10.第三章傅里叶变换(2014第十讲)解析

第三章傅里叶变换3-1 概述对于一件复杂的事情，人们总是从简单的一步开始做起，富丽堂皇的高楼大厦，是人们一块砖一块砖垒起来的。

为了简化问题的求解，人们往往也使用“变换分析”这种技巧，所起“变换”大家可能会感到陌生，其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧，大家一定还记得对数运算，它实际上也是一种数学变换，我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和，两个数的商的对数等于这两个数的对数差，利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换（准确地说变换）为数的加法运算，可以将数的除法运算转换（变换）为数的减法运算，可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便，傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。

线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激（或样值）激励的线性组合。

本章将讨论信号和系统的另一种表示，其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合，但是这里用的简单函数不是单位冲激（或样值）而是三角函数（或复指数函数）。

用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代，当时他们利用这一想法来预测天体运动。

这一问题的近代研究始于1748年，欧拉在振动弦的研究中发现：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动（谐波）模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。

另外，欧拉还证明了在该线性组合中，其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。

欧拉的研究成果表明了：如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式。

现在大家已经认识到，很多有用的信号都能用复指数函数的线性组合来表示，但是在18世纪中期，这一观点还进行着激烈的争论。

1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾声称：一根弦的实际运动都可以用标准（谐波）振荡模的线性组合来表示。

而以J.L.拉格朗日(grange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运动的主张，他反对的论据就是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。

深入浅出的讲解傅里叶变换我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。

而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。

但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。

第3章 傅里叶分析傅里叶分析是利用傅里叶变换来分析信号的一种通用工具，其实质是将信号分解成若干个不同频率的正弦波之和。

它在信号处理的理论和应用中具有重要意义。

3.1 傅里叶变换概述我们知道，傅里叶变换定义了以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系，也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系。

所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅里叶变换对。

一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT ）其傅里叶变换公式为： 正变换 ⎰∞∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j )()(反变换 ⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π连续时间非周期信号x (t )的傅里叶变换结果是连续的非周期的频谱密度函数X (j Ω)，如图所示。

可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。

二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS ）周期为T 的周期性连续时间函数x (t )可展开成傅里叶级数，其系数为X (jk Ω0)，X (jk Ω0)是离散频率的非周期函数。

x (t )和X (jk Ω0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 ⎰-Ω-=Ω2/2/00)(1)(T T t jk dt e t x Tjk X反变换 ∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e jk X t x 0)()(0式中，k ——谐波序号；Ω0=2π/T ——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；x (t )和X (jk Ω0)之间的变换关系如图所示。

可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。

三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT ） 1. DTFT 的定义序列的傅里叶变换公式为：正变换 ∑∞-∞=-=n nj j e n x eX ωω)()(反变换 ⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(注意：序列．．x(n)．．．．只有当．．．n ．为整数时才有意义，否则没有定义。

傅里叶变换的本质傅里叶变换的公式为dt et f F tj ⎰+∞∞--=ωω)()(可以把傅里叶变换也成另外一种形式：t j e t f F ωπω),(21)(=可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。

)(2,21)(2121Ω-Ω==⎰Ω-ΩΩΩπδdt e e e t j t j t j下面从公式解释下傅里叶变换的意义 因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和tj eω求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。

可以理解为f(t)在tj eω上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来，可以理解为f(t)在tj e ω上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为ω的分量，也就形成了频谱。

傅里叶逆变换的公式为ωωπωd e F t f tj ⎰+∞∞-=)(21)( 下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在)(ωF 和tj eω-求内积的时候，)(ωF 只有t 时刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t 时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t 时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。

对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。

将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。

比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。

优点：频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱。

缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。

深入浅出的讲解傅里叶变换我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了,,于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者,,这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多,,一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。

而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。

但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。

傅里叶变换的原理傅里叶变换是一种将一个信号在时域与频域之间进行转换的数学工具。

它把一个时域上的信号分解成许多不同频率的正弦波组成的频谱，从而可以分析信号的频率分量和相对强度。

傅里叶变换几乎应用于所有领域，包括信号处理、图像处理、通信系统、物理学、工程学等，它被认为是现代科学中最重要的数学工具之一F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示原始信号f(t)在频域上的表示，ω是角频率，j是虚数单位，e是自然常数。

这个公式表示的是原始信号f(t)在不同频率上的分量通过复指数函数（e^(-jωt)）与时间域上的积分来表示。

在实际应用中，傅里叶变换有两种形式：连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

连续傅里叶变换（CFT）用于连续信号的处理，而离散傅里叶变换（DFT）用于离散信号的处理。

在连续傅里叶变换中，信号f(t)是一个连续的函数，时间t也是连续的。

连续傅里叶变换将信号f(t)分解成指数级数的形式，振幅和相位响应表示了信号在不同频率上的分量。

在离散傅里叶变换中，信号f[n]是一个离散的序列。

离散傅里叶变换将信号f[n]分解成等间隔采样的频率组成的谱。

离散傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法来高效计算。

傅里叶变换的应用非常广泛。

在信号处理中，傅里叶变换可以用于滤波、频谱分析、噪声消除等。

在通信系统中，傅里叶变换可以用于信号调制和解调、频谱分析、信号重构等。

在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像压缩、图像滤波、频域增强等。

在物理学和工程领域中，傅里叶变换可以用于信号采集和分析、波动方程的解析等。

总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它将信号从时域转换到频域，为信号处理和分析提供了丰富的工具和方法。

通过傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理各种类型的信号，从而在各个领域中提高信号处理和分析的效率和质量。

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。

感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。

/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。

因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。

这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。

ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

傅里叶变换的本质及其公式解析傅里叶变换的基本思想是任意一个周期函数，都可以看作是若干个正弦波和余弦波的叠加。

换句话说，我们可以用频率不同的正弦函数来分解一个信号。

这种分解是通过傅里叶级数实现的，而傅里叶级数就是傅里叶变换的特例。

傅里叶级数表示了一个周期函数可以由一系列正弦和余弦函数按照一定比例组成的事实，而傅里叶变换则是将这种分解应用到非周期函数上。

傅里叶变换将一个非周期函数表示为一系列连续频率的正弦和余弦函数的叠加，其中每个正弦和余弦函数的振幅和相位信息反映了原始函数在相应频率上的能量分布和相对位置。

F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt其中，F(w) 表示变换后的频域函数；f(t) 表示原始时域函数；e^(-jwt) 是指数函数；∫ 表示积分运算；w 是频率。

该公式表示了将一个时域函数f(t)变换到频域函数F(w)的过程，其中w取负无穷到正无穷范围内的任意实数。

这个公式反映了在频域上，一个信号可以用一系列关于频率w的复指数函数进行分解。

1.傅里叶变换是一个线性变换，即对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，傅里叶变换可以分别计算它们的变换F1(w)和F2(w)，然后将两个变换相加得到变换结果F(w)=F1(w)+F2(w)。

2.傅里叶变换存在两种表示方式：复数形式和指数形式。

复数形式将频域函数表示为实部和虚部的形式，而指数形式将频域函数表示为振幅和相位的形式。

3.傅里叶变换有一个逆变换，可以将频域函数重新变换回时域函数。

逆变换的公式表示为：f(t) = ∫[F(w) * e^(jwt)] dw其中，f(t) 表示逆变换后的时域函数；F(w) 表示频域函数；e^(jwt) 是指数函数；∫ 表示积分运算；w 是频率。

傅里叶变换的本质是将一个时域上的信号或函数转换到频域上进行分解和分析。

通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频率特性，包括频率分量的能量分布和相位关系，从而可以对信号进行滤波、频谱分析、信号合成和解调等操作。

深入浅出的讲解傅里叶变换我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。

而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。

但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。

傅里叶变换通俗理解
通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦(余弦)信号组合而成,是将函数向一组正交的正弦、余弦函数展开。

傅里叶变换的目的是：找出这些基本正弦(余弦)信号中振幅较大(能量较高)信号对应的频率,从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。

扩展资料
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的'积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。

最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小)。

第一章 信号与系统的基本概念1．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。

2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。

例如：单边指数信号 （在t =0点时，不连续），单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。

较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。

3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。

它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。

其重要特性是筛选性，即：()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。

5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。

即：如果一个系统，当输入信号分别为1()x t 和2()x t 时，输出信号分别是1()y t 和2()y t 。

当输入信号()x t 是1()x t 和2()x t 的线性叠加，即：12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+；且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。

其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性；如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。

傅里叶变换求解析式傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

它可以将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加，从而更好地理解信号的特性和行为。

在信号处理、通信、图像处理等领域中，傅里叶变换被广泛应用。

傅里叶变换的求解过程可以通过解析式来实现。

假设我们有一个时域信号f(t)，它的傅里叶变换F(ω)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，ω表示角频率，e^(-jωt)表示复指数函数。

这个式子的意思是，将f(t)乘以复指数函数e^(-jωt)，然后对t进行积分，最终得到F(ω)。

这个式子看起来比较复杂，但是我们可以通过一些技巧来简化它。

首先，我们可以将复指数函数e^(-jωt)表示为正弦和余弦函数的形式：e^(-jωt) = cos(ωt) - j sin(ωt)然后，我们将f(t)表示为实部和虚部的形式：f(t) = Re{f(t)} + j Im{f(t)}将这些式子代入傅里叶变换的公式中，得到：F(ω) = ∫[Re{f(t)}cos(ωt) - Im{f(t)}sin(ωt)]dt - j∫[Re{f(t)}sin(ωt) + Im{f(t)}cos(ωt)]dt这个式子看起来更加复杂，但是我们可以将它分解成两个部分，分别对应实部和虚部：F(ω) = F_r(ω) - j F_i(ω)其中，F_r(ω) = ∫Re{f(t)}cos(ωt)dt - ∫Im{f(t)}sin(ωt)dtF_i(ω) = ∫Re{f(t)}sin(ωt)dt + ∫Im{f(t)}cos(ωt)dt这两个式子就是傅里叶变换的实部和虚部的解析式。

它们可以通过积分计算得到，从而得到信号的频域表示。

傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性和行为。

通过解析式的求解，我们可以得到信号的频域表示，从而更好地进行信号处理和分析。

深入浅出的讲解傅里叶变换我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

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————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

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但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

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