2020-2021学年高考北京卷理数试题解析(正式)及答案解析

2024年北京高考数学试题+答案详解（试题部分）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ）AB ．2C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6B ．6−C ．12D ．12−5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N =8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d 1S <D ．d =1S >二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为 ．13．若直线()3y k x =−与双曲线2214xy −=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ．15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥P ABCD −中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线． (1)当1k =−时，求()f x 的单调区间. (2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACOS与ABOS分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈=，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21sT T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．2024年北京高考数学试题+答案详解（答案详解）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=−<<. 故选C. 2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −− B ．1i −+C ．1i −D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−. 故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ） AB ．2C ．3D．【答案】D【详解】根据题意得22260x y x y +−+=，即()()221310x y −++=， 则其圆心坐标为()1,3−，则圆心到直线20x y −+==故选D.4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6− C ．12 D ．12−【答案】A【分析】写出二项展开式，令432r−=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr r rr T x xr −−+==−=，令432r −=，解得2r =，即()224C 16−=. 故选A.5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立； 若()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立； “()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件. 故选B.6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【详解】根据题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点， 则12min π22T x x −==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==. 故选B.7．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N = 【答案】D【分析】根据题意分析可得12112.1,3.15ln ln S S N N −−==，消去S 即可求解. 【详解】根据题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N −−==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =. 故选D.8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD 【答案】D【详解】底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ， 可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ， 所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥， 由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ， 所以PO ⊥平面ABCD ，根据题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PFPO EF⋅==当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，这样情况不存在. 故选D.9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详解】根据题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，AB.可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，A 正确，B 错误；C.例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，C 错误；D.例如121,2x x =−=−，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==−∈−−，即12212log 32y y x x +>−=+，D 错误， 故选B. 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S > C．d 1S < D．d =1S >【答案】C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18. 已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，估计X的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】4,0【答案】()【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】1 2【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）证明见解析【18题答案】。

所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
13.若函数 的一个零点为 ，则 ________； ________．
【答案】①.1②.
【解析】
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
14.设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
5.已知函数 ，则（）
A. 在 上单调递减B. 在 上单调递增
C. 在 上单调递减D. 在 上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
1.已知全集 ，集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
2 若复数z满足 ，则 （）
A.1B.5C.7D.25
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模．
【详解】由题意有 ，故 ．
当 ， 时，因 ,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
8.若 ，则 （）
A.40B.41C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
9.已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（）

2021年普通高等学招生全国统一考试〔全国一卷〕理科数学参考答案与解析一、选择题：此题有12小题，每题5分，共60分。

1、设z=，那么|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、集合A={x|x 2-x-2>0}，那么A = A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1x 2} C 、{x|x<-1}∪{x|x>2} D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地理解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是： A 、新农村建立后，种植收入减少。

B 、新农村建立后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建立后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建立后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，假设3S3=S2+S4，a1=2，那么a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f〔x〕=x3+(a-1)x2+ax，假设f〔x〕为奇函数，那么曲线y=f〔x〕在点〔0，0〕处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f〔x〕为奇函数，有f〔x〕+f〔-x〕=0整理得:f〔x〕+f〔-x〕=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f〔x〕=x3+x求导f‘〔x〕=3x2+1f‘〔0〕=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，那么在此圆柱侧面上，从M 到N 的途径中，最短途径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。