分式的混合运算

例1 计算：
练习1 计算：
例2 计算：
(1)
4a2 a2
a
8a 2
a a
1 1a aຫໍສະໝຸດ 1 1;练习2 计算：
(2)
x2
x
2 4x
4
x2
x
2x
x
4 x
.
分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后算 加减，有括号要先算括号里面的.
例3 计算：
巧用分 配律
解：原式=
a
3
3
a
18
巧用平方差 公式
课堂练习
化简：
x x
3 2
x
2
x
5
2
.
解：原式
课堂小结
对于分式混合运算：（1）先乘方 （2）后乘除 （3）再加减 （4）有括号先算括号里的 .
1.4.4 分式的混合运算
回顾与思考
1.分式的基本性质：
b a
b a
h h
2.分式的乘除（约分）：
3.分式的乘方：
4.同分母的分式加减法则：
5.异分母分式的加减法
a c ad bc ad bc b d bd bd bd
对于分式混合运算： （1）先乘方 （2）后乘除 （3）再加减 （4）有括号先算括号里的
3a
3
•
a
3
a
3 3
•
a
3
a
18
3a
3
• a
3
3a 9 18 a3 a3
3a 9 a3
3
练习3 计算： （1）
难度 升级
(2)
a
1
b2
a
1
b2

《分式的混合运算》教学设计学习目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.学习重点：熟练地进行分式的混合运算.学习难点：熟练地进行分式的混合运算.学习过程：一、预习新知： （1）说出有理数混合运算的顺序.（2）分式的混合运算与有理数的混合运算顺序相同进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先取小括号，再取中括号，最后取大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.试一试：计算：（1）2131111x x x x +⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭ （2） 22224y y x x ⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分析：这两道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（3）探究此题怎样计算：211x x x -++ ⑷ 221111x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭二、课堂展示：计算（1）x x x x x x x x -÷+----+4)44122(22 [分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边).（2）2224442y x x y x y x y x y y x x +÷--+⋅- （3）2214a a b b a b b ⎛⎫⋅-÷ ⎪-⎝⎭[分析] 这道题先做乘除，再做减法。

[分析]先乘方再乘除，然后加减。

三、随堂练习：计算： ⑴ 221169926x x x x x ++-+-+ ⑵ 211a a a ---⑶ 22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ （4）21a a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--÷ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭精心填一填 ⑴()()2211121a a a a a ---÷--= ⑵ 4222x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭= ⑶选择：计算22221221121x x x x x x x x x +----÷--++的正确结果是（ ） A ．1a a + B ．1a a +- C ．1a a - D ．1a a-- 四、当堂检测 ⑴ 232a b b a b b a++-- ⑵ 2293424a a a a --÷-+（3）2222x y x y x y x y -+-+- （4）422a a ++-；五小结与反思。

分式章
分式的混合运算和整数指数幂
知识要点：
一、分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算， 也是先算乘、除，算加、减；遇到括号，先算括号内的；按先小括号，再 中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的 要约分，保证结果是最简分式或整式.
二、零指数幂
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即0a =1(a ≠0).
同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.
即m n m n a a a -÷=（a ≠0，m 、n 为整数）
当m=n 时，得到0a =1(a ≠0).
三、负整数指数幂
任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，
等于这个数的n 次幂的倒数，即 （a ≠0，n 是正整数）. 引进 了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前 所学的幂的运算性质仍然成立.
四、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成a ×10n
的形式，其中n 是正整数， 0≤|a|<10
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即a ×10n -的形式， 其中n 是正整数，0≤|a|<10，用以上两种形式表示数的方法，叫做科学 记数法.
例题分析：
一、
例1. 计算：
2.先化简再求值：
（1）其中x满足x2+2x-1=0 （2）（选择一个恰当的x值代入并求值）
3.已知
求A、B的值
4.已知：求的值５.已知ａｂ＝１，求的值。

二、
1、计算：。

专题15.7分式的混合运算大题专练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________1．（2021春•南阳月考）化简：（1）241816(1)11a a a a a a --+--÷++；（2）22214()244x x x x x x x x+---÷--+．【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解析】（1）原式2(1)(1)(41)11(4)a a a a a a -+--+=⋅+-21411a a a --+=+22411(4)a a a a a -+=⋅+-2(4)11(4)a a a a a -+=⋅+-4a a =-；（2）原式221[(2)(2)4x x x x x x x +-=-⋅---2(2)(2)(1)(2)4x x x x x x x x +---=⋅--2224(2)x x x x x --+=-24(2)4x x x x x -=⋅--21(2)x =-2144x x =-+．2．（2020秋•沂水县期末）化简：（1）23111x x x x -+--；（2）22(111m m m m m m -÷-+-．【分析】（1）先通分，再根据同分母分式相加法则求出答案即可；（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解析】（1）23111x x x x -+--(1)31(1)(1)(1)(1)x x x x x x x +-=-+-+-231(1)(1)x x x x x +-+=+-221(1)(1)x x x x -+=+-2(1)(1)(1)x x x -=+-11x x -=+；（2）22(111m m m m m m -÷-+-2(1)(1)(1)(1)(1)(1)m m m m m m m m m+--+-=⋅+-23(1)(1)(1)(1)m m m m m m m++-=⋅+-(3)(1)(1)(1)(1)m m m m m m m++-=⋅+-3m =+．3．（2021春•沈北新区期末）化简：（1）2221(4)(2)y x x y xy x y x +-÷⋅-；（2）22142x x x ---．【分析】（1）先算小括号里面的，然后再算括号外面的；（2）先通分，然后按同分母分式加减法法则进行计算求解．【解析】（1）原式1(2)(2)2(2)xy x y x y y x x y x =+-⋅+-y =-；（2）原式22(2)(2)(2)(2)x x x x x x +=-+-+-22(2)(2)x x x x --=+-12x =+．4．（2021•九龙坡区校级开学）分式化简：（1）2216244244x x x x x x x -+÷⋅++++；（2）22131693a a a a a a a -+-÷+-+-．【分析】（1）根据分式的乘除法可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．【解析】（1）2216244244x x x x x x x -+÷⋅++++2(4)(4)2(2)2(2)4x x x x x x x +-++=⋅⋅++2(4)x x -=82x x-=；（2）22131693a a a a a a a -+-÷+-+-21331(3)(1)a a a a a a --=-⋅+-+111(1)a a a =+++1(1)a a a +=+1a=．5．（2020秋•天津期末）计算：（1）222(3)()3y y xy x x-÷⋅；（2）2211()()x y x y x y x y xy x y--÷⋅+++．【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出答案即可；（2）先算括号内的加减，再把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出答案即可．【解析】（1）原式2222(3)3y y xy x x =-÷⋅2223(3)2x y xy y x=-⋅⋅92y =-；（2）原式22x y x y x y x y xy xy --+=÷⋅+22x y xy x y x y x y xy-+=⋅⋅+-1=．6．（2020秋•昆明期末）计算与化简（1）2322(2)m n m n m n ----；（2）53(2)224a a a a -+-÷--．【分析】（1）先约分，再根据分式的减法法则进行计算即可；（2）先算括号内的加减，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．【解析】（1）原式3122m n m n =---312m n -=-22m n=-；（2）原式(2)(2)5(3)22(2)a a a a a +----=÷--292(2)2(3)a a a a --=⋅---(3)(3)2(2)2(3)a a a a a +--=⋅---2(3)a =-+26a =--．7．（2021•万州区模拟）计算：（1）2(2)(2)(2)x x x -+--；（2）2234(1)121a a a a a --+÷+++．【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解析】（1）原式22444x x x =--+-48x =-．（2）原式224(1)1(2)(2)a a a a a -+=⋅+-+2(2)(2)(1)1(2)(2)a a a a a a -++=-⋅+-+1a =--．8．（2021春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）2y x y x x y y x x y-++---；（2）3289(1)121x x x x x x -+-÷--+．【分析】（1）先变形为同分母分式的加减运算，再根据法则计算即可；（2）先计算括号内分式的减法、将除式的分子、分母因式分解，继而将除法转化为乘法，然后约分即可．【解析】（1）原式2y x y x x y x y x y-=-+---2y x y x x y --+=-y x y =-；（2）原式2218(3)(3)()11(1)x x x x x x x -+-=-÷---2(3)(3)(1)1(3)(3)x x x x x x x +--=⋅-+-1x x-=．9．化简求值：（1）2212()22x x x x x+-÷--，其中6x =-；（2）222124439a a a a a a --÷-+--，其中4a =．【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算即可；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算即可．【解析】（1）原式2[](2)(2)2x x x x x x x +=-⋅--2(2)2x x x =⋅-12x =-，当6x =-时，原式11628==---；（2）原式221(3)(3)(2)32a a a a a a +-=-⋅---223(2)2a a a a +=---22226(2)(2)a a a a a +-=---26(2)a a -=-，当4a =时，原式26421(42)42-===-．10．先化简，再求值：（1）22151()939x x x x x x --÷----，其中5x =；（2）22112()11x x x x x x ++-÷---，其中2x =；（3）22(a b ab b a a a--÷-，其中225a b -=．【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；（3）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．【解析】（1）22151()939x x x x x x --÷----1(3)(51)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x -+--=÷+-+-2121(3)(3)(3)(3)x x x x x x x --+=÷+-+-21(3)(3)(3)(3)(1)x x x x x x -+-=⋅+--11x =-，当5x =时，原式11514==-；（2）22112()11x x x x x x ++-÷---211(1)()112x x x x x x +-=+⋅--+11(1)(1)(1)2x x x x x x x +++-=⋅+-+2(1)(1)(1)(1)2x x x x x x +-=⋅+-+22x x =+，当2x =时，原式22122⨯==+；（3）22(a b ab b a a a--÷-22(2)a b a ab b a a---=÷2()a b a a a b -=⋅-1a b =-222a b=-，当225a b -=时，原式25=．11．（1）若12a =，求22411()4422a a a a a a -+-÷-+-+的值；（2）若100x =，99y =，求44()()xy xy x y x y x y x y-++--+的值．【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题；（2）根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（1）22411(4422a a a a a a -+-÷-+-+2(2)(2)12[](2)21a a a a a a +-+=---+ 212()221a a a a a ++=---+ 21221a a a a +-+=-+ 1221a a a a ++=-+ 22a a +=-，当12a =时，原式12521322+==--；（2）44()()xy xy x y x y x y x y-++--+22()4()4x y xy x y xy x y x y-++-=-+ 22222424x xy y xy x xy y xy x y x y-++++-=-+ 22()()x y x y x y x y+-=-+ ()()x y x y =+-22x y =-，当100x =，99y =时，原式2210099(10099)(10099)1991199=-=+⨯-=⨯=．12．（2020•陕西模拟）化简：23321(2)22x x x x x +-+-÷++．【分析】先算括号里面的，分母要因式分解，再算除法即可．【解析】23321(2)22x x x x x +-+-÷++22(2)332[22(1)x x x x x x +++=-⨯++-2243322(1)x x x x x +--+=⨯+-2122(1)x x x x -++=⨯+-11x =--．13．（1）计算：32322222b b ab b a b a a b ab b a ++÷--+-；（2）已知：23|21|(3)02a b a b -+++=，求22[(1)()]b a a a a b a b a b ÷--+-+的值．【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．（2）先根据分式的运算法则进行化简，然后将a 与b 的值代入原式即可求出答案．【解析】（1）原式322()()(2)()b b b a a b a b a a ab b b a b -+=+⋅--++2()b b a b a b a =+--2()()ab b a a b a a b =---()()b a b a a b -=-b a=．（2）原式22()()b ab a b a b a b =÷++-22()()b a b a b a b ab +-=⋅+a b a-=，由题可知：2103302a b a b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴原式11342122--==-．14．（2021•莲湖区二模）化简：2443(1)11a a a a a -+÷----．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．【解析】原式2(2)3(1)(1)11a a a a a --+-=÷--22(2)114a a a a --=⋅--+2(2)11(2)(2)a a a a a --=⋅-+-22a a-=+．15．（2020秋•沙河口区期末）计算：229(1369m m m m m --÷+++．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．【解析】原式23(3)3(3)(3)m m m m m m +-+=⋅++-33m =-．16．（2020秋•荔湾区期末）计算：（1）11a b a b b a-+---；（2）22416()11a a a a a --+÷--．【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解析】（1）原式11a b a b a b-+=+--a b a b +=-；（2）原式22411(4)(4)a a a a a a a -+--=⋅-+-411(4)(4)a a a a a --=-⋅-+-14a =-+．17．（2021•碑林区校级模拟）化简：22282()242x x x x x x x -+-÷+--．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】原式2(2)82[](2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x --=+⋅+--++2442(2)(2)(2)x x x x x x x ++-=⋅+-+2(2)2(2)(2)(2)x x x x x x +-=⋅+-+1x=．18．（2020秋•嘉定区期末）计算：22311123x x x x x x x +--⋅+++-【分析】首先把分式分子分母分解因式，然后再计算乘法，最后计算减法即可．【解析】原式3(1)(1)11(3)(1)x x x x x x x x ++-=-⋅+++-，11x x =-+，111x x x x +=-++，11x -=+，11x =-+．19．（2021•渝中区校级开学）计算：（1）2(3)(3)(2)a b a b a b +---；（2）22213562444x x x x x x x +++-÷---+．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式、合并同类项的方法可以解答本题；（2）根据分式的除法法则和减法法则计算即可．【解析】（1）2(3)(3)(2)a b a b a b +---22229(44)a b a ab b =---+2222944a b a ab b =--+-22542a ab b =+-；（2）22213562444x x x x x x x +++-÷---+213(2)2(2)(2)(2)(3)x x x x x x x +-=-⋅-+-++2122(2)x x x -=--+222(2)(2)(2)(2)x x x x +--=-+2224444(2)(2)x x x x x x ++-+-=-+28(2)(2)x x x =-+．20．（2020•建湖县三模）先化简，再求值：231(1)221x x x x x x --÷-+++，其中x 满足方程2230x x --=．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解析】原式1(2)211x x x x x x x -+=-+-+1xx x =-+21x x =+；当2230x x --=时，解得：3x =或1x =-（不合题意，舍去）当3x =时，原式94=；21．（2021•资阳）先化简，再求值：222211(111x x x x x x ++-÷---，其中30x -=．【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x 的值代入求出答案．【解析】原式22222111(11x x x x x x x+++-=-⋅--22211x x x x x +-=⋅-2(1)1(1)(1)x x x x x x +-=⋅+-1x=，30x -= ，3x ∴=，此时，原式13=．22．（2021•漳平市模拟）先化简，再求值：22231()111x x x x --÷+-+，其中||3x =．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据||3x =，可以得到x 的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．【解析】22231(111x x x x --÷+-+2(1)(23)(1)(1)(1)x x x x x ---=⋅++-22231x x x --+=-11x =-，||3x = ，3x ∴=±，∴当3x =时，原式11312==-；当3x =-时，原式11314==---．23．（2021•龙岩模拟）化简求值：2344(1)11x x x x x -+-+÷++，其中x 从0、2、1-中任意取一个数求值．【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解析】2344(1)11x x x x x -+-+÷++23(1)(1)11(2)x x x x x --++=⋅+-2(2)(2)11(2)x x x x x -+-+=⋅+-22x x +=--， 从分式知：10x +≠，20x -≠，1x ∴≠-且2x ≠，取0x =，当0x =时，原式02102+=-=-．24．（2021•盐城模拟）先化简：22723()111a a a a a a ++-÷-+-，再从3-、2-、1-、0、1中选一个合适的数作为a 的值代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．【解析】原式(7)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(3)a a a a a a a a a ++--+-=⋅+-+269(3)a a a a ++=+2(3)(3)a a a +=+3a a +=，当3a =-，1-，0，1时，原式没有意义，舍去，当2a =-时，原式12=-．25．（2021•宁津县一模）先化简：35(2242a a a a -÷+---，再从2，2-，3，3-中选一个合适的数作为a 的值代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出a 的值，继而代入计算即可．【解析】原式2(3)45()2(2)22a a a a a ---=÷----(3)22(2)(3)(3)a a a a a ---=⋅-+-12(3)a =-+，20a -≠ ，30a -≠，30a +≠，2a ∴≠，3a ≠±，∴当2a =-时，原式112(23)2=-=-⨯-+．26．（2021•铁西区模拟）先化简2221(1)121x x x x x x --+÷+++，再从1-，0，1中选择合适的x 值代入求值．【分析】先算括号内的加法和减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．【解析】2221(1)121x x x x x x --+÷+++22(1)(1)[(1)]1(1)x x x x x x +-=--÷++22(1)(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x -+-+=⋅++-1111x x x +=⋅+-11x =-， 分式的分母10x +≠，210x -≠，2210x x ++≠，解得：1x ≠±，∴取0x =，当0x =时，原式1101==--．27．（2020秋•昌平区期末）已知：240x x +-=，求代数式32(1)121x x x x x x --÷--+的值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出24x x +=，代入计算即可．【解析】原式321121x x x x x -=÷--+21(1)1(1)(1)x x x x x -=⋅-+-21x x=+，240x x +-= ，24x x ∴+=，把24x x +=代入，原式14=．28．（2021•碑林区校级模拟）先化简，再求值：2234(1)121a a a a a --+÷+++，其中从a 从1-，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件选取符合条件的a 的值代入计算即可．【解析】原式23(1)[(1)]1(2)(2)a a a a a +=--++- 223(1)(1)[]1(2)(2)a a a a a --+=++- 2231(1)(1(2)(2)a a a a a -++=++-224(1)()1(2)(2)a a a a a -+=++- 2(2)(2)(1)1(2)(2)a a a a a a +-+=++- 1a =--，1a ≠- 且2a ≠，3a ∴=，原式314=--=-．29．（2021•越秀区二模）已知：2321(2)22x x A x x x ++=-+÷++．（1）化简A ；（2）A 的值能否等于3？为什么？【分析】（1）直接将分式的分子与分母分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案；（2）利用3A =，得出x 的值，进而结合分式有意义的条件判断得出答案．【解析】（1）2321(2)22x x A x x x ++=-+÷++2(2)(2)32[]22(1)x x x x x x -++=+⋅+++22122(1)x x x x -+=⋅++11x x -=+；（2）A 的值不能等于3．理由：当3A =时，则131x x -=+，解得：2x =-，当2x =-时，分式中分母为零，故A 的值不能等于3．30．（2020秋•永年区期末）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：2222222y y x x x xy x xy y x y-⋅-=--+-（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；（2）当2x =时，y 等于何值时，原分式的值为5．【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系，化简分式求出盖住的部分即可；（2）根据2x =时分式的值是5，得关于y 的方程，求解即可．【解析】（1）222222(2x y x y x y x xy y x xy-+÷--+- 22()()()[]()x y x y x x x y x y x y y +--=+⨯--2()y x x y x y y --=⨯-xy=-∴盖住部分化简后的结果为x y -；（2）2x = 时，原分式的值为5，即252y=-，1052y ∴-=解得85y =经检验，85y =是原方程的解．所以当2x =，85y =时，原分式的值为5．。