江西省重点中学盟校2021届高三第一次联考数学(理)答案

江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学(理)试卷考试时间：120分钟分值：150分一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{0,1,2,3}A =，集合{}2|B x x x ==，则A B =（ ） A. {0,1,2.3} B. {1,0,1}-C. {1.2}D. {0,1}D利用集合交集的定义计算即可．{}{}2|0,1B x x x ===，则{}0,1A B =故选：D2. 已知复数511i z i-=+，z 的虚部是（ ）A. 1-B. i -C. 1D. iC利用复数的乘方和除法法则化简复数z ，利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.()()()25111211112i i ii z i i i i i ----=====-+++-，z i ∴=，因此，z 的虚部是1.故选：C.3. 已知1::P p a≤1，2:10q a -≥则P 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据题意，化简,p q ，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.1:p a≤1，化简可得:0p a <或1a ≥， 2:10q a -≥，化简可得:1q a ≤-或1a ≥，由{|1a a ≤-或1}a ≥ {|0a a <或1}a ≥， 可知,pq q p ⇒，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B方法点睛：判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. sin155sin35cos25cos35︒︒-︒︒=（ ）A. B. 12-C.12B根据诱导公式，以及两角和的余弦公式直接化简，即可得出结果.sin155sin35cos25cos35sin 25sin35cos25cos35︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1cos 2535cos602=-︒+︒=-︒=-.故选：B.关键点点睛：该题主要考查利用两角和的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，正确解题的关键是熟练掌握公式.5. 在6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是（ ）A. 20B.152C. 12-D. 252-C将原式变形为666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，再根据6()x y +的展开式的通项公式616rr r r T x y C -+=，分别令=5r ， 4r =求解.666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭， 6()x y +的展开式的通项公式为616rr r r T x y C -+=，令=5r 时，25x y 的系数是56123C =； 令4r =时，25x y 的系数是4615C =--，所以6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是3-15=-12，故选：C6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A. 庚午年 B. 辛未年C. 庚辰年D. 辛巳年D根据“干支纪年法”的规则判断．2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2021年是辛巳年．故选：D ．7. 已知|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A. ()()20.5log 71 2.5(1)f f f <∞<B. ()()0.52log 2.5log 7(1)f f f <<C. ()()0.52(1)log 2.5log 7f f f <<D. ()()20.5(1)log 7log 2.5f f f <<B根据|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别求得()()0.52log 2.5,log 7,(1)f f f ，再利用35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减求解.因为|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0.50.50.50.5|log 2.51||log 2.51|og 5og 0502..3333log 2.55555l l f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22|log 71|log 2 3.533log 755f -=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，03(1)5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0.50.5222log 0.2log 0.252,1log 2log 3.5log 42>==<<=，所以0.52log 0.2log 3.50>>，又35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，所以0.52og log00.2 3.5333 555 l⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝<⎭⎭<，即()()0.52log 2.5log7(1)f f f<<，故选：B8. 若函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos2y xω=的图象重合，则ω的值可能为（）A. 1-B. 2-C.12- D.14-C写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得ω的表达式，比较可得．函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得图象的解析式为1sin2()sin2633y x xππωωωπ-⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，它与cos2y xω=相同，则1232kωπππ--=+，16,2k k Zω=--∈，只有C满足．故选：C．9. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，//EF AB，3332AB EF AD===，ADE和BCF△都是正三角形，则该五面体的体积为（）A.23B.232 D.322A把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ AB⊥，垂足为Q，连接OQ，交CD于G，得到四棱锥F BCGQ-，同理得到四棱锥E ADMN-，可得F BCGQ E ADMNV V--=，如图所示，因为ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形，所以11()1,3,122OP AB EF PF OQ BC =-====，可得222OF PF OP =-=，所以112212233E ADMN F BCGQ BCGQ V V S OF --==⋅=⨯⨯⨯=，中间部分三棱柱FGQ EMN -为直三棱柱， 其体积为 122122FGQ EMN FGQV SEF -=⨯=⨯⨯⨯=， 所以该五面体的体积为22722233FGQ EMN E ADMN F BCGQ V V V V ---=+==+⨯=.故选：A.求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.10. 在三角形ABC 中，E ､F 分别为AC ､AB 上的点，BE 与CF 交于点Q 且2AE EC →→=，3AF FB →→=，AQ 交BC 于点D ，AQ QD λ→→=，则λ的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6C由题得2(1)3AQ x AB x AC →→→=+-，3(1)4AQ y AC y AB →→→=+-，求出,x y 的值，再根据1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+，,,B D C 共线，得解.因为,,B Q E 三点共线，所以2(1)(1)3AQ x AB x AE x AB x AC →→→→→=+-=+-,因为,,C Q F 三点共线，所以3(1)(1)4AQ y AC y AF y AC y AB →→→→→=+-=+-,所以3(1)114,.223(1)3x y x y y x ⎧=-⎪⎪∴==⎨⎪=-⎪⎩， 所以11=,231AQ AB AC AD λλ→→→→=++ 所以1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+， 因为,,B D C 共线， 所以1+11,523λλλλλ++=∴=.故选：C 结论点睛：如果,,A B C 三点共线，则1212(1)OA OB OC λλλλ→→→=++=，要根据已知条件灵活运用这个结论解题.11. 已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A. B.53C.D.94A根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率． 设左焦点为'F ，AF m =，连接','AF CF ，则3FC m = ，'2AF a m =+ ，'23CF a m =+，'2FF c =， 因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ， 所以四边形'FAF B 为矩形，在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =， 将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++， 化简得m a =，所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =，即10e ，故选：A.关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.12. 设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ） A. 2e - B. 11e -+ C. 1e -+ D. 1e --C令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值，即可得解. 令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥. ①当1k ≤时，()110f x k x'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；②当1k >时，令()0f x '=，可得11x k =-. 当101x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当11x k >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 即()ln 11b k k ≥----，()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----，设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-，则()2ln 1t g t t+'=， 当10<<t e 时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，当1t e>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.所以，()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C.结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13. 已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____．10作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．作出可行域，如图ABC 及其内部（含边界），其中()0,1A ，()2,0B ，()4,2C ，作直线30x y -=，由3z x y =-得3y x z =-，直线向下平移时截距减小，z 增大， 当直线l 过()4,2C 时，max 34210z =⨯-=， 故答案为：10.14. 已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数() f x 在2x π=处的切线方程为_____．2y =先求出切线的斜率，再求出切线的方程.详解】当0x <时，()=cos f x x '，所以()=cos()022f ππ'--=，因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同，所以()()=022f f ππ''=-，所以切线的斜率为0，又因为()()[sin()1]2222f f πππ=--=---=， 所以切线方程为2y =. 故答案为：2y =结论点睛：曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，这个结论要理解记住并熟练利用.15. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A.B 两点，且A.B 两点在准线上的射影分别为M.N ，AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，则MFN △的面积为_____． 2根据题意，画出图形，结合抛物线的定义以及三角形的面积公式，根据题中所给的条件，列出等量关系，求得结果.【详解】设,,MAF AF a BF b θ∠===，由抛物线定义可得,AM a BN b ==， 且180********AFM BFN ︒-∠+︒-∠=︒，故90AFM BFN ∠+∠=︒， 故90MFO NFO ∠+∠=︒即MF NF ⊥.设MAF θ∠=，则由余弦定理得222(1cos )MF a θ=-，222(1cos )NF b θ=+，2211sin ,sin 22MAFNBFSa Sb θθ== 因为AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，所以有2211sin sin 122a b θθ⋅=，即222sin 4a b θ=，所以2222221()()sin 44MFN S MF NF a b θ===，所以MFN △的面积为2， 故答案：2.关键点点睛：该题考查的是有关抛物线中的三角形的面积的求解问题，正确解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，得到其相应的性质.16. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，22CD AD AB ===，若动点Q 在平面P AD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥- Q ACD 的体积最大时的外接球的体积为_____． 40103π 根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为22，即三棱锥 - Q ACD 的高的最大值为22，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ， 因为Q 在PAD △内及边上，所以QA 、QD 在平面PAD 内， 所以AB QA ⊥，CD QD ⊥， 所以在Rt CDQ △内，tan CD CQD DQ ∠=，在Rt ABQ △内，tan ABBQA QA=，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD AB DQ QA=，因为2,2CD AB ==， 所以2QD AQ=，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点O ，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系： 则(1,0)D -，(1,0)A ，设(,)P x y ，则22||(1)DQ x y =++，22||(1)QA x y =-+，由2QD AQ =得2222(1)2(1)x y x y ++=⋅-+，化简得22(3)8x y -+=， 所以动点Q 在平面P AD 内运动，Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，如图所示，当Q 在过圆心的垂线时点Q 到DA 的距离最大为半径22，也就是三棱锥Q ACD -的高的最大值为22，下面的计算不妨设点Q 在x 轴上方，QAD 外接圆圆心在DA 中垂线上，即y 轴上，设外接圆圆心N ，半径r ，则2sin DQr DAQ=∠，而22,2,4QS AS DS ===，故()()222222223,42226AQ DQ =+==+=，222sin sin 233QS DAQ QAS AQ ∠=∠===，所以32266sin 2DQ r DAQ ==⨯=∠，故3AN r ==，则223122ON =-=.如图三棱锥Q ACD -，CD ⊥平面PAD ，2CD AD ==，ACD △的外接圆圆心在斜边中点M 上，过M ，N 作平面ACD 和平面QAD 的垂线，交于点I ，即是三棱锥外接球球心，因为12,222DM AC IM ON ====， 所以三棱锥Q ACD -外接球半径()()222222210R DI DM IM ==+=+=，所以三棱锥Q ACD -的外接球的体积为3344333V R ππ===.故答案为：3. 方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第T ~22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分17. 已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 前三项依次为11a -，22a +，33a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．（1）6n a n =-，1342n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）211388222nn n n S ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设求出d 即可求得n a ，进而求得等比数列{}n b 的首项1b 和公比q ，即可求得n b ；（2）先由（1）求得n n a b +，再利用分组求和法求得其前n 项和n S 即可. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：2(7)4(156),1d d d +=⨯+∴=-，或11d =（舍）6n a n ∴=-又11254,6b a b =-==，∴公比133422n n q b -⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭（2）13 6,42nn na n b-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭1122n n nS a b a b a b=++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯++()()1212n na a ab b b=++⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯211388222nnn ns⎛⎫∴=-+-+ ⎪⎝⎭．思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出数列的公差，利用题中所给的条件，建立等量关系式，求得公差，根据首项，写出{}n a的通项，进而求得{}n b的首项和公比，求得其通项公式；（2）结合（1）的结论，利用分组求和法，求得其前n项和n S.18. 如图，在三棱锥A BCD-中，ABD△是等边三角形，2AC=，2BC CD==，BC CD⊥，E为空间内一点，且CDE△为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若2BE=，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．（1）证明见解析；（26（1）取BD的中点O，连接OC，OA，证明二面角A BD C--的平面角AOC∠是直角，得面面垂直；（2）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，不妨令E在平面BCD上方，取CD的中点F，连接OF，EF，可证明CD⊥平面EOF，得证平面EOF⊥平面OCD，EFOπθ∠=-，得出各点坐标，由2BE=求得cosθ，得出E点坐标，再求出两个平面的法向量，由法向量夹角得二面角．解：（1）取BD的中点O，连接OC，OA，因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，又因为2BC CD ==，所以OC BD⊥112CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥ 又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角， ∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，22OF =，6EF =，设EFO πθ∠=-，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，3)A ，(0,1,0)B -1111211132cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13336232cos 2,cos ,sin ,,,22444BE E θθθ⎛=+=∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-，13,,444CE ⎛=- ⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0136044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,3n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =，所以|cos ,|4OC n〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由．（1）22143x y +=；（2）不存在这样的点D ，理由见解析.（1）由题意可得2a =，设点()11,A x y ，()22B x y ，利用点差法可得22AB OMk k b a=-⋅，即可求出b ，从而得解；（2）设直线:(1)l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点M ，假设存在点D ，求出MD 的直线方程，从而得到D 点坐标，利用弦长公式求出AB 、MD ，由ABD △为等边三角形，则||||MD AB =，即可得到方程，即可判断； 解（1）由题意可知：24a =，所以2a =设点()11,A x y ，()22B x y ，A ，B 在椭圆上2211221x y a b∴+=．．．．．．．．．．．．．．① 2222221x y a b +=．．．．．．．．．．．．．．．② 因为34AB OM k k ⋅=-2112211234y y y y x x x x -+∴⋅=--+．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 由③得2234b a -=-23b ∴=∴椭圆C 方程为：22143x y +=（2）设直线:(1)l y k x =-联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k-∴+==++ ()()()2121212228623112344k ky y k x x x k k k k x k k k =-+-=-∴=-+⨯++-=+ 22243,3434k k M k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，假设存在点D ，则MD 的直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭ 20,34k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭所以()2122121||34k AB x k +=-==+．||0MD =-=若ABD △为等边三角形则：||||MD AB =()2221214||23434k k k k+=++即223270k +=，方程无实数解， ∴不存在这样的点D(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C ︒)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25,30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x (单位：瓶)的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位：瓶)应满足什么条件? （1）答案见解析；（2）267400n ≤≤.（1）根据题意，求得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；（2）由题意得出200500n ≤≤，分别求得300500n ≤≤和200300n ≤<时，12(,)()E Y E Y ，再令1)(700E Y ≥和2)(700E Y ≥，即可求解.（1）依题意，可得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，． 由表格数据知273627(500)0.3,(300)0.4,(200)0.3909090P x P x P x =========， 因此分布列为（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶， 因此只需考虑200500n ≤≤， 当300500n ≤≤时，1(0.3[20032(200)]0.4[3003(300)2]0.339000.5)E Y n n n n =⨯⨯--+⨯--⨯+⨯=-，令1)(700E Y ≥，即9000.5700n -≥，解得400n ≤． 当200300n ≤<时，2()0.3[20032(200)]0.73 1.5n 300E Y n n =⨯⨯--+⨯=+令2)(700E Y ≥，即1.5n 300700+≥，解得 8003n ≥， 因为n Z ∈，所以267n ≥， 综上可得267400n ≤≤. 21. 已知函数ln()()ax f x ax=． （1）讨论函数()f x 的单调区间． （2）若当1a =时，()9()2()f x F x f x ex=+，求证：()0F x > （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）对函数()f x 求导，分0a >和0a <两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；（2）要证()0F x >，由于0x >，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，对函数求导并化简，构造()(1ln )ln h x x x x =-+二次求导，令分子为()2ln 1x x x ϕ=-+，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数()h x 的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证． （1）()21ln ()ax f x ax -'=， 当0a >，定义域为(0,)+∞，令()0f x '>，得0e x a <<，()0f x '<得e x a> ()f x ∴在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减当0a <，定义域为(,0)-∞，令()0f x '>，得ex a <，()0f x '<得0e x a<< ()f x ∴在,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（2）要证()0F x >，0x，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，则ln ln ln 221ln 12m ()2ln 2[ln (1ln )]xxx xxxxex ex e x x x x x x-'=⋅⋅+⋅=-+， 设()(1ln )ln h x x x x =-+，则12ln 2ln 1()1x x x h x x x x'-+=-+=， 令()2ln 1x x x ϕ=-+，其中0x >，22()1x x x xϕ-'=-=． 当02x <<时，()0x ϕ'<，此时函数()ϕx 单调递减；所以，min ()(2)32ln 20x ϕϕ==->，则对任意的0x >，()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，因为11111ln ln 02222h ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)10h =>，由零点存在定理可知，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=，可得000ln 1ln 1x x x =-．当00x x <<时，h(x)<0，即()0F x '<，此时函数()F x 单调递减；当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，此时函数()F x 单调递增．()0000ln 11ln 1ln 2min 000009m()m 2ln 92ln 9ln 2ln x x x x x x e x ex x e x --⎛⎫∴==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令1121022929ln (ln 2,0),()2,()0(1)t t t x p t e p t e t t t '--=∈-=+=--<-， 则函数()p t 在(ln 2,0)t ∈-时单调递减， 所以，1ln 229()(ln 2)20ln 2p t p e -+<-=-<，所以，()min 0m()0x m x => 因此，对任意的0x >，m()0x >，即()0F x >．方法点睛：本题考查导函数在函数单调性和极值以及最值中的应用，考查导数证明不等式，考查分类讨论思想，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1. 先求出原函数的定义域；2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为44241121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）写出曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．（1）221(0)x y y +=≥，80x -=；（2）最小值3，最大值3. （1）用消元法得1C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程； （2）求出P 到直线2C 的距离的最大值和最小值后可得结论．（1）曲线1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥直线2C 的普通方程为80x -=．（2）曲线1C 上任意一点(cos ,sin )[0,]P θθθπ∈到2C 的距离为1|cos 8|cos 423d πθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭．则cos 4sin 603d PA πθ⎛⎫==+- ⎪︒⎝⎭，当0θ=，||PA 取得最小值，最小值为3．当23πθ=，||PA 取得最大值，最达值为3． 关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式．化参数方程为直角坐标方程时，注意变量的取值范围，本题中0y ≥，对圆来讲可以用参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示圆上的点，从而求得点到直线的距离，利用三角函数知识求得最值．这里仍然要注意θ的范围是[0,]π．23. 已知a ，b ，c 为正数．（1）证明233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥； （2）求4444111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值．（1）证明见解析；（2）（1）利用基本不等式可证得命题成立；（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．（1）证明a ，b ，c 均为正数，23322223232b a c a c b a b a c b c∴+≥+≥+≥ 以上三式相加，得233263232b a c a c b a b a c b c +++++≥ 2332111333223b c a c a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥．（当且仅当32a b c ==时等号成立） （2）因为0a >，0b >，0c >，444444343111813()()a b c abc a b c abc ⎛⎛⎫∴+++++≥=+ ⎪ ⎝⎭⎝≥= 当且仅当383a b c ===，即时等号成立．所以原式的最小值为。

2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知()12i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】首先化简z ，得到1322z i =+，再求出1322z i =-，判断对应的点位于的象限即可. 【详解】因为()12i z i -=+，所以22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i ++++++====+--+. 所以1322z i =-，对应的点为13(,)22-，位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题. 2．设全集U =R ，(){}2lg 6A x y x x ==--，{}2,0xB y y x ==<，则() UA B =（ ）A ．{2x x <-或}1x ≥B ．{0x x ≤或}1x ≥ C ．{2x x <-或}3x > D ．{}33x x -<<【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集和并集的定义可求得集合() UA B .【详解】(){}{}{22lg 6602A x y x x x x x x x ==--=-->=<-或}3x >，{}{}2,001x B y y x y y ==<=<<，{0U B y y ∴=≤或}1y ≥，因此，(){ 0UA B x x ⋃=≤或}1x ≥.故选：B. 【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，35a =，若5a 是2a 和14a 的等比中项，则d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】首先根据题意得到25214a a a =⋅，再转化为2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+，计算d 即可.【详解】由题知：25214a a a =⋅，即：2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+， 整理得：222233333441111a a d d a a d a d d ++=+--.因为0d ≠，所以1530d =，解得2d =. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项，属于简单题 4．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),0π-函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin x y e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.当()x k k Z π≠∈时，()sin sin x x e x e x -⋅-≠-，所以，函数sin x y e x =不是奇函数，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．已知log 9log 9n m >，则下列结论中一定不正确的是（ ） A ．1m n >> B ．10n m >>>C ．10n m >>>D ．10m n >>>【答案】C【解析】分log 9log 90n m >>、log 90log 9n m >>和0log 9log 9n m >>，利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论. 【详解】分以下三种情况讨论：①当log 9log 90n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0m n ∴>>，可得1m n >>；②当log 90log 9n m >>时，由换底公式得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg 0lg n m ∴>>，可得10n m >>>；③当0log 9log 9n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0n m ∴<<，可得01n m <<<.综上所述，不可能的是10n m >>>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系，考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知()1312axdx a =>⎰，则5ax ⎫-⎪⎭的展开式中的2x 的系数为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】首先根据微积分定理得到2a =，再求出52x⎫⎪⎭展开式的通项532215(2)rr r r T C x -++=-⋅⋅，即可得到答案. 【详解】 由题知：221113|2222aa x a xdx ==-=⎰，因为1a >，所以2a =.所以52x⎫-⎪⎭展开式的通项53522155(2)(2)r r r r r rr T C x C x -+-+=⋅⋅-=-⋅⋅.令53222r -+=，得：3r =. 故展开式中的2x 的系数为335(2)80C -⋅=-.故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题.7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D【解析】首先根据题意分别算出()n A 和()n AB ，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题知：事件A ：甲和乙至少一人选择庐山共有：1123()17n A C C =⋅+=种情况， 事件AB ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有1123()6n AB C C =⋅=种情况，()()6=()7n AB P B A n A =. 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．把函数()cos cos2f x x x x =+的图像先向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，再将()g x 的图像上的所有点的横坐标变成原来的12，得到函数()h x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为2π B ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图像的一个对称中心 C ．函数()h x 图像的一条对称轴方程为6x π=D ．函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C【解析】由三角公式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移变换及周期变换得到()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时242T ππ==，故A 错误； 当56x π=时，55662sin 416h πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误；当6x π=时，2sin 46626h πππ⎛⎫=⨯-= ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则574666x πππ-≤-≤， 因为函数sin y x =在57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调函数， 则函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单不是单调函数，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.9．生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字09-和字母A F -共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，15A B +=，1C F B +=，则B B ⨯=（ ） A ．2B B ．79C ．4BD ．81【答案】B【解析】首先计算出B B ⨯的值，再根据十六进制的含义表示出结果. 【详解】解：∵1111121B B ⨯=⨯=，121167÷=余9， 9160÷=余9，∴用十六进制表示为79. 故选：B. 【点睛】本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '>，若()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为（ ）A ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin g x f x x =-，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，进而可得出该函数在[)0,+∞上单调递减，将所求不等式变形为()3g t g t π⎛⎫≤-⎪⎝⎭，可得()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，可得出3t t π≥-，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】由()()2sin f x f x x --=可得()()sin sin f x x f x x -=-+，构造函数()()sin g x f x x =-，则()()()()()sin sin g x f x x f x x g x -=---=-+=， 所以，函数()y g x =为偶函数，当0x ≤时，()()cos 1cos 0g x f x x x ''=->-≥，所以，函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，则该函数在[)0,+∞上单调递减，13sin sin sin sin sin 3226t t t t t t t t ππ⎫⎛⎫⎛⎫--=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()sin sin 33f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =在[)0,+∞上单调递减，所以，3t t π≥-，解得6t π≥. 因此，实数t 的取值范围是,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数()()sin g x f x x =-是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 11．已知ABC 的面积为2，23A π=，P 为线段BC 上一点，2PC BP =，点P在线段AB 和AC 上的投影分别为点,M N ，则PMN 的面积为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】B【解析】首先利用三角形的面积公式得到833AB AC ⋅=，之后根据比值得到小三角形的面积，进而求得43PM PN ⋅=，之后应用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为ABC 的面积为2，23A π=，所以3sin A =，所以1sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅=，即33AB AC ⋅=， 因为2PC BP =，所以12ABP ACP S S ∆∆=， 又因为1122233ABP S AB PM ∆=⋅⋅=⨯=，所以43AB PM ⋅=， 同理可得83AC PN ⋅=，所以329AB PM AC PN ⋅⋅⋅=，因为AB AC ⋅=，所以PM PN ⋅=因为sin sin()2NPM A π∠=-=所以111sin()22923PMN S PM PN A π∆=⋅⋅⋅-=⨯=， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，属于中档题.12．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为4，直线l 与双曲线C 的渐近线分别交于,A B 两点，若AB 的中点在双曲线C 上，O 为坐标原点，且ABO C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．2【答案】C【解析】由渐近线设1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求出中点,代入双曲线方程可得212x x a =，设1l 的倾斜角为α，利用三角形面积公式1sin 22S OA OB α=，化简可得ab =,a b ，进而可得离心率. 【详解】由题意可知,A B 只能在双曲线的同侧，当交点,A B 在y 轴右侧时，作图如下：双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，则渐近线方程为：b y x a =±.则1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB 的中点()1212,22b x x x x M a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭在双曲线C 上，可得:()()22121222144x x x x a a +--=,即212x x a =. 设1l 的倾斜角为α，则tan baα=， 又因为ABO 的面积1sin sin 2cos cos sin cos 2cos S OA OB OA OB OA OB ααααααα===212tan 3bx xa ab aα==⋅==， 222+=a b c ，24c =，解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故离心率为：23c e a ==或2. 同理可知当交点,A B 在y 轴左侧，利用对称性，可转化为在y 轴右侧情况. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算求解能力以及转化思想，属于难题.二、填空题13．若某班40名同学某次考试数学成绩X （满分150分）近似服从正态分布()290,N σ，已知()60900.35P X <<=，则可估计该班120分以上的人数约为______.【答案】6【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，得到考试的成绩X 关于90X =对称，根据()60900.35P X <<=，得到()90120P X <<，进而可得到()120P X >，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数. 【详解】解：∵考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，∴考试的成绩X 关于90X =对称， ∵()60900.35P X <<=，∴()()9012060900.35P X P X <<=<<=，()()()19012060901200.152P X P X P X -<<-<<∴>==，∴该班数学成绩在120分以上的人数约为400.156⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于90X =对称，利用对称求出要用的一段分数的频率，题目得解.14．已知实数,x y 满足不等式组1021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1,【解析】画出可行域，将目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，转化为目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距最大，得出直线的斜率范围，从而求得a 的取值范围. 【详解】作出可行域如图所示，目标函数z x ay =+，令0y =，则z x =，即目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距 最大，如图旋转l 并观察，则l 的斜率k ∈(1,0)-，即110a-<-<，得1a >. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查了线性规划中目标函数仅在某点处取最值的问题，解题的关键在于画出可行域，转化为目标函数仅在过该点取最值，确定直线的斜率的范围.15．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，则过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为______.【答案】3【解析】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,根据面面平行的判定定理可证得面1//A EB 面1FHB G ,求出边长，及对角线长，根据菱形的面积公式即可求出结果. 【详解】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,由平行性质可知1//FH GB 且1FH GB =，即四边形1FHB G 为平行四边形，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，1233AE AD ==, ∴1//,//BE FH A E GF ,∴//BE 面1FHB G ,1//A E 面1FHB G ,1,A E EB E ⋂= ∴面1//A EB 面1FHB G ,FH EB ===1FG A E ===,∴四边形1FHB G 为菱形，1GH A E ==∴ 13B F ===.截面面积1112233S GH B F =⨯=⨯=【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4，点(),P x y 是抛物线C 上任意一点，则()2241xy y y x +++的最大值为______. 【答案】15【解析】由抛物线的通径公式可求得4a =，由()2241xy y y x +++取最大值可得出0y >，利用基本不等式求得11x y+≥，由()()22141411xy yx y y x x y+=+++++，设11x t y +=≥，()14f t t t =+，利用双勾函数的单调性可求得()2241xy y y x +++的最大值.【详解】已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4a =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，当0y >时，2111142144y x y y y y y y++==+≥⋅=，当且仅当12y =时，等号成立， 所以，()()()()2222114141411x yxy yx y y x y x x y++==+++++++，当()2241xy y y x +++取最大值时，0y >，且11x y+≥， 令1x t y +=，则1t ≥，由双勾函数的单调性可知，函数()14f t t t=+在[)1,+∞上单调递增， 因此，当11x y +=时，()2241xy y y x +++取得最大值15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用基本不等式和双勾函数求代数式的最值，同时也考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对应的边长分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积2sin S a B =，且sin sin sin A B C =. （1）求角B ；（2）求22b a的值.【答案】（1）6B π=；（2）225b a=-.【解析】（1）由21sin sin 2S a B ac B ==可得出2c a =，再由sin sin sin A B C =结合正弦定理边角互化思想可求得sin B 的值，再由角B 为锐角可求得角B 的值；（2）由（1）可得2c a =，再由余弦定理可求得22b a的值.【详解】（1）因为21sin sin 2S a B ac B ==，所以2c a =， 而sin sin sin A B C =，即sin a c B =，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以6B π=；（2）由（1）知2c a =，又因为6B π=，则cos B =由余弦定理得(2222222cos 545b a c ac B a a a =+-=-=-，因此，225b a =-.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴长为C 经过点3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点,P Q 是椭圆C 上关于原点的对称点，记AP AQ λ=⋅，求λ的取值范围.【答案】（1）22143y x +=（2）31,44λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先由短轴长求出b ，再将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程可得a ，进而可得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由点,P Q 在椭圆C 上得到220334y x =-，代入点的坐标可得201144AP AQ y λ=⋅==-，由20y 的范围可得λ的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2b =b =将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程得：221914a b+=，又因为b =2a =，所以椭圆C 的方程为22143y x +=；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，有2200143y x +=，即2200334y x =-， 则000033,1,122AP AQ x y x y λ⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222000003991113144444y x y y y ⎛⎫=-+-=--+-=- ⎪⎝⎭， 又因为[]200,4y ∈，所以201131,4444y λ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆的对称性及有界性的应用，是中档题.19．如图所示，正方形ABCD 边长为2，将ABD △沿BD 翻折到PBD △的位置，使得二面角P BD A --的大小为120︒.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）点M 在直线PD 上，且直线BM 与平面ABCD 3M BC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）57【解析】（1）根据已知可得,AE BD PE BD ⊥⊥，证明得BD ⊥平面PAC ，即可证明结论；（2）由（1）得PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒，建立如下图直角坐标系，得出,,,D B C P 坐标，设DM DP λ=，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出λ，确定DM 坐标，分别求出平面MBC 和平面PBC 法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设AC 交BD 于点E ，连接PE ，即E 为BD 中点， 又因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为PD PB =，所以PE BD ⊥ 由于AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，AE PE E ⋂= 所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）因为,AE BD PE BD ⊥⊥，所以PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒， 得60PEC ∠=︒，由2AB =，2EP EC PC ===以D 点为原点建立如图空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，136,22P ⎛⎝⎭， 设136(,)22DM DP λλλ==， 所以1362,22BM BD DM λλ⎛⎫=+=--⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量可为()0,0,1n =， 因为直线BM 与平面ABCD 3所以222632cos ,213622222n BM n BM n BMλλλλ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2λ=，所以(6BM =-，()2,0,0CB =，设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11116020x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，令16y =()10,6,1n =-，因为11,,222CP ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200n CP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22221102220x y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，得()20,6,1n =， 所以121265cos 77n n n n θ⋅===， 即二面角M BC P --的余弦值为57. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，以及应用空间向量法求线面与面面所成的角，注意空间垂直关系相互转化，考查逻辑推理和计算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()()1axf x x e =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）()()g x f x x =+在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）e e0xy （2）(],2-∞【解析】（1）首先求导()xf x xe '=，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.（2）首先根据题意得到()0g x '≥恒成立，令0x =，得到()20g x a '=-≥，即2a ≤，再分类讨论a 的范围证明()g x 在R 上单调递增即可. 【详解】（1）当1a =时，()()1xf x x e =-，()xf x xe '=所以()10f =，切点为(1,0)，()1k f e '== 所以切线方程为()01y e x -=-，即e e 0x y（2）()()1axg x x e x =-+所以()()()1111axaxaxg x e a x e ax a e '=+-+=-++因为()g x 在R 上单调递增，则()0g x '≥恒成立， 令0x =，则()20g x a '=-≥，得2a ≤ 下面证当2a ≤时，()g x 在R 上单调递增. 构造函数()()1,2axF x ax a ex R a -=-++∈≤()()1ax ax F x a ae a e --'=-=-当0a <时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==->，即10ax ax a e --++>恒成立，整理得：()11axax a e-+>-恒成立，即：()()110axg x ax a e '=-++>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增. 当0a =时，()21g x x =-显然在R 上单调递增.当02a <≤时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==-≥，即：10ax ax a e --++≥恒成立，整理得：()11axax a e -+≥-恒成立，从而()()110axg x ax a e '=-++≥恒成立，所以()g x 在R 上单调递增.综上，实数a 的取值范围为(],2-∞ 【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义中的切线问题，第二问考查利用导数研究函数的单调性，根据题意构造函数为解题的关键，属于难题.(1)求出数列{}n P 的通项公式和1n S +的表达式；(2)设该人进行一次答题活动中获得的积分记为X ，该人答对每道题的概率设为45p =，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .（估算时请使用以下数据：540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，计算结果保留到小数点后两位.） 【答案】(1)()()211nn P n p p =+-；()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦；(2)分布列见解析；期望为2.97.【解析】(1)根据题意可知，该人共答了2n +道题，前1n +道题中答错1题且最后一题是答错的，由此列式即可求出n P ，然后利用错位相减法即可求出1n S +；(2)求出X 的所有可能取值并求出相应的概率，然后列出X 的分布列，根据数学期望公式即可求出EX . 【详解】(1)由题意知，答题过程中每次均有两题答错后离场，且最后一题一定是答错的，故()()211(1)(1)11n nn n P C p p p n p p +=-⋅-=+-，所以()()22111231n n S p p p n p +⎡⎤=-+++++⎣⎦①，()()22311123...1n n n pS p p p p np n p ++⎡⎤=-++++++⎣⎦②，①－②得：()()()()()1222311111111111n nn n n p p S p p p p p n pp n p p ++++⎡⎤-⎡⎤-=-+++++-+=--+⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 故()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦.(2)X 的所有可能取值为03,6,()501234540120.345P X P P P P P S ⎛⎫==++++==-⨯≈ ⎪⎝⎭，()51056789104443230.3355P X P P P P P S S ⎛⎫⎛⎫==++++=-=⨯-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()61030.33P X P X P X ==-=-=≈，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望00.3430.3360.33 2.97EX =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查二项分布，事件独立性的概率计算及数学期望的计算，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.22．在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为k 的直线l 经过点P .（1）若1k =时，写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于不同的两点,A B ，求线段AB 的中点M 的在直角坐标系中的轨迹方程.【答案】（1）10x y -+=；()2211x y -+=（2）221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解；(2)方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 的方程联立，根据参数的几何意义求得()12cos 2M A B t t t α=+=，代入直线方程求得()212cos ,2sin cos M ααα-+化简消参即可得出结果. 方法二: 由于直线l 的斜率存在，设直线():1l y k x =+，与曲线C 方程联立，根据韦达定理可得2122121M x x k x k+-==+，代入直线求得()2211M M k y k x k =+=+，化简可得221M M x y +=，即可得出结果. 【详解】解：（1）P 点的直角坐标为()1,0-，所以直线:10l x y -+=22cos ρρθ=，可得222x y x +=，即()2211x y -+=（2）如图可知，直线和圆相切时，6πα=±.方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）由于直线l 和曲线C 相交，所以,66ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭联立直线l 和曲线C 的方程可得24cos 30t t α-+=()12cos 2M A B t t t α=+= 所以()212cos ,2sin cos M ααα-+，即()cos2,sin 2M αα因此221M M x y +=，其中1cos 2,12M x α⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦即点M 的轨迹方程为221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦方法二：显然直线l 的斜率存在，不妨设为k ，即直线():1l y kx =+， 与()2211x y -+=联立可得：()()22221220k x k x k ++-+=，()()222222410k k k =--+>△，可以解得213k <，即：k << 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2122221k x x k-+=+，所以2122121M x x k x k +-==+， 可得()2211M M k y k x k =+=+ 所以()()2222422422222222121241211111M M k k k k k k k x y k k k k ⎛⎫--++++⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++ 另一方面，由于213k <，所以2221211,1112M k x k k -⎛⎤==-∈ ⎥++⎝⎦ 综上，点M 的轨迹方程为211x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查利用参数方程和韦达定理解决直线和圆的关系中的轨迹法问题，属于中档题.23．设函数()x x =，()21g x x =-.（1）解不等式()()2f x g x +≤；（2）若()()22f x g x ax +>-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭（2）[]4,4- 【解析】(1) 零点分区间，去掉绝对值，()()f x g x +写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)()()2f x g x +零点区间讨论写成分段函数，分别讨论在每一个区间()()22f x g x ax +>-恒成立时，参数满足的情况即可得解.【详解】解：（1）()()131,21211,0213,0x x f x g x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，312x -≤，即33x ≤，即1x ≤，即1x ≤，即112x ≤≤ 当102x <<时，12-≤x ，即1x ≥-，即102x << 当0x ≤时，312x -+≤，即13x ≥，即103x -≤≤ 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）()()141,2122211,0214,0x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，412x ax ->-，即()410a x -+> 所以()4014102a a -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩，得4a ≤ 当102x <<时，12ax >-，即30ax -<，所以132a ≤，即6a ≤ 当0x ≤时，142x ax ->-，即()430a x +-<，40a +≥即可，即4a ≥-综上所述，44a -≤≤，即a 的取值范围为[]4,4-【点睛】本题考查零点区间讨论法在解绝对值不等式中的应用，考查绝对值不等式恒成立时求解参数问题，属于中档题.。

江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2430A x x x =-+>，{}0B x x a =-≤，若B A R ⋃=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 2．已知复数z 满足121i i z+=-（i 为虚数单位），则z （z 为z 的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“()()3322a b ->-”是“lg lg a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A ．27B ．514C ．37D ．1021 5．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位6．若x ，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则4z x y =+的最小值为（ ）A ．26B ．4C ．265D ．26-7．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：C ）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（ ）A ．33CB ．34C C ．35CD ．35.5C8．已知双曲线C：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．39．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x-<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a << 10．如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．32πB ．C ．41πD ． 11．设()2,0A -，()2,0B ，O 为坐标原点，点P 满足2216PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围为（ ）A ．⎡-⎣B ．(),⎡-∞-⋃+∞⎣C ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．⎡⎢⎣⎦ 12．已知函数()x f x ax e =-与函数()ln 1g x x x =+的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,e -+∞B ．1,2e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),1e -∞-二、填空题13．在ABCD 中，AD 与DC 的夹角为23π，1AD =，2DC =，DE EC =，则AE DB ⋅=________14．若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为________. 15．数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+（*n N ∈），则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++=________16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，M 分别为棱AB ，11A D ，11D C 的中点，过点M 与平面CEF 平行的平面与AB 交于点N ，则四面体NCEF 的体积为________三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+．（1）求角C 的大小（2）若28a b +=，且ABC 的面积为ABC 的周长．18．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF 平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点E ⎛ ⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ MN的最小值．21．已知函数211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）记函数()f x 的导函数是()'f x ，若不等式()()f x xf x '<对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()2g x f x a =+，()'g x 是函数()g x 的导函数，若函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ，且()()()1212g x g x g x x '+≥，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线221:194x y C +=，曲线233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA 的最大值.23．已知函数()21f x x m x =+--．（1）若2m =，求不等式()30f x +<的解集；（2）若()f x 的图象与直线1y =有且仅有1个公共点，求m 的值．参考答案1．B【分析】先解出集合A 、B ，然后利用B A R ⋃=，求解a 的取值范围.【详解】 集合{}{2430>3A x x x x x =-+>=或}1x <，{}{}0=|B x x a x x a =-≤≤， 若B A R ⋃=，则3a ≥.故选：B.2．C【分析】结合复数的除法性质可求出z ，进而可求出z ，即可明确z 在复平面内对应的点，从而可选出正确答案.【详解】 解：因为121i i z+=-，所以()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+--+， 所以1322z i =-- 在复平面内对应的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限. 故选:C.3．B【分析】分别证明充分性和必要性即可得出正确选项.【详解】充分性证明：取()()332222a b a b ->-⇒->-，明显地有，a b >，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出lg lg a b >，所以，充分性不成立；必要性证明：lg lg a b >0a b ⇒>>，可得()()332222a b a b ->-⇒->-， 所以，必要性成立；故选：B.4．D【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学. 现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数59126n C ==， 每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为()()3221112132332260m CC C C C C =+=， 则每个宣传小组至少选派1人的概率为601012621m P n ===. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可.5．A【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，从而确定解析式，再利用诱导公式与平移变换法则求解即可.【详解】 由图可知周期满足7πππ41234T =-=， 故πT =，∴2π2T ω==， 2,32ππk k Z ϕπ⨯+=+∈， 2πϕ<，∴π6ϕ=-， 即()ππcos 2sin 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将()πsin 26f x x ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向右平移π6个单位，得到sin 2y x =. 故选：A .【点睛】 由图象求三角函数解析的方法：利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.6．B【分析】求目标函数的最值，先准确地作出可行域，再确定目标函数的几何意义，根据题意确定取得最优解的点进而求出目标函数的最值.【详解】由题意可知，如上图，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包含边界）， 目标函数4z x y =+变为1144y x z =-+， 当直线1144y x z =-+经过点()4,0时， z 值最小，114z =，故min 4z =. 故选：B.【点睛】 易错点睛：本题由于三条直线能够围成一个三角形，很自然的会将其看作是可行域，实际上，在判断可行域时，一定要验证一下原点是否在可行域内再确定.7．A【分析】求出x 的平均数x ，y 的平均数y ，将(),x y 代入0.25y x k =+可求得k 的值，在即将52x =代入即可求解.【详解】2030405060405x ++++==，2527.52932.536305y ++++==， 因为样本中心点(),x y 在回归直线上，所以将()40,30代入0.25y x k =+得：300.2540k =⨯+，解得：20k =，所以0.2520y x =+，当52x =时，0.25522033y =⨯+=，故选：A【点睛】易错点点睛：本题的关键是利用回归直线过样本中心点求出k 的值，易犯错误是随意选择一个数据点代入解析式求k .8．C【分析】 首先利用相似三角形，可知1122OF PF OM PF ==，再结合双曲线的定义，求1PF 和2PF ，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.【详解】如图，由条件可知112OMF F F P ，则1122OF PF OM PF ==，得122PF PF =，又因为122PF PF a -=， 则14PF a =，22PF a =，根据勾股定理可知2221644a a c +=，解得：ce a==. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形相似1122OF PF OM PF ==，求得122PF PF =，后面利用双曲线的定义和勾股定理就比较简单了. 9．A 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A 【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题. 10．C 【分析】还原后的几何体如图所示，确定出球心的位置可求外接球的体积. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，且PH ⊥平面ABCD ，4PH =，H 为AB 的中点，四边形ABCD 为正方形，其边长为4.设1O 为正方形ABCD 的中心，2O 为PAB △的外心，则外接球的球心O 满足1OO ⊥平面ABCD ，2OO ⊥平面PAB ，所以21//HO OO ，又2HO ⊂平面PAB ，故22OO HO ⊥，同理11OO HO ⊥ 所以四边形21HO O O 为矩形. 在正方形ABCD 中，12HO =，在PAB △中，()222244PO PO -+=，故252PO =，2=，故外接球的表面积为414414ππ⨯=， 故选：C. 【点睛】思路点睛：几何体外接球的半径的求法，关键是球心位置的确定，可用球心与各面的外接圆的圆心的连线与此面垂直来确定，如果球心的位置不确定，那么可用补体的方法来确定球心的位置. 11．C 【分析】由2216PA PB +≤可得2OP ≤，由正弦定理得出2sin 4OQ OP QPO =∠≤，再根据原点到直线的距离小于等于4即可求出k 的范围. 【详解】设(),P x y ，则()()2222222216PA PB x y x y +=+++-+≤，整理可得224x y +≤，故2OP ≤，在PQO 中，sin sin OQ OPQPO PQO=∠∠，则sin 2sin 2214sin OP QPOOQ OP QPO PQO∠==∠≤⨯⨯=∠，设原点到直线的距离为d ，则需满足4d ≤，4d ∴=≤，解得k ≤或≥k . 故选：C.【点睛】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出2sin 4OQ OP QPO =∠≤，利用原点到直线的距离小于等于4求解. 12．A 【分析】根据题意将函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点转化为ln 1x e x x a x--=有两解，令新的函数ln 1()x e x x h x x --=，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得a 的取值范围. 【详解】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以()()f x g x -=，即ln 1xe ax x x -=+有两解，则ln 1x e x x a x--=有两解，令ln 1()x e x x h x x --=，则()21()1x x h x e x-'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>；所以函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以()h x 在1x =处取得极小值，所以(1)1h e =-，所以1a e >-，a 的取值范围为()1,e -+∞. 故选：A. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 13．12【分析】画出图形，以,AD AB 为基底表示AE DB ,，结合已知条件和平面向量的数量积公式即可求出正确答案. 【详解】解：()()()12AE DB AD DE DA DC AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭22222111112112cos 22222232AD AD AB AB AD AB AD AB AD AB π=-+⋅-⋅+=-+⋅+=-+⨯⨯+⨯12=. 故答案为:12.14．5 【分析】 将所求式子变形为333b aa b++，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】解：因为1a b +=，所以()3333333a b b b b aa b a b a b++=+=++，因为0,0a b >>，所以333=53b a a b ++≥，当且仅当33b a a b =，即13,44a b ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5. 故答案为:5. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，属于基础题.本题的关键是将所求式子中的3换成()3a b +.15．454 【分析】由()1121n n a a ++=+，结合等比数列的定义和通项公式可求出21nn a =-，结合二项式定理可求出012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++的值.【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++()01223344556012345555555555555222222C C C C C C C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++⨯-++又01223344556555555222222C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552222222C C C C C C =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()5212486=⨯+=，0123455555555232C C C C C C +++++==，所以原式48632454=-=，故答案为：454. 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量. 16．124【分析】取1MD 的中点H ，证明平面CEFH 为平面图形，设Q 为EB 中点，证明平面//CEFH 平面1A QM ，Q 点即是N 点，然后利用N CEF F CEN V V --=可得答案.【详解】取1MD 的中点H ，连接CH FH 、，因为F H 、是11A D 、1MD 的中点，所以1//MA FH ， 取CD 中点P ，连接AP MP 、，因为11,//=AA MP AA MP ，四边形1AA MP 是平行四边形，所以1//MA AP ， 所以//FH AP ，又因为,//=AE CP AE CP ，所以四边形AECP 是平行四边形， 所以//CE AP ，所以//CE FH ，即四边形CEFH 为平面图形， 且1MA ⊄平面CEFH ，FH⊂平面CEFH ，1//MA FH ，所以1//MA 平面CEFH ，设Q 为EB 中点，连接1AQ MQ EH 、、，所以//QE MH QE MH =，， 所以四边形QEHM 是平行四边形，所以//HE MQ ，且MQ ⊄平面CEFH ，HE ⊂平面CEFH ，所以//MQ 平面CEFH ，又1MQ A M M =，所以平面//CEFH 平面1A QM ，所以过M 点且与平面EFC 平行的平面就是1A QM ，Q 点即是N 点，11112248CENSEQ CB =⨯⨯=⨯=，所以1111111332424N CEF F CEN CEN V V SAA --==⨯⨯=⨯⨯⨯=. 故答案为：124. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线面平行及面面平行的判定，关键点是取1MD 的中点H ，证明平面CEFH 为平面图形，设Q 为EB 中点，证明平面//CEFH 平面1A QM ，Q 点即是N 点，考查了学生的空间想象力.17．（1）3C π=；（2）6+．【分析】（1）根据sin()sin()a A B C c B C +-=+，利用正弦定理和内角和以及诱导公式得到2sin sin cos sin sin A C C C A =求解.（2）由ABC 的面积为8ab =，再与28a b +=求得a ，b ，然后利用余弦定理求解. 【详解】 （1）sin()sin()a A B C c B C +-=+，sin sin(2)sin sin A C C A π∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠， 1cos ,02C C π∴=<<，3C π∴=.（2）由题意可得，12= 8ab ∴=，28a b +=联立可得，2,4a b ==，由余弦定理可得，212,c c ==此时周长为6+. 18．（1）证明见解析；（2）35． 【分析】（1）根据四边形ABCD 为菱形，得到//AD BC ，利用线面平行的判定定理得到//AD 平面BCEF ，然后利用线面平行的性质定理证明.（2）以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，分别求得平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，然后由cos ,|||,|m nm n m n ⋅<>=求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF //AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF 平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，21BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =，11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC ，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM ∴∴，从而1(0,1,0),((0,1,0),(2A B C D E--，设平面ADEF一个法向量为(,,)m x y z=，则m DAm DE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11,(1,x y z m=∴=-==-，设平面BCEF一个法向量为(,,)n x y z=，则n BCn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n=∴=-=-=--，3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==，因此二面角A EF B--的余弦值为35.【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348．【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望.【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知()23P D =，()()34P E P F ==．由于C DEF DEF DEF =++，()()21111313134434413446P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．()1111034448P X ==⨯⨯=()2111134424P X ==⨯⨯=()12113123448P X C ==⨯⨯⨯=()12231334144P X C ==⨯⨯⨯=()1333534416P X ==⨯⨯=()233363448P X ==⨯⨯=()20348E X =． 【点睛】关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率.20．（1）2212x y +=；（2）2．【分析】（1）由题意可得：221112a b+=，122112a a ⋅=-+-即可求得,ab 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，点()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与2212x y +=消去x 可得关于y 的一元二次方程，可求得12y y +，12y y ，计算P 点坐标，利用弦长公式求得弦长MN 、PQ ，将PQMN化简整理，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】 （1）依题意有，221112a b +=①， 因为()1,0A a -，()2,0A a所以121A Ek a =+，221A E k a=+，所以122112a a ⋅=-+-②，由①②解得：22a =，21b =，故椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()22221221021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得到12222m y y m -+=+，12212y y m -=+ 由弦长公式MN ===又12222P y y m y m +-==+，22221122P p m x my m m =+=-+=++，2P PQ x =-=，24PQMN =，令t =，1t ≥，上式22422422t t t t +⎛⎫=⋅=+≥= ⎪⎝⎭， 当2t t=，即1m =±时，PQ MN 取得最小值2．【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.21．（1）20x y += （2）1a ≤ （3）114a <≤ 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求切线方程；（2）先求导，则不等式()()f x xf x <'对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，转化为2210x alnx -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，构造函数2()21t x x alnx =--，1x >，分类讨论，即可求出a 的范围；（3）先求导，根据函数()g x 存在两个极值点1x ，2x 可得14a >，且124x x a +=，12x x a =，再化简1212()()()g x g x g x x +'可得到880a lna --，构造()88h a a lna =--，14a >，求出函数的最值即可． 【详解】解：（1）当1a =时，213()4ln 22f x x x x =-++，其中0x >，故13(1)4222f =-+=-. 1()4f x x x'=-+，故(1)1412f '=-+=-. 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为22(1)y x +=--，即20x y +=. （2）由211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，可得()4a f x x a x'=-+. 由题知，不等式2114ln 422a x ax a x a x x a x ⎛⎫-+++<-+ ⎪⎝⎭对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立， 即22ln 10x a x -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln 1t x x a x =--，1x >.故22()22a x at x x x x-'=-=⋅. ①若1a ≤，则()0t x '>，()t x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0t x t >=，故1a ≤符合题意. ②若1a >，令()0t x '=，得x =.当(x ∈时，()0t x '<，()t x在(上单调递减，故(1)0tt <=，与题意矛盾，所以1a >不符题意.综上所述，实数a 的取值范围1a ≤. （3）据题意211()()24ln 322g x f x a x ax a x a =+=-+++，其中0x >. 则24()4a x ax ag x x a x x-+'=-+=.因为函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ， 所以1x ，2x 是方程240x ax a -+=的两个不等的正根，故220,(4)40,0,a a a a >⎧⎪∆=-->⎨⎪>⎩得14a >，且12124,.x x a x x a +=⎧⎨=⎩所以()()221211122211114ln 34ln 32222g x g x x ax a x a x ax a x a +=-++++-+++ ()()()2212121214ln ln 612x x a x x a x x a =+-+++++ ()()()212121212124ln 612x x x x a x x a x x a =+--++++ ()21(4)244ln 612a a a a a a a =--⨯+++28ln 51a a a a =-+++； ()1212124431a ag x x x x a a a a x x a'=-+=-+=-+， 据()()()1212g x g x g x x '+≥可得，28ln 5131a a a a a -+++≥-+， 即288ln 0a a a a --≤，又14a >，故不等式可简化为88ln 0a a --≤， 令()88ln a a a ϕ=--，14a >，则1()840a aϕ'=->>，所以()a ϕ在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，又(1)0ϕ=， 所以不等式88ln 0a a --≤的解为114a <≤.所以实数a 的取值范围是114a <≤. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，还运用导数的几何意义求切线方程，同时培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．22．（1）1C 的极坐标方程是2245sin 36ρθ+=（），的极坐标方程是6cos ρθ=. （2）95【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程；先把2C 的参数方程化为普通方程,再化为极坐标方程；（2）分别联立曲线1C 与2C 的极坐标方程与()0θαρ=≥,即可求得221OA ρ=,222OB ρ=,再利用二次函数的性质求得22OB OA的最大值,进而求解.【详解】解:（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以221:194x y C +=可化为22221cos sin :194C ρθρθ+=,整理得()2245sin 36ρθ+=,233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）,则33cos 3sin x y φφ-=⎧⎨=⎩（φ为参数）,化为普通方程为2260x y x +-=,则极坐标方程为26cos 0ρρθ-=,即6cos ρθ=.所以1C 的极坐标方程是()2245sin 36ρθ+=,2C的极坐标方程是6cos ρθ=.（2）由（1）知,联立2245sin 36ρθθα⎧+=⎨=⎩（）可得22123645sin OA ρθ==+, 联立6cos ρθθα=⎧⎨=⎩可得2222=36cos OB ρθ=,所以22OB OA=224222981cos (45sin )5cos 9cos 5(cos )1020θθθθθ+=-+=--+, 当29cos 10θ=时,22OB OA 最大值为8120,所以OB OA的最大值为10. 【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查利用极坐标方程求弦长. 23．（1）{|1x x <-或7}x >；（2）2m =-或0m =． 【分析】（1）将2m =代入，按照零点分段法对x 分类去绝对值，求解后取并集得答案； （2）()f x 的图象与直线1y =有且仅有1个公共点，转化为()()1g x f x =-=有1个零点，对m 分类求最大值，令最大值为0求得m 值. 【详解】解：（1）22130x x +--+<，当2x <-时，22230x x --+-+<，解得1x <，故2x <-；当21x -时，22230x x ++-+<，解得1x <-，故21x -<-； 当1x >时，22230x x +-++<，解得7x >． 综上所述，不等式的解集为{|1x x <-或7}x >；（2）令()()1211g x f x x m x =-=+---，问题转化为函数()g x 有1个零点．若1m >-，则3,()33,11,1x m x m g x x m m x x m x --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩，此时()g x 的最大值为g （1）m =，此时0m =满足题设；若1m <-，则3,1()31,11,x m x g x x m x m x m x m --<⎧⎪=--+-⎨⎪-++>-⎩，此时()g x 的最大值为g （1）2m =--，令20m --=，得2m =-，满足题设； 若1m =-，则()110g x x =---<，故1m =-不合题意，舍去． 综上所述，2m =-或0m =． 【点睛】 方法点睛：（1）利用“零点分段法”分类讨论解绝对值不等式； （2）将两函数图象的交点问题与函数零点问题之间的互化.。

n 6n ⎩ 1 1 ⎝ ⎭⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭江西省重点中学盟校 2021 届高三第一次联考理科数学答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDCADAABBCCD5730 ⋅ ⎛ ln N f ⎫N ⎪ 10、t = ⎝ 0 ⎭ = 5730⋅ (2 log 3- 3)≈ 5730⨯ 0.17 ≈ 974ln 2 21 2 2⎛ 3 5 ⎫ 19π 11、 a = 1,V = π(⎰ 0 3xdx + ⎰ 1 (4- x )dx ) = π + ⎪ = ⎝ 2 3 ⎭ 612、设a = k ，则k - 1 ≤ ≤ k + 1 ，即 k 2 - k + 1 ≤ n ≤ k 2 + k + 1n2 2 4 4所以 a = k 数的项共有 2k 项， k = 45 时， k 2 - k = 1980 ， k 2+ k = 2080 所以 a= 44, a = 45∴ 1 + 1 + ....... + 1 = 1 ⨯ 2k ⨯ 44 + 1 ⨯ 41 = 88 411980 198113、λ= -2a 1 a 2 a 2021 k45 45⎧ 1 , n = 114、 a n = ⎨2n -2, n ≥ 215、10000⨯ 0.1359 = 135916、cos B =617、（1）设数列{a }的公差为 d ，则由题意(a + d )2= a (a +3d )----------------1 分 n1 1 1⇒ d 2 = a d ∴d = a = 2或者d = 0 ------------------3 分又 a 1 ≠ a 2021 ∴d ≠ 0∴d = 2 -----------------4 分∴ a n = a 1 + (n - 1)2 = 2n ---------------6 分（2）1=1=1 ⎛ 1-1⎫ ------------8 分a n a n +14n (n +1) 4 n n +1 ⎪1 ⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎫n ∴T n = 4 1- 2 ⎪ + 2 - 3 ⎪ + .......+ n - n +1 ⎪ ⎪ =4 (n +1 )--------------------10 分1 2 2 1 1 1 1 1 1 { n 由 4 (n +1) = 505 2021得n = 2020 --------------12 分18、由棱台性质知：平面 ABCD ∥平面 A 1B 1C 1D 1 ， AD ∥ A 1D 1 ,取 A 1D 1 的中点 E ，AD = AA 1 且 AD ∥ A 1E ∴ 四 边 形 ADA 1D 1 是 平 行 四 边 形 ∴ DE 、 AA 1 ⊥ 平 面ABCD ∴ A A 1 ⊥ AD ∴ A 1D = DD 1 = ∴ A D 2 +D D 2 =A D 2∴ A D ⊥ DD ------------2 分AA 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1D 1 ∴C 1D 1 ⊥ AA 1 又C 1D 1 ⊥ A 1D 1 ，∴C 1D 1 ⊥ 平面 A 1D 1DA --------4 分故 A 1D ⊥ C 1D 1 ，又 A 1D ⊥ DD 1 ， DD 1 ⋂ C 1D 1 =D 1 ∴ A 1D ⊥ 平面DD 1C 1C ------6 分（2）如图建坐标系 D （0,1,1）, B 1 (2,0，0) D 1 (0,2，0） C 1 (2,2，0) ,C(1,1，1)由（1）知 A 1D =（0,1,1）是平面DD 1G 一个法向量-----------------------7 分令 n = (x , y , z ) 是平面CD 1B 1 的一个法向量，设 B 1C = (-1,1,1) , B 1D 1 = (-2, 2, 0)n ⋅ B 1 D 1 =0 n ⋅B 1C =0{x = y =1-2 x + 2 y =0- x + y + z =0 令cos z =0 则 n = (1,1, 0) ------------------------------9 分1n , A 1D = = 2-----------------------------11 分所以二面角 D - GD - B 的平面角为120︒------------12 分1119、（1）完成表格如下骑车不骑车 合计 45 岁以下 35 15 50 45 岁及其以上20 30 50 合计5545100-------2 分2 ⇒ { ,= 2 + = 2 10（0 35 ⨯30-15 ⨯ 20）2(7 ⨯ 6-3⨯ 4)2κ2 ==50 ⨯ 50 ⨯ 55⨯ 4511⨯ 9≈9.1 >7.879 -------5 分所以有 95%把握认为该地区市民是否考虑骑自行车与他(她)是不是“青年人”有 关--------6 分。

江西省横峰中学等四校xx 届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2021年高三上学期第一次联考数学（理）试题WORD 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（ ） A ． B ． C ． D ．2.若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=xC x B x x x A ，则中元素个数为 （ ）A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个 3.“”是“”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.若a 、b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则（ ） A. , B. , C. , D. ,6.使得的展开式中含有常数项的最小的是（ ）A.4B.5C.6D.77.将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( )A.150B.240C.60D.120 8.设函数在R 上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是（ ）9.在四棱锥，面，面中，PAB BC PAB AD ABCD P ⊥⊥-底面ABCD 为梯形， 满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．线段C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分10.已知函数与图象上存在关于轴对称的点， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 11.已知随机变量,若，则 . 12．给出下列等式：；；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ = . 13．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 _. 14．已知函数，当时，给出下列几个结论： ①；②； ③;④当时，.其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．三、选做题（考生只能从中选一题，两题都做的，只记前一题的分.本小题5分）15.（1）（不等式选做题）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 . （2）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. （本小题满分12分）已知，求： （1）； （2）.17.（本小题满分12分）已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）如图1,在直角梯形中,,,, 为线段 的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示. (1) 求证:平面； (2) 求二面角的 余弦值.19．（本小题满分12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. （1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.y ABCDACD.21. （本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时对于任意的，函数在区间上总存在极值；（3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．xx 届高三年级第一次联考数学（理）参考答案一、选择题1-5: B B B D C 6-10: B A D A B 二、填空题11. 16 12． 13． 【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点， 作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.，又因为f （x ）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+，故④正确.三、选做题 15.（1）；（2）C DyxOBAFxA BCDMyz O17. 【解析】 解：（1）， 因此在处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， ∴（）＝－1，∴ ＝－1. …………6分 （2）∵当>0时，恒成立，则恒成立， 设＝，则＝， …………8分 当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， …………10分 故当＝1时，取得极大值，，∴ 实数的取值范围为． …………12分 18. 【解析】（1）由已知可得,从而,故 …………3分 ∵面面,面面,面,从而平面 …………6分 （2）建立空间直角坐标系如图所示,则, ,, 设为面的法向量, 则即,解得令,可得 …………9分又为面的一个法向量 …………10分 ∴∴二面角的余弦值为. …………12分 19. 【解析】(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：； …………2分 或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛， …………4分 或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛选手甲进入复赛的概率 …………6分(2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率2322324321128(X 5)()()()()333327P C C ==⋅+⋅=…………9分…………10分 …………12分20. 【解析】 解：（1）设椭圆方程为则…………4分∴椭圆方程为…………6分（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为，只需证明即可 …………7分设 直线 则联立方程 得 …………9分 …………11分 而()()()()()()2221211111211*********----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k所以故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. …………13分 21. 【解析】 解：（1）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； …………4分 （2）由,∴，. …………6分 故3232()'()(2)222m mg x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴,∵ 函数在区间上总存在极值，∴有两个不等实根且至少有一个在区间内 …………7分 又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。

2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，集合B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A.{0, 1, 2, 3}B.{−1, 0, 1}C.{1, 2}D.{0, 1}2. 已知复数z＝，则的虚部是（）A.1B.−1C.−iD.i3. 已知p：≤1，q:a2−1≥0，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝（）A. B. C. D.5. 在的展开式中，x2y5的系数是（）A.20B.C.−12D.6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A.庚午年B.辛未年C.庚辰年D.辛巳年7. 若函数的图象向右平移个单位后与函数y＝cos2ωx的图象重合，则ω的值可能为（）A.−1B.−2C.D.8. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EF // AB，AB＝3EF＝AD＝3，△ADE和△BCF都是正三角形，则该五面体的体积为（）A. B. C. D.9. 在三角形ABC中，E、F分别为AC、AB上的点，BE与CF交于点Q，且＝2，＝3，AQ交BC于点D，，则λ的值为（）A.3B.4C.5D.610. 如图所示，A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是( )A.√102B.√10 C.32D.311. 设k，b∈R，若关于x的不等式ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则的最小值是（）A.−e2B.C.−e+1D.−e−112. （3分）已知，则下列不等关系正确的是（）A.f(log27)<f(log0.52.5)<f(1)B.f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)C.f(1)<f(log0.52.5)<f(log27)D.f(1)<f(log27)<f(log0.52.5)13. 已知实数x，y满足约束条件{x+2y≥2 x−y≤2x−4y+4≥0，则z=3x−y的最大值为________．14. 已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝sin x−1，则函数f(x)在处的切线方程为________．15. 过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A．B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为________．16. 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝2，若动点Q在平面PAD内运动，使得∠CQD与∠BQA相等，则三棱锥Q−ACD的体积最大时的外接球的体积为________．17. 已知等差数列{a n}为递减数列且首项a1＝5，等比数列{b n}前三项依次为a1−1，a2+2，3a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18. 如图，在三棱锥A−BCD中，△ABD是等边三角形，AC＝2，BC＝CD＝，E为空间内一点，BC⊥CD，且△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若BE＝2，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．19. 已知椭圆C：，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线1的斜率的乘积为定值．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1过右焦点F2，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D，若不存在，请说明理由．20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：∘C）有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25, 30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求七月份这种饮品一天的需求量x（单位：瓶）的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n（单位：瓶）应满足什么条件？21. 已知函数．（1）讨论函数f(x)的单调区间．（2）若当a＝1时，，求证：F(x)>0．22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）写出曲线C1，C2的普通方程；（2）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为60∘的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值．23. 已知a，b，c为正数．（1）证明≥3；（2）求的最小值．参考答案与试题解析2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{0, 1}，∴A∩B＝{0, 1}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．【解答】∵＝，∴，则则的虚部是1，3.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的性质求出p和q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由≤1，得a≥1或a<0，即p:a≥1或a<0，由a2−1≥0，得a≥1或a≤−1，即q:a≥1或a≤−1，则q⫋p，故p是q的必要不充分条件，4.B【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解．【解答】sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝sin25∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝−cos60∘＝-．5.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】从2021到2121年经过100年，由简单的合情推理结合阅读，理解“干支纪年法”，通过运算可得解．【解答】天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳，7.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，分别求出其体积即可求出所求．【解答】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，因为AD＝3，所以AD＝2，因为△ADE和△BCF都是正三角形，边长为2，所以OP＝QB＝(AB−EF)＝(3−1)＝1，PF＝，OF＝，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，所以该几何体的体积为V＝V EMN−FQH+2V F−QBCH，又因V EMN−FQH＝S△QFH×MQ＝|QH|⋅|OF|×MQ＝，V F−QBCH＝S矩形QBCH×FQ＝，所以V＝+2×＝．9.【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，则FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，在直角△ACF′中，(m+2a)2+(2a+2m)2=(m+4a)2，解得m=a，在直角△FAF′中，AF2+AF′2=FF2，即a2+(3a)2=(2c)2，即4c2=10a2，a，即c=√102故e=√10.2故选A.11.【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，根据函数的单调性求出f(x)的最大值，得到−ln(k−1)−1−k≤b，而≥，令k−1＝u，g(u)＝1−-，根据函数的单调性求出g(u)的最小值，从而求出的最小值即可．【解答】ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，则f′(x)＝+1−k，若k≤1，则f′(x)>0，可得f(x)在(0, +∞)递增，当x→∞时，f(x)→∞，故不等式不能成立，故k>1当＝k−1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f（）＝−ln(k−1)−k−1，即b≥−ln(k−1)−1−k，故≥，∴＝2+≥2+＝，令k−1＝u，g(u)＝＝1−-，故g′(u)＝-＝，当ln u＝−1时，u＝，g(u)min＝−2e+e+1＝1−e，故的最小值是1−e，二、多选题（本题共计 1 小题，共计3分）12.【答案】【考点】对数值大小的比较【解析】画出函数的大致图像，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，f(x)的图像关于直线x＝1对称，再比较log27和log0.52.5与1的距离，即可得到f(log27)与f(log0.52.5)的大小关系．【解答】画出函数的大致图像，如图所示：，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，∵|log27−1|＝|log27−log22|＝<2，|log0.52.5−1|＝|log0.52.5−log0.50.5|＝log25>2，∴f(log27)>f(log0.52.5)，∴f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)，故选：B．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】10【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立{x−4y+4＝0x−y＝2，解得A(4, 2)，化目标函数z=3x−y为y=3x−z，由图可知，当直线y=3x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为10．14.【答案】y＝2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】4π【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）17.【答案】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题设求出d即可求得a n，进而求得等比数列{b n}的首项b1与公比q，即可求得b n；（2）先由（1）求得a n+b n，再利用分组求和法求得其前n项和S n即可．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．18.【答案】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）先证明△AOC为直角三角形，再证明OA⊥平面BCD，最后证明平面ABD⊥平面BCD即可；（2）建立坐标系，先求平面ABD与平面ECD面的法向量，再用夹角公式，得到夹角余弦值．【解答】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．19.【答案】由题意可知2a＝4，可得a＝7，设点A(x1, y1)，B(x7, y2)，A，B在椭圆上，所以+＝1，①+；②k AB⋅k OM＝-，所以•＝-②-①可得：-＝-，所以b2＝•a2＝×4＝3，所以椭圆C的方程为：+＝1；设直线l:y＝k(x−1)，，整理可得：(5+4k2)x8−8k2x+8k2−12＝0，所以x7+x2＝，x1x2＝，所以y1+y2＝k(x1+x2−2)＝，所以AB的中点M（，），假设存在点D，则MD的直线方程为：y+(x−），可得y＝，所以D(0，），|AB|＝•＝•＝；|DM|＝•|，若△ABD为等边三角形，则|MD|＝，×＝，整理可得23k3+27＝0，显然无实数解，所以不存在这样的点D．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，可得X的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，考虑200≤n≤500，根据300<n≤500和200≤n<300分类讨论，即可求得n的取值范围．【解答】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．21.【答案】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令m(x)＝2ln x+9(x>0)，求出函数的导数，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，根据导函数的单调性求出m(x)的单调性，求出m(x)的最小值，证明结论成立即可．【解答】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．22.【答案】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．23.【答案】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．【考点】不等式的证明【解析】（1）由基本不等式分别推得+≥2，+≥2，+≥2，再由累加法，即可得证；（2）两次运用基本不等式，注意等号成立的条件，可得所求最小值．【解答】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．。

2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.函数y = ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-3.下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．25.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ） A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈ 7.若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．(]4,4- C ．()[),42,-∞-+∞ D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(]0,1 C ．(]1,0- D ．()1,-+∞ 10.已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．42．2 C ．92 D ．9222+ 11.已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件 是____________． 14.设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．15.若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________． 16.给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18.（本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1m m α∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为，且满足()01f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<． （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点） 21.（本小题满分12分） 已知函数()()22xf x x x cec R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点． （1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >．2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBAADACCAA二、填空题13. 3m > 14. ()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦15. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎭16. ②④ 三、解答题17.解：（1）∵()12f =，∴()log 420,1a a a =>≠，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==，函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是()20log 3f =，∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（2）非:21q a a ≤-≥或，所以121m m +≤-≥或， 所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）由题意可以设()(22f x a x x =+++-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=，∴()(22241f x x x xx =+++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）当4x =时，销量()210446212y =+-=千件， 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是22142⨯=千元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）该店每日销售产品A 所获得的利润：()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2121122404310626f x x x x x x '=-+=--<<．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0f x '=，得103x =，且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以103x =是函数()f x 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以当103.33x =≈时，函数()f x 取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120x x c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分 再令()()21212x g x x e =-，则()22x g x xe '=，令()0g x '=得0x =， 而当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以当0x =时，()g x 取得极小值也是最小值，即()()min 102g x g ==-． 所以c 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知()2212xf x x c e-'=--，所以由()0F x =得()22252122x x x x ce x ce ---++--=，整理得2272x c x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 令()2272x h x x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则()()()()222223231x xh x x x e x x e '=+-=+-， 令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==， 由()10a f x x e+'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-，()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 也就是证明：1ln 201t t t -->+，记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。

江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|A y y ==，{}|2,x B y y x A ==∈，则A B 等于（ ） A ．[1,)+∞ B ．R C ．[1,2] D ．[0,4] 2．已知i 为虚数单位2020202111i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3．α、β为不重合的平面，a 、b 为两条直线，下列命题正确的为（ ） A ．若a α⊂，b β⊂，//αβ，则//a bB ．若//a b ，b β⊂，则//a βC ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥D ．若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ⊥4．若实数x ，y 满足约束条件2302302250x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值（ ）A ．5B ．112C ．7D ．1325．若曲线x y e m =-的一条切线为1y x n e =+（e 为自然对数的底数），其中m ，n 为正实数，则m n +的值是（ ）A ．eB ．1eC ．2eD ．2e 6．设函数tan (),,00,22x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且存在0x 使得()01f x ≤ B ．奇函数，且对任意0x ≠都有|()|1f x >C ．偶函数，且存在0x 使得()01f x ≤D ．偶函数，且对任意0x ≠都有|()|1f x >7．设双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的渐近线在第一象限交于点B ，连接1BF 交双曲线的左支于A 点，则2ABF 的周长为（ ）A．2++B2 C．2+D2 8．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心．已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π 9．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于89，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）参考数据：（lg 20.3010,lg30.4771==）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知抛物线24y x =上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点为F ，则111FA FB +=是“直线AB 经过焦点F ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 11．设函数,(),x x x a f x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．1a e ≤D ．1a e< 12．若等差数列{}n a 满足22132a a +=，且11a ≥，求2312a a a a ++的取值范围（ ） A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞二、填空题13．已知向量,a b 满足||3b =，||4a b +=，||5a b -=，则向量a 在向量b 上的投影为______．14．()321212x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______．15．已知D ABC -是球O 的内接三棱锥，2,4AB BC CA BD DA =====．二面角D AB C --为120，则球O 的半径为________．16．已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．三、解答题17．如图，在ABC 中，2AB =，3B π∠=，点D 在线段BC 上．（1）若4BAD π∠=，求AD 的长；（2）若3BD DC =，且ABC S =sin sin BAD CAD ∠∠的值． 18．如图，AB 是O 的直径，动点P 在O 所在平面上的射影恰是O 上的动点C ，2PC AB ==，D 是PA 的中点，PO 与BD 交于点E ，F 是PC 上的一个动点．（1）若//CO 平面BEF ，求PC FC的值； （2）若F 为PC 的中点，BC AC =，求直线CD 与平面BEF 所成角的余弦值． 19．李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为12P P ⎛⎫> ⎪⎝⎭，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58． （1）求P 的值； （2）设ξ表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅． （1）求椭圆的标准方程．（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记ABE △与ABH 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．21．已知函数2(),()2ln x f x x e g x x -=⋅=-．（1）求函数()y f x =的单调区间．（2）()()()h x xf x g x =+，若0x 为2()y x h x '=极值点，其中()h x '为函数()h x 的导函数．证明：()042ln292ln2h x -<<-．22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121t x t t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，且1t ≠-）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点A 的极坐标为（1,0），直线:()l R θαρ=∈与1C 交于点B ，其中(0,)2πα∈过点A 的直线n 与2C 交于M ，N 两点，若n l ⊥，且2||||16,||AM AN OB ⋅=，求α的取值 23．已知函数()|1||21|f x x x =+--．（1）求()3f x ≥-的解集． （2）若存在a ，b ，关于x 的不等式|||2|||(|1||2|)(0)b a b a a x x m a +--≥++-≠有解，求实数m 的取值范围．参考答案1．C【分析】化简集合,A B ，根据交集运算的概念可求得结果.【详解】由2044x ≤-≤可得02≤≤，所以[0,2]A =，因为指数函数2x y =在[0,2]上为增函数，所以14y ≤≤，所以[1,4]B =，∴[1,2]A B =．故选：C2．B【分析】先由i 的n 次幂的性质化简，然后由复数除法法则计算出z ，再得其共轭复数后可得结论．【详解】∵20200202111,i i i i i ====，∴22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴1z i =-，虚部为1-． 故选：B3．D【分析】根据选项直接判断直线a 、b 的位置关系，可判断A 选项的正误；根据已知条件判断a 与β的位置关系，可判断BC 选项的正误；利用空间向量法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若a α⊂，b β⊂，//αβ，则a 与b 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//a b ，b β⊂，则a β⊂或//a β，B 选项错误；对于C 选项，若αβ⊥，a α⊂，则//a β、a β⊂、a β⊥或a 与β斜交，C 选项错误；对于D 选项，设直线a 、b 的方向向量分别为m 、n ，由于a α⊥，则平面α的一个法向量为m ，b β⊥，则平面β的一个法向量为n ，因为a b ⊥，则m n ⊥，因此，αβ⊥，D 选项正确.故选：D.4．B【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线32z x y =+后可得z 的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由2250230x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩可得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故1,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合可行域，平移动直线32z x y =+至A 时，z 取最小值为11132222⨯+⨯=. 故选：B.5．C【分析】设切点坐标()00,x y ，则根据导数的几何意义可求0x 的值，从而可求,m n 的关系.【详解】 e x y '=，设切点坐标为()00,x y ，∴001,1x e x e ==-，∴11m n e e-=-+，∴2m n e+=， 故选：C.6．D【分析】 先判断函数的奇偶性，可排除A ，B ，构造函数()tan h x x x =-可得()h x 的单调递性可得答案.【详解】 因为tan (),,00,22x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以tan ()()x f x f x x --==-， 所以()f x 是偶函数，故AB 错误；令()tan h x x x =-， 则22sin sin cos sin ()cos 1cos c 111os cos x x x x x x x x h x '==-'''-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 20cos 1x <<，211cos x>， 所以()0h x '>，()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增函数， ()(0)tan 0h x h x x >=-=，即tan x x >，有tan 1x x >， 由偶函数的对称性可得,00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan 1x x >. 故选：D.【点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性，解题关键点是构造函数利用导数研究函数的单调性，属于中档题.7．A【分析】根据双曲线方程求出,,a b c ，利用双曲线的定义将2AF 化为12a AF +，可求出2ABF 的周长.【详解】由221x y -=得1,1a b ==，所以c ===2F ，双曲线经过点B 的渐近线为y x =，所以B ，所以2BF =122F F c ==所以1BF ===，所以221212222AB AF BF AB a AF BF BF BF ++=+++=++=，所以2ABF 的周长为2+故选：A【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义将2AF 化为12a AF +是解题关键. 8．A【分析】取AB 的中点D ，则CO BA ⋅1()()2CA CB CA CB =+⋅-可得a ，由余弦定理和基本不等式可得答案.【详解】取AB 的中点D ，则()CO BA CD DO BA CD BA ⋅=+⋅=⋅， ()211()()16622CA CB CA CB a =+⋅-=-=，∴2a =，又∵222cos 2c b a A bc212112882c c c c +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当c =时等号成立，∴06A π<≤.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9．C 【分析】归纳出第n 次去掉的线段的长度n a ，然后求得和n S ，解不等式89n S ≥可得． 【详解】记n a 为第n 次去掉的长度，113a =，剩下两条长度为13的线段，第二次去掉的线段长为22212233a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 第1n -次操作后有12n -条线段，每条线段长度为113n -，因此第n 次去掉的线段长度为1111122333n n n n n a ---=⨯⨯=， 所以2281391133213n nn S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎦⎛⎫=-≥ -⎪⎥⎭⎭⎢⎣=⎝，2139n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，(lg 2lg3)2lg3n -≤-，2lg 35.42lg 3lg 2n ≥≈-．n 的最小值为6．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查归纳照理，考查对数的运算．解题关键是归纳出第n 次所去掉的线段长度，计算时要先得出第n 次去掉的线段条数，即第1n -次剩下的线段条数，同时得出此时每条线段长度，从而可得第n 次所去掉的线段总长度，求和后列不等式求解． 10．B 【分析】设出直线方程与抛物线方程联解，利用焦半径公式得解. 【详解】设直线AB 为24,y x x my n x my n⎧==+⎨=+⎩消x 得方程2440y my n --=，∴12124,4y y m y y n +=⋅=-．当111FA FB+=时，则1211111x x +=++，∴121x x ⋅= ∵()221212116y y x x n ⋅⋅===，∴1n =±，显然当直线过焦点时有111FA FB+= 故选：B【点睛】利用焦半径及根与系数关系是解题关键. 11．C 【分析】x a <时，()f x a <无最大值，因此x a ≥时，()x x f x e=有最大值，利用导数求解．【详解】显然x a <时，()f x a <无最大值，x a ≥时，()x x f x e =存在最大值，1()xx f x e -'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x =时，()f x 取得极大值也是最大值．1(1)f e=，因此()f x 要有最大值，必须满足11a a e ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1a e ≤．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意()f x 的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在x a ≥时求得最大值1(1)f e =，除这个最大值取得到，即1a ≥以外还有必须满足1a e≤，否则函数无最大值． 12．B 【分析】设13a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-，根据11a ≥求出θ的范围，利用等差中项的性质得到2a ，再利用同角公式可求得结果. 【详解】设13a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-， 又∵11a ≥，1θ≥，即cos ,1]2θ∈，∴,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1322a a a θθ+==+，∴2312cos sin 3sin cos 3tan 183sin 3cos tan 3tan 3a a a a θθθθθθθθθθ++++====-++++，又∵,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以tan [1,1]θ∈-，所以83[1,1]tan 3θ-∈-+， ∴2312[1,1]a a a a +∈-+． 故选：B【点睛】关键点点睛：利用三角换元化为三角函数求解是解题关键. 13．34-【分析】把模用数量积表示后求得a b ⋅，再根据投影的定义计算． 【详解】∵||4a b +=，∴22216a b a b ++⋅=，||4a b -=，∴22225a b a b +-⋅=， ∴94a b ⋅=-，则向量a 在向量b 的投影为34||a b b ⋅=- 故答案为：34-． 14．-26 【分析】首先原式展开，再按照生成法求展开式中的常数项. 【详解】原式33321112222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，展开式中的常数项是： 2121122333112(2)2(1)226x C x C x x ⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅⋅+-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-2615 【分析】取AB 的中点E ，设ABC 的外心1O 和DAB 的外心2O ，求出121O E O E ==，连OE ，1OO ，2OO ，则12120O EO ∠=，求出OE ，再根据勾股定理可求出OA ，即为球O 的半径.【详解】2112O E BD == 【点睛】关键点点睛：利用ABC 的外心和DAB 的外心以及球的性质求解是解题关键.163 【分析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立， 24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦，∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．（1）AD =；（2）sin sin BADCAD∠∠=【分析】（1）利用正弦定理求解即可.（2）用余弦定理求出AC =sin 3sin 2BAD ACCAD ∠=∠，代入AC 值求解即可. 【详解】解：（1）∵sin sin AD AB B ADB=∠，且75ADB ︒∠==，∴AD = （2）∵1sin 23ABCA SB BC π==⋅⋅， 故算得4,3,1BC BD DC ===，在ABD △中，利用正弦定理有32sin sin BAD ADB=∠∠，在ADC 中，有1sin sin ACDAC ADC=∠∠ ∴sin 3sin 2BAD ACCAD ∠=∠，∵21416224122AC =+-⨯⨯⨯=，∴AC =∴sin sin BADCAD∠∠=18．（1）31PC FC =；（2）3. 【分析】（1）由线面平行得出线线平行，从而将PC FC转化为POEO ，再借助三角形的重心即可求解；（2）建立空间直角坐标系，分别求得11,,122CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和平面BEF 的法向量，结合夹角公式即可求解． 【详解】解：（1）因为//CO 平面BEF ，所以//EF OC ， 所以PC POFC EO=．因为D ，O 分别为,PA AB 的中点， 所以点E 为PAB △的重心，所以31PO EO =，即31PC FC = （2）如图所示建立空间直角坐标系．∴(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0),(0,0,0),(0,1,0)C P A O B -． ∵1211(1,0,1),,0,,,,13322F E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴112112,,1,,0,,,1,223333CD EF BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =00EF n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴2103312033x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩令1x =，∴(1,1,2)n =-1111(1)(2)22cos ,3||||1CD n CD n CD n ⎛⎫⨯+-⨯+-⨯- ⎪⋅〈〉===⋅直线CD 与平面BEF 【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． （2）、用空间向量坐标公式求解. 19．（1）34p =；（2）分布列见解析，3316. 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止等价于李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局，由此列式可解得结果；（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，求出ξ的每个取值的概率可得分布列，根据期望公式可得所求期望值. 【详解】（1）依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束， ∴有225(1)8p p +-=，解得34p =或14p =，∵12p >，∴34p =（2）依题意知，ξ的所有可能值为0，1，2，3， ∴111(0)4416P ξ==⨯= ∴1213116(1)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯= ∴112233131345(2)44444464P C C ξ==⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=∴12133354(3)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴随机变量ξ的分布列为：故6455433232566425616E ξ=+⨯+⨯=． 【点睛】关键点点睛：求出随机变量ξ的所有可能取值的概率是解题关键.20．（1）22143x y +=；（2【分析】（1）把已知离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅用,,a b c 表示后可解得,a b ，得椭圆方程；（2）当直线l 无斜率时，120S S -=，当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，1221212||||2S S y y y y -=-=+‖，代入12x x +转化为k 的函数，由基本不等式可得最大值． 【详解】（1）有条件可知24()()(2)a c a c b +=-，∴2131a c e b a c e++===--，又12c a =，22134a a -=，∴24a =，∴椭圆方程为22143x y +=．（2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，此时12331,,1,,022D C S S ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y联立得22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得()22223484120k x k x k +++-=， 显然0∆>，方程有根，221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++． 此时()()1221212112212||2||||22112(2)34k S S y y y y k x k x k x x k-=-=+=+++=++=+‖． 因为0k ≠，所以121234||||S S k k -=≤==+，（k =±时等号成立），所以12S S -【点睛】方法点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中面积问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元应用韦达定理，把此结果代入题中其他条件，其他量得与参数有关的式子，然后求解．21．（1）单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞；函数的单调减区间(0,2)；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求出函数()f x 的定义域，求出()'f x ，令()0f x '>和()0f x '<可得答案.(2)设2()()x x h x ϕ'=，求出其导函数，得出其单调区间，得出极值点0x 满足的条件002x x e =，利用对数可得00ln ln 2x x +=，再代入可得到()0020222ln 2h x x x =+-，然后由导数得到单调性，从而证明结论. 【详解】（1）2()xe f x x=，∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠．∴3(2)()x e x f x x'-=，由()0f x '>可得2x >或0x <，由()0f x '<可得02x << 所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞．单调减区间为(0,2)（2）∵()()2ln 0x e h x x x x=->，∴22()x x xe e xh x x --='， 令2()()2xxx x h x xe e x ϕ=-'=-,，则()2x x xe ϕ=-'又()10()xx x e ϕ'=+>' 在0x >时恒成立，所以()x ϕ'在()0+∞，是单调增函数 又∵10,(1)02ϕϕ⎛⎫<''>⎪⎝⎭，则存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0x ϕ=， 所以在()00,x 上()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，在()0,x +∞上()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增.所以0x 为()ϕx 的极值点，则002x x e =两边取对数可得()00ln ln 2x x e=，即00ln ln 2xx +=∴()()0000022000222ln 2ln 222ln 2x e h x x x x x x x =-=--=+- 令22()22ln 2x x x φ=+-，∴333424()20x x x xφ-=-='+<在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立 ∴()x φ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()0142ln 2192ln 22h h x h ⎛⎫-=<<=- ⎪⎝⎭∴()042ln292ln2h x -<<- 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间和讨论函数的极值以及证明不等式，解答本题的关键是分析出极值点0x 满足的条件01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和002xx e =，以及由此得到00ln ln 2x x +=，对隐零点的整体代换，由此得出()0020222ln 2h x x x =+-，属于中档题. 22．（1）1(sin cos ρρθθ=≠+，24y x =；（2）4πα=.【分析】（1）1C 参数方程化为211221x t y t ⎧=-+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，消去参数可得普通方程，再化为极坐标方程即可，2C 的极坐标方程化为22sin 4cos ρθρθ=，再利用转换公式求解即可.（2）根据极径的几何性质求得1||sin cos OB αα=+，求出直线n 的参数方程，再根据参数的几何意义，结合韦达定理可得24||||cos AM AN α⋅=，进而解方程可得答案.【详解】（1）1121t x t t y t -⎧=⎪⎪+⇒⎨⎪=⎪+⎩211221x t y t ⎧=-+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ∴1(1)x y x +=≠-．∴1(sin cos ρρθθ=≠+，∵22224cos sin 4cos sin 4cos sin θρρθθρθρθθ=⇒=⇒=， ∴24y x =（2）直线:()l R θαρ=∈与1C：1(sin cos ρρθθ=≠+交于点B ，所以1||sin cos OB αα=+，点A 的极坐标为（1,0），则直角坐标也是（1,0）， 因为n l ⊥，所以直线n 的倾斜角2πα+，其参数方程可以设为1cos 2sin 2x t y t παπα⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，化为1sin cos x t y t αα=-⎧⎨=⎩，代入抛物线方程有22cos 4sin 40t t αα⋅+⋅-=， ∴1224cos t t α⋅=-，可得24||||cos AM AN α⋅=，则2224||||cos 16||1sin cos AM AN OB ααα⋅==⎛⎫⎪+⎝⎭∴tan 1,tan 3αα==-（舍去）， ∴4πα=【点睛】方法点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 23．（1）{|15}x x -≤≤；（2）5144m -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法，分1x ≤-，112x -<≤，12x >三段去绝对值解不等式；（2）不等式转化为121|1||2|b bx x m a a+--≥++-，将不等式能成立转化为()min max12121b b x x m a a ⎛⎫++-≤+-- ⎪⎝⎭，分别求不等式两边的最值，求得m 的取值范围. 【详解】（1）当1x ≤-时，()2f x x =-，∴23,1x x -≥-≥-，∴1x =-． 当112x -<≤时，()3f x x =，∴33,1x x ≥-≥-，∴112x -<≤．当12x >时，2()f x x =-+，∴23,5x x -+≥-≤，∴152x <≤． 综上所述：解集为{|15}x x -≤≤（2）|||2||1||2|||||b a b a x x m a a +--≥++- ∴121|1||2|b bx x m a a+--≥++-若存在a ，b ，关于x 的不等式有解， 则()minmax12121b b x x ma a ⎛⎫++-≤+-- ⎪⎝⎭()()121221x x m x x m m ++-≥+--=+，设b t a =，则()1113121112222t t t t t t t ⎛⎫+--=+----≤+--= ⎪⎝⎭，∴3|21|2m ≥+，∴5144m -≤≤ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。