2018上海中学自招数学试卷pdf版,无答案

2018年上海中学自主招数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知x2+ax−12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有( )A. 0B. 2C. 4D. 62. 如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD=EC，过A作直线l，作DM//BA 交l于M，作EN//CA交l于N.设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则( )A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. S1与S2的大小与过点A的直线位置有关3. 设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2=2(q1+q2)，若方程甲：x2+p1x+q1=0，乙：x2+ p2x+q2=0，则( )A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定4. 设a=121+223+325+⋯+100722013，b=123+225+327+⋯+100722015，则以下四个选项中最接近a−b的整数为( )A. 252B. 504C. 1007D. 2013二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）5. 已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于______ ．6. 有______个实数x，可以使得√120−√x为整数．7. 如图，△ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF=______．8. 在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−34m2(m>0)与x轴交于A，B两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m的值等于_______．9. 定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r<72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有______个可能的值．10. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人．11. 对于各数互不相等的正整数组(a1,a2,…a n)(n是不小于2的正整数)，如果在i<j时有a i>a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的逆序数为2，则(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的逆序数为______．12. 若n为正整数，则使得关于x的不等式1121<nx+n<1019有唯一的整数解的n的最大值为______．三、解答题（本大题共2小题，共16.0分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.行列式4125的值为 。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{错误!未找到引用源。

}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，则2+2的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2错误!未找到引用源。

2018年华二附中自招数学试卷及解析1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为 【答案】40【解析】根据题意，将2x =代入到75212ax bx x x ++++有7522222128a b ⋅+⋅+++=-有752226a b ⋅+⋅=-，将2x =-代入到75212ax bx x x ++++有()()752222212261440a b -+-+-+=+=2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = 【答案】311-【解析】根据题意，122b x x a a +=-=-，121c x x a a⋅==+，()2221212122x x x x x x +=+- ()()22221624a a a a =--+=-+=，计算可得311a =±；根据原有式子2(2)10x a x a +-++=，()()22241850a a a a ∆=--+=-+≥，有411a ≥+或411a ≤-，综上有311a =-3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援 【答案】60°【解析】根据题意画出图形，可以注意到ABC 是一个等腰三角形，所以乙船应该朝北偏东60°方向沿直线前往救援4. 关于x 、y 的方程组1x y x y x yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有组解【答案】2【解析】根据题意1x y x y x y y x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有12y x -=，代入x yx y xy -+=，有22x y x y y y -++=；有1y =或22x y x y -+=+推出得11x y =⎧⎨=⎩或231333x y -⎧=⎪⎨⎪=⎩有2组解 5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 【答案】25【解析】将a b c ++平方得()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++2222222222222222420a ab ac bc b c a b ab ac bc bc a b ab ac bc ≥+++++≥+++++=++++=有25a b c ++≥6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是 【答案】69y ≥【解析】根据题意有当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，244p p--≥-=，有8p ≤-，当x p =时22225569y p p p =-+=+≥7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是【答案】23【解析】根据题意易得G 、H 为AC 的三等分点，1166AGDCHDAGBBCHABCD SSSSS =====111212AGEBEGHFBFCHABCD SSSSS ===== 则阴影部分面积为11111212126663++++=8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC += 【答案】16 【解析】9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥， 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为【答案】2n k （k 为[1,2]n中的奇数） 【解析】10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是【答案】2 【解析】11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.【答案】108A =，135B =，180C =，117D =【解析】先设这4个数为1234,,,x x x x ，且它们的和能被234,,x x x ，另234x x x <<，则根据题意有：()()1234213421x x x x x x x x x N +++÷=+++÷=,N 为自然数，即()13421x x x x N ++÷=-，因为它们的首位数字相同，所以1N -应该在3附近，又因为234x x x <<，所以()13424x x x x ++÷=；12. 如图，已知P A 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.【答案】12【解析】2OP OA=，∴12 HC HBBC-=附录：无答案试卷1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援4. 关于x 、y 的方程组1x y x yx yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有 组解5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +=9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.12. 如图，已知P A 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.。

2018年上海中学自主招数学试卷一.填空题1．已知，则的值等于．2．（3分）有个实数x，可以使得为整数．3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD＝BF，BD＝CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF ＝．4．（3分）在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于．5．（3分）定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r＜72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有个可能的值．6．（3分）学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有人．7．（3分）对于各数互不相等的正整数组（a1，a2，…a n）（n是不小于2的正整数），如果在i＜j时有a i＞a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的逆序数为．8．（3分）若n为正整数，则使得关于x的不等式有唯一的整数解的n的最大值为．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．（3分）已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．610．（3分）如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD＝EC，过A作直线l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1与S2的大小与过点A的直线位置有关11．（3分）设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2＝2（q1+q2），若方程甲：x2+p1x+q1＝0，乙：x2+p2x+q2＝0，则（）A．甲必有实根，乙也必有实根B．甲没有实根，乙也没有实根C．甲、乙至少有一个有实根D．甲、乙是否总有一个有实根不能确定12．（3分）设a＝+…，b＝+…，则以下四个选项中最接近a﹣b的整数为（）A．252 B．504 C．1007 D．2013三.解答题13．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．14．是否存在m个不全相等的正数a1、a2、…、a m（m≥7），使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一.填空题1．已知，则的值等于﹣1 ．【分析】由左边通分得＝，则有（a+b）2＝ab，然后把+通分得，配方后得，再把（a+b）2＝ab整体代入即可得到值．【解答】解：+＝＝，∵，∴＝，∴（a+b）2＝ab，∴+＝＝﹣1．2．（3分）有11 个实数x，可以使得为整数．【分析】由二次根式有意义可知x≥0，120﹣≥0，可得≥0．而为整数数只有11个，从而可知对应的x取值个数．【解答】解：∵有意义，∴x≥0，∴120∴≥0．∵为整数数，∴的值为0、1、2、…10，共11个整数．∴x取值对应有11个．故答案为：11．3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD＝BF，BD＝CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF ＝90°﹣∠A．【分析】由等腰三角形两底角相等用∠A表示出∠B，由SAS证得△DBF≌△ECD得出∠BFD ＝∠CDE，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠FDC＝∠B+∠BFD，又∠FDC＝∠EDF+∠CDE，从而得解．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，在△DBF和△ECD中，，∴△DBF≌△ECD（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDC＝∠B+∠BFD，∠FDC＝∠EDF+∠CDE，∴∠B＝∠EDF，∴∠EDF＝90°﹣∠A，故答案为：90°﹣∠A．4．（3分）在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于 2 ．【分析】设方程x2+mx﹣m2＝0的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系及m的取值范围判断出x1＜0，x2＞0，再由﹣＝求出OA＝|x1|＝﹣x1，OB＝x2，再把OA＝|x1|＝﹣x1，OB＝x2代入﹣＝即可求出m的值．【解答】解：设方程x2+mx﹣m2＝0的两根分别为x1、x2，且x1＜x2，则有x1+x2＝﹣m ＜0，x1x2＝﹣m2＜0，所以x1＜0，x2＞0，由﹣＝，可知OA＞OB，又m＞0，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA＝|x1|＝﹣x1，OB＝x2，所以+＝，即＝，故＝，解得m＝2．故答案为：25．（3分）定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r＜72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有11 个可能的值．【分析】利用⊙B运动的距离除以⊙B的周长即可得出答案；【解答】解：∵让动圆B沿着圆A的圆周滚动一圈回到原来的位置，∴⊙B滚动的路程为：2π（72﹣r），∴⊙B自转了＝﹣1（圈），∵r＜72且r是一个整数，∴r可以为1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，共11个，故答案为：11．6．（3分）学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有44 人．【分析】设码头剩有x只船，则学生有（4x+20）人，根据如果每船坐8人，则有船不空也不满，可列不等式组求解．【解答】解：设码头剩有x只船，则学生有（4x+20）人，由题可得：解得：5＜x＜7，∵x只能为整数，∴x＝6当x＝6时，4x+20＝44．即共有学生44人．故答案是：44．7．（3分）对于各数互不相等的正整数组（a1，a2，…a n）（n是不小于2的正整数），如果在i＜j时有a i＞a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的逆序数为13 ．【分析】根据题意，各数互不相等的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，根据从6个数字中任选2个的所有组合数减去2得到所有可能的结果数．【解答】解：根据题意，各数互不相等的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，从6个数字中任选2个共有15种组合，∵（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，∴（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的逆序数是所有组合数减去2，即共有15﹣2＝13种结果，故答案为：13．8．（3分）若n为正整数，则使得关于x的不等式有唯一的整数解的n的最大值为220 ．【分析】先解关于x的不等式组，由题意可得出n的不等式，求出n的最大值．【解答】解：由题意得：，解得：，∵不等式有有唯一的整数解，∴，∴n≤220．∵n为正整数，∴n的最大值为220．故答案为：220．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．（3分）已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根据十字相乘法分解因式，﹣12可以分解成﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），a等于分成的两个数的和，然后计算即可得解．【解答】解：∵﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），∴a＝﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣3+4＝1，3+（﹣4）＝﹣1，即a＝±11，±4，±1共6个．故选：D．10．（3分）如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD＝EC，过A作直线l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1与S2的大小与过点A的直线位置有关【分析】利用等高模型，用转化的思想解决问题即可．【解答】解：连接AD，AE．∵DM∥BA，EN∥CA，∴S1＝S△ADB，S2＝S△AEC，∵BD＝EC，∴S△ABD＝S△AEC，∴S1＝S2，故选：B．11．（3分）设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2＝2（q1+q2），若方程甲：x2+p1x+q1＝0，乙：x2+p2x+q2＝0，则（）A．甲必有实根，乙也必有实根B．甲没有实根，乙也没有实根C．甲、乙至少有一个有实根D．甲、乙是否总有一个有实根不能确定【分析】将两方程根的判别式相加可得出△1+△2＝（p1﹣p2）2≥0，由此可得出△1、△2中至少有一个大于等于0，即甲、乙至少有一个有实根．【解答】解：方程甲的根的判别式△1＝p12﹣4q1，方程乙的根的判别式△2＝p22﹣4q2，∴△1+△2＝p12﹣4q1+p22﹣4q2，＝（p12+p22）﹣4（q1+q2），＝p12+p22﹣2p1p2，＝（p1﹣p2）2≥0，∴△1、△2中至少有一个大于等于0，即甲、乙至少有一个有实根．故选：C．12．（3分）设a＝+…，b＝+…，则以下四个选项中最接近a﹣b的整数为（）A．252 B．504 C．1007 D．2013【分析】根据题意列出算式a﹣b＝++++……+﹣＝﹣，再进一步计算可得．【解答】解：a﹣b＝++++……+﹣＝﹣＝1007﹣＝＝＝503，∴最接近a﹣b的整数为504，故选：B．三.解答题13．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．【分析】（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明；（2）注意要分二种情况讨论：即B、D在AC两侧和B、D在AC同侧．【解答】解：（1）线段MN与BD垂直．连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道MB＝，MD＝，所以MB＝MD．三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：MN垂直BD．（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，∵M是AC的中点，∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，∴在Rt△BEM中，∠EMB＝30°，∵AC＝4，∴BM＝2，∴BE＝1，EM＝，MD＝2，从而可知BD＝＝2∴BN＝．由Rt△BMN可得：MN＝＝．如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，∵M、N分别是AC，BD中点，∴MD＝AC，MB AC，∴MD＝MB，∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，∴∠BMC＝60°，∠DMC＝90°，∴∠BMD＝30°，∴∠BDM＝＝75°，∵∠MDA＝45°∴∠EDB＝180°﹣∠BDM﹣∠MDA＝60°，令ED＝x，则BE＝x，AD＝2，AB＝2，∴由Rt△ABE可得：（2）2＝（x）2+（x+2）2，解得x＝，则BD＝2，∵M、N分别是AC，BD中点，∴MD＝2 DN＝．由Rt△MND可得：MN＝＝．14．是否存在m个不全相等的正数a1、a2、…、a m（m≥7），使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值；若不存在，说明理由．【分析】设前两个数为a1，a2，则按照“每个数都等于其相邻两数的乘积“，依次列式，找出循环规律，则问题得解．【解答】解：设前两个数为a1，a2，则有a1•a3＝a2，∴a1＝，a3＝a2•a4，∴a4＝＝，a4＝a3•a5，∴a5＝＝＝，a5＝a4•a6，∴a6＝＝a6＝a7•a5，∴a7＝＝a1，a7＝a6•a8，∴a8＝a2，…∴每6个数为一个循环∵m≥7∴当m＝6k，（k≥2，且k为正整数）时，存在符合题意的m值．。

高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：1.本试卷共18题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）1.32++-=x x y 的最小值是.2.不等式0232≥++bx x 的解是全体实数，则b 的取值范围是.3.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝3cm ，AB ＝6cm ，且MN ∥PQ ∥AB ，DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝cm ，PQ ＝cm.4．已知关于x 的不等式122++mx mx >0的解是一切实数，则m 的取值范围为___________.5.已知关于x 的方程111112-=--+-x mx x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是.6.若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为.7.若y x ，为正实数，且4=+y x ，则4122+++y x 的最小值为.8.对任意A 中任取两个元素x ，y ，定义运算x*y ＝ax+by+cxy ，其中a ，b ，c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m ＝x ，则称m 是集合A 的“钉子”．集合A ＝{x|0≤x ≤4}的“钉子”为．二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数a ,b 满足122=b a ＋,0＞ab ,求2211a b b a -+-的值.10.（8分）已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝D C MP N Q ABx 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a +1，求a 的取值范围.11.（8分）设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。

2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。

10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。

11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。

2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．4．（3分）关于x、y的方程组有组解．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为40．【解答】解：∵当x＝2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×27+b×25+22+2+12＝﹣8，∴a×27+b×25＝﹣26．当x＝﹣2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×（﹣2）7+b×（﹣2）5+（﹣2）2+（﹣2）+12＝﹣a×27﹣b×25+22﹣2+12＝﹣（a×27+b×25）+4﹣2+12＝26+14＝40．故答案为40．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝3﹣．【解答】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东60度的方向沿直线前往B处救援．【解答】解：如图，连接BC．由题意，可知∠BAS＝90°，AB＝10海里，∠SAC＝30°，AC＝10海里．∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝120°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°．∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∴∠NCB＝90°﹣∠BCD＝60°．故答案为60．4．（3分）关于x、y的方程组有2组解．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程x x﹣y＝y x+y得y﹣2（x﹣y）＝y x+y，当y＝1时，x＝1，当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．经检验方程组的解为或．故答案为2．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是2．【解答】解：（a+b+c）2﹣b2﹣c2+2bc＝20，（a+b+c）2＝（b﹣c）2+20，∵（b﹣c）2≥0，∴（b﹣c）2+20≥20，∵（a+b+c）2≥20．且a、b、c均大于零，∴a+b+c≥2，既a+b+c的最小值是2．故答案为：2．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为y≥69．【解答】解：∵当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，a＞0，∴x＝﹣＝≤﹣2，∴p≤﹣8，∴当x＝p时，y＝2p2﹣p2+5＝p2+5，∴对应的y的值的取值范围为：y≥69．故答案为：y≥69．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：设DE，DF分别交AC于N，M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△AMD∽△CMF，∴，∵F是BC的中点，∴AD＝BC＝2FC，∴＝2，同理：△AEN∽△CDN，∵E是AB的中点，∴＝2，∴AN＝MN＝CM＝AC，∵S△ACD＝S正方形ABCD＝×1＝，∴S△DMN＝S△ACD＝×＝，S△ADM＝S△ACD＝×＝，∵，∴S△CFM＝×＝，同理：S△AEN＝，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEN﹣S△CFM﹣S△DMN＝1﹣﹣﹣＝．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝16．【解答】解：设EF＝x，BF＝y，∵FE+EO＝8，∴OE＝8﹣x，而AB＝16，O为边AB的中点，∴OF＝8﹣y，∵EF⊥AB，∴∠OFE＝90°，∴OE2＝OF2+EF2，即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+x2，∴16x＝16y﹣y2，又∵∠ABC＝∠BAD＝90°，即AD∥EF∥BC，∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，∴，，∴①，②，①+②得，，∴AD+BC＝16x •＝16，故答案为：16．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为，，，…，．【解答】解：根据题意，得1 2 34操作次数变化点重合点11由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为，．所以原题答案为，，…，．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．【解答】解：依题设≥M，x≥M，y+≥M，∴，，M，∴M2≤2，y＝，y+＝，∴M＝，M的最大值是．故答案为：．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．【解答】解：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；则根据题意有：（x1+x2+x3+x4）÷x2＝1+（x1+x3+x4）÷x2＝N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2＝N﹣1，因为他们的首位数字相同，所以N﹣1应该在3附近，又因为x2＜x3＜x4，所以（x1+x3+x4）÷x2＝4，同理（x1+x2+x4）÷x3＝3，（x1+x2+x3）÷x4＝2；则4x3＝5x2＝3x4；由5x2＝3x4可得2x2＝3（x4﹣x2），因为x4和x2的首位数字相同，所以x4﹣x2最大为99，即x2最大为148，且由4x3＝5x2＝3x4可以知道，x2应该能被12整除，故x2可以为108，120，132，144；进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；所以x2只能取为x2＝108，从而x3＝135，x4＝180，x1＝117，即这四个数是117，108，135，180．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．【解答】解：连接OB、OC、OA，如图，∵P A为⊙O的切线，∴OA⊥P A，即∠P AO＝90°，而AH⊥OP，∴∠PHA＝90°，∴Rt△P AH∽Rt△POA，∴P A：PO＝PH：P A，即P A2＝PH•PO，又∵PBC为⊙O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PH•PO＝PB•PC，∴△PBH∽△POC，∴∠PBH＝∠POC，＝，即＝①，∴点H、B、C、O四点共圆，∴∠HOB＝∠HCB，∴△PBO∽△PHC，∴＝，即＝②，由①②得＝，即＝，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，∵在Rt△OAP中，∠APO＝30°，则OP＝2OA，∴＝．。

交大附中自主招生试卷2019.03第一部分1. 已知13x x +=-，求3311000x x ++. 2. 11(1)x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和. 3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为BC 的切线，正方形ABCD 边长为200，BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分） 3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分）（2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ （4 points ）Compute 98∞（6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =。

2018年上海中学自主招数学试卷一.填空题1．已知1a +1b =1a+b ，则b a+a b 的值等于 ． 2．有 个实数x ，可以使得√120−√x 为整数．3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝BF ，BD ＝CE ，用含∠A 的式子表示∠EDF ，则∠EDF＝ ．4．在直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx −34m 2（m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点．若A ，B两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1OB −1OA =23，则m 的值等于 ． 5．定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，r ＜72且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆A且沿着圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有 个可能的值．6．学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有 人．7．对于各数互不相等的正整数组（a 1，a 2，…a n ）（n 是不小于2的正整数），如果在i ＜j时有a i ＞a j ，则称a i 与a j 是该数组的一个“逆序”，例如数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6）的逆序数为2，则（a 6，a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的逆序数为 ．8．若n 为正整数，则使得关于x 的不等式1121＜n x+n ＜1019有唯一的整数解的n 的最大值为 ．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．已知x 2+ax ﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a 的个数有（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6 10．如图，D 、E 分别为△ABC 的底边所在直线上的两点，BD ＝EC ，过A 作直线l ，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1与S2的大小与过点A的直线位置有关11．设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2＝2（q1+q2），若方程甲：x2+p1x+q1＝0，乙：x2+p2x+q2＝0，则（）A．甲必有实根，乙也必有实根B．甲没有实根，乙也没有实根C．甲、乙至少有一个有实根D．甲、乙是否总有一个有实根不能确定12．设a=121+223+325+⋯+100722013，b=123+225+327+⋯+100722015，则以下四个选项中最接近a﹣b的整数为（）A．252B．504C．1007D．2013三.解答题13．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N 不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．14．是否存在m个不全相等的正数a1、a2、…、a m（m≥7），使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值；若不存在，说明理由．。

2018年上海交大附中自主招生数学试卷（无答案）y mx a=+（1100x ≤≤），不经过整点，求a 可取到的最大值. 10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养） 1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分）（2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ （4 points ）Compute 98212n n n n ∞++++（6 points ）Solve the equation2018416431x x x x x +++⋅⋅⋅++=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization. The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c ofpositive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =。