分类讨论在导数中的应用

答案详解：本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）求出比较其与的大小，得到的单调性表，于是得到的极值。

（2）将代入到中，并求得当时，此时恒成立，即在单调递增，同理可以得到在上为增函数，则原不等式可化为在上恒成立，令，对其求导得知若为减函数时其导数恒小于，便可得到的取值范围。

（3）若存在，使得假设成立，也即在上不是单调增或单调减，故，对求导得到其极小值点为，由于解得此时，此时需证明当，使得即可，此时可取，发现成立，故的取值范围为。

答案详解（Ⅰ），由是的极值点得，所以。

于是，定义域为，，函数在上单调递增，且。

因此，当时，；当时，。

所以，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ）当，时，，故只需要证明当时，。

当时，函数在单调递增，又，，故在有唯一实根，且。

当时，；当时，；从而当时，取得最小值。

由得：，，故。

综上：当时，。

解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。

（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。

（Ⅱ）由分析知，只需证明当时，，此时通过分析函数单调性，求得即可得证。

例题5：函数。

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；（Ⅱ）证明：当时，。

答案详解（Ⅰ）的定义域为，（）。

当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。

又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当时，。

故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。

由于，所以。

故当时，。

解析:本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。

（Ⅰ）求导得出的表达式，根据其表达式，对进行分类讨论。

当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设的最小值在时取到，最小值为。

写出的表达式，再运用均值不等式即可得出。

题型3：先构造，再赋值，证明和式或积式不等式例题：已知函数。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用陈燕飞(昆山陆家高级中学ꎬ江苏苏州２１５０００)摘㊀要:分类讨论是数学学科的重要思想之一ꎬ每年高考题都会涉及到分类讨论思想的考查ꎬ是高中数学教学的重点.为提高学生的分类讨论思想能力ꎬ促进其解题能力及数学学习成绩的提升ꎬ教学实践中应采用理论讲解和习题巩固相结合的教学方法ꎬ指导学生在不同题型中的应用分类讨论思想.关键词:分类讨论思想ꎻ高中数学ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１８－００１１－０３收稿日期:２０２３－０３－２５作者简介:陈燕飞(１９７７.９－)ꎬ男ꎬ江苏省如皋人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀分类讨论思想在高中数学解题中有着广泛的应用ꎬ不同习题分类讨论的切入点及讨论标准存在差异ꎬ因此ꎬ教学实践中应为学生做好解题示范ꎬ注意预留 空白 ꎬ要求学生认真揣摩分类讨论的标准与过程ꎬ做好方法的归纳㊁整理ꎬ以便理解与掌握分类讨论法.１解答三角函数习题三角函数题中产生分类讨论的情况主要有周期㊁相位㊁图象的不确定等ꎬ解题时应从这些不确定的对象入手ꎬ运用已知条件尽可能的将不确定对象的范围进一步精确ꎬ通过分类讨论尝试推导出矛盾ꎬ从而解决问题.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬωɪＮ∗ꎬ０<φ<π)图象上Ａ的坐标为(π２４ꎬ０)ꎬ一条对称轴为直线ｘ＝π６.当ｆ(ｘ)在区间(π６ꎬπ３)上单调ꎬ则φ的值为(㊀㊀).Ａ.π６㊀㊀㊀Ｂ.π４㊀㊀㊀Ｃ.π３㊀㊀㊀Ｄ.２π３解析㊀由ｆ(ｘ)在区间(π６ꎬπ３)上单调ꎬ可得π３－π６＝π６ɤＴ２ꎬ即ꎬ１２ˑ２πωȡπ６ꎬ解得０<ωɤ６.因点Ａ在函数ｆ(ｘ)图象上ꎬ且直线ｘ＝π６为函数ｆ(ｘ)图象的一条对称轴ꎬ则π６－π２４＝π８.当π８＝Ｔ４ꎬ此时Ｔ＝２πω＝π２ꎬ解得ω＝４满足题意ꎻ当π８＝３Ｔ４ꎬ此时Ｔ＝２πω＝π６ꎬ解得ω＝１２不满足题意ꎻ综上可得ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(４ｘ＋φ)ꎬ因直线ｘ＝π６为其一条对称轴ꎬ则４ˑπ６＋φ＝ｋπꎬｋɪＺꎬφ＝ｋπ－２π３ꎬｋɪＺꎬ又由０<φ<πꎬ则φ＝π３ꎬ选择Ｃ.１１点评㊀根据函数ｆ(ｘ)在给定区间的单调性ꎬ确定其周期范围ꎬ再运用周期公式得出ω的范围.结合图象中的已知点㊁对称轴进行分类讨论ꎬ看计算出的ω是否在解得的范围内ꎬ得出最终结果.２解答解三角形习题解三角形常用的知识点有正弦㊁余弦定理ꎬ但在运算的过程中可能会出现多种情况ꎬ此时需进行分类讨论.分类讨论的依据有三角形的内角的分类ꎬ边的分类等.分类讨论中ꎬ若某种情况能推出矛盾ꎬ则应舍去该种情况ꎻ如不能推出矛盾ꎬ则该种情况成立.例２㊀在钝角әＡＢＣ中ＡꎬＢꎬＣ对应边ａꎬｂꎬｃꎬ其中ａ>ｂꎬａ＝６ꎬ且满足３ｓｉｎＢ－３ｓｉｎＣ＝ｃｏｓＡꎬｃｏｓ２Ａ＝－７９ꎬ则әＡＢＣ的面积为(㊀㊀).Ａ.４㊀㊀㊀Ｂ.８㊀㊀㊀Ｃ.４２㊀㊀㊀Ｄ.８２解析㊀由ａ＝６ꎬ３ｃｏｓＢ－３ｃｏｓＣ＝ｃｏｓＡ以及正弦定理得到:３ｂ－３ｃ＝ａ＝６ꎬ则ｂ－ｃ＝２①ꎻ又由ｃｏｓ２Ａ＝２ｃｏｓ２Ａ－１ꎬｃｏｓ２Ａ＝－７９ꎬ得到ｃｏｓＡ＝ʃ１３.当ｃｏｓＡ＝１３时ꎬ由余弦定理得到:ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡꎬ即ꎬ３６＝ｂ２＋ｃ２－２３ｂｃ＝(ｂ－ｃ)２＋４３ｂｃ＝４＋４３ｂｃꎬ即ꎬｂｃ＝２４②ꎻ由①②得到ｂ＝６ꎬｃ＝４ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎻ当ｃｏｓＡ＝－１３时ꎬｃｏｓＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝２２３ꎬ由余弦定理得到:４＋８３ｂｃ＝３６ꎬ此时ｂｃ＝１２ꎬ由①得到ꎬｂ＝１＋１３ꎬｃ＝－１＋１３ꎬ满足ａ>ｂꎬ则ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｃｏｓＡ＝１２ˑ１２ˑ２２３＝４２ꎬ选择Ｃ项.点评㊀根据题干中给出的等式ꎬ运用正弦定理进行转化得出ｃｏｓＡ的值有两个ꎻ分别对两个值讨论ꎬ发现ｃｏｓＡ＝１３不符合题意ꎬ而ｃｏｓＡ＝－１３符合题意ꎬ在ｃｏｓＡ＝－１３的条件下计算出әＡＢＣ的面积即可.３解答导数习题导数是高中数学中最易考查分类讨论思想的知识[１].分类讨论常出现对函数求导后ꎬ因参数值的不确定性ꎬ导致函数在不同区间的单调性不同.对参数分类讨论过程中ꎬ判断得出的参数值或范围是否符合题意.例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ＋１ꎬｇ(ｘ)＝ａ(ｅｘ－１)ꎬ当ｘ>０时ꎬ有ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬ则实数ａ能取到的最大整数为(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀㊀Ｃ.３㊀㊀㊀㊀Ｄ.４解析㊀令ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝ｘｅｘ＋１－ａ(ｅｘ－１)＝(ｘ－ａ)ｅｘ＋ａ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝(ｘ－ａ＋１)ｅｘ.当ａɤ１时ꎬｈᶄ(ｘ)>０在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立ꎬ此时ꎬｈ(ｘ)单调递增ꎬ要想满足题意只需ｈ(０)ȡ０ꎬ此时ｈ(０)＝１满足题意.当ａ>１时ꎬ令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ解得ｘ＝ａ－１ꎬ则当０<ｘ<ａ－１时ｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘ>ａ－１时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)单调递增ꎻｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ(ａ－１)＝－ｅａ－１＋１＋ａꎬ要想满足题意只需－ｅａ－１＋１＋ａȡ０ꎬ即１＋ａȡｅａ－１.当ａ＝２时.３>ｅ成立ꎻ当ａ＝３时４>ｅ２不成立.综上分析ꎬ实数ａ能取到的最大整数为２ꎬ故选择Ｂ项.点评㊀求参数ａ能取到的最大整数ꎬ需将问题转化为恒成立问题ꎬ而恒成立对应求函数的最值ꎬ因此ꎬ分类讨论主要围绕求函数的最值展开ꎬ期间需灵活应用导数知识.４解答数列习题数列习题中分类讨论常出现的情况有公差和公比的不确定性㊁通项公式的不确定性等ꎬ尤其对于部 ２１分数列需将偶数项与奇数项的通项公式分开考虑ꎬ运算时应搞清楚奇㊁偶项的内在联系ꎬ保证推理的严谨性与正确性.例４㊀已知数列{ａｎ}中ａ１ɪＺꎬａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ＋３ꎬ前ｎ项的和为Ｓｎꎬ若Ｓ１３＝ａｍꎬ则正整数ｍ＝(㊀㊀).Ａ.９９㊀㊀㊀Ｂ.１０３㊀㊀㊀Ｃ.１０７㊀㊀㊀Ｄ.１９８解析㊀由ａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ＋３得到ａｎ＋１－(ｎ＋１)－１＝－(ａｎ－ｎ－１)ꎬ则数列{ａｎ－ｎ－１}为公比１的等比数列ꎬ则ａｎ－ｎ－１＝(－１)ｎ－１(ａ１－２)ꎬ由数列{ａｎ}前ｎ项的和为Ｓｎ得到:Ｓ１３＝ａ１＋(ａ２＋ａ３)＋ ＋(ａ１２＋ａ１３)＝ａ１＋２(２＋４＋ ＋１２)＋３ˑ６＝ａ１＋１０２.当ｎ为奇数时ａ１－２＋ｎ＋１＝ａ１＋１０２ꎬ解得ｍ＝１０３ꎻ当ｎ为偶数时ꎬ－(ａ１－２)＋ｎ＋１＝ａ１＋１０２ꎬｍ＝２ａ１＋９９由ａ１ɪＺꎬ则ｍ＝２ａ１＋９９只能为奇数ꎬ此时无解.综上分析ｍ＝１０３ꎬ选择Ｂ项.点评㊀数列的的通项公式中含有(－１)ｎ－１ꎬ导致数列的偶数项与奇数项的值不同ꎬ因此ꎬ需将其分开进行考虑ꎬ推理㊁计算出符合题意的结果.５解答圆锥曲线习题圆锥曲线是高中数学一个重难点ꎬ圆锥曲线习题中产生分类讨论的情况多种多样ꎬ尤以直线与圆锥曲线的关系不确定时为讨论的切入点ꎬ讨论过程中为减少运算量ꎬ提高运算效率ꎬ应认真观察图形ꎬ注重几何性质的应用.例５㊀已知Ｆ１ꎬＦ２为双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２ｂ２＝１(ｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ过点Ｆ２的直线和双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ当әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ则ｂ的所有取值的积为(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀㊀Ｄ.２３解析㊀(１)当过点Ｆ２的直线和双曲线相交的情境如图１时ꎬ设｜ＡＦ２｜＝ｍ(ｍ>ｃ－１)ꎬ则由双曲线定义可得｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＋２ａ＝ｍ＋２ꎬ由әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ｍ＋２ꎬ可得｜ＢＦ２｜＝２ꎬ由双曲线的性质可得｜ＢＦ１｜－｜ＢＦ２｜＝｜ＡＢ｜－｜ＢＦ２｜＝ｍ＝２ꎬ则｜ＡＦ２｜＝｜ＢＦ２｜ꎬ则ＡＢʅＦ１Ｆ２ꎬ则２ｃ＝４ｃｏｓ３０ʎ＝２３ꎬ则ｃ＝３ꎬｂ＝２ꎻ图１㊀例５题解析(１)㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀例５题解析(２) (２)当过点Ｆ２的直线和双曲线相交的情境如图２时ꎬ设｜ＢＦ２｜＝ｎ(ｎ>ｃ－１)ꎬ则｜ＢＦ１｜＝｜ＢＦ２｜＋２ａ＝ｎ＋２ꎬ由әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ｎ＋２ꎬ｜ＡＦ２｜＝２ｎ＋２ꎬ又由｜ＡＦ２｜－｜ＡＦ１｜＝２ｎ＋２－(ｎ＋２)＝２ꎬ解得ｎ＝２ꎬ则｜ＡＦ１｜＝４ꎬ｜ＡＦ２｜＝６ꎬ则әＡＦ１Ｆ２中由余弦定理可得｜Ｆ１Ｆ２｜２＝｜ＡＦ１｜２＋｜ＡＦ２｜２－２｜ＡＦ１｜ＡＦ２｜｜ｃｏｓ６０ʎ＝２７ꎬ则ｃ＝７ꎬ此时ꎬｂ＝６.结合以上两种情境可得ｂ的所有取值的积为２ˑ６＝２３ꎬ选择Ｄ项.点评㊀对于情况一ꎬ等边әＡＢＦ１位置较为特殊ꎬ可借助双曲线和等边三角形性质构建线段之间的关系求解.对于情况二ꎬ则需应用余弦定理进行运算.综上所述ꎬ应用分类讨论思想解答数学题时ꎬ应明确为何要进行分类讨论ꎬ分类讨论的依据是什么ꎬ怎样对分类讨论的结果进行合理取舍ꎬ等[２].解题教学中ꎬ为使学生掌握技巧㊁把握思路ꎬ既要展示经典例题ꎬ又要加强专题训练ꎬ启发学生的同时ꎬ帮助其积累丰富经验ꎬ增强应用能力.参考文献:[１]俞洁.高中数学问题中的分类讨论思想例谈[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０３):３５－３６.[２]顾宣峰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２１(Ｓ１):２０.[责任编辑:李㊀璟]３１。

导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中，除去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (x) = ax + b；f (a:) = (ax + b) e x ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)X★ 2.二次型导函数二次型导函数：二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中，除去里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (a:) = ax2 +bx + c；f (x) = (ax2 +bx + cj e x ; f (x) —* 况* ° (a； > 0)注：以上a尹0，若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型；★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1)先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;①判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；②求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题；③根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；(2)若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；①如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；②判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；③如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；④穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解析式就越精确.(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，如：f' (x) = e x—2 ; (/ (x) = (a; — a) (In x — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；(3)在单调性讨论中，拟合的形式比较简单，只需要参考两个关键点就可以了，分别是：①等于0的解，②所需拟合函数单调性；例如：f (a；) = e x -2，①当 / (a:) = 0 时，c = ln2 :② f (时=e x -2单调递增；则，我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数，所以f (x) = 可以拟合成f' {x) — x — \n.2 ;再如：寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了，此函数可以拟合成：y = x-^(x>0)；则寸(c) = (z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x — a) (x — e3) (z > 0).知识札记歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(x) = lnx + --l ^R)，讨论函数六z)的单调性. X解答：由题意知该函数的定义域为(0, +8)，且/ (^) = - - 4 = 与凸从而当a W0时，/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若z € (0,a)，则「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!)在(a,+8)上单调递增综上所述，当aWO时，义时在(0,+8)上单调递增；当a>0时，山z)在(0,a)上单调递减，在(a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答：函数，(z)的定义域是(0,+8) m—，若aWO,则/ (x) <。

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。

例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。

帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论在导数的学习中，我们经常会遇到各种不同的函数和问题，为了更好地理解和解决这些问题，我们需要进行分类讨论。

下面将介绍导数中常见的五种分类讨论，并探讨每种分类讨论的应用。

一、基本函数的导数基本函数是指一些常见的函数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

对于这些函数，我们可以通过公式或运用基本性质来求导数。

例如，对于常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

基本函数的导数可以通过记忆公式或基本性质来求解，这是导数求解中最基础的分类讨论。

二、复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数相互组合而成的函数。

对于复合函数的导数求解，我们可以运用链式法则。

链式法则指出，若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是两个可导函数，则复合函数y的导数可以表示为y'=f'(g(x))*g'(x)。

通过链式法则的应用，我们可以将复合函数的导数求解转化为求两个基本函数的导数，从而简化导数的计算。

三、隐函数的导数隐函数是指由一个关系式所定义的函数，其自变量和因变量的关系并不明显。

对于隐函数的导数求解，我们可以运用隐函数求导法。

隐函数求导法是一种通过求全微分和利用导数的定义来求解隐函数的导数的方法。

具体而言，我们可以将隐函数的方程两边求导，并利用导数的表示推导出隐函数的导数表达式。

隐函数的导数求解不仅可以帮助我们理解隐函数的性质，还可以解决一些与隐函数相关的问题。

四、参数方程的导数参数方程是指用参数的形式表示的函数。

对于参数方程的导数求解，我们可以运用参数方程的求导法。

参数方程的求导法是一种通过将参数作为自变量，并利用导数的定义和基本性质来求解参数方程的导数的方法。

具体而言，我们可以将参数方程中的每个参数视为独立的变量，然后对每个参数分别求导得到参数方程对应的导数表达式。

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。

那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。

这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。

以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。

（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。

判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。

综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。

【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。

而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。

《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 导数概念通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义2. 导数运算（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数3. 体会研究函数的意义（1 ）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.4•导数在实际问题中的应用（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义导数的概念：函数y=f（x）在x0点的导数，通常用符号f ‘X。

）表示，定乂为:一山y 「 f (Xo +^X)—f (Xo )f(x0尸lim ——=lim ------- ----------- ----- ---瘵T0也X 2°氐X要点诠释：(1)丄[_^= _j—X L，它表示当自变量x从x°变X i，函数值从 f x°变到 f X1时，.X X—X°. X函数值关于X的平均变化率•当X趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在X°点的导数.(2)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率•如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率.(3)对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中，位移S从时间1到t2的平均变化率即为t i到t2这段时间的平均速度.要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s=s t ,那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s t在t=t0时的导数，即v=s' t。

导数中含参数问题该如何进行分类讨论
一、导函数是二次函数或者类二次函数形式的
注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符号相同，很容易判断a 非负状态下的单调性，切记，切记。

二、导函数不是二次函数和类二次函数形式
能因式分解的先分解，之后求根，注意所求的根在所给出的定义域有没有意义，如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要对比两根的大小关系，最后如果原函数有定义域，还需判断极值点和定义域端点处的位置关系。

三、最高次项系数含有参数，对该系数分类讨论
四、根的个数不确定时，对判别式Δ分类
五、两根大小不确定时，对两根大小分类讨论
六、不确定根是否在定义域内时，对根与定义域端点值的大小分类讨论
七、复杂问题，按顺序分类讨论。

1、导数中的分类讨论思想1、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠，求函数()f x 的单调区间与极值点．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性．3、已知函数321()3f x x ax bx =++,且'(1)0f -=，试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间．4、已知函数22()(1)x b f x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．5、设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围2、导数处理函数的零点问题1.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = ( ) A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

B 在区间1(,1),(1,)e e内均无零点。

C 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

2、设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--=(1) 求)(x f 的极值.及单调区间(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点?两个点？三个点？3、已知函数()x x x f 82+-=，()m x x g +=ln 6.是否存在实数m ，使得()x f y =的图像与()x g y =的图像有且只有三个不同的交点；若存在，求出m 的范围，若不存在，说明理由.4、（2010湖北文数）设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中a ＞0，曲线()x f y =在点()()0,0f P 处的切线方程为1=y .（1）确定b 、c 的值。

导数问题中分类讨论的策略作者：曹辉来源：《理科考试研究·高中》2018年第10期摘要：本文从导函数的根的存在性、根是否属于定义域、根的大小关系等三个方面探讨了导数问题中的分类讨论策略.关键词：单调区间；极值；分类；取值范围作者简介：曹辉（1976-），男，甘肃永昌人，本科，中学一级教师，研究方向：中学数学教学.分类讨论是解决含有参数的复杂数学问题的重要数学思想之一分类讨论是当问题所给的研究对象不能进行统一研究时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后分别对每一类对象进行研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.近年，高考解答题对导数部分的考查几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，但总体表明考生的得分率并不高.主要原因有两个：一是不能理解题意；二是不会分类讨论.分类讨论不仅是高考的重点与热点，还是高考的难点.每年高考试题中都会设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题、解决问题的能力.因此，在教授导数时，要让学生掌握常见的分类讨论策略.本文对这类问题从3个方面谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.一、有没有导函数的根的存在性讨论.例1 求函数f（x）=x3+ax2+x的单调区间.分析对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上是运用求导法，所以对函数f（x）=x3+ax2+x进行求导可以得到导函数f ′（x）=3x2+2ax+1观察发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程3x2+2ax+1=0是否有实根因此，首先考虑方程是否有解方程根的判别式Δ=4a2-12.若Δ=4a2-120 在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；若Δ=4a2-12=0，即a=±3，方程3x2+2ax+1=0有两个相等的实根，x1=x2=-a3，即f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；若Δ=4a2-12>0，即a3，则方程3x2+2ax+1=0有两个不同实根，由求根公式可解得x1=-a-a2-33，x2=-a+a2-33，显然x1表1x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f ′（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当-3≤a≤3时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间；当a3时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-a-a2-33）和（-a+a2-33，+∞），单调递减区间为（-a-a2-33，-a+a2-33）.例2 设函数f（x）=ex-ax-2，求f（x）的单调区间.分析此题与例1一样，可以用求导法讨论单调区间对函数f（x）=ex-ax-2进行求导，得到f ′（x）=ex-a.观察发现，无法确定方程ex-a=0是否有实根，因此，首先考虑方程是否有解对于含有超越式的方程是否有根问题，判别式无法使用，可转化为值域问题解决.因为ex≥0，所以若a≤0，则f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；若a>0，由ex-a=0得x=lna，当xlna时f ′（x）>0，所以f（x）的单调递减区间是（-∞，lna），单调递增区间是（lna，+∞）.综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间；当a>0时， f（x）的单调递减区间是（-∞，lna），单调递增区间是（lna，+∞）.二、在不在求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论.例3 （2008高考浙江卷理科）已知a是实数，函数f（x）=x（x-a）.（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间0，2上的最小值.（i）写出g（a）的表达式；（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2.分析（Ⅰ）函数的定义域为0，+∞，f ′（x）=x+x-a2x=3x-a2x=3（x-a3）2x（x>0）.由f ′（x）=0得x=a3.考虑a3是否落在导函数f ′（x）的定义域（0，+∞）内，需对参数a 的取值进行讨论.（1）当a≤0时，因为f ′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）的单调递增区间为0，+∞.（2）当a>0时，由f ′（x）>0，得x>a3；由f ′（x）因此，当a>0时，f（x）的单调递减区间为0，a3，f（x）的单调递增区间为a3，+∞.（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当a≤0时，f（x）在0，+∞上单调递增，从而f（x）在0，2上单调递增，所以g （a）=f（0）=0.（2）当a>0时，f（x）在0，a3上单调递减，在a3，+∞上单调递增.①当a3∈（0，2），即0②当a3∈2，+∞，即a≥6时，f（x）在0，2上单调递减，所以g（a）=f（2）=2（2-a）.综上所述，g（a）=0，a≤0-2a3a3，0（ii）令-6≤g（a）≤-2.①a≤0，无解；②若0③若a≥6，由-6≤2（2-a）≤-2，解得6≤a≤2+32.综上所述，a的取值范围为3≤a≤2+32.三、谁大谁小求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论.例4 求函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a，x∈R的单调区间.分析对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本是运用求导法，所以对函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a进行求导，得到导函数f ′（x）=x2+（1-a）x-a观察可知，导函数可以因式分解为f ′（x）=x2+（1-a）x-a=（x-a）（x+1）由此可知方程f ′（x）=0有两个实根x1=a，x2=-1，由于a的范围未知，要讨论函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a的单调性，需要讨论两个根的大小.当ax（-∞，a）a（a，-1）-1（-1，+∞）f ′（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，a）和（-1，+∞），单调递减区间为（a，-1）.当a=-1时，f ′（x）≥0在R上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间.当a>-1时，f（x），f ′（x）随x的变化情况如下：表3x（-∞，-1）-1（-1，a）a（a，+∞）f ′（x）+0_0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）.综上所述，当a-1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）.以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论.因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定规律可循的.当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握.。

类型二：导数单调性专题类型１.导数不含参。

类型２.导数含参.类型３:要求二次导 求单调性一般步骤:(1) 第一步:写出定义域,一般有()0ln >⇒x x(2) 第二步：求导,(注意有常数的求导）若有分母则通分。

一般分母都比0大，故去死若无分母，因式分解（提公因式，十字相乘法)或求根（观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论(按恒成立与两个由为分界）(3) 第三步由()()⎩⎨⎧≤≥解出是减区间解出是增区间00x f x f(4) 下结论类型一：导函数不含参：()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=--++=++=21223,22,,x x e m e x f x x c bx ax x f x b kx x f 如指数型如：二次型如：一次型 对于这类型的题,直接由导函数大于0，小于0即可（除非恒成立） 例题１求函数()()x e x x f 3-=的单调递增区间 解：()()()23'-=-+=x e e x e x f x x x 由()()202'>⇒>-=x x e x f x 所以函数在区间()+∞,2单调递增 由()()202'<⇒<-=x x e x f x所以函数在区间()2,∞-单调递减21x解:()()()()x e e x e x xe e x f x x x x x +-=-+-=-+-=11111'由()()()01011'>-<⇒>+-=x x x e x f x 或所以函数在区间(][)∞+-∞-，和01,单调递增 由()()()01011'<<-⇒<+-=x x e x f x 所以函数在区间()0,1-单调递减 例题３：求函数()xxx f ln =的单调区间例题４:已知函数()()()R k kx e x x f x ∈--=21 （1）若1=k 时,求函数()x f 的单调区间例题５．(2010·新课标全国文，21)设函数f （x ）＝x (e x －1)－ax 2。

完整版)导数的综合大题及其分类.导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。

命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。

这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。

题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。

1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。

如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。

2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点。

3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的。

在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。

例题：已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。

x1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。

审题程序]1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论；2.整合讨论结果，确定单调区间；3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围；4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。

规范解答]1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。

则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1)2.令m(x)＝x2－ax＋1，则Δ＝a2－4.①当－2≤a≤2时，Δ≤0，从而F′(x)≥0，所以F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a>2时，Δ>0，设F′(x)＝0的两根为x1＝(a＋√(a2－4))/2，x2＝(a－√(a2－4))/2，求h(x1)－h(x2)的最小值。

导数中含参数的讨论策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。

而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．一．求导后，导函数的解析式为一次函数y=kx+b ,如k 不定就分清况讨论k>0,k=0,k<0，然后导函数y=kx+b 为零时有无实根,根是否落在定义域内，(2008高考浙江卷理科)已知a 是实数，函数())f x x a =-（1）求函数()f x 的单调区间；解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，())'30a x f x x ⎛⎫- ⎪===>，由'()0f x =得3ax =。

考虑3a是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。

（1） 当0a ≤时，则'()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。

（2） 当0a >时，由'()0f x >，得3a x >；由'()0f x <，得03a x <<。

因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递增区间为,3a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

二．求导后，导函数可以转化为c bx ax y ++=2时，如a 不定先讨论a>0,a=0,a<0；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在定义域内进行讨论，若零点含参数在定义域内则对零点之间的大小进行讨论。