高中数学必修四(北师大版)第一章学案 单位圆的对称性与诱导公式

第课时单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式[核心必知]正弦函数、余弦函数的诱导公式．比较公式两边的函数名称，有什么规律？提示：公式(一)～(五)中，左、右两边的函数名称相同；公式(六)、(七)中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．．公式右边的正、负号有规律吗？提示：有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．．公式(二)反映了三角函数的什么性质？提示：由(－α)＝－α知＝是奇函数；由(－α)＝α知＝是偶函数．讲一讲．求下列三角函数值．() °；() ；()；().[尝试解答] () °＝(×°＋°)＝°＝(°＋°)＝－°＝－.() ＝＝＝＝－＝－.()＝＝－＝－(π)))＝.()＝－＝＝.．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与×±α(∈)的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．“奇变偶不变”解释如下：α前面加的是×，当是奇数时，得α的异名三角函数值；当是偶数时，得α的同名三角函数值．“符号看象限”解释如下：由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查×±α(∈)所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)．练一练．求下列各式的值：() °(－°)；()解：() °(－°)＝(°＋°) °＝°°＝(°－°)(°－°)＝°°。

4.4 单位圆的对称性与诱导公式Q 情景引入ing jing yin ru对称美是形式美的美学法则之一．人的形体是对称的，鹰、猛虎、雄狮、孔雀、金鱼、知了、蝴蝶等等无一不表现出对称的形态．人和动物的对称能给人以健康的美感，若不对称则给人以不愉快的印象．对称美源于自然亦道法自然．角的终边也有对称的现象，它们存在什么美呢？又隐藏着哪些规律呢？X 新知导学in zhi dao xue1．特殊角的终边对称关系(1)π＋α的终边与角α的终边关于__原点__对称； (2)－α的终边与角α的终边关于__x 轴__对称； (3)π－α的终边与角α的终边关于__y 轴__对称． 2．诱导公式(1)sin (2k π＋α)＝__sin α__，cos (2k π＋α)＝__cos α__. (2)sin (－α)＝__－sin α__，cos (－α)＝__cos α__. (3)sin (2π－α)＝__－sin α__，cos (2π－α)＝__cos α__. (4)sin (π－α)＝__sin α__，cos (π－α)＝__－cos α__. (5)sin (π＋α)＝__－sin α__，cos (π＋α)＝__－cos α__. (6)sin (π2＋α)＝__cos α__，cos (π2＋α)＝__－sin α__.(7)sin (π2－α)＝__cos α__，cos (π2－α)＝__sin α__.[知识点拨]对诱导公式一～六的两点说明(1)诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． (2)公式的记忆口诀和说明①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：(3)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．Y 预习自测u xi zi ce1．sin 600°等于( A ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32[解析] sin 600°＝sin (360°＋240°)＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．cos 300°的值是( A ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32[解析] cos 300°＝cos (360°－60°)＝cos (－60°)＝cos 60°＝12.3．cos (2π－α)＋sin (π2＋α)＋cos (π－α)＋cos (π＋α)等于( A )A ．0B ．2cos αC ．－2cos αD ．4cos α[解析] 原式＝cos α＋cos α－cos α－cos α＝0. 4．sin 95°＋cos 175°的值为( C ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°5．若cos (π－α)＝－12，则cos (－2π－α)的值为( A )A ．12B ．±32C ．－12D ．±12H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨利用诱导公式求值典例1 求下列式子的值：(1)sin (－1665°)；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－103π； (3)cos (3π2＋π3)．[思路分析] 这类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．若是负角则应利用相应诱导公式先化为正角．[解析] (1)解法一：sin (－1665°)＝－sin 1665° ＝－sin (225°＋4×360°)＝－sin 225° ＝－sin (180°＋45°)＝sin 45°＝22. 解法二：sin (－1665°)＝sin (135°－5×360°) ＝sin 135°＝sin (180°－45°)＝sin 45°＝22. (2)解法一：cos ⎝⎛⎭⎫－103π＝cos 103π＝cos ⎝⎛⎭⎫43π＋2π ＝cos 43π＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 解法二：cos ⎝⎛⎭⎫－103π＝cos ⎝⎛⎭⎫23π－4π＝cos 23π ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)cos (3π2＋π3)＝cos (π＋π2＋π3)＝－cos (π2＋π3)＝－(－sin π3)＝32.『规律总结』 这一类问题属于给出角求其三角函数值的问题，一般情况是先将负角的三角函数利用sin (－α)或cos (－α)将其化为正角的三角函数；若角较大，利用sin (2k π＋α)或cos (2k π＋α)(k ∈Z )将角化到0～2π之间，再利用三角函数的诱导公式将0～2π之间的角化为锐角，然后求其三角函数值．〔跟踪练习1〕求下列各式的值： (1)cos47π6； (2)cos (－945°)． [解析] (1)cos47π6＝cos (6π＋11π6)＝cos 11π6＝cos (π＋5π6)＝－cos 5π6＝－cos (π－π6)＝cos π6＝32.(2)cos (－945°)＝cos 945°＝cos (2×360°＋225°) ＝cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－22. 命题方向2 ⇨利用诱导公式化简典例2 化简：cos (3k ＋13π＋α)＋cos (3k －13π－α)，其中k ∈Z .[思路分析] 注意到3k ＋13π＋α＝k π＋π3＋α，3k －13π－α＝k π－(π3＋α)，以下的化简就是把π3＋α看作一个角，注意到k π＋(π3＋α)＋k π－(π3＋α)＝2k π，也可以把k π＋(π3＋α)整体看作一个角先化简．[解析] cos (k π－π3－α)＝cos [2k π－(k π＋π3＋α)]＝cos (k π＋π3＋α)，所以原式＝cos (k π＋π3＋α)＋cos (k π－π3－α)＝2cos (k π＋π3＋α)．当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝2cos (2n π＋π3＋α)＝2cos (π3＋α)；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝2cos [(2n ＋1)π＋π3＋α]＝－2cos (π3＋α).『规律总结』 本题挖掘到了一个隐含条件：(k π＋π3＋α)＋(k π－π3－α)＝2k π，k ∈Z ，从而先利用诱导公式对题目化简，然后再讨论k 的奇偶情况．〔跟踪练习2〕化简：cos (4n ＋14π＋x )＋cos (4n －14π－x )(n ∈Z )．[解析] 由题意知，原式＝cos (n π＋π4＋x )＋cos (n π－π4－x )(n ∈Z )，当n 为奇数时，原式＝－cos (π4＋x )－cos (π4＋x )＝－2cos (π4＋x )．当n 为偶数时，原式＝cos (π4＋x )＋cos (π4＋x )＝2cos (π4＋x )．命题方向3 ⇨利用诱导公式证明恒等式典例3 求证：cos (10π＋α)sin αsin (－α－2π)cos (－π－α)cos (π＋α)＝－1cos α.[思路分析] 所证等式左端较复杂，应以左端化简整理入手．[证明] 左边＝cos αsin α－sin (α＋2π)cos (π＋α)(－cos α)＝cos αsin α－sin α(－cos α)(－cos α)＝－1cos α＝右边，所以原等式成立.『规律总结』 对于三角恒等式的证明问题，一般遵循“化繁为简”的原则，最常用的方法是从左到右或从右到左．一般是从较复杂的一边向比较简单的一边进行证明．〔跟踪练习3〕求证：sin (n π＋α)＝(－1)n sin α(n ∈Z )． [证明] (1)当n 为奇数时，设n ＝2k －1(k ∈Z )，则 sin (n π＋α)＝sin [(2k －1)π＋α] ＝sin (－π＋α)＝－sin (π－α) ＝－sin α＝(－1)n sin α；(2)当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则 sin (n π＋α)＝sin (2k π＋α) ＝sin α＝(－1)n sin α，∴sin (n π＋α)＝(－1)n sin α(n ∈Z )． X 学科核心素养ue ke he xin su yang已知某三角数函数式的值求其他三角函数式的值(给值求值)典例4 (1)已知cos (π6－α)＝33，求cos (5π6＋α)－sin 2(α－π6)的值；(2)已知cos (α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．[思路分析] 1.π6－α与5π6＋α、α－π6存在什么关系？用π6－α表示其他角．2．α－75°与150°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α. [解析] (1)∵cos (5π6＋α)＝cos [π－(π6－α)]＝－cos (π6－α)＝－33，sin 2(α－π6)＝sin 2[－(π6－α)]＝1－cos 2(π6－α)＝1－(33)2＝23，∴cos (5π6＋α)－sin 2(α－π6)＝－33－23＝－2＋33.(2)∵cos (α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限， ∴sin (α－75°)＝－1－cos 2(α－752)＝－1－(－13)2＝－223，∴sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)] ＝－sin (α－75°)＝223. 『规律总结』 解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．〔跟踪练习4〕已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝m (|m |≤1)， 化简cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α. [解析] cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫23π－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＋sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－m ＋m ＝0. Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi对诱导公式理解不透致错典例5 设θ是钝角，则cos (2π－θ)＝________.[错解] 因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos (2π－θ)＝－cos θ，故填－cos θ.[错因分析] 上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．[正解] cos θ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos (2π－θ)＝cos θ，故填cos θ. 〔跟踪练习5〕如果cos α＝13，且α是第四象限角，则sin (α＋π)＝__223__.[解析] 由诱导公式二知，sin (α＋π)＝－sin α， ∵α是第四象限角，∴sin α＝－223∴sin (α＋π)＝223.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( D ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α<2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2．下列各式不正确的是( B ) A ．sin (α＋180°)＝－sin α B ．cos (－α＋β)＝－cos (α－β) C ．sin (－α－360°)＝－sin α D ．cos (－α－β)＝cos (α＋β) 3．cos (－20π3)等于( C )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32[解析] cos (－20π3)＝cos 20π3＝cos (6π＋2π3)＝cos 2π3＝cos (π－π3)＝－cos π3＝－12.4．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝__－1__. [解析] ∵cos (π－θ)＝－cos θ， ∴cos θ＋cos (π－θ)＝0，即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0. ∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1. 5．求值：(1)sin 1320°；(2)cos (－31π6)．[解析] (1)sin 1320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240° ＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos (－31π6)＝cos (－6π＋5π6)＝cos 5π6＝cos (π－π6)＝－cos π6＝－32.。

4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值． (1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6.类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π6＋α)＝________.反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 类型三 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式． (1)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )A ．－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( ) A ．cos α＝cos β B ．cos α＝－cos β C ．sin α＝－sin β D ．sin α＝cos β4．sin 750°＝________.5．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).1．明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．答案精析问题导学 知识点思考1 它们的对应关系如表：思考2 它们交点间对称关系如表：设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P 和P ′，因为P 和P ′关于x 轴对称，所以点P 和P ′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.梳理 函数名不变，符号看象限 一致 锐角 题型探究例1 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin(2π＋3π4)＝sin 3π4＝sin(π－π4)＝sin π4＝22.(3)sin(－43π6)＝－sin(6π＋7π6) ＝－sin 7π6＝－sin(π＋π6)＝sin π6＝12.(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°) ＝－cos 60°＝－12.跟踪训练1 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°) ＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.方法二 cos ⎝⎛⎭⎫－31π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. 例2 (1)－0.3 (2)－22跟踪训练2 －33例3 解 (1)原式＝sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝(－sin α)cos α(－cos α)sin α＝1.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.引申探究 解 当n ＝2k 时， 原式＝(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝1；当n ＝2k ＋1时， 原式＝sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝1.综上，原式＝1. 跟踪训练3 解 原式 ＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.当堂训练1．A 2.C 3.B 4.125．解 原式＝(－cos α)·sin α[－sin (α＋180°)]·cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)·(－cos α)＝1.。

高中数学北师大版必修4第一章《4.3单位圆与诱导公式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版必修4第一章《4.3单位圆与诱导公式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1) 知识目标
(1)借用单位圆识记诱导公式.
(2)理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明.
2)能力目标
(1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数学的归纳转化思想方法.
(2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.
(3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和解决问题的实践能力. 3) 情感目标
(1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神,培养学生的创新意识和创新精神.
(2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯,渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.
2学情分析
已有知识:1.任意角的三角函数定义(单位圆)
2.诱导公式(一)
学生情况:1.学生基础较差
2.学习主动性不强
3重点难点
1) 教学重点诱导公式(二)(三)的推导及应用
1) 教学难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.
4教学过程
活动1【导入】三角函数诱导公式。