浅谈中学数学不等式的证明方法

中学数学不等式证明的常用方法不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等]4[.在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析(1)放缩法不等式的传递性，若A ＞B ，B ＞C 则A ＞C 告诉我们要证明A ＞C 时就可以先把A 缩小B ，再把B 缩小为C ，从而证明A ＞C ；同样A 放大为B ，再把B 放大为C ，可以证明A ＜C ．例１ 求证：１＋)(213121+∈<+++N n n n ．分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母 n 1 ＝)1(21222--=-+<n n n n n ,每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明: n 1＝)1(21222--=-+<n n n n n ， ∴21＜2（2－１）， ),23(231-<……),21(211---<-n n n n 1＜2（1--n n ）． 以上各式相加，得１＋21＋…n 1＜2n －１＜2n ．所以原不等式成立． 【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．例2 已知数列{}n a ,n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n L 求证：<+2)1(n n n a ＜.2)1(2+n 分析: 注意到左边的式子2)1(+n n 是前ｎ个自然数的和，与n a 比较只须缩小为１﹑2﹑3……n 即可．仿此把各项放大2﹑3﹑……（n+1）所得结论过弱，只能放弃，于是转而联想到关系式2)1()1(+<+n n n n ，右边的不等式证明，由此可证得．证明 由于 n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n >2322321n ++++=1+2+3+…+n=2)1(+n n 又由2)1()1(+<+n n n n ＜212+n 有n a ＝)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n ＜++++ 272523212+n ＜2)1()]12(7531[212+=++++++n n 综上所述<+2)1(n n n a ＜2)1(2+n ． 【评注】放缩法的基本思路: ,,.a b b c a c >>⇒>[3]技巧与方法:(1) 适当添上或舍去某些项,例:22131()()242a a ++>+;(2) 如果是分式则需放大或缩小分子或分母,如:211111(1)(1)1k k k k k k k<<=-+--放大缩小切记适度. (2) 判别式法有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．例 已知z y x ,,是实数，且满足条件222870660x yz x y z yz x ⎧--+=⎪⎨++-+=⎪⎩ 求证：１.9≤≤x证明 由已知等式得：yz =782+-x x(z y +)=-+=662x yz 782+-x x +6x-6=2x -2x+1=(x-1)2于是z y ,是方程t ()1(2+-±t x 782+-x x )=0的两个实根△＝(x-1)2－４（782+-x x ）＞０解得１.9≤≤x【评注】本题可以将原方程组变形得到的表达式和z y yz +,再把x 看作常数写成关于t 的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3) 换元法有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．例1 设a ,b ∈R +且a +b =1.求证：22)1()1(b b a a +++≥225. 证明： a +b =1可设：a =θ2sin ,b =θ2cos又222y x +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 则 22)1()1(bb a a +++ ≥2)11(21ba b a +++ ＝(21θ2sin ＋θ2cos ＋222)cos 1sin 1θθ+ ＝225)41(21)2sin 41(2122=+≥+θ． 例2 设a ,b >0，求证：33b a +＋3332a b a <-． 证明：设33b a +＝m,n b a =-33,则33n m +=2a于是要证的不等式等价于3)(n m +＜4（33n m +）只要证：4（33n m +）－0333223>---n mn n m m而33m +3n 22333mn n m --=3)(3)(22m n n n m m -+-=3(m-n)(m 2-n 2)=3(m-n)2(m +n )>0∴m n m (4)(3<-)22n - 成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示. 换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若;(sin ,cos ,122为参数）可设θθθ===+b a b a(2)若为参数）；可设θθθ(sin ,cos ,122r b r a b a ==≤+(3)对于θθθcos 1sin 1cos ,1,12=≤≤≤-x x x 知，可设或由 或θsin =x ;(4)若知由C b A C B A xyz z y x tan tan tan tan tan tan ,=++=++,,tan A x ==y ).(tan ,tan π=++=C B A C z B(4)函数法有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:||1||2121n n x x x x x x ++++++≤||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++ 分析:要证不等式的每一项结构都是x x +1的形式,于是可以构造函数)(x f =x x +1 证明: 构造函数)(x f =xx +1 )1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ++-=+-+=- 当x 021>≥x 时,显然)()(21x f x f <所以函数)(x f 当0≥x 时是增函数||||||||2121n n x x x x x x +++≤+++L L Q ∴||12121n n x x x x x x +++++++ ≤||||||1|||||||112121n n n x x x x x x x ++++++++++ ≤ ||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.。

不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。

好家长 / 经验交流高中数学中不等式的证明方法浅析山东省青岛第五十八中学/柏荔升【摘要】不等式是高中数学中较为重要的学习内容，也是学生学习的重难点。

然而，很多学生都不了解应该怎样正确证明不等式，为弥补这一不足，本文将联系实际情况，提出几种有效的证明方法，帮助学生快速解题。

【关键词】高中数学 不等式 证明方法前言尽管不等式一直都是高考重点，但由于不等式形式并不相同，也就没有确确切的证明程序可言，为做好不等式证明，让学生掌握不等式解题技巧，这就需要从多角度对不等式进行讲解与研究。

一、在不等式证明中常用思想不等式证明是高中数学教学重点，要做好不等式证明，就要结合一定的思想，为正确解题奠定基础。

首先，分类思想。

这一思想是按照研究对象属性确定的，运用分类思想可以让学生更透彻的理解数学知识，帮助学生形成良好的获取知识的能力，让学生有更为完善的认知结构，进而形成良好知识网络。

其次，数形结合思想。

利用该思想可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，这对学生尽快掌握不等式证明知识具有重要作用。

最后，函数方程思想，利用这种思想可以帮助学生更全面掌握数学知识，将不等式证明看做函数方程，有助于学生理解。

二、不等式证明方法1.比较法。

对于比较法来说，就是利用两个实数之间的差或商比较它们的大小，确定两者关系。

具体来讲可以分为作差法与作商法。

如在已知a,b大于0的情况下，证明(a+b)/2不小于就可以运用比较法，由于(a+b)/2不小于意味着(a+b)/2大于或等于，即(a+b)/2≧，进一步证明得知，(a+b)/2-=(a+b-)/2≧0，最终求得(a+b)/2≧。

同样，这种方法也适用于求商中。

2.分析法。

分析法也是高中数学不等式证明中一种常用的解题方法，在利用分析法的过程中就是先分析不等式的成立条件，同时将用于证明不等式的问题变为这些条件是否具有问题，若可以肯定这些条件，则意味着不等式成立，这就是分析法。

3.均值法。

均值法是不等式证明中一种较为常见的方法，对于均值不等式来说，需要保证两端次数相同，且带有一定的对称性与排比性，利用均值法证明不等式，只要保证具有以上特点即可。

黔南民族师范学院（贵定分院）毕业论文题目：不等式的证明姓名：丁成义班级：12级数学（2）班学号：2012052206专业：数学教育指导教师：张大书日期：2015年2月26日2不等式的证明方法不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。

其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。

1．证明不等式的基本方法1．1比较法比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下：比差法。

主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。

即 ，0,0,0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。

（1）作商比较法。

当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。

当0b > 欲证a b >只需证1ab > 欲证a b <只需证1ab< 基本解题步骤是：作商——变形——判断。

（与1的大小）例1．求证： 222(2)5a b a b +≥--322224254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥22(44)(21)0a a b b -++++≥ 2,1a b ==-时等号成立。

所以222(2)5a b a b +≥--成立。

例2．已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥证： ,a b R +∈又()a b a b b a a b aa b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b-≥⇔≥ （1）当a b >时，1a b >，0a b ->所以()1a b ab -> （2）当a b <时01,a a b o b <<-<所以()1a b ab-> （3）当a b =时不等式取等号。

不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。

不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。

一、数学归纳法。

数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。

在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。

具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。

通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。

二、换元法。

换元法是不等式证明中常用的一种方法。

当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。

换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。

三、分析法。

分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。

在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。

四、综合利用不等式性质。

不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。

具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。

五、几何法。

在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。

通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。

在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。

六、数学推理法。

数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。

在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。

不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。

常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。

其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。

（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。

（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。

通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。

2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。

常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。

在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。

3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。

几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。

通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。

4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。

这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。

5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。

通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。

6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。

反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。

7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。

通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。

以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。

在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。