初中数学专题知识点讲解：《反比例函数》(人教版八年级下)

八年级下册数学第六章反比例函数知识点
八年级下册数学第六章主要学习反比例函数的知识。

以下是该章节的主要内容：
1. 反比例函数的定义：如果两个变量的乘积为定值，那么它们之间就存在反比例的关系，可以表示为y = k/x，其中k为常数。

2. 反比例函数的图像特点：反比例函数的图像是一个直角双曲线，对称于一、三象限的原点。

函数的图像与y轴和x轴都有渐近线。

3. 反比例函数的性质：反比例函数的定义域为除去x=0的所有实数，值域也为除去y=0的所有实数。

4. 反比例函数的性质：随着x的增大，y的值趋近于0；随着x的减小，y的值趋近于无穷大。

5. 反比例函数的应用：反比例函数常用于解决与速度、密度、浓度、比例等问题，如速度和时间、材料的用量和产品的质量等。

6. 反比例函数的图像变换：通过对反比例函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到新的反比例函数的图像。

以上是八年级下册数学第六章反比例函数的主要知识点。

希望对你有帮助！。

八年级反比例函数知识点反比例函数是初中数学中比较难理解的重点之一，也是必修内容。

下面我们将为大家详细介绍八年级反比例函数的相关知识点。

一、什么是反比例函数反比例函数是指形式为y=k/x的函数，其中k为常数，x≠0，y≠0 。

反比例函数的图像是一个“开口朝下”的双曲线。

二、反比例函数的性质1.值域反比例函数的值域是由x取值的范围决定的，当x趋近于正无穷时，y趋近于0，当x趋近于0时，y趋近于正无穷。

2.特殊函数值当x=1/k时，y=k/(1/k)=k²，即x=1/k时，反比例函数的函数值为k²。

3.增减性反比例函数在定义域上是单调递减函数。

4.对称性反比例函数的图像在y轴上具有对称性。

5.渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴。

当x趋近于0或正无穷时，y趋近于0，此时y轴成为反比例函数的一个渐近线；当y趋近于0或正无穷时，x趋近于0，此时x轴成为反比例函数的一个渐近线。

三、反比例函数的图像及基本形状反比例函数的图像是一条双曲线，其基本形状为“开口朝下”的形式。

四、如何求反比例函数的解析式当已知反比例函数的函数图像时，我们可以通过图像上的两个点来求解析式。

对于y=k/x来说，只需给出两组x和y的值即可确定k的取值。

如已知函数图像经过点(1,3)和(2,1.5)，则可列出方程组：3=k/11.5=k/2通过方程组求解k的值，即可得到反比例函数的解析式为y=k/x，其中k=4.5。

另外，还有一种方法，即设已知反比例函数的解析式为y=k/x，将待求的常数k表示成y和x的函数，即k=xy，代入原方程中，可得yx=k或xy=k，这样就求出了反比例函数的解析式。

综上所述，反比例函数是初中数学中重点难点之一，希望同学们能够认真掌握，熟练应用。

八年级下册数学知识点整理：反比例函数知识点总结
学好知识就需要平时的积累。

知识积累越多，掌握越熟练，编辑了最新八年级下册数学知识点整理：反比例函数，欢迎参考!
(1) 反比例函数及其图象
如果,那么，y是_的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象
(2)反比例函数的性质
当K0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随_的增大而减小;
当K0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随_的增大而增大。

(3)由于比例函数中只有一个待定系数k，故只要一个条件(如一对_,y的值或一个点)就可求得k的值。

回答人的补充 ____-08-21 14:04 三角形相似
相似三角形的判定方法：
(1)若DE‖BC(A型和_型)则△ADE∽△ABC
(2)射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
通过对最新八年级下册数学知识点整理：反比例函数的学习，是否已经掌握了本文知识点，更多参考资料尽在!。

人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．答案：（1）D．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

反比例函数 知识点回顾及考点透视一、知识点剖析 反比例函数y=)0k (xk是常数且k ≠是初中阶段的基本函数，主要学习它的概念、图象、性质、反比函数函数的解析式求法以及简单的应用：（一） 反比例函数概念的理解 反比例函数式形式是y=)0k (xk是常数且k ≠，理解概念，判别函数是否是反比例函数，可从以下两个方面判断：其一，如果两个变量x 、y 的积是一个常数，它是反比例函数， 其二，形如),0(为常数k k xky ≠=式子，叫做反比例函数。

或y=kx 1-注意：（1）自变量x 的次数是-1，（2）比例系数k≠0．例1 若函数y=(m-1)22-mx 是反比例函数，则m 的值等于 ．解析：由定义知，⎩⎨⎧≠--=-,01,122m m 解得m=-1．例2（2004年北京市）我们学习过反比例函数. 例如，当矩形面积S 一定时，长a 是宽b 的反比例函数，其函数关系式可以写为a =bS（S 为常数，S≠0）. （二）正确把握反比例函数性质反比例函数与正比例函数图象性质比较分析双曲线的两个分支分别位于第 象限； ，y 随着x 。

例1（2005年天水、陇南市）若函数y =xk与函数y =kx －k 的图象均不经过第二象限，则k 的取值范围是 .解析：根据函数的性质，由反比例函数y =xk的图象不经过第二象限，∴k > 0. 当k > 0时，一次函数y =kx －k 的图象经过第一、三、四象限，即其图象不经过第二象限.∴k > 0.例2（2005年南京市实验区）反比例函数y=－x2的图象位于（ ） A 、第一、二象限 B 、第一、三象限； C 、第二、三象限 D 、第二、四象限解析：根据反比例函数的图象的性质：当k > 0时，两支曲线分别在第一、三象限内，当k < 0时，两支曲线分别在第二、四象限内.由k =－2 < 0，所以这个反比例函数的图象在第二、四象限. 故应选D.例3（2005年深圳市实验区）函数y=xk（k≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的（ ）A 、第一、三象限B 、第三、四象限；C 、第一、二象限D 、第二、四象限.解析：函数y=xk（k≠0）的图象过点（2，-2）， 所以，－2 =2k，则k =－4 < 0. 根据反比例函数的图象的性质知，其图象在第二、四象限. 故应选D.例4（2005年湖北省宜昌市实验区）如图1所示的函数图象的关系式可能是（ ）.A.y = xB.y =x1 C.y = x 2D. y =1x解析：由图1所示的函数图象知，它所表示的是反比例函数，并且无论x 取正数还是负数，y 的值总为正数. 所以，答案D 正确.例5（2005年江西省）收音机刻度盘的波长l 和频率f 分别是用米（m ）和千赫兹（kHz ）为单位标刻的。

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用 在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题． 2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系． 3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型 1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等. 2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导 这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合 1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围． 思路点拨: 由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。

根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围． 解析：（1）∵已知反比例函数经过点， ∴，即 ∴ ∴A(1，2) ∵一次函数的图象经过点A(1，2)， ∴ ∴ ∴反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为。

（2）由消去，得。

即,∴或。

∴或。

∴或 ∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。

新课标人教版初中数学八年级下精第十七章《反比例函数》简介本章内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。

反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。

本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）。

17.1 反比例函数 3课时17.2 实际问题与反比例函数 4课时数学活动小结 1课时一、 教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。

第17.1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。

反比例函数xk y =（k 为常数，0≠k ）的图象分布在两个象限，当0>k 时，图象分布在一、三象限，y 随x 的增大（减小）而减小（增大）；当0<k 时，图象分布在二、四象限，y 随x 的增大（减小）而增大（减小）。

第17.2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。

本章主要涉及到如下的4个现实世界中的反比例函数模型：当圆柱体的体积V 一定时，圆柱的底面积S 是高（深度）d 的反比例函数：d V S =；当工程总量k 一定时，做工时间t 是做工速度v 的反比例函数：vk t =；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数：ll f F '⋅=；电压U 一定，输出功率P 是电路中电阻 R 的反比例函数：RU P 2= 此外，本章还安排了两个选学内容：第17.1节的“信息技术应用”中安排了“探索反比例函数的性质”，第17.1节的“阅读与思考”中安排了“生活中的反比例关系”。