第一讲 圆

第一讲圆的基本概念一、圆的定义1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．（集合定义与代数定义.........？）二、圆的基本性质2．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．三、圆的基本概念3．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．4．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．5．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．6．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．7．半径相等的两个圆叫做____________．【练习题】8．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．9.一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远距离为9 cm，则这圆的半径是________cm.10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．11．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．12.菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径，并证明。

ECDOBA圆的知识及性质【基本概念】 1． 圆的定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”．OA2．有关概念：弦：连接圆上任意的两点的线段叫做弦。

其中，直径是过圆心的弦，是最长的弦;弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”； 等弧：如果两条弧完全．．重合，那么这两条弧是等弧； 弧的分类：①大于半圆的弧称为优弧；②小于半圆的弧称为劣弧；③直径所对的弧称为半圆； 弦心距：圆心到弦的距离；等圆（半径相等的两个圆）、同圆（圆心和半径都相同）、同心圆（圆心相同，半径不一定相等）。

●圆既是轴对称图形（无数条对称轴，对称轴为过圆心的直线），又是中心对称图形，对称中心是圆心．【典型例题】1．在右图中，弦、直径、弧（劣弧、优弧）分别指的是什么？① 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段_____，______，______，______；② 经过圆心的弦叫做直径，如图线段_______；③ 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，如__ __，______，______，_______，______，______，______，______等；2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．mmααO 知识点1：圆心角——顶点在圆心的角。

等对等定理：圆心角、弦、弧之间关系：在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦也相等； 如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 如果弦相等，那么所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等。

【典型例题】1．如图在⊙O 中，圆心角有 ， ， ， ， ；它们所对的弧分别是 ， ， ， ， ；若AC BD =，∠1=45°，则∠2的度数为 。

第一讲 圆周运动中的临界问题一、教学目的1.熟练处理水平面内的临界问题2.掌握竖直面内的临界问题二、教学重、难点重点：掌握竖直面内的临界问题 难点：掌握竖直面内的临界问题三、教学内容(一)．水平面内的圆周运动例1： 如图5—1所示水平转盘上放有质量为m 的物快，当物块到转轴的距离为r 时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大？ 拓展：如o 点与物块连接一细线，求当①ω1=rg2μ时，细线的拉力T 1 ②ω2=rg23μ时，细线的拉力T 2注：分析物体恰能做圆周运动的受力特点是关键(二)．竖直平面内圆周运动中的临界问题图5—2甲 图5—3甲 图5—3乙1． 如图5—2甲、乙 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ○1临界条件 ○2能过最高点的条件 ，此时绳或轨道对球分别产生______________ ○3不能过最高点的条件 2． 如图5—3甲、乙所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。

对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行简要分析。

○1恰能过最高点的条件 ，此时杆对球的作用力○2当0<V<gr 时，杆对小球 ，其大小 当v=gr 时，杆对小球当v>gr 时，杆对小球的力为 其大小为____________ 讨论：绳与杆对小球的作用力有什么不同？例2．长度为L=0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=3.0kg的小球，如图5—4所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，（g=10m/s2）则此时细杆OA受的（）A. 6.0N的拉力 B. 6.0N的压力 C.24N的压力 D. 24N的拉力【针对训练】1．汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）问：若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车最大速度应为多少？2．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（）A.小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mLv2C.小球过最高点时绳对小的拉力mgD.小球过最高点时速度大小为gL3.如图5—5所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，先给小球一初速度，使它做圆周运动。

第一讲 圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义标准 方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的会合 (轨迹 )(x － a)2 ＋(y －b)2＝ r 2(r>0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0圆心： － D ，－ E，2 2 (D 2＋E 2－ 4F>0)半径： 1 D 2＋ E 2－ 4F21、圆的标准方程与一般方程的互化（ 1）将圆的标准方程 (x －a)2＋( y －b)2＝ r 2 睁开并整理得 x 2＋ y 2－ 2ax － 2by ＋ a 2＋ b 2－ r 2＝ 0，取 D ＝－ 2a ，E ＝－ 2b ， F ＝ a 2＋ b 2－ r 2，得 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0.（ 2）将圆的一般方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0 经过配方后获得的方程为：(x ＋ D 2＋ (y ＋ E 2 D 2 ＋E 2－ 4F2 ) 2 ) ＝ 4①当 D 2＋E 2－ 4F>0 时，该方程表示以 (－D ，－ E)为圆心， 1 D 2＋ E 2 － 4F 为半径的圆；2 2 2②当 D 2＋ E 2－ 4F ＝ 0x ＝－ D ， y ＝－ E (－ D 时，方程只有实数解2 2，即只表示一个点 2 ，－E)；③当 D 2＋ E 2－ 4F<0 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．22、圆的一般方程的特点是 ： x 2 和 y 2 项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项 .3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、 E 、 F ，所以只需求出这三个系数，圆的方程就确立了．（二）点与圆的地点关系点 M(x 0， y 0)与圆 (x －a)2＋(y － b)2 ＝r 2 的地点关系：（ 1）若 M(x 0， y 0)在圆外，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2>r 2.（ 2）若 M(x 0， y 0)在圆上，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2＝ r 2.（ 3）若 M(x 0， y 0)在圆内，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2<r 2.(三)直线与圆的地点关系方法一：方法二：（四）圆与圆的地点关系1外离2外切3订交4内切5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示1、方程 Ax2＋ Bxy＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0 表示圆的条件是：（ 1）B＝ 0；（ 2） A＝C≠0；（ 3）D 2＋ E2－4AF＞ 0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．（ 2）圆心在任一弦的中垂线上．（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2， y2) ，点 M (x， y) 是线段 AB 的中点，则 x＝x1x2 ，y＝y1y2 .22二、典例概括考点一：相关圆的标准方程的求法【例1】圆22，半径是. x a y bm2 m 0 的圆心是【例2】点 (1,1)在圆 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4 内，则实数A ． (－ 1,1)C．( －∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )a 的取值范围是(D． (1，＋∞))B． (0,1)【例 3】圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A ． x2＋ (y－2)2＝1B． x2＋ (y＋ 2)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D． x2＋ (y－ 3)2＝ 1【例 4】圆 (x＋2) 2＋ y2＝ 5 对于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ()A ． (x－ 2)2＋y2＝5B． x2＋ (y－ 2)2＝ 5C．( x＋ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 5D． x2＋ (y＋ 2)2＝ 5【变式 1】已知圆的方程为x 1 x 2y 2 y 40 ，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆x 1221 对于直线 y x 对称，则圆C的方程为y【变式3】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A ． (x－ 3)2＋7y－ 3 2＝ 1B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D. x－ 3 2＋(y－ 1)2＝ 12【变式4】已知ABC 的极点坐标分别是 A 1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于a， b， r 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程，表现了数形联合思想的运用．考点二、相关圆的一般方程的求法【例 1】若方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＋5m＝0 表示圆，则m 的取值范围是()A .1＜ m＜ 1 B ． m＜1或 m＞ 1 C ．m＜1D． m＞ 1 444【例 2】将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＋1＝ 0 均分的直线是 ()A ． x＋ y－ 1＝ 0B． x＋ y＋ 3＝ 0C． x－y＋ 1＝ 0D． x－ y＋ 3＝ 0【例 3】圆 x2－2x＋y2－ 3＝0 的圆心到直线x＋3y－ 3＝ 0 的距离为 ________．【变式 1】已知点P是圆C : x2y24x ay 5 0 上随意一点，P点对于直线2 x y 1 0 的对称点也在圆 C 上，则实数a =【变式 2】已知一个圆经过点 A 3,1 、 B 1,3 ，且圆心在3x y 20 上，求圆的方程 .【变式 3】平面直角坐标系中有 A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D 1,2 四点，这四点可否在同一个圆上？为何？【变式4】假如三角形三个极点分别是O(0,0)， A(0,15) ， B(－ 8,0)，则它的内切圆方程为________________ ．方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于D， E， F 的方程组．2．娴熟掌握圆的一般方程向标准方程的转变考点三、与圆相关的轨迹问题【例 1】动点 P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【例 2】方程y25 x2表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC 中，若点B,C的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点 A 的轨迹方程是（）A. x2y23B. x2y24C. x 2222y 9 y 0 D. x y 9 x 01【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0) ，A(3,0) 距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式 1】方程x 1 12y 1 所表示的曲线是（）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式 2】动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【变式 3】如右图，过点M(－ 6,0)作圆 C： x2＋y2－6x－ 4y＋ 9＝ 0 的割线，交圆C于 A、B 两点，求线段 AB 的中点P 的轨迹．【变式4】如图，已知点A( －1,0)与点长至 D ，使得 |CD |＝ |BC|，求 AC 与 ODB(1,0)， C 是圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，连结的交点 P 的轨迹方程．BC 并延方法总结：求与圆相关的轨迹问题时，依据题设条件的不一样常采纳以下方法：（1）直接法：依据题目条件，成立坐标系，设出动点坐标，找出动点知足的条件，而后化简．(2)定义法：依据直线、圆等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点知足的关系式等．考点四：与圆相关的最值问题【例 1】已知圆x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ a＝ 0 对于直线y＝ 2x＋b 成轴对称，则a－ b 的取值范围是________【例 2】已知 x， y 知足 x2＋ y2＝ 1，则y－2的最小值为 ________．x－ 1【例 3】已知点则|MN|的最小值是M 是直线()3x＋ 4y－ 2＝ 0 上的动点，点N 为圆( x＋1) 2＋ (y＋1)2＝ 1 上的动点，9A. 5B． 14C.5D.135【例 4】已知实数x， y 知足 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 则 2x－ y 的最大值为 ________，最小值为________．【变式 1】 P(x， y)在圆 C： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝1 上挪动，则x2＋ y2的最小值为 ________．【变式 2】由直线 y＝ x＋ 2 上的点 P 向圆 C： (x－ 4)2＋ (y＋ 2)2＝ 1 引切线 PT(T 为切点 )，当|PT|最小时，点 P 的坐标是 ()A ． (－ 1,1)B． (0,2)C ． (－ 2,0)D． (1,3)【变式 3】已知两点A(－ 2,0)， B(0,2)，点积的最小值是 ________．C 是圆x2＋ y2－ 2x＝ 0 上随意一点，则△ABC面【变式 4】已知圆M 过两点 C(1，－ 1)， D (－ 1,1)，且圆心M 在 x＋y－ 2＝ 0 上．（1）求圆 M 的方程；（2）设 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝0 上的动点， PA、 PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值．方法总结：解决与圆相关的最值问题的常用方法（1）形如 u＝y－b的最值问题，可转变为定点 (a， b)与圆上的动点 ( x，y)的斜率的最值问题x － a（2）形如 t＝ ax＋ by 的最值问题，可转变为动直线的截距的最值问题；（3）形如 (x－ a)2＋ (y－ b)2的最值问题，可转变为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： d r （此中d为圆心到直线的距离）。

第一讲圆的周长题型概述：“转化法”是数学中常用的方法，我们尝试利用转化思想求组合图形的周长。

典型例题1：王大爷用一批篱笆可以围成一个直径是10米的羊圈。

现在他想把篱笆改围成一个面积最大的长方形羊圈，新羊圈的边长是多少？举一反三1：（1）求这个图形的周长。

（单位：厘米）（2）如右图，求图形的周长。

（单位：厘米）（3）如图所示，线段AB长25厘米，求图中组合图形的周长。

（4）如图所示，若用绳子将2只、3只、4只、5只、6只、、、、、、酒瓶捆扎在一起，酒瓶的底面直径为8厘米，各需要多长绳子？（绳子接头处长度不计）先找规律，再完成填空。

我发现如果有n个瓶子，绳长＝（）+（）典型例题2：（圆的滚动）如图所示，A圆的半径为3厘米，B圆的半径为4厘米，如果A圆不动，B圆滚动到原处时，B圆自身滚动了多少圈？举一反三2：（1）甲、乙两个圆，甲圆的半径为a厘米，乙圆的半径为b厘米，如果甲圆不动，乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少？（2）在桌面上紧挨着放置两枚1元硬币，其中一枚固定不动，另一枚沿着不动的一枚的边滚动，当硬币第一次滚回原处时，它滚了几圈？（3）如图所示，有一底面半径为1米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为20.84米，油桶从墙的一侧滚动到另一侧要滚多少圈？（4）如果将一个半径为1厘米的硬币沿着长方形纸板的边滚动，长方形纸板长10厘米，宽6厘米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是多少厘米？训练巩固：1、正方形的边长是8厘米，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心，半径为3厘米分别画弧（如图所示），求阴影部分的周长。

（2）图形中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE＝4米，点B是AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米？（3）AD是大圆的直径，（如图所示），长6厘米，B和C是直径的三分点，求图中阴影部分的周长。

（4）请你利用三个相同的圆，设计一个有三条对称轴的图形，并画出对称轴。

第一讲 圆 (1) 圆的性质与四点共圆一. 圆的基本性质:1. 定义: 同一平面上到定点距离等于定长的点的集合.不共线三点确定一个圆;圆是轴对称图形, 任何一条直径都是对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. 2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 使用推理: ∵直径PQ ⊥弦AB 于点C∴AC=BC , 弧AP=弧BP, 弧AQ=弧BQ. 推论1. ○1平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;○2弦的垂直平分线经过圆心, [并且平分弦所对的两条弧; ]○3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等.3. 一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.在同圆或等圆中, 等圆心角⇔等弧⇔等弦⇔等弦心距.例1. 已知: AB 是⊙O 的直径, 半径OC ⊥AB, 求证: ∠CBE=2∠ABE 证明: 连接OE 、CE∵ EF 垂直平分CO∴ OE=CE=CO∴ ⊿CEO 中, ∠COE=60︒∵ ∠COA=90︒∴ ∠EOA=∠COA-∠COE=30︒∴∠CBE=2∠ABE.练习1. 已知: ⊙O 中, 弦AC ⊥BD , 又OE ⊥CD 求证: 2OE=AB .练习2. 已知: ⊙O 中, 半径OC ⊥AB.弦CD 、CE 分别交AB 于F 、G .求证: CF •CD=CG •CE .二. 四点共圆(圆内接四边形)1. 性质: ○1 圆内接四边形的对角互补, 并且任何一个外角都等于它的内对角. ○2证明: 在线段BD 上取点E, 使得∠ECD=∠BCA , 则∠ECB=∠DCA 又∠BAC=∠EDC ∴ ⊿BAC ∽⊿EDC∴DE AB =DCAC∴AB •DC=AC •DE 同理: ∵∠EBC=∠DAC , ∠ECB=∠DCA ∴ ⊿EBC ∽⊿DAC∴AD BE =ACBC∴BE •AC=AD •BC∴ 当2. 判定: ○1如果四边形的对角互补或其一个外角等于它的内对角, 则四边形四个顶点共圆. ○2有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等,则它们四个顶点共圆.例2: 已知: 点P 是等边⊿ABC 外接圆的劣弧BC 上任意一点, AP 交BC 于点D. 求证: PA 2=AC 2+PB •PC 证明: ∵ AB=BC=AC∴ 弧AB=弧AC=弧BC∴ ∠APB=∠ABC ,又∠DAB=∠BAP∴ ⊿DAB ∽⊿BAP ∴AB DA =APBA∴ BA 2=AD •AP 同法: ∠DPB=∠CPA , ∠CBP=21弧PC=∠ ∴⊿CPA ∽⊿DPB∴ AP CP =BPDP∴CP •BP=AP •DP∴PC •PB+AC 2=AP •DP+BA 2=AP •DP+AP •练习3. 已知:圆内接四边形ABCE 中, AE=CE,AB=AC, AE 、BC 的延长线交于点D. 求证: CD 2=AE •AD .例4. 已知: ⊿ABC 中.∠A:∠B:∠C=1:2:4.求证:BCAC AB 111=+ 证明: (法一)易知∠A=7π, ∠B=72π,∠C=74π原式⇔AC •BC+AB •BC=AB •AC (联想到托勒密定理)作⊿ABC 的外接圆⊙O , 在其上取点C 1, 满足AC=CC 1 , 连接AC 1、BC 1 .∵ A 、C 、B 、C 1四点共圆∴∠CAC 1=∠AC 1C=∠ABC=72π∴∠C 1AB=∠CAC 1-∠A=7π=∠A∴BC=BC 1而∠ABC 1=∠ACC 1=π-2∠CAC 1=73π∴∠AC 1B=π-∠BAC 1-∠ABC 1=73π=∠ABC 1 ∴ AB=AC 1由托勒密定理: AC •BC 1+BC •AC 1=AB •CC 1∴ AC •BC+BC •AB=AB •AC ∴BCAC AB 111=+(法二) 由正弦定理: 原式⇔AC B sin 1sin 1sin 1=+⇔7sin174sin 172sin 1πππ=+⇔ sin 7πsin 74π+sin 7πsin 72π= sin 74πsin 72π⇔ 2sin 7πsin 73π+2sin 7πsin 72π= 2sin 73πsin72π而 左边=(cos 72π-cos 74π)+(cos 7π-cos 73π)= cos 72π+ cos 7π右边=cos 7π-cos 75π= cos 7π+cos 72π=右边 ∴原式成立.练习4: 已知: ⊿ABC 与⊿A ¹B ¹C ¹三边分别为a 、b 、c ，与a ¹、b ¹、c ¹,且∠B=∠B ¹,∠A+∠A ¹=180º.求证：aa ¹=bb ¹+cc ¹.例5. (如图) 梯形ABCD 中AB//DC, 且AB>CD ，M 、N 分别为腰BC 、AD 上的点, ∠DAM=∠求证： ∠CNB = ∠DMA证明：连接MN∵∠DAM =∠CBN∴ M 、N 、A 、B 四点共圆∴∠CMN = ∠NAB , ∠ANB = ∠AMB 又 ∠NDC = 180°-∠NAB ∴ ∠NDC + ∠CMN = 180°∴ M 、N 、D 、C 四点共圆 ∴ ∠DNC = ∠CMD∴ ∠CNB = 180°-∠ANB -∠DNC = 180°-∠AMB -∠DMC= ∠DMA练习5.已知：在凸五边形ABCDE 中，∠ABC=∠ADE, ∠AEC=∠ADB 求证： ∠BAC = ∠DAE练习6. 已知：点M 为 ABCD 外一点，且∠CDM=∠CBM求证：∠BMC=∠DMA三 . 圆的切、割线 .1. 圆的切线判定定理: 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 圆的切线性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径.2. 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这点的连线平分两条切线的夹角3. 弦切角: 顶点在圆上,一边和圆相交, 另一边和圆相切的角叫弦切角.(1) 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.(2) 如果两个弦切角所夹的弧相等, 那么这两个弦切角相等.4. 圆的外切四边形的两组对边相等.5. 相交弦定理:如果圆内两条弦AB 、CD 相交于点P ,那么 PA •PB=PC •PD .6. 割线定理: 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和PCD,那么PA •PB=PC •PD7. 切割线定理: 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC, 那么 PA •PB=PC 2定理5,6,7合称圆幂定理.例6. 已知: 圆O 的弦CF 、DE 交于点求证: PA=PB .证明: ∵PA 为⊙O 切线, PDC 为⊙O 割线∴ PA 2=PD •PC ∵ PB//EF ∴∠PBD=∠FED而 ⊙O 中, ∠FED 与∠FCD 对同弧 ∴ ∠FED=∠FCD 又 ∠BPD=∠ ∴ ⊿BPD ∽⊿CPB∴PD PB =PBPC∴ PB 2=PD •PC ∴ PB 2= PA 2 ∴ PA=PB练习7: 已知: 从半圆O 上的一点C 向直径AB引垂线, 设垂足为D,作⊙O 1切CD 、DB 、弧BC 分别于点E 、G 求证: AC=AG .练习8. 已知: AB 是⊙O 的直径, 点C 在⊙O 上, ⊙C 切AB 于D, 与⊙O 相交于 E 、F 两点, EF 交CD 于点G .求证: CG=DG .例7. 圆内接四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P, 另一组对边AD 、BC 的 延长线交于点Q, 自P 、Q 分别作圆的切线PE 、QF, 其中E 、F 是切点, 连接PQ. 求证: 以线段PE 、QF 、PQ 为边构成的三角形是直角三角形. [2007北京市高一赛题]练习9. 已知: ⊙O 1 与⊙O 2相交, 公共弦为MN,两圆的公切线为AB 与CD, 直线MN 交AB 于P, 交CD 于Q,求证: PQ 2=AB 2+MN 2练习10. 已知: ⊙O 1 与⊙O 2的公共弦为AB, 点C 为AB 上任意一点, 过C 作直线交⊙O 1 于D 、F ，交⊙O 2于E 、G .求证: DE:EC=GF:FC .。