3弧度制

因此 360°=2πrad
180°=π rad
1 π rad 0.017 45 rad 180
1
rad
180 π
57.30
5718
例题讲解
例1 把45°化成弧度.
解： 45 45rad= rad.
180
4
例2 把 3 rad化成度.
5
解：3 rad 3 180=108.
5
5
写出一些特殊角的弧度数
360 2rad
1 rad 0.01745 rad
180
180 rad
1rad
1 8 0
57.30
5718
基本关系
导出关系
问题4 如何进行角度制和弧度制的互化？
弧度制
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。
设弧AB的长为l，
若l=r，则∠AOB=
l r
=1
弧度
B l=r
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度
Or A
若l=2r，
则∠AOB=
l r
=2弧度
B
l=2r
2弧度
Or A
若l= 2πr，
则∠AOB=
l r
=2π弧度
l= 2πr
2π弧度
O r A(B)
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝
对值：
︱α︱=
l r
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r
为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,其 弧度数是2π,而在角度制里它是360°.

[解] (1)如图(1)所示，以 OB 为终边的角为 330°，可看成是
－30°，化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，于是，
所求集合 S＝θ2kπ－π6＜θ＜2kπ＋51π2，k∈Z

.

(2)如图(2)所示，以 OB 为终边的角为 225°，可看成是－135°，
“多练悟——素养提升”见“课时跟踪检测(三)” (单击进入电子文档)
(2)与 α 终边相同的角可表示为 θ＝2kπ＋79π，k∈Z ， 又－2π≤θ＜4π， 所以 k＝－1,0,1， 将 k 的值分别代入 θ＝2kπ＋79π，k∈Z ， 得 θ＝－119π，79π，259π.
考点三 扇形的弧长与面积公式的应用
[典例] 解答下列各题： (1)已知扇形的面积为 1 cm2，它的周长为 4 cm，求它 的圆心角； (2)已知半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的长为 10.求弦 AB 所对的圆心角 α 的弧度值．
度量
单位
角度制
弧度制
类别
扇形的弧长 扇形的面积
|n|πr l＝ 180
S＝3|n60| πr2
l＝ |α|r S＝12lr＝12|α|r2
[点睛] (1)在应用扇形面积公式 S＝12|α|r2 时，要注意 α 的单 位是“弧度”．
(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入． (3)在弧度制下的扇形面积公式 S＝12lr，与三角形面积公式 S ＝12ah(其中 h 是三角形底边 a 上的高)的形式较相似，可类比记忆． (4)由 α，r，l，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．
(2)β1＝45π＝45π×18π0°＝144°. 设 θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)． ∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°. ∴k＝－1 或 k＝0.∴在－360°～360°范围内与 β1 终边相同的角 是－216°.β2＝－116π＝－116π×18π0°＝－330°. 设 θ2＝k·360°－330°(k∈Z)． ∵－360°≤θ2＜360°， ∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0 或 k＝1. ∴在－360°～360°范围内与 β2 终边相同的角是 30°.

角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad
π 1°＝ rad≈ 0.017 45 rad 180
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180° 1 rad＝
180 π
°≈57.30°
答案
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系.
度 0° 1° 30° 45°60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
终边相同的所有角.
解析答案
类型三 例3
扇形的弧长及面积公式的应用
已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积
最大，并求这个最大值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 解
一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， 1 ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝ lR， 2 1 得 1＝ (4－2R)· R， 2 l 2 ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝ ＝ ＝2， R 1
7 所以－1 485° ＝－10π＋ π. 4
解析答案
规律与方法
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一 对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对 应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角 ( 即弧度数等于这个实数 的角)与它对应. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这 一关系式.
(3)－4.
解 π ∵－4＝－2π＋(2π－4)， ＜2π－4＜π. 2
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2
3π π 设 α1＝－570° ，α2＝750° ，β1＝ ，β2＝－ . 5 3

高一年级数学学科编号：24 班级： 学生姓名： 设计人：史旭龙 审核人：安仓娃课题：§3弧度制【学习目标】（1）理解1弧度的角及弧度的定义； （2）掌握角度与弧度的换算公式； （3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题.【学习重点】理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用.【学习难点】弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系.第一部分【自主学习】1、我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做 .2、 一般地，正角的弧度数是一个 ， 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做 ．3、角度和弧度之间的互化：360°= rad; =πrad;1°= rad ≈ rad 1rad=（ ）°≈ = .第二部分【合作探究】1、把45°化成弧度。

2、把53πrad 化成度。

3、利用弧度制证明扇形面积公式S ＝21lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径。

第三部分【课堂练习】1、下列说法正确的是（ ）A 、一弧度是一度的圆心角所对的弧.B 、一弧度是长度为半径的弧.C 、一弧度是一度的弧与一度的角之和.D 、一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位. 2、填表度 0°45° 60°180° 360° 弧度6π2π23π3、把35radπ化为角度=________，是第___象限角.4、求下列各式的值. (1)sin3π(2)tan6π第四部分【课后反思】主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。