34.基本不等式：求最值 (1)20161011

利用基本不等式求最值的技巧基本不等式是解决最值问题的一个重要工具。

它可以将一个复杂的问题简化为一个简单的不等式，从而帮助我们找到最值。

在本篇文章中，我将分享一些利用基本不等式求最值的技巧。

首先，我们回顾一下基本不等式的定义。

对于任意的正实数a和b，有以下两个基本不等式：1. 算术平均数与几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意的正实数a和b，有a+b/2≥√(ab)。

这个不等式可以表示为(a+b)/2≥√(ab)。

当且仅当a=b时，等号成立。

2.平方平均数与算术平均数不等式（QM-AM不等式）：对于任意的正实数a和b，有√(a²+b²)/2≥(a+b)/2、这个不等式可以简化为√(a²+b²)≥(a+b)/2、当且仅当a=b时，等号成立。

现在，让我们来看一些具体的例子，以说明如何利用基本不等式求最值。

例子1：求证x³+y³+z³≥3xyz，其中x、y和z是正实数。

解：根据AM-GM不等式，我们有x³/3+y³/3+z³/3≥√(x³y³z³)。

将等式两边乘以3，得到x³+y³+z³≥3√(x³y³z³)。

由于x、y和z是正实数，所以xyz>0，可以得到√(x³y³z³)≥xyz。

因此，我们有x³+y³+z³≥3xyz。

例子2：已知x+y+z=1，求证xy+yz+zx≤1/3解：根据AM-GM不等式，我们有x+y/2≥√(xy)和y+z/2≥√(yz)。

将这两个不等式相加，得到x+y/2+y+z/2≥√(xy)+√(yz)。

根据算术平均数与几何平均数不等式，有(x+y/2+y+z/2)/2≥(√(xy)+√(yz))/2根据已知条件x+y+z=1，对等式两边进行化简，可以得到(x+y/2+y+z/2)/2=(x+y+z)/2=1/2因此，我们有1/2≥(√(xy)+√(yz))/2将不等式两边乘以2，得到1≥√(xy)+√(yz)。

用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。

下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。

方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。

例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。

由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。

方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。

例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。

方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。

例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。

然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。

方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。

例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。

对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。

因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。

方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。

高一秋季第2讲： 基本不等式求最值题型概览一． 基本不等式1.1 应用最值定理求最值; 1.2 幂指式内隐和积互化; 1.3 最值定理对“定值”的要求.二． 十种变形技巧2.1 整体处理求最值;2.2 凑系数(乘、除变量系数); 2.3 凑项(加、减常数项); 2.4 连续使用基本不等式求最值;2.5 分离 (分子)常数法求最值问题; 2.6 1y aa b=+ 型函数的最值; 2.7 变用公式;2.8 常数代换（逆用条件).三.不能使用基本不等式的情况3.1 应用函数单调性求最值;一． 基本不等式1.1应用最值定理求最值【典例】设函数1()21(0)f x x x x=+-<,则()f x （） A. 有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数【答案】A【解析】由0x <,得20x ->,10x ->，所以()2f x x =+111(2)1221x x x ⎡⎤⎛⎫-=--+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当2x =时等号成立,所以()f x 有最大值,故选A . 【评注】:在使用基本不等式求最值时,要坚持“一正二定三等”这三项原则,藴着不等式的最值定理"积定和最小,和定积最大”.计算最值时我们常说的利用基本不等式求最值，即使用最值定理. 变式题组【变式1】下列不等式一定成立的是() A.21lg lg (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭B.12x x+C.212||()x x x +∈RD.211()1x x >∈+R 1.【答案】 C【解析】选项 A 中,当 12x =时,214x x +=; 选项 B 中,0x >时 ,12x x + ，0x <时, 12x x +-; 选项C中, 222||1(||1)0()x x x x -+=-∈R ; 选项 D 中,211x ∈+(0,1]()x ∈. 故选 C .【变式2】两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值,即“和定积最大" 已知,x y +∈R ,且满足134x y+=,则xy 的最大值为_________________. 2.【答案】3 【解析】,x y +∈R,123434x y x y∴+=⨯=即3xy , 当且仅当 34x y = 即 32x =，2y =时取等号,∴xy 的最大值为 3.【变式3】若两个正数的积为定值时,则可求其和的最小值,即“积定和最小" 已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =___________.3.【答案】 36 【解析】∵()424a a f x x x x x =+⋅=当且仅当 4x =ax, 即 24a x = 时取等号,由 3x =, 得 36a =.【变式4】已知12x y a a +=+,12xy b b =,则()21212a ab b +的取值范围是______.4. 【答案】(,0][4,)-∞+∞【解析】由题可知 12x y a a +=+,12xy b b =所以 ()22221212()22a a x y x y xy x yb b xy xy y x++++===++, 当 ,x y 同号时,24x yy x++, 当 ,x y 异号时,2220x y y x ++-+=,故所求的取值范围是 (,0][4,)-∞+∞.【变式5】已知三个数a ，b ，c 成等比数列,若1a b c ++=,则b 的取值范围为_______. 5.【答案】1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】设等比数列的公比为q ，则有111b q q =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由 12q q +或 12q q+-, 可得 b 的取值范围为1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【变式6】已知,a b 均为正实数,且1a b +=,求1y a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.1b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.6.【答案】254【解析】22111b a a b y ab ab ab a bab ab ab ab +=+++=++=++2()222a b ab ab ab ab +-=+-令 t ab =, 则 10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，2()f t t t =+在 10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， ∴ 当 14t =时,min min 25()24y f t =-=.1.2 幂指式内隐和积互化【典例】若221x y +=,则x y +的取值范围是()A.[0,2]B.[2,0]-C.[2,)-+∞D.(,2]-∞-【答案】D【解析】由22222x y x y +⋅=y12(2x y ⇒+-当且仅当1x y ==-时取等号).故选D . 【评注】:利用最值定理求最值,首先要在条件中找到定值.同底幂的和为定值,隐藏着其积即指数和存在最大值. 变式题组【变式1】若实数,a b 满足2a b +=,则633a +的最小值是_____________. 1.【答案】 6【解析】332336a b a b +⋅=, 当且仅当 1a b == 时取等号,故 33a b + 的最小值是 6.【变式2】若241x y +=,则2x y +的取值范围是______________. 2.【答案】 6【解析】由222x y +==，得22x y +- (当且仅当 222x y = 时取等号) .【变式3】若实数,,a b c 满足222a b a b ++=,222a b c ++=2a b c ++,求c 的是大值. 3.【答案】22log 3-【解析】 由 222222a b a b a b +=-⋅=得 12a ba b+++, 即2a b +, 所以 (*22222222a b c a b a b c a b a b c ++++++=--=-=-1) 22(21)424r c -=⋅-, 所以 324c ⋅, 解得 22log 3c - （当且.仅当 1a b == 时取等号). 故所求 c 的最大值为 22log 3-.1.3最值定理对“定值”的要求【典例】已知1x >,则21y x x =+-的最小值为_______________.【答案】1【解析】221122111y x x x x =+=-+++--,当且仅当211x x -=-即1x =时等号成立,∴21y x x =+-的最小值为1+. 变式题组【变式1】函数212(0)y x x x=+>的最小值是______________.1. 【答案】2【解析】222311112232222y x x x x x x =+=++⋅==, 当且仅当 2122x x=, 即 x = 时等号成立,所以函数的最小值是 2.【变式2】已知0x >,0y >,且191x y+=,则x y +的最小值是____________. 【答案】16 【解析】由191x y +=, 得 19()10x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+ ⎪⎝⎭910216y x y x y x ++=, 当且仅当 9y x x y =, 即当 4x =,12y = 时取等号,故 x y + 的最小值为 16.【变式3】已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2a b +的最小值是（ ）A. B. C.3D.2解析： 借助换元，“1”的代换 令1a m +=，1b n +=， 则1m >，1n >，且111m n+=，则()()212123a b m n m n +=-+-=+-，又()112221233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+⎪⎝⎭所以22333a b m n +=+-≥+-=当且仅当2n m m n =，即1m =，12n =+时，取到最小值B.【变式4】已知,a b 为正实数，且2a b +=，则22221a b a b ++-+的最小值为 . 解析1：22222112121221211111a b b a a b a b a b a b a b +-++-=++-=++-+-=+-++++ 2(1)2(1)121111(1)()1(21)1()3131313b b a a a b a b a b a b ++=+++-=+++-=+≥⋅+++当且仅当2(1)1b a a b +=+，即1)a b =+，即64a b =-=时等号成立.【变式5】若正数,a b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是_____ 解析：(分母换元+常数替换):令1,1x a y b =+=+，则3x y +=（1,1x y >>）1111211a b x y a b x y x y ⎛⎫--∴+=+=-+ ⎪++⎝⎭,而()11111142333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1122113a b a b x y ⎛⎫∴+=-+≤ ⎪++⎝⎭,则11a b a b +++的最大值是23.二． 十种变形技巧2.1整体处理求最值【典例】若实数,a b 满足12a b+=则ab 的最小值等于（）A B.2C. D.4【答案】C【解析】12a b =+≥，当且仅当2b a =时取等号,整理得22ab .故选C . 【评注】:遇到求a b +，ab 的最值,一般可以对题设条件直接使用基本不等式,获得关于,a b ab +的不等式,进而化简变形,即可顺利获解.变式题组【变式1】利用基本不等式将条件式转化为关于目标式的不等式若正实数,x y 满足++=26x y xy ，则xy 的最小值是 ，则+x y 的最小值是 【答案】18【解析】26226xy x y xy =+++, 则 2--60, 解得2xy - （舍去）或32xy , 从而18xy (当且仅当 3x = ，6y =时取等号).【变式2】已知>>++=0,0,228x y x y xy 则+2x y 的最小值是 【答案】4【解析】2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭, 得 2(2)x y ++4(2)320x y +-, 即 24x y +( 当且仅当 2x y = 时取等号).【变式3】已知实数,x y 满足3xy x y -=+，且1x >则(8)y x +的最小值是()A.33B.26C.25D.21 解析1： 转化为单变量问题3xy x y-=+31x y x +∴=- 336(8)(8)1132511x y x x x x x +∴+=⋅+=-++≥-- 解析2：因式分解3(1)(1)4xy x y x y -=+∴--=，令41,1x t y t -=-=4(1)(9)25t t∴++≥【变式4】由+=±222()2x y x y xy 的关系结合基本不等式转化若实数,x y 满足++=221x y xy ，则+x y 的最大值是【答案】【解析】 由 2()1x y xy +=+ 得 22()12x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 则233x y +（ 当且仅当 x y == 时取等号).2.2 凑系数（乘、除变量系数）【典例】设<<302x ，则函数=-4(32)y x x 的最大值是【答案】92【解析】2232922(32)222x x y x x +-⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭, 当且仅当232x x =-, 即 34x = 时等号成立. 所以函数的最大值是92. 变式题组【变式1】已已知<<103x ，则-(13)x x 取得最大值时x 的值是【答案】16【解析】 211313(13)3(13)332x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭112, 当且仅当 313x x =- 即 16x = 时取等号. 故 (13)x x - 取得最大值时 x 的值是16.【变式2】配凑系数，活用不等式+222a b ab设+=220,0,12y x y x ，则的最大值为【答案】4【解析】2221222y x ++=⋅=2212224y x ++=, 当且仅当 x =，y = 取等 号, 故的最大值为【变式3】设>0x ，则3(1)x x -的最大值为 【解析】【变式4】设>,,0x y z ，则+++222xy yzx y z 的最大值为【答案】2【解析】因为2222x y y +⋅2222z y y +⋅所以222y y x y z ⋅+⋅≤++，所 以222xy yz x y z +=++.22222212xy z x y z++⋅=++，当且仅y ==时等号成立,故222xy yz x y z +++的最大值为2.2.3 凑项（加、减常数项）【典例】已知<54x ，求函数=-+-1()4245f x x x 的最大值.解：由->540x ，得⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦1()(54)354f x x x -+=231，当且仅当=1x 时等号成立，故函数()f x 的最大值为5.评注：求解本题需要关注两点：一是对已知条件的适当变形，由<54x 得到->540x ;二是对目标函数解析式的适当变形，以便活用结论“若<0x，则⎡⎤⎛⎫+=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11()x x x x -=-2”.变式题组【变式1】若函数=+>-1()(2)2f x x x x 在=x n 处取得最小值，则=n 【解析】因为 11()(2)2422f x x x x x =+=-++--, 当且仅当1202x x -=>-, 即 3x = 时等号成立, 即函数在 3x = 处取得最小 值, 故 3n =.【变式2】函数⎛⎫-+=> ⎪-⎝⎭2211212x x y x x 的最小值是12【解析】221(21)11212121x x x x y x x x x -+-+===+=---111(21)2212x x -++-, 又因为 111(21)22212x x -+=- 当且仅当x 取等号 ), 所以函数的最小值是12.2.4连续使用基本不等式求最值 【典例】若>>0a b ，求+-216()a b a b 的最小值为【解析】++=+-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦2222216166416()()2a a a b a b a b a b （当且仅当=-b a b 且=8a a，即==2a b 时等号成立)，故+-216()a b a b 的最小值为16.评注：此处第一次运用基本不等式，实质也是化二元为一元的消元过程.连续多次使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致，否则就会出错。

基本不等式的最值求法摘要：一、基本不等式的概念和性质1.基本不等式的定义2.基本不等式的性质二、求解基本不等式的方法1.代数方法2.几何方法三、基本不等式的应用1.求最值问题2.解决其他数学问题正文：一、基本不等式的概念和性质基本不等式是一种在数学中经常使用的工具，可以用来求解一些最值问题。

它是一个关于两个数的平方和不等式的恒等式，具有重要的性质。

设a和b是实数，那么基本不等式可以表示为：对于任何实数a和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab这个不等式有很多重要的性质，比如：1.当a = b时，等号成立。

2.当a和b同号时，不等式成立。

3.当a和b异号时，不等式不成立。

二、求解基本不等式的方法求解基本不等式的方法有很多，其中最常用的方法是代数方法和几何方法。

1.代数方法代数方法主要是通过一些代数的技巧来求解基本不等式。

比如，我们可以通过移项和配方来简化基本不等式，然后通过因式分解来求解。

2.几何方法几何方法主要是通过几何的方式来理解基本不等式。

比如，我们可以把基本不等式看作是两个点之间的距离不小于它们之间的连线长度，这样就可以通过几何的方式来理解基本不等式。

三、基本不等式的应用基本不等式在数学中有广泛的应用，可以用来求解一些最值问题。

1.求最值问题当我们需要求解一些最值问题时，可以使用基本不等式。

比如，如果我们需要求解一个关于x和y的不等式，那么我们可以通过基本不等式来求解。

2.解决其他数学问题基本不等式还可以用来解决一些其他的数学问题，比如求解一些函数的极值，或者求解一些三角函数的最值问题。