高一数学-§2.5.3指数综合训练(一) 精品

１高一数学指数部分习题精讲精练1. 整数指数的定义：设a 为实数，n 是自然数，则： (1)正整数指数：a n ＝n a a a ⨯⨯⨯個，读作a 的n 次方，其中a 称为底数，n 为指数。

(2)零指数：设a ≠0，a 0＝1。

(3)负整数指数：设a ≠0，a －n ＝1n a。

注：0的正整数次方为0，但0的0次方与负整数次方无意义。

2. 整数指数律：设a ，b 是不为零的实数，m ，n 是整数，则： (1)a m ×a n ＝a m ＋n 。

(2)mn a a＝a m －n 。

(3)（a m ）n ＝a m ×n 。

(4)a n ×b n ＝（ab ）n 。

3. 有理数指数的定义：(1)设a ＞0，n 是自然数，则1na(2)设a ＞0，m 是整数，n 是自然数，则mnam(3)设a ＞0，r 是有理数，则a －r ＝1r a。

4. 有理数指数律：设a ，b 是正实数，r ，s 是有理数，则： (1)a r ×a s ＝a r ＋s 。

(2)（a r ）s ＝a r ×s 。

(3)a r ×b r ＝（ab ）r 。

5. 实数指数律：设a ＞0，b ＞0，m ，n 为实数，则：(1)a m ×a n ＝a m ＋n。

(2)m n a a＝a m －n 。

(3)（a m ）n ＝a m ×n 。

(4)（a ×b ）m ＝a m ×b m 。

(5)ma b ⎛⎫⎪⎝⎭＝m m a b 。

(6)a m ＝b n⇔ a ＝n mb 。

２典型例题1.试计算下列各式的值：(1)43125-(2)236325511(3)()(3)3()33---++++ (3)6431[()64](32)4--⋅(4)3501[()]2--⨯﹒ 【解答】(1)443433411125(5)55625---====﹒ (2)原式666551111133333=++++6111333++++=693=181=﹒ (3)原式 = [(2 - 2)6 ⋅ 26] - 4 ⋅ (25) - 3= (2 - 12 ⋅ 26) - 4 ⋅ 2 - 15 = (2 - 6) - 4 ⋅ 2 - 15 = 224 ⋅ 2 - 15 = 29 = 512﹒ (4)1﹒2.求下列各式的值﹕(1)20.25 2.53818()()(0.25)1627---⋅⋅﹒(2)3228-⋅【解答】(1)22150.25 2.54323342818321()()(0.25)(())(())(())1627232------⋅⋅=⋅⋅2153()4()2()12534232132129()()()()()()324823223234⋅-⋅-⋅----=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=﹒(2)3233236282(2)22---⋅⋅=⋅ 436361241222224--+-=⋅⋅===﹒3试求下列各式的值：(1)1132279()()12525-⋅﹒ (2)210.25338127()()(0.027)168-⋅⋅﹒【解答】(1)原式11321103233333[()][()]()()()155555--=⋅=⋅==﹒(2)原式211433334333[()][()][()]2210-=⋅⋅21133333231()()()22102103105--=⋅⋅=⋅=⨯=﹒随堂练习.化简(1681)-0.25．32)278(-．(0.25)-0.5之值为 。

高考总复习2025第6节 指数函数课标解读1.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.1 强基础 固本增分知识梳理1.指数函数的概念函数y=a x(a>0,且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,定义域为R.微点拨形如y=k a x,y=a k x+b+h(a>0,且a≠1,k≠0)等的函数称为指数型函数,不是指数函数.2.指数函数的图象与性质(0,+∞)比较幂值大小的重要依据减函数增函数微点拨1.画指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), (-1, ).2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”.3.f(x)=a x与g(x)=a-x=( )x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.4.指数函数的图象以x轴为渐近线.微拓展f(x)=a g(x)(a>0,且a≠1)的单调区间与最值(1)当a>1时,f(x)的单调递增、递减区间分别是g(x)的单调递增、递减区间;若g(x)有最大值M、最小值m,则f(x)的最大值为a M、最小值为a m.(2)当0<a<1时,f(x)的单调递增、递减区间分别是g(x)的单调递减、递增区间;若g(x)有最大值M、最小值m,则f(x)的最大值为a m、最小值为a M.常用结论y=a x+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.2.若函数f(x)=a g(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则g(x)的值域必须为R.f (x )=a |x |a >10<a <1定义域R 奇偶性偶函数值域[1,+∞)(0,1]单调性在区间[0,+∞)上单调递增;在区间(-∞,0]上单调递减在区间(-∞,0]上单调递增;在区间[0,+∞)上单调递减图象3.函数f (x )=a |x |(a >0,且a ≠1)的图象与性质如下:自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f (x )= 的值域为(0,+∞).( )2.若函数f (x )是指数函数,且f (1)>1,则f (x )是增函数.( )3.若a m >a n (a >0,且a ≠1),则m>n .( )4.函数f (x )=a x +3-2(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点(-3,-1).( )× √ × √题组二回源教材5.(湘教版必修第一册4.2.2节例4(3))比较大小:0.70.8 0.80.7.< 0.80.7>0.70.7,所以0.70.8<0.70.7<0.80.7.[1,+∞) 6.(湘教版必修第一册4.2.2节练习第4题改编)函数y =2|3-x |的值域为 　.解析 因为|3-x|≥0,所以2|3-x|≥1.题组三连线高考7.(2020·全国Ⅲ,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )A A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b18.(2021·新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.2 研考点 精准突破考点一 指数函数的图象及其应用例1(1)(多选题)(2024·山东青岛模拟)已知函数y=a x-b(a>0,且a≠1)的图象如ABD图所示,则下列结论正确的是( )A.a b>1B.a+b>1C.b a>1D.2b-a<1解析由图象可知,函数y=a x-b(a>0且a≠1)在R上单调递增,所以a>1,且当x=0时,y=1-b∈(0,1),可得0<b<1.对于A选项,a b>a0=1,故A正确;对于B选项,a+b>a>1,故B正确;对于C选项,b a<b0=1,故C错误;对于D选项,由于0<b<1<a,则b-a<0,所以2b-a<20=1,故D正确.故选ABD.(2)若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围为 . (0,1)解析作出函数y=|2x-1|的图象与直线y=b,如图所示.由图象可得实数b的取值范围是(0,1).(3)(2024·福建龙岩模拟)若当a>0且a≠1时,函数y=a x+m+n的图象恒过定点(-2,2),则m-n= .1变式探究1(变条件)将本例(2)改为:若曲线|y|=2x+1的图象与直线y=b没有公共点,则实[-1,1]数b的取值范围是 .解析作出曲线|y|=2x+1,如图所示,要使该曲线图象与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤1.变式探究2(变条件)将本例(2)改为:若函数y=|2x-1|在区间(-∞,k]上单调递减,则实数k的(-∞,0]取值范围为 .解析因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即实数k的取值范围为(-∞,0].考点二 指数函数的性质及其应用(多考向探究预测)考向1指数型函数的值域问题例2(1)函数 的值域是( )A.(-∞,0)B.(0,1]C.[1,+∞)D.(-∞,1]B(2)(2024·江苏无锡模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为“高斯函数”,例如:[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知函B数f(x)= ,则函数[f(x)]的值域是( )A.{-1,1}B.{-1,0}C.(-1,1)D.(-1,0)1[对点训练1]使函数f(x)=|e x-a|的值域为[0,+∞)的一个a的值为 . 解析令f(x)=|e x-a|,由题意得f(x)的值域为[0,+∞),又y=e x的值域为(0,+∞),所以-a<0,解得a>0,故a的取值范围为(0,+∞).考向2比较值的大小例3(1)已知函数f(x)=e x,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(l n 2),则a,b,c的大小关系为( )C A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a解析因为函数f(x)=e x在R上单调递增,且21.99>21.98=40.99>20=1>ln 2,因此f(21.99)>f(40.99)>f(ln 2),即c<a<b,故选C.A.c<b <aB.b <a <cC.c<a <bD.b<c<aC考向3解简单的指数方程或不等式例4(1)(2024·福建厦门模拟)若函数f(x)=4x-a·2x-1+4的一个零点是0,那么它的另一个零点为( )B解析依题意有f(0)=40-a·2-1+4=0,解得a=10,于是f(x)=4x-10·2x-1+4= -5·2x+4,令2x=t(t>0),则函数化为y=t2-5t+4,令y=0,解得t=1或t=4,当t=1时,得x=0;当t=4时,得x=2,所以函数f(x)的另一个零点为2,故选B.(2)(2024·山东东营模拟)若不等式的解集为(-∞,-5]∪[6,+∞),1则实数a= .[对点训练2](2024·山东济南模拟)若关于x的方程有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 .考向4指数型函数的综合应用例5(多选题)(2024·重庆云阳模拟)若函数的图象经过点(3,1),则( )ACA.a=1B.f(x)在(-∞,1)上单调递减C.f(x)的最大值为81D.f(x)的最小值为在定义域R上为减函数,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,故B错误;对于C,D,因为f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=81,f(x)无最小值,故C正确,D错误,故选AC.变式探究1-1变式探究2D [对点训练3](2024·黑龙江大庆模拟)已知函数f(x)= ,则( )A.f(0.1)>f(0.2)B.函数f(x)有一个零点C.函数f(x)是偶函数D.函数f(x)的图象关于点( )对称考点一考点二。

指数与指数函数巩固训练题1．462(a b )(a, b 为正数)的结果是（ ） A. b a B. ab C. a bD. 2a b 2．化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A. 11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 13212-- D. 1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1235b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1332c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. c b a << B. c a b << C. a c b << D. b a c <<4．函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．函数1x y e --=的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．若方程111042x x a -⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（﹣3，0） C ．（﹣2，0） D ．（﹣1，0）7．设,,a b c 均为正数，且133log a a =， 131log 3b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 31log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则（ ） A. b a c ＜＜ B. c b a ＜＜ C. c a b ＜＜ D. a b c ＜＜8．设函数()2log 2x f x x -=-， 的零点分别为1x ， 2x ，则下列结论正确的是（ ）A. 1201x x <<B. 121x x =C. 1212x x <<D. 122x x ≥9．已知函数()20ln 0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩关于x 的方程()()20f x f x m ++=有三个不同实数根，则m 的取值范围是（ ）A. mB. mC.D.m10．已知定义在R 上的函数()2x m f x +=（m 为实数）为偶函数，记()1213l o g 2,3,1a f b f c f m ⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<11．设函数1()421x x f x +=-+-，2()lg(41)g x ax x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,4]B ．(,4]-∞C ．(4,0]-D ．[4,)+∞12．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠,若()2g a =,则()2f =（ ）A ．2B ．2a13．已知函数()132221x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M+m 等于 .14.已知1(x)42x x f m +=-，()2121x x g x -=+，若存在实数,a b 同时满足方程()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数m 的取值范围 ．15.已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ．在()1,0x ∈-时,()22x x f x -=+．（1）试求()f x 的表达式；（2）用定义证明()f x 在()1,0-上是减函数；（3）若对于()0,1x ∈上的每一个值，不等式()241x x t f x <-恒成立，求实数t 的取值范围．16．设函数()x x f x a a -=-（a ＞0且a ≠1）．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()10f <，试判断 函数()f x 的单调性．并求使不等式()()240f x tx f x ++-<对一切x R ∈恒成立的t 的取值范围；（3）若()312f =，()()222x xg x a a mf x -=+-且()g x 在[)1,+∞ 上的最小值为2-,求m 的值．17.设函数()3x f x =,且()218f a +=，函数()()34ax x g x x R =-∈.（1）求()g x 的解析式；（2）判断函数()g x 在[]0,1上的单调性并用定义证明；（3）若方程()0g x b -=在[]2,2-上有两个不同的解，求实数b 的取值范围.18．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值 1.设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若不等式()22x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解，求实数的取值范围；（3）若()2213021x x f k k --⋅-=-有三个不同的实数解，求实数的取值范围.参考答案：1．C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10.B 11.B 12.B13. 4 14. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15.（1） ()()()()()2210002201x x x x x f x x x --⎧+-<<⎪⎪==⎨⎪-+<<⎪⎩ （2）用定义证明；（3）[)0,+∞16.（1）奇函数, (2)()3,5- (3)m=217.(1) ()24x x g x =-(2)单调递减，用定义证明。

高一数学必修1试题附答案详解一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.112.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则A.A BB.B AC.A =BD.A ∩B =∅3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a +1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆ (P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为 A.(1，9) B.［1，9］ C.［6，9)D.(6，9］5.已知集合A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f :x →y ＝a x ＋b ，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f 作用下的象为 A.18B.30C. 272D.286.函数f (x )＝3x －12－x (x ∈R 且x ≠2)的值域为集合N ，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N 的元素是 A.2 B.－2 C.－1 D.－3 7.已知f (x )是一次函数，且2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为 A.3x －2 B.3x ＋2 C.2x ＋3 D.2x －3 8.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.f (x )＝1，g (x )＝xB.f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2C.f (x )＝|x |，g (x )＝⎩⎨⎧x x ≥0－x x ＜0D.f (x )＝x ，g (x )＝(x )29. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＞0π x ＝00 x ＜0，则f {f ［f (－3)］}等于A.0B.πC.π2D.910.已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则xy 的值为A.1B.4C.1或4D. 14或4 11.设x ∈R ，若a <lg(|x －3|＋|x ＋7|)恒成立，则 A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <112.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则a 的取值范围是A.(0，12)B.(0，⎥⎦⎤21C.( 12，+∞)D.(0，+∞)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上) 13.若不等式x 2＋ax ＋a －2>0的解集为R ，则a 可取值的集合为__________.14.函数y ＝x 2＋x ＋1 的定义域是______，值域为__ ____.15.若不等式3ax x 22->(13)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为___ ___.16. f (x )＝]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为_____ _. 17.函数y ＝12x ＋1的值域是__________.18.方程log 2(2－2x )＋x ＋99＝0的两个解的和是______.第Ⅱ卷二、填空题13 14 1516 17 18三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求(C U A)∩(C U B).20.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.（1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.21.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？22.已知函数f (x )＝log 412x －log 41x +5，x ∈［2，4］，求f (x )的最大值及最小值.23.已知函数f (x )＝a a 2－2 (a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.高一数学综合训练（一）答案二、填空题13. ∅ 14. R ［32，+∞) 15. －12 < a < 3216. (－2，－1］ 17. (0，1) 18. －99三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.全集U ＝R ，A ＝{x ||x |≥1}，B ＝{x |x 2－2x －3＞0}，求(C U A )∩(C U B ).(C U A )∩(C U B )＝{x |－1＜x ＜1}20.已知f (x )是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. （1）求证：f (8)＝3 (2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集. 考查函数对应法则及单调性的应用. （1）【证明】 由题意得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2) 又∵f (2)＝1 ∴f (8)＝3(2)【解】 不等式化为f (x )>f (x －2)+3∵f (8)＝3 ∴f (x )>f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16) ∵f (x )是（0，+∞）上的增函数∴⎩⎨⎧->>-)2(80)2(8x x x 解得2<x <16721.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 考查函数的应用及分析解决实际问题能力.【解】 （1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为 3600－300050＝12，所以这时租出了88辆.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则公司月收益为 f (x )＝(100－x －300050 )(x －150)－x －300050×50整理得:f (x )＝－x 250 ＋162x －2100＝－150 (x －4050)2＋307050∴当x ＝4050时，f (x )最大，最大值为f (4050)＝307050 元22.已知函数f (x )＝log 412x －log 41x +5，x ∈［2，4］，求f (x )的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】 令t ＝log 41x ∵x ∈［2，4］，t ＝log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412， ∴t ∈［－1,－12］∴f (t )＝t 2－t ＋5＝(t －12 )2＋194 ,t ∈［－1,－12 ］∴当t ＝－12 时，f (x )取最小值 234当t ＝－1时，f (x )取最大值7.23.已知函数f (x )＝a a 2－2(a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.考查指数函数性质.【解】 f (x )的定义域为R ，设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2 则f (x 2)－f (x 1)＝ aa 2－2(a 2x －a 2x -－a 1x +a 1x -) ＝a a 2－2 (a 2x －a 1x )(1+211x x aa ⋅) 由于a >0，且a ≠1，∴1＋211x x aa >0 ∵f (x )为增函数，则(a 2－2)( a 2x －a 1x )>0于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-002002121222x x x x a a a a a a 或， 解得a > 2 或0<a <1. . .。

人教版高一数学《指数函数》教案15篇人教版高一数学《指数函数》教案15篇人教版高一数学《指数函数》教案(1)课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．教学过程：一、引入课题（备选引例）1．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？到2050年我国的人口将达到多少？你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？2．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？3．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？4．上面的几个函数有什么共同特征？二、新课教学（一）指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）（二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）（2）（3）（4）（5）2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；（4）当时，若，则；（三）典型例题例1．（教材P56例6）．解：（略）例2．（教材P57例7）解：（略）巩固练习：（教材P59习题A组第7题）三、归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．四、作业布置1．必做题：教材P59习题2．1（A组）第5、6、8、12题．2．选做题：教材P60习题2．1（B组）第1题．人教版高一数学《指数函数》教案(2)3.1.2指数函数的概念教学设计一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，能够判断指数函数。

（数学2必修）第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A. 3B. 23C. 33D. 433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，主视图 左视图 俯视图则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

5．3 利用数量积计算长度与角度必备知识基础练知识点一 向量长度的计算1．已知向量a ，b 的夹角为5π6 ，且|a |＝3 ，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )A ．1B ．3C ．2D ．132．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC → ·BE →＝1，求AB 的长．知识点二 向量夹角的计算3．已知a ，b ，c 均为单位向量，且满足a ＋b ＋c ＝0，则〈a －b ，c 〉＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π34．若AB → ·BC → ＋AB → 2＝0，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 5．已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为60°，求向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝2e 2－3e 1的夹角θ.关键能力综合练一、选择题1．已知向量BA → ＝(12 ，32 )，BC →＝(32 ，12)，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45° C．60° D ．120°2．已知平面向量a ，b 满足(3a －2b )⊥(5a ＋b )，且a ·b ＝17，若|a |＝1，则|b |＝( )A ．92B ．152 C ．7 D ．2 3．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝23 ，且a ·b ＝3，则向量b 与b －a 夹角的余弦值为( )A ．32B ．259C ．7216D ．330204．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → ＋OC → －2OA →|，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．(易错题)已知|p |＝22 ，|q |＝3，〈p ，q 〉＝π4，如图，若AB → ＝5p ＋2q ，AC →＝p－3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝( )A ．152B ．152C ．7D ．18二、填空题6．已知向量a 与b 的夹角为90°，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝________．7．若平面内不共线的三个向量a ，b ，c 两两的夹角相等，且|a |＝2，|b |＝2，|c |＝5，则|a ＋2b －c |＝________.8．(探究题)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，a 与b 的夹角为θ，则|a ||b |cos θ＋|b ||a |cos θ ＝________． 三、解答题9．已知向量OA → ＝(1，0)，OB → ＝(－35 ，45 )，OC →＝(15 ，75).(1)求|OB → |与|OC →|的值；(2)求OB → 与OC →的夹角；(3)若OD → ＝mOA → ＋nOB → ，m ，n ∈R ，且OD → ·AB →＝0，求m －n 的值．学科素养升级练1.(多选题)已知向量a ＝(1，3 )，b ＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是( )A ．若a ⊥b ，则tan θ＝－33B ．若b 在a 上的投影向量为－14 a ，则向量a 与b 的夹角为2π3C ．若b 与a 共线，则b 为(12 ，32 )或(－62 ，－32)D ．存在θ，使得|a －b |＝|a |＋|b |2．(学科素养——数学运算)如图，在△ABC 中，AB ＝3，∠ABC ＝60°，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足AD DB ＝CEEA＝2，F 为BC 边的中点．(1)若DE → ＝λAB → ＋μAC →，求实数λ，μ的值；(2)若AF → ·DE → ＝32，求BC 边的长．5．3 利用数量积计算长度与角度必备知识基础练1．答案：A 解析：|a＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝3＋4×3×1×cos 5π6＋4×12＝1.故选A.2．解析：方法一 由题意可知，AC → ＝AB → ＋AD → ，BE → ＝－12AB → ＋AD →.因为AC → ·BE →＝1，所以(AB → ＋AD → )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD → ＝1，则AD → 2＋12 AB → ·AD →－12AB → 2＝1. ①因为|AD → |＝1，∠BAD ＝60°，所以AB → ·AD →＝12|AB → |.因此①式可化为1＋14 |AB → |－12 |AB → |2＝1，解得|AB → |＝0(舍去)或|AB →|＝12，所以AB 的长为12.方法二 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系．过点D 作DM ⊥AB 于点M .由AD ＝1，∠BAD ＝60°，可知AM ＝12 ，DM ＝32.设|AB →|＝m (m ＞0)，则B (m ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，32 ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 .因为E 是CD 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12，32 ，所以BE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12m ，32 ，AC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，32 ，由AC → ·BE → ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12m ＋34＝1，即2m 2－m ＝0，解得m ＝0(舍去)或m ＝12 ，所以B 点与M 点重合．故AB 的长为12. 3．答案：C解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )，则(a －b )·c ＝－(a －b )·(a ＋b )＝－(a 2－b 2)＝0，即(a －b )⊥c ，则〈a －b ，c 〉＝π2.故选C.4．答案：A解析：由AB → ·BC → ＋AB → 2＝AB → ·(BC → ＋AB → )＝AB → ·AC → ＝0，得AB → ⊥AC →，即∠BAC ＝90°，故△ABC 为直角三角形．故选A ．5．解析：∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝cos 60°＝12，∴a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(2e 2－3e 1)＝－6e 21 ＋e 1·e 2＋2e 22 ＝－72 .又∵a 2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21 ＋4e 1·e 2＋e 22 ＝7，b 2＝(2e 2－3e 1)2＝4e 22 －12e 1·e 2＋9e 21 ＝7，∴|a |＝|b |＝7 ，则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝－727×7＝－12 .∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.关键能力综合练1．答案：A解析：由题得，|BA → |＝|BC → |＝1，BA → ·BC →＝34 ＋34 ＝32，∴cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32 .又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.故选A. 2．答案：C解析：依题意(3a －2b )·(5a ＋b )＝0，即15a 2－7a ·b －2b 2＝0.又a ·b ＝17 ，且|a |＝1，所以15－1－2|b |2＝0，即2|b |2＝14，解得|b |＝7 .故选C.3．答案：D解析：因为|b |＝23 ，且a ·b ＝3，所以b ·(b －a )＝b 2－b ·a ＝(23 )2－3＝9，因为|b －a |＝（b －a ）2 ＝b 2＋a 2－2b ·a ＝12＋4－6 ＝10 ，所以向量b 与b －a 夹角的余弦值为b ·（b －a ）|b ||b －a | ＝923×10 ＝33020 .故选D.4．答案：B 解析：OB → ＋OC → －2OA → ＝(OB → －OA → )＋(OC → －OA → )＝AB → ＋AC → ，OB → －OC → ＝CB → ＝AB → －AC → .所以|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，所以|AB → ＋AC → |2＝|AB → －AC → |2，即AB → ·AC →＝0，所以AB ⊥AC ，故△ABC 为直角三角形．故选B.5．答案：A解析：∵D 为BC 的中点，∴AD → ＝12 (AB → ＋AC →)＝12 (5p ＋2q ＋p －3q )＝3p －12q .∵|p |＝22 ，|q |＝3，〈p ，q 〉＝π4 ，∴|AD → |2＝9p 2＋14 q 2－3p ·q ＝2254 ，∴|AD → |＝152.故选A.6．答案：5解析：∵向量a 与b 的夹角为90°， ∴a ·b ＝0，∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋4＝5， ∴|a －b |＝5 . 7．答案：67解析：因为平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等，则〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝2π3，而|a |＝2，|b |＝2，|c |＝5，a ·b ＝|a ||b |cos 2π3 ＝－2，b ·c ＝|b ||c |cos 2π3＝－5，a ·c ＝|a ||c |cos 2π3＝－5，所以|a ＋2b －c |＝（a ＋2b －c ）2 ＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c＝4＋16＋25－8＋4×5＋2×5 ＝67 .8．答案：52解析：∵|a ＋b |＝3，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝9 ①.又|a －b |＝1，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝1 ②.由①②得a ·b ＝2，a 2＋b 2＝5，∴|a ||b |cos θ ＋|b ||a |cos θ ＝|a |2|a ||b |cos θ＋|b |2|a ||b |cos θ ＝a 2＋b 2a ·b ＝52.9．解析：(1)由OB → ＝(－35 ，45 )，OC →＝(15 ，75)，可得|OB →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，|OC → |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752 ＝2 . (2)设OB → 与OC →的夹角为α，则cos α＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝－35×15＋45×751×2 ＝22 ，又0°≤α≤180°，所以α＝45°.(3)由题意可得OD → ＝mOA → ＋nOB → ＝(m －35 n ，45 n )，AB → ＝OB → －OA →＝(－85 ，45)，则OD → ·AB →＝0⇒－85 ×(m －35 n )＋45 ×45 n ＝－85(m －n )＝0，所以m －n ＝0.学科素养升级练1．答案：AB解析：对于A ，若a ⊥b ，则有cos θ＋3 sin θ＝0，即tan θ＝－33，A 正确； 对于B ，|a |＝2，|b |＝1，b 在a 上的投影向量为－14 a ＝|b |cos 〈a ，b 〉·a|a |＝cos 〈a ，b 〉2 ·a ，所以cos 〈a ，b 〉＝－12 ，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3 ，B 正确；对于C ，若b 与a 共线，设b ＝(λ，3 λ)，所以有λ2＋3λ2＝1，解得λ＝±12 ，因为b ＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，sin θ≥0，∴λ＝12 ，所以b ＝(12 ，32)，C不正确；对于D ，若|a －b |＝|a |＋|b |成立，则a 与b 反向，所以λa ＝b ，b ＝(λ，3 λ)(λ<0)，λ2＋3λ2 ＝1，解得λ＝±12 ，即有λ＝－12，则sin θ＝3 λ<0，与sin θ≥0矛盾，故D 不正确．故选AB.2．解析：(1)因为AD DB ＝CE EA ＝2，所以AD → ＝23 AB → ，AE → ＝13AC →，所以DE → ＝AE → －AD → ＝13 AC → －23 AB →，所以λ＝－23 ，μ＝13.(2)因为AF → ＝BF → －BA → ＝12BC → －BA →，DE → ＝13 AC → －23 AB → ＝13 (BC → －BA →)＋23 BA → ＝13 BC → ＋13 BA → ，所以AF → ·DE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BA → ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13BC →＋13BA → ＝16 BC → 2－16 BC → ·BA → －13 BA → 2.设BC ＝a ，因为AB ＝3，∠ABC ＝60°，所以AF → ·DE → ＝16 a 2－14 a －3.又因为AF → ·DE →＝32，所以16 a 2－14 a －3＝32，化简得2a 2－3a －54＝0，解得a ＝6(负值舍去)，所以BC 边的长为6.。