【知识点】不等关系 . 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】从集合 S 的定义， x,y,z S 可三个不等式， z,w,x S 也可得三个不等式，组 合之后可知 x, y, z, w 满足不等关系 x y z 且 x z w ，或 x y z 且w x y ，或 y z x 且 z w x ， 或 z x y 且 z w x ，这 样 可能 有 y z w 或 w y z 或 y z w 或 w x y ，于是 x,y,w S 不一定成立， y,z,w S 也不一定成立 . 思路点拨】分类讨论注意不重不漏 答案】 B10. 已知 a b 0 ，则下列不等式中总成立的是（ ） 知识点】不等式的性质解题过程】 a b 0, 1b a 10, a b 1b a 1.思路点拨】掌握不等式的基本性质 答案】 A 自助餐11.如果 a 、b 、c 满足 c b a ，且 ac 0 ，那么下列选项不恒成立的是（）22A. ab acB.cb 2 ab 2C.c b a 0D.ac a c 0【知识点】不等式的性质 .【解题过程】 c a 且ac 0，故c 0,a 0 ，由不等式的性质知 A ，C ，D 都恒成立. 思路点拨】掌握不等式的基本性质 答案】 B12.已知 a,b R 且 a b ，则下列不等式中成立的是（）【解题过程】只有当 a b 0 时，选项 A ，B 正确；要使 ln a b 0，必须 a b 1 ，所以选A. a 1 b 1baB.a1 b 1abC.b b 1a a 1D.b 11 a baA. a1 B.a 2b 2b【知识点】不等式的性质 .C.ln a b 0D.2a b13项C 错误；当 a b 时，a b 0, 2a b201.思路点拨】掌握不等式的基本性质 答案】 D13. 设 a,b,c R 且a b ，则（ ）11 A. ac bcB.ab【知识点】不等式的性质 .解题过程】选项 A 中若c, 0时,结果错,故 A 不正确;选项 B 中若0 a b 时,结果错,故 B 不正确;选项 C 中若0 a b 时,结果错,故 C 不正确;在选项 D 中由不等式性质可知是正确的 . 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】 D14.当 0 x 1时，下列大小关系正确的是（ ）A. x 33xlog 3 xB. log 3 x x 33xC.3xx 3log 3 x D.log 3 x 3xx 3【知识点】利用中间值法比较大小 解题过程】当0 x 1时， log 3x log 31 0， 3xlog 3 x x 3 .【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值” 【答案】 B15. 设 a2 ,b 32,c ln 3,则a,b,c 的大小关系是（ ）2A. a b cB.b c a 【知识点】比较大小 .【解题过程】 a （ 2）1.4 331，b 32 1，c ln 1，所以 c 最小，而 a 2 21.4，b 2 3327，所以 a 2 b 2，即 ab ，所以综上得： c a b.思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较 答案】 D16. 若2 a 4,3 b 5，则3a b 的取值范围为， 2a b的取值范围为b【知识点】不等式的性质C.a 2b 2D.a 30 x 1 1，1 3 3 3 3 ，所以C.c a bD.b a c3【解题过程】因为 2 a 4,3 b 5，所以 6 3a 12, 5 b 3，所以1 3a b 9；1 1 1 4 2a 8 9 2a 11 9 2a b 114 2a 8, ，所以，所以 1 ，即5 b 3 5 b 3 5 b 3 5 b 3【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件. 【答案】 [1,9) ；[9 , 11)53。
《不等式的基本性质》教学设计课 题： 不等式的基本性质教学目标：1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。
2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，分析法证明简单的不等式。
教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；利用不等式的性质求范围。
教学难点：灵活应用不等式的基本性质。
教学过程：一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：.对称性：a>b ⇔b<a.②.传递性：a>b ，b>c ⇒a>c.③.（1）可加性：a>b ⇔a ＋c>b ＋c.（2）同向可加性：a>b ，c>d ⇒a ＋c>b ＋d.④.（1）可乘性：a>b ，c>0⇒ac>bc; a>b ，c<0⇒ac<bc.（2）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.⑤.乘、开方法则：a>b>0⇒nn b a >，n n b a >(n ∈N ，n ≥2)．2)≥n ，N ∈(n ，b >a 有，b >a 为奇数时，n 地，当特n n n n b a >也条件可放宽为：别⑥.倒数性质：a>b ，且ab>0⇒ba 11<．三、典型例题： 例1、设A=x 3+3,B=3x 2+x,且x>3,。
人教版高中选修4-5第二讲讲明不等式的基本方法课程设计课程背景不等式作为数学中一个重要的概念，广泛应用于数学、物理等领域。
在高中阶段，学生需要逐渐学习不等式的相关知识并掌握其基本方法。
本课程设计旨在帮助学生系统化地学习不等式的基本方法。
教学目标1.理解不等式的概念；2.熟练掌握求解一次不等式的方法；3.熟练掌握绝对值不等式、二次不等式的求解方法；4.能够应用所学知识在数学中的实际问题中解决不等式相关问题。
教学重点1.不等式求解方法的掌握；2.绝对值不等式和二次不等式的求解方法。
教学难点1.对于复杂的不等式进行求解。
教学方法本课程设计采用教师讲授和学生自主探究的方式相结合。
在讲解不等式的基本概念和求解方法后，进行相应的练习和实例分析，引导学生巩固所学知识和掌握解题方法。
教学过程设计阶段一：导入新知识1.引导学生思考不等式的概念；2.讲解不等式的定义和符号表示。
阶段二：求解一次不等式1.讲解求解一次不等式的方法；2.引导学生通过习题进行巩固。
阶段三：绝对值不等式的求解1.讲解绝对值不等式的定义；2.讲解绝对值不等式的求解方法；3.引导学生通过练习掌握绝对值不等式的求解方法。
阶段四：二次不等式的求解1.讲解二次不等式的定义；2.讲解二次不等式的求解方法；3.引导学生通过习题进行巩固。
阶段五：应用实例分析1.引导学生通过实例分析将所学知识应用于实际问题的解决；2.引导学生探究不等式在数学中的应用。
阶段六：课堂评价通过自主练习和课堂讨论，进行学生能力的评价。
教学资源1.电子黑板；2.实例分析案例。
课后作业1.完成相应课后练习；2.总结所学知识；3.应用所学知识解决实际问题。
参考资料1.《高中数学(选修4~选修5)》人民教育出版社；2.《同步课堂》课外辅导资料。
