计数原理排列组合二项式定理二轮复习专题练习(五)含答案人教版高中数学新高考指导

专题15 计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】错把二项式系数当成项的系数。

【正解】C ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以22553390r r C C ⋅⋅==，故选C.2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C =611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】错把二项式系数当成项的系数。

【正解】()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C -,第7项的系数为611C ,所以数最大的项是第7项.二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（ ） A ．260xB ．260x -C ．412xD ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】误认为第二项是2r =而错误【正解】展开式的通项为()6162Crrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.故选D.三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】该题为均匀分组，忽略除以22A 而错误.【正解】先将4名学生均分成两组方法数为2422C A ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为224622C A A ．故选B ．5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】该题为部分均匀分组，应除以22A ，而不是33A .【正解】C ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.四、计数时混淆有序与定序6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。

从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等核心素养．1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --. 2、解决排列问题的常见方法：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.热点11 计数原理（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.3、解决组合问题的常见方法：组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。

2021年高考理科数学二轮复习专题五计数原理、统计与概率（一）、计数原理一、排列数与组合数1、排列数：计算公式：2、组合数：①计算公式：()()()()()()121!1221!!mm nn mmn n n n mA nCA m m m m n m---+===--⋅-②组合数的性质：性质1：；性质2：（连续两个组合数的和）二、排列组合与两个基本原理的应用（一）、排列问题1、位置限制：解法：①先考虑限制元素，再考虑无限制的元素（加法原理）②多种限制：用二分法或枚举法2、排队限制：元素间排队的方式有限制①相邻：捆绑法（勿忘内部的排列）；②互不相邻：插板法（先排无关元素再插入限制元素）③注意分类讨论以及正难则反（二）、组合问题1、分配问题： k个对象所得元素确定，即将n个不同的元素按不同数量分别分给则共有2、分组问题：将元素按一定数量方案分成k组，注意用除法，即，（t为数量一样的堆数）3、先分组再分配问题：k对象所得元素不确定，注意用乘法。

即。

（分给k个人）【典例1】①将6本书分给甲2本，乙3本，丙1本：（分配问题）②将6本书分成3堆，每堆2本：（分组问题）③将6本书分给甲乙丙，一个人4本，其他两人各一本：（先分组再分配）三、二项式定理（一）基本特征1、展开有n+1项，每项中a、b的指数和为n。

2、通项公式：第r+1项（二）常见题型1、求指定项（有理项、常数项等）：通项公式2、求所以项二项式系数．．的和：①二项式系数；奇数项与偶数项二项式系数之和相等。

．．．．．、系数②系数：常用特值带入法（令x=0或1或-1）3、系数最值问题：①二项式系数：越中间，二项式系数越大。

（n为奇数，展开有偶数个项，中间两项二项式系数最大、n为偶数，展开有奇数个项，中间项二项式系数最大）②系数：写出通项，列出不等式组4、三项式展开式求指定项：组合的应用：每个括号里必须且只能选一个，根据组合得到答案。

5、求余数：将目标数写出接近除数的和或差的形式，然后计算【典例2】设已知均为整数()，若和被除所得的余数相同，则称和对模同余，记为，若，且a≡b（mod10），则b的值可以是（A）A．2011 B．2012 C ．xx D．xx（二）、概率一、概率的基本性质与运算1、互斥事件与对立事件：①A 、B 为互斥事件是A 、B 为对立事件的必要不充分条件②若A 、B 为互斥事件则；③若A 、B 为对立事件则()()()()()1,1P A B P A P B P A P B ⋃==+=-即（正难则反）2、独立事件： A 、B 为独立事件，则3、条件概率：在A 事件发生的情况下，B 事件发生的概率为4、几何概型与古典概型：①古典概型：②几何概型：()()()A m P A n ==构成事件的区域的长度角度、面积、体积全部事件构成的区域的长度角度、面积、体积（常与线性规划结合） 二、随机变量及其分布列1、数学期望与方差的计算方法：①数学期望：；方差：②数学期望与方差的性质：；2、常见随机变量的概率分布：（三）、统计一、抽样方法二、用样本估计总体——统计数据的分析与应用1、茎叶图：①图像特征（读图）：中间列为数据的十位数，两边为各组数据的个位数②优点：便于看出中位数以及集中程度2、频率分布直方图：①特征：纵轴：；柱形面积：对应的频率；所有柱形面积=1②频率分布直方图中数据信息的获取：A 、众数：最高柱形的中点横坐标B 、中位数：将所有柱形面积平分成一半的点的横坐标C 、平均数：每条柱形的中点×对应柱形的面积（频率）D 、方差：()()2×-每条柱形中点平均数对应柱形面积频率三、统计案例1、连续型随机变量——正态分布①正态分布表示：：：数学期望；②图像特征：A 、关于直线对称；B 、越大（小），数据越分散（集中），图像越矮胖（高瘦） ③应用：利用对称性或查表获得对应概率。

高中数学专题复习《计数原理排列组合二项式定理》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编浙江文)在二项式()61x +的展开式中，含3x 的项的系数是（ B ）(A )15 (B )20 (C )30 (D )402．(汇编年高考浙江理)若多项式=+++++++=+910102910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则 D(A )9 (B )10 (C )－9 (D )－10 【考点分析】本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题。

3．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B )（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040(汇编年高考重庆文)4．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6（汇编北京理）5．（汇编重庆文1）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）206．6名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有（） A ．240种 B ．360种 C ．480种 D ．720种（汇编大纲文） 答案C【命题意图】本试题考查了排列问题的运用.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论.7．1 ．（汇编年上海市春季高考数学试卷(含答案)）10(1)x +的二项展开式中的一项是 （ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x8．把一排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是-----------------------（ ）(A) 168 (B) 96 (C )72 (D) 1449．直线x y=0将圆x 2+y 2=1分成四个区域，用五种不同的颜色给这四个区域涂色，有公共边的区域颜色互异，每块区域只涂一种颜色，则不同的涂色办法种数为 （ ）A ．260B ．200C ．250D ．19010．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种11．若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1212．设集合{}1,2,3,4,5I =,选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( ) A ．50种 B ．49种C ．48种D ．47种第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题13．在41(3)n x x-的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为_____．14．6(21)x +的展开式中含2x 的项的系数为 ▲ ．15．（汇编年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）W OR D 版含答案（已校对））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).16．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集个数为T，则TS=__17．2．一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有_________18．有印着0、1、3、5、7、9的六张卡片，如果允许9当作6用，那么从中任意抽取三张可以组成多少个不同的三位数？19．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行投篮比赛，决出了第1至第5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，根据右图所示裁判的回答，5人的名次排列共有种不同的情况.20．有四个好友A, B,C, D经常通电话交流信息, 已知在通了三次电话后这四人都获悉某一条高考信息,那么第一个电话是A打的情形共有种.评卷人得分三、解答题21．已知(12)nx+的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56倍．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； （2）求展开式中所有有理项．22．在一块并排10垄的田地中，选择两垄分别种植,A B 两种作物，每种作物种植一垄，为了便于作物生长，要求,A B 两种作物的间隔不小于6垄，不同的种植方案有多少种？23．设,m n N ∈,()(12)(1)mnf x x x =+++. （Ⅰ）当m n ==汇编时,记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求0122a a a a -+-⋅⋅⋅-； （Ⅱ）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．(江苏省盐城市汇编届高三年级第一次调研)（本小题满分10分）24．平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线。

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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
（A ）36个 （B ）24个（C ）18个 （D ）6个(汇编北京理)
2．(汇编重庆理)若)12(x x
n 展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为－5，则n 等于
（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
3．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A ．56
B ．52
C ．48
D ．40(汇编湖南理)
4．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一。

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得分 一、选择题
1．(汇编重庆理)若)12(x x -
n 展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为－5，则n 等于
（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
2．1 ．（汇编重庆理）812x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为 （ ） A ．1635 B ．835 C ．435 D ．105
3．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]
A 85
B 56
C 49
D 28 (汇编湖南理)。

摆列组合及二项式定理【基本知识点】1. 分类计数和分步计数原理的观点2．摆列的观点：从n 个不同元素中，任取m（m n ）个元素（这里的被取元素各不同样）按照一．定．的．顺．序．排成一列，叫做从n 个不同元素中拿出m 个元素的一．个．排．列．3．摆列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ）个元素的全部摆列的个数叫做从n个元素中拿出m 元素的摆列数，用符号mA 表示nm4．摆列数公式：A n(n 1)(n 2)L (n m 1) （m,n N ,m n）n5.阶乘：n!表示正整数1 到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0! 1．6．摆列数的另一个计算公式：mA =nn! (n m)!7.组合观点：从n 个不同元素中拿出m m n 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合8．组合数的观点：从n 个不同元素中拿出m m n 个元素的全部组合的个数，叫做从n 个不同元素中拿出m 个元素的组．合．数．．用符号mC 表示．n9.组合数公式：mA n(n 1)(n 2)L (n m 1)m nCn mA m!m或 C m nm!(n!n m)!(n, m N ,且m n)10.组合数的性质1：m n m 0C n C ．规定：C 1 ；n n11.组合数的性质2：mCn 1 ＝m m 1C +C Cn nn n n0+C1+⋯ +C n=20+C1+⋯ +C n=2n12. 二项式睁开公式： (a+b) n=C0a n+C1a n-1 b+⋯ +C k a n-k b k+⋯ +C n bnn n n n13．二项式系数的性质：n(a b) 睁开式的二项式系数是C ，n1C ，n2C ，⋯，nnC ．nrC 能够当作以r为自变量的函数nf (r ) ，定义域是{0,1,2, L ,n} ，（1）对称性．与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mC C ）．n nn（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C 2 获得最大值；当n是奇数时，中间两项nn 1 n 12 C ，n2C 获得最大值．n（3）各二项式系数和：∵n 1 r r n(1 x) 1 C x L C x L x ，n n令x 1，则n 0 1 2 r n2 C C C L C L Cn n n n n【常有考点】一、可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不可以重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则经过“住店法”可顺利解题，在这种问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个底数，哪个是指数（1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【分析】：（1）43 （2）34 （3）4 3二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加排列.（4）A, B,C, D, E 五人并排站成一排，假如A, B 一定相邻且B 在A的右侧，那么不同的排法种数有【分析】：把A,B视为一人，且B 固定在A的右侧，则此题相当于4 人的全摆列，4A4 24种（5）3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【分析】：间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，2 2 2 2C A A A =432 种3 24 2此中男生甲站两头的有 1 2 2 2 2A C A A A =144 ，切合条件的排法故共有 2882 3 2 3 2三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头 . （6）七人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不同的排法种数是【分析】：除甲乙外，其他 5 个摆列数为 5A 种，再用甲乙去插 6 个空位有52A 种，不同的排6法种数是 5 2A5 A6 3600 种（7）书架上某层有 6 本书，新买3 本插进去，要保持原有 6 本书的次序，有种不同的插法（详细数字作答）【分析】： 1 1 1A A A =5047 8 9（8）马路上有编号为1，2，3⋯， 9 九只路灯，现要关掉此中的三盏，但不可以关掉相邻的二盏或三盏，也不可以关掉两头的两盏，求知足条件的关灯方案有多少种？【分析】：把此问题看作一个排对模型，在 6盏亮灯的 5 个缝隙中插入 3盏不亮的灯 3C 种方5 法, 所以知足条件的关灯方案有 10 种.四．元素剖析法（地点剖析法）：某个或几个元素要排在指定地点，可先排这个或几个元素；再排其他的元素。

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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．(汇编上海理)组合数C r n
（n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ） A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1 D ．n r
C r -1n -1 2．(汇编安徽理)设88018(1),x a a x a x +=+++则0,18,,a a a 中奇数的个数为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14
B.24
C.28
D.48(汇编福建理)
4．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A ．96
B ．84
C ．60
D ．48(汇编全国1理)。

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第I卷（选择题）
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评卷人得分
一、选择题
1．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
C A
A．22
83
C A
B．26
86
C A
C．22
86
C A
D．22
85
2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）
（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种(汇编年高考重庆理)。