中考数学第二轮复习专题训练--三角函数应用题

第5讲三角函数实际应用1.图1是一辆自行车的侧面图，图2是他的简化示意图，经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面距离CF为33cm,车架中立管BC的长为60cm,后轮切地面l于点D（1）后轴轴心A与中轴轴心C所在直线AC与地面l是否平行？请说明理由（2）求∠ACB的大小（精确到1°）（3）如果希望车座B到地面的距离B´E´为93.8cm，车架中立管BC拉长长度BB´是多少？2.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）3.如图1，某种三角形台历被放置在水平桌面上，其左视图如图2所示，其中点O是台历支架OA,OB 的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA=OB=14cm，CA=CB=4cm,∠ACB=120°（1）求点O到直线AB的距离（2）求张角∠AOB的大小（3）把某月的日历从台历支架正面翻到背面（即OB与OA重合），求点B所经历路径长（参考：sin14.33°≈0.25，cos14.33°≈0.97，tan14.33°≈0.26，π取 3.14，所有结果精确到0.01）4.如图，李华晚上在两盏相距50cm的路灯下来回踱步，已知李华的身高AB=1.7m,灯柱高OP=OP´=8.5m,两灯柱之间的距离OO´=50m，（1）若李华距灯柱OP´的水平距离OA=xm,他的影子AC=ym,求y关于x的函数关系式（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后两个影子的长度和（DA+AC）是否发生变化？请说明理由5.图1是小华在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小华锻炼时上半身由EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，AB=1.30米． （1）求AB 的倾斜角α的度数（精确到1）；（2）若测得EN=0.85米，试算小华头顶由M 点运动到N 点的路径 MN 长度（精确到0.01米）（参考数据：sin18︒≈0.31,cos18︒≈0.95,tan18︒≈0.32）6如图，某投影仪E 正对投影幕布AB 中央，其距离EG=3.60米，为方便教学，现将投影幕布由黑板正中AB 位置调整到左面DB 位置处，测得AB=BD=2.6米，∠DBC=39.85°，此时投影仪E 调整到线段EB 上点F 处且恰好正对投影幕布DB 中央，若投影仪与投影幕布安装距离控制在3.45米到3.65米之间视觉效果最好，则调整后投影仪F 与投影幕布BD 之间的距离是否符合要求？（参考数据：tan70.15°≈2.770，tan70°≈2.747，cos39.85°≈0.7677，tan39.85°≈0.8346，可用科学计算器，结果精确到0.01）图1图2BCED AM α N7.下图是躺椅结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm,EG=30cm, (1)求两支架落点E,F之间的距离(2)若MN=60cm,求躺椅高度（点M到地面的距离，结果取整数）8.身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°。

中考三角函数应用题中考三角函数应用题总体介绍：中考中的数学考试中，有着多种与三角函数相关的应用题目，其中涵盖了许多领域，例如：几何、物理等。

掌握三角函数的特性及其应用，是考取高分的关键。

今天我们来看看几个常见的中考三角函数应用题目。

第一类题目：求解直角三角形的边长这种题目利用三角函数中的正弦、余弦、正切关系式，求解直角三角形中的某一边长或角度。

例如：已知∠B=30°，BC=3，求AB。

解析：我们知道正弦函数的定义是：sinA=对边/斜边。

所以我们可以根据细节进行计算，得知sin30°=1/2，因此AB=BC/sinB=3/(1/2)=6。

第二类题目：求解角度这种题目利用三角函数中的正弦、余弦、正切关系式，求解直角三角形中的某一角度。

例如：已知 AB=5，AC=3，求∠BAC。

解析：我们知道正切函数的定义是：tanA=对边/邻边。

所以tan∠BAC=AB/AC=5/3，因此∠BAC=tan⁻¹(5/3)≈59.04°。

第三类题目：求最值这种题目通常需要应用到三角函数相关的图像及其函数性质，通过求导、极值等方法解决。

例如：求函数f(x)=2cosx+3sinx在区间[0, π]上的最小值。

解析：首先，我们将f(x)化简为f(x)=√13sin(x+θ)，其中θ=tan⁻¹(3/2)，因为：2cosx+3sinx=√13(cos(arcsin(3/√13))sinx+sin(arcsin(3/√13))cosx)=√13sin(x+θ)达到化简的目的。

其次，我们知道在[0, π]区间，√13sin(x+θ)的最大值为√13，最小值为-√13，而当x=π/2时，f(x)达到最小值-√13。

结语：需要注意的是，三角函数应用题通常牵扯到多个相关的概念及其公式，考生们需要在日常复习中多加练习。

掌握好三角函数的应用，才能在数学考试中游刃有余，争取高分。

初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用-综合题专训及答案解直角三角形的应用综合题专训1、(2018扬州.中考模拟) 有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示．已知箱体长AB=50cm，拉杆的伸长距离最大时可达35cm，点A，B，C在同一条直线上．在箱体底端装有圆形的滚轮⊙A，⊙A与水平地面MN相切于点D．在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AF∥MN．（1）求⊙A的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服．某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE为80cm，=64°．求此时拉杆BC的伸长距离．（精确到1cm，参考数据：，，）2、(2017南京.中考模拟) 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．3、(2018嘉兴.中考模拟) 已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H．（1）如图1，求证：PQ=PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB=30 ，连接AG交PD于F，连接BF，tan∠BFE= ，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD=6 ，连接QG交BC于点M，求QM的长．4、(2019金华.中考真卷) 如图，在OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数。

（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。

若EF=AB，求∠OCE的度数．5、(2019包河.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半径。

2021年成都市中考专题训练三角函数实际应用解答题21.小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C.从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡AB，长度为1000米；从B到C的缆车路线可看作是线段BC，长度为2400米，其与水平线的夹角为48°，求山顶C到地面AD的距离CE的长.(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)2.某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC=414m，AB=300m，求出点D到AB的距离．(参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)3.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE 垂直)，则古树CD的高度约为多少米？(参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)4.如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离.(结果精确到0.1海里，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)5. 如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°． (1)求∠BPQ 的度数；(2)求该电线杆PQ 的高度(结果精确到1m)． 备用数据：√3≈1.7，√2≈1.4．6. 如图，从楼层底部B 处测得旗杆CD 的顶端D 处的仰角是53°，从楼层顶部A 处测得旗杆CD 的顶端D 处的仰角是45°，已知楼层AB 的楼高为3米.求旗杆CD 的高度约为多少米？(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43.)7.为保护师生健康，新都某中学在学校门口安装了红外测温通道，对进校师生进行体温监测，测温装置安装在E处.某同学进校时，当他在地面D处，开始显示测量体温，此时在其额头A处测得E的仰角为30°，当他走到地面C处，结束显示体温，此时在其额头B处测得E的仰角为45°，已知该同学脚到额头的高度为AD，且AD=1.6米，CD=1米，求测温装置E距地面的高度约为多少米？(保留小数点后两位有效数字，√3≈1.73)8.某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB(树干AB垂直于水平地面)被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA=37°，∠ACD=60°，AD=5米，求这棵大树AB的高度．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√3≈1.73)9. 如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，在景区道路CD 的C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，另一端B 位于北偏东45°方向，又测得AC 为100米，求木栈道AB 的长度(结果保留整数)． (参考数据：sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910)10. 如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的长度是19.5米，MN 是二楼楼顶，MN//PQ ，点C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ⊥MN ，在自动扶梯底端点A 处测得C 点的仰角∠CAQ 为45°，坡角∠BAQ 为37°，求二楼的层高BC(精确到0.1米)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)11.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)12.如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．(2)求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，√3≈1.732，√2≈1.414)13.如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC处放置一个广告牌，请问广告牌EC的高度为多少？(sin40°≈0.6,cos40°≈0.8,tan40°≈0.8)14.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，(结果精确到0.1m.温馨提示：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)15.我国第一艘国产航空母舰山东舰2019年12月17日在海南三亚某军港交付海军，中国海军正式迈入双航母时代．如图，在一次海上巡航任务中，山东舰由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东54°方向，再航行一段距离到达B处，测得小岛C 位于它的北偏东30°方向，且与山东舰相距30海里．求山东舰从A到B航行了多少海里？(精确到0.1)参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38，√3≈1.73．16.小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，并测得∠APO=59°，∠BPO=45°.根据以上的测量数据，请求出该轿车在这4秒内的行驶速度．(参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66)17.小颖“综合与实践”小组学习了三角函数后，开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，如表是不完整测量数据．测量示意图说明：线段器的高度与距离可以直接测得，CE(1)任务一：完成表格中两次测点A，B之间的距离的平均值．(2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．(精确到0.1m)(参考数据：sin31°≈0.51，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)18.某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC=308米，步行道BD=336米，∠DBC=30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长．(结果保留根19.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行20km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行20km至C港．(1)求A，C两港之间的距离；(结果保留到0.1km)(2)确定C港在A港的什么方向．(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)11。

中考数学总复习《三角函数》专项测试卷-附带参考答案（测试时间60分钟满分100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共8题，共40分）1.在Rt△ABC中∠C=90∘，AB=6，cosB=23则BC的长为( )A．4B．2√5C．18√1313D．12√13132.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC于点F，cos∠ADE=√32，DF=4则BF的长为( )A．2√3B．4C．4√3D．83.已知α为锐角sin(α−20∘)=√32，则α=( )A．20∘B．40∘C．60∘D．80∘4.在Rt△ABC中cosA=12，则sinA的值是( )A．√22B．√32C．√33D．125.如图，已知矩形ABCD，AB=3，将矩形ABCD沿着过点C的直线CE折叠，折痕所在直线与AD交于点E，点B对应点F在AD延长线上tan∠CED=3，则BF的长为( )A．3√5B．√10C．3√10D．106.如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，若tan∠BCO=12则tan∠ACO= ( )A．√22B．13C．√24D．147.如图，在△ABC中AC⊥BC，∠ABC=30∘点D是CB延长线上的一点，且BD=BA则tan∠DAC的值为( )A．2+√3B．2√3C．3+√3D．3√38.有一副三角板，含45∘的三角板的斜边与含30∘的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，则AF的长为( )A．2B．2√3−2C．4−2√3D．2√3−6二、填空题（共5题，共15分）9.如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60∘，A，B，C都是格点，则tan∠ABC=．10.如图，甲楼AB的高度为20米，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45∘测得乙楼底部D处的俯角为30∘，则乙楼CD的高度是米．11. sin30∘=；cos45∘=；tan60∘=．12.等腰梯形上底长为2，下底长为8，高为4，则下底与腰的夹角的余切值为．13.在正方形ABCD中AD=4，点E在对角线AC上运动，连接DE，过点E作EF⊥ED 交直线AB于点F（点F不与点A重合），连接DF，设CE=x，tan∠ADF=y则x和y之间的关系是（用含x的代数式表示）．三、解答题（共3题，共45分）14.如图，在△ABC中∠B=45∘，∠C=75∘，BC=6，求△ABC的面积．15.如图∠MAN=60∘，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN 上运动．当△ABC是锐角三角形时，求BC的取值范围．16.设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图所示（单位：m）．设路基高为ℎ，两侧的坡角分别为α和β，已知ℎ=2，α=45∘，tanβ=1，CD=10．2(1) 求路基底部AB的宽；(2) 修筑这样的路基1000m，需要多少土石方．参考答案1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】C6. 【答案】B7. 【答案】A8. 【答案】D9. 【答案】√3910. 【答案】20+20√311. 【答案】12√22√312. 【答案】3413. 【答案】y=−√24x+1或y=√24x−114. 【答案】9+3√315. 【答案】√3<BC<2√3．16. 【答案】(1) 16m．(2) 26000m3．。

精品文档3 三角函数在实际中的应用专题.1某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度•已知小亮站着测量，眼睛与自我诊断AB1.7E30 °小敏蹲着测量，眼睛与地面的米，看旗杆顶部）是地面的距离（的仰角为CD0.7E455B°）是米且位于旗杆同侧（点距离（米，看旗杆顶部•两人相距的仰角为DF .、在同一直线上）1DF （结果保留根号））求小敏到旗杆的距离.（2EF1.41.7 ' :'（（结果保留整数，参考数据：）求旗杆，的高度.A.A2上方有一些管道，如图所示，某古代文物被探明埋于地下的自我诊断处, 由于点BCB处挖掘时，最短路线考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从处或处挖掘，从30CBA56CA且与地面所成的锐角是处挖掘时，最短路线，从与地面所成的锐角是=0.83Bsin56BC=20m°，若考古人员最终从处挖掘，求挖掘的最短距离.（参考数据：1.48tan561.73.「，结果保留整数），地面 3 C跟踪训练11•年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据'：■：2.6m45APQA。

向前走立在山坡上，从地面的点测得杆顶端点看，，的仰角为一电线杆60PQB0和，又测得杆顶端点的仰角分别为到达点和杆底端点30° BPQ1 的度数；（）求/ PQ21m））求该电线杆（的高度.（结果精确到p3. AB的距离，飞机以距海、如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量岛屿两端CA60AB。

的方向的俯角为平面垂直同一高度飞行，在点，然后沿着平行于处测得端点500DB45AB541.91。

的距离的俯角为，已知岛屿两端米，在点测得端点水平飞行了、 1.411.73H 卜才米，参考数据：，米，求飞机飞行的高度.（结果精确到4. DABABCBC在同一条直线上，小红在，且点，如图，某建筑物顶部有釘一旗杆，DE42D47AB。

九年级数学下册三角函数的应用练习题题目一：已知直角三角形ABC，其中∠B为直角，AB = 12cm，BC = 5cm。

计算以下各题：1. 计算∠ACB的正弦值、余弦值、正切值；2. 计算∠ACB的余弦值、余割值、正切值；3. 若点D在线段BC上，且BD = 3cm，计算∠ADB的正弦值、余弦值、正切值；4. 若点D在线段BC上，且BD = 3cm，计算角度∠ADB的正弦值、余弦值、正切值。

解答：1. ∠ACB的正弦值：sin(∠ACB) = 对边/斜边 = AB/BC = 12/5；∠ACB的余弦值：cos(∠ACB) = 临边/斜边 = BC/AB = 5/12；∠ACB的正切值：tan(∠ACB) = 对边/临边 = AB/BC = 12/5。

2. ∠ACB的余弦值：cos(∠ACB) = 临边/斜边 = BC/AB = 5/12；∠ACB的余割值：cosec(∠ACB) = 斜边/对边 = AB/BC = 12/5；∠ACB的正切值：tan(∠ACB) = 对边/临边 = AB/BC = 12/5。

3. ∠ADB的正弦值：sin(∠ADB) = 对边/斜边 = BD/AB = 3/12；∠ADB的余弦值：cos(∠ADB) = 临边/斜边 = AD/AB = (AB-BD)/AB = (12-3)/12 = 9/12；∠ADB的正切值：tan(∠ADB) = 对边/临边 = BD/AD = 3/(12-3) = 3/9 = 1/3。

4. ∠ADB的正弦值：sin(∠ADB) = 对边/斜边 = BD/AB = 3/12；∠ADB的余弦值：cos(∠ADB) = 临边/斜边 = AD/AB = (AB-BD)/AB = (12-3)/12 = 9/12；∠ADB的正切值：tan(∠ADB) = 对边/临边 = BD/AD = 3/(12-3) = 3/9 = 1/3。

题目二：一支标枪离地面的水平距离为20m，离地面的高度为5m。

2020-2021学年度天津小港中学中考数学二轮复习—三角函数专练（word 版附答案）1.3tan30︒的值等于（ ）．B. C. 1D. 3【答案】A2.1cos 603︒的值是（ ）A. 16C.6D. 13【答案】A3.tan 60︒的值等于（ ）C.2D.12【答案】A4. 如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A.CDACB.BCABC.BDBCD.ADAC【答案】D5．计算tan30°的值等于（ ）B.C.3D.2【答案】C6.cos 60︒的值等于（ ）A.12B.2C.D. 1【答案】A7.计算3tan45°的值为（ ）A. B. 3C.D. 1【答案】B8.2cos45︒的值等于（ ）C. 1D.2【答案】B 9.30cos ︒的值是()A.2B.C.12D.【答案】D10.cos 60︒的值等于（ ）A. B. 1C.2D.12【答案】D11.2sin60°的值等于（ ）A. 1【答案】C 12.23sin60°的值等于（ ）A. 13【答案】C13.计算tan30°的值等于（ ）B.【答案】C14.tan30°的值为（ ）A.12B.C.D.【答案】D15.1cos 603︒的值是（ ）A. 16C.6D. 13【答案】A16.计算tan30°的值等于（ ）B. 【答案】C17.计算tan30°的值等于（ ）B. 【答案】C18.tan45°的值等于（ ）A.12B.2D. 1【答案】D19.2sin60°的值等于（ ）A. 1【答案】D20.tan30︒的值等于（ ）A.3B.2C. 1D. 【答案】A21.计算3tan30︒的值等于( )A. 3B.C.【答案】D22.tan45︒的值等于（）B. 1【答案】B。

中考数学复习考点知识专题训练29 三角函数的应用（提优篇）1．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）2．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）3．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线（在山的旁边经过），与l相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800m，求直线l上距离D点多远的C处开挖？（√2≈1.414，精确到1米）4．如图是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角是50度时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2），已知AD＝96cm，DE＝28cm，EC＝42cm．（1）求点D'到BC的距离；（结果保留整数）（2）求E、E'两点之间的距离．（结果保留整数）【sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918，sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663】5．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝61cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）6．随州市新厥水一桥（如图1），斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成，某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一平面内，BC在水平桥面上，已知∠ABC＝∠DEB＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB ＝5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长．（2）求最长的斜拉索AC的长．7．如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（√3取1.7）；（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？8．今年第16号台风“浪卡”已经于10月13日在海南琼海市登录．台风来袭时，某绿化带一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√3≈1.73）9．如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边沿AD的长度是边沿BC长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道∠ABC＝45°，边沿CD所在直线与边沿BC所在直线相交后所成的锐角为30°（即P在BC的延长线上，∠DCP＝30°），经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长．（结果保留根号）10．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．”如图所示，已知测速站M到公路l的距离MN为60米，一辆汽车在公路l上由东向西匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为4秒，并测得∠AMN＝60°，∠BMN＝30°，计算此车从A到B每秒行驶多少米（结果精确到个位），并判断此车是否超过限速．（参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414）11．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.4cm，CD＝8cm，AB＝40cm，BC＝45cm，（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．①填空：∠BAO＝°；②投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，∠ABC＝30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）12．智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．（1）若手机显示AC＝2m，AD＝2.5m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）（2）对于一般情况，试探索手机设定的测量高度的公式：设AC＝a，AD＝b，∠CAD＝α，即用a、b、α来表示CD．（提示：sin2α+cos2α＝1）13．如图，根据道路管理规定，直线l的路段上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M距离直线l的距离MN为30米（如图所示），现有一辆汽车匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN＝60°，∠BMN＝45°．（1）计算AB的长；（2）通过计算判断此车是否超速．（√2≈1.4，√3≈1.7）14．如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD＝50米，某人在河岸MN的A处测的∠DAN＝35°，然后沿河岸走了130米到达B处，测的∠CBN ＝60°，求河流的宽度CE（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，√3≈1.7）15．文物探测队探测出某建筑物下面有地下文物，为了准确测出文物所在的深度，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距20米的A、B两处，用仪器测文物C，探测线与地面的夹角分别是30°和60°，求该文物所在位置的深度（精确到0.1米）．16．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到永丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了永丰路每小时54千米的限制速度？（参考数据：√3≈1.73）17．在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）18．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少厘米？（2）此时小强头部E点是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，他应向前还是向后移动多少厘米，使头部E点恰好是在洗漱盆AB的中点O的正上方？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，√2≈1.41，结果精确到1cm）19．某款篮球架的示意图如图所示，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2米，篮板顶端F点到篮筐点D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF（参考数据：cos75°≈0.26，sin75°所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.1米）．≈0.97，tan75°≈3.73，√3≈1.73，√2≈1.41）20．某中学广场上的旗杆AB，在某一时刻它的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为3米，落在斜坡上的影长CD为2米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（若结果中有根号，请保留根号）。

2025年中考数学二轮复习专题几何中的三角函数练习一、三角形中的三角函数综合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．（1）求∠EAD的正切值；（2）求的值．2.在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB；（2）若M为CP的中点，AC＝2．①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若sin∠ABC＝1，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）4.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，BC∥AD，连接AC交BD于点E，∠BAC ＝∠ADB，且．（1）求BD的长；（2）若，求CD的长．5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．（1）求BC的长；（2）求sin∠DAE的值．二、四边形中的三角函数综合1.已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且90，分别与边AGB∠=︒，延长AG BG，．BC CD，交于点E F① 证明：BE CF=② 求证：2=⋅．BE BC CE（2）如图2，在边BC上取一点E，满足2BE BC CE=⋅，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan CBF∠的值．2.如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．3．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO＝，求EM：MF的值．4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形是ΔCED。

精典例题：【例1】如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。

（参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…）分析：此题可先通过解Rt △ABD 求出塔高AB ，再利用CE ＝BD ＝80米，解Rt △AEC 求出AE ，最后求出CD ＝BE ＝AB －AE 。

解：在Rt △ABD 中，BD ＝80米，∠BAD ＝600∴AB ＝56.13838060tan 0≈=⋅BD （米） 在Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80米，∠ACE ＝450∴AE ＝CE ＝80米∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝56.5880380≈-（米）答：塔AB 的高约为138. 56米，楼CD 的高约为58. 56米。

【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为030=α，045=β，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）分析：要求AB ，只须求出OA 即可。

可通过解Rt △POA 达到目的。

解：在Rt △PAO 中，∠PAO ＝030=α∴OA ＝345030cot 450cot 0==∠⋅PAO PO （米） 在Rt △PBO 中，∠PBO ＝045=β ∴OB ＝OP ＝450（米）∴AB ＝OA －OB ＝3294503450≈-（米）答：这座大桥的长度约为329米。

评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。

【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论。

2019年中考数学二轮专题复习试卷：三角函数(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分,共45分)1.（2019湖南娄底）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是( )A.x＜0B.x＞0C.x＜2D.x＞22.(2019山东德州)甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多3.（2019重庆）2019年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是( )4.(2019山东东营)根据下图所示程序计算函数值，若输入的x的值为52，则输出的函数值为( )32425 A. B. C. D.252545.(2019山东德州)如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2 013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )A.（1，4）B.（5，0）C.（6，4）D.（8，3） 6.(2019湖南张家界）若正比例函数y=mx （m ≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y=mx 2+m 的图象大致是( )7.（2019山东枣庄）将抛物线y=3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )A ．y=3（x-2）2-1B ．y=3（x-2）2+1C ．y=3（x+2）2-1D ．y=3（x+2）2+18.（2019广西河池）下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.（2019江苏镇江）二次函数y=x 2-4x+5的最小值是( ) A.-1 B.1 C.3 D ．5 10.（2019重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在 x 轴、y 轴上，反比例函数ky x=（k ≠0，x ＞0）的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ，ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM 、ON 、MN ．下列结论：①△OCN ≌△OAM ；②ON=MN ；③四边形DAMN 与△MON 面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C 的坐标为（0）．其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.411.（2019山东潍坊）设点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是反比例函数ky x=图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则一次函数y=-2x+k 的图象不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.(2019四川乐山)二次函数y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(-1,0).设t=a+b+1,则t 值的变化范围是( )A.0<t<1B.1<t<2C.0<t<2D.-1<t<113.（2019山东泰安）把直线y=-x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是( )A.1＜m ＜7B.3＜m ＜4C.m ＞1D.m ＜414.(2019湖北随州)如图，直线l 与反比例函数2y x=的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点，若AB ∶BC=(m-1)∶1(m>1)，则△OAB 的面积(用m 表示)为( )()()2222m 1m 1A. B.?2m m3m 13m 1C. D.m 2m-- -- 15.(2019浙江湖州)如图，已知点A(4,0),O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点 O 、A ），过P ，O 两点的二次函数y 1和过P ，A 两 点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B ，C ，射线OB 与AC 相交于点D.当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于( )C.3D.4二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分,共18分)16.函数1y x x 4-=+-中自变量x 的取值范围是 . 17.(2019山东德州)函数1y y x 2x ==-与的图象交点的横坐标分别为a ，b ，则11a b+的值为 .18.（2019广西北海）如图，点A 的坐标为（-1，0）， 点B 在直线y=2x-4上运动，当线段AB 最短时， 点B 的坐标是 ．19.（2019四川广安）已知直线()n 11y x n 2n 2-+=+++（n 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2 012= .20.（2019山东枣庄）二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ．21.（2019山西）如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线y=12x-1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线ky x=经过点D ，则k 的值为 ．三、解答题(本大题共4个小题，共57分) 22.（本小题满分14分）(2019山东菏泽)（1）已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个实数根，求代数式22(m m)(m 1)m－－＋的值.（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－x 的图象与反比例函数k yx＝的图象交于A 、B 两点.①根据图象求k 的值；②点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，试写出 点P 所有可能的坐标.23.(本小题满分14分)（2019山东聊城）如图，一次函数的图象 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且与反比例函数8y x=-的图象在第二象限交于点C.如果点A的坐标为（2，0），B是AC的中点.（1）求点C的坐标；（2）求一次函数的解析式.24.（本小题满分15分）(2019四川内江)如图，等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L.（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x,图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积.25.(本小题满分14分)(2019山东德州)如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t.①设抛物线的对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由.参考答案1.C2.B3.A4.B5.D6.A7.C8.B9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.B 15.A16.x ≥-1且x ≠0且x ≠4 17.-2 18.76(,)55- 19.5032 01420.-1<x<3 21.122.（1）解：方法1：∵m 是方程x 2-x-2=0的一个实数根， ∴m 2-m-2=0， ∴m 2-m=2，m 2=m+2.2m 2m m 22m2()2()m m 2m2()22 4.m-++-+∴====⨯=原式方法2：解x 2-x-2=0得：x 1=-1，x 2=2，∴m=-1或m=2. 当m=-1时，()()22211114;12m 2(22)(21)42=---⨯--+=-==-⨯-+=原式［］（）当时，原式，∴原式的值为4.（2）解：①由图象知点A 的横坐标为-1， ∵点A 在一次函数y=-x 的图象上， ∴点A 的纵坐标y=-(-1)=1. 又∵点A 在反比例函数ky x=的图象上， k 11k 1.∴=-∴=-，②点P 所有可能的坐标为P 1(0，2)，P 2(0，-2)，34P (0P (0-，，23.解：（1）作CD ⊥x 轴，且交x 轴于D ，则CD ∥BO ， ∵B 是AC 的中点， ∴O 是AD 的中点， ∴点D 的横坐标为-2， 把x=-2代入到y=8x-中，得：y=4， 因此点C 的坐标为（-2，4）；（2）设一次函数为y=ax+b ，由于A 、C 两点在其图象上，02a b a 1.42a b b 2=+=-⎧⎧∴⎨⎨=-+=⎩⎩解得：， 因此一次函数的解析式为y=-x+2.24.解：(1)过点A 作AN ⊥BC 交BC 于N ，交DE 于点M ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∠ABC=60°. 在Rt △ABN 中，AB=3， ∠B=60°，ABC ANsin B ABAN AB sin B 3sin 60211S BC AN 32224ABC 4=∴==⨯︒=∴==⨯⨯=∴，的面积为(2)∵DE ∥BC ，2ADE ABC222ADE ABCS DE ADE ABC,().SBCDE ADx ,BC AB3x x S ()Sx 3944∴∴===∴==⨯=∽，以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的△A ′DE 与梯形DBCE 重叠部分图形L 的形状包括以下两种情况： ① 当30x 2<≤时,A ′在三角形内部，图形L 是等边三角形，S △A ′DE =S △ADE∵BC=3,∴BC 边所对的三角形的中位线长为3.22ADEy Sx 4∴==； ②当3x 32<<时，点A ′落在三角形的外部,其重叠部分图形L 的形状为梯形.2A DEADESSx 4'==，∴DE 边上的高AM=A ′M=x.2由已知求得:AN=2∴A ′N=AA ′-AN2-由△A ′PQ ∽△A ′DE 知:A PQ 2A DE2A PQ222S A N (),SA M3:S),23y x )x 4244''''='=-∴=--=-+-解得)222330x y x ,24x y 2163x 32y x 44y x 244x 2y 4<≤=∴=<<=-+-=--+=（）当时，当有最大值，为当时，，即当时，有最大值，为93x 2y 1644<∴=，当时，取最大值 即L为一等腰梯形，且梯形的高为2，较长的底边长为2，由于图形L 的顶点都在圆上，设圆心到较长底边的距离为a ，依题意2221a 1(a)():a 0.22+=++=，解得 说明圆的圆心在梯形较长的底边上，即圆的直径为2， 所以⊙O 的面积S=π×12=π.25.解：（1）在Rt △AOB 中，OA=1，tan ∠BAO=3，OBtan BAO OA∠=， ∴OB=OA ·tan ∠BAO=3.∵△DOC 是由△AOB 绕原点O 逆时针旋转90°而得到的， ∴OC=OB=3，OD=OA=1,∴A 、B 、C 三点的坐标分别为（1，0），（0，3），（-3，0）.代入抛物线解析式得，a b c 0,a 19a 3b c 0,b 2c 3c 3++==-⎧⎧⎪⎪-+==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩，解之得，，， 所以抛物线的解析式为：y=-x 2-2x+3.（2）①抛物线y=-x 2-2x+3的对称轴l 为：b x 12a=-=-， ∴E 点的坐标为（-1，0）.（ⅰ）当∠CEF=90°时，△CEF ∽△COD.此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，坐标为（-1，4）.（ⅱ）当∠CFE=90°时，△CFE ∽△COD.过点P 作PM ⊥CA 交AC 于点M ，则△EFC ∽△EMP .于是，EM EF DO 1MP FC OC 3===， ∴MP=3EM ，即：-t 2-2t+3=3（-1-t ），整理得：t 2-t-6=0.解之得：t 1=-2，t 2=3（不合题意，舍去）.当t=-2时，-（-2）2 -2×（-2）+3=3，所以此时点P 的坐标为（-2，3）.所以当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标分别为：（-1，4）或（-2，3）.②设直线CD 的解析式为： y=kx+m.3k m 0,m 1.1k m 1.3-+=⎧⎨=⎩==则得：解之得：，所以直线CD 的解析式为： 1y x 1.3=+ 设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（1t t 13+，）. 221NM t 1.31PN PM NM t 2t 3t 137t t 2.3∴=+∴=-=--+-+=--+（） 则S △PCD =S △PCN +S △PDN22PCD 11PN CM PN OM 2211PN CM OM PN OC 221737121t t 23t .2326247121t S .624=⨯+⨯=⨯+=⨯=--+⨯=-++∴=-（）（）（）当时，取最大值为。

专题之三角形函数解决实责问题1.如图，山顶建有一座铁塔，塔高 CD 30m ，某人在点 A 处测得塔底 C 的仰角为20，D塔顶 D 的仰角为23，求此人距 CD 的水平距离 AB ．C 〔参照数据： sin 20≈ 0.342 ，cos 20≈，tan 20≈，23sin 23 ≈ 0.391 ， cos 23 ≈ 0.921 ， tan 23 ≈ 0.424 〕A20B2.又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆〞．下面是两位同学的一段对话：请你依照两位同学的对话，计算白塔的高度〔精确到 1 米〕．甲：我站在此处看塔顶仰角为 600乙：我站在此处看塔顶仰角为 300甲：我们的身高都是乙：我们相距 20m3.某乡镇学校授课楼后边凑近一座山坡，坡面上是一块平川，以以下图．BC ∥ AD ，斜坡AB40 米，坡角BAD 60，为防夏季因瀑雨惹起山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘探，当坡角不高出45时，可保证山体不滑坡，改造时保持坡脚 A 不动，从坡顶 B 沿BC削进到 E 处，问 BE 最少是多少米〔结果保存根号〕？C E BDA4. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B 两个农村抢险，飞机在距地面450 米上空的 P 点，测得 A 村的俯角为 30 ，B 村的俯角为 60〔．如图 7〕．求 A、B 两个村庄间的距离．〔结果精确到米，参照数据， 3 1.732 〕Q P6030450A B C5.如图 7，河流两岸 a，b 互相平行， C，D 是河岸a上间隔 50m 的两个电线杆．某人在河岸 b 上的 A 处测得DAB30 ，尔后沿河岸走了100m 到达 B 处，测得CBF 60 ，求河流的宽度CF的值〔结果精确到个位〕．D CabA EB F6.某商场〔大型商场〕在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板〔一楼的楼顶墙壁〕与地面平行，请你依照图中数据计算答复：小敏身高 1.85 米，他乘电梯会有碰头危险吗？〔sin28o≈0.47， tan28o≈0.53〕二楼A4m C4m4m28°一楼B7.如图，山脚下有一棵树 AB，小华从点 B 沿山坡向上走 50 米到达点 D，用高为 1.5 米的测角仪 CD 测得树顶的仰角为 10°，山坡的坡角为 15°，求树 AB 的高． (精确到 0．1 米)（ sin10°≈0.7,1 cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈．)9.如图，在航线 l 的两侧分别有察看点 A 和 B，点 A 到航线 l 的距离为 2km，点 B 位于点 A 北偏东 60°方向且与 A 相距 10km 处．现有一艘轮船从位于点 B 南偏西 76°方向的 C 处，正沿该航线自西向东航行， 5min 后该轮船行至点 A 的正北方向的 D 处．〔1〕求察看点 B 到航线 l 的距离；〔2〕求该轮船航行的速度〔结果精确到〕．〔参考数据： 3 ≈， sin76 °≈ 0.97 ，北B东cos76°≈ 0.24 ， tan76°≈ 4.01 〕76°CDlE60°A8.某旅游区有一个景观奇异的望天洞， D 点是洞的入口，游人从入口进洞旅游后，可经山洞到达山顶的出口凉亭 A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道 AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，假设测得斜坡 BD 的长为 100 米，坡角DBC10°，在 B 处测得 A 的仰角ABC 40°，在D 处测得 A 的仰角ADF85°，过 D 点作地面 BE 的垂线，垂足为C．〔1〕求ADB 的度数；〔2〕求索道 AB 的长．〔结果保存根号〕ADFB C E 10. 安装在屋顶的太阳能热水器的横截面表示图以以下图 .集热管 AE 与支架 BF 所在直线订交与水箱横截面⊙ O 的圆心 O, ⊙O 的半径为 0.2m,AO 与屋面 AB 的夹角为32°，与铅垂线 OD的夹角为 40°，BF⊥AB于 B，OD⊥AD于 D，AB＝ 2m,求屋面 AB的坡度和支架BF的长 .( 参照数据：tan181, tan 3231, tan 4021 )35025OE FBCAD11.如图，AC是我市某大楼的高，在地面上 B 点处测得楼顶 A 的仰角为 45o，沿 BC(参照数据：sin78°≈ ，cos78°≈ ，tan78°≈ 4.70.)5方向前进 18 米到达 D 点，测得 tan∠ADC＝3．现打算从大楼顶端 A 点悬挂一幅庆祝建国 60 周年的大型口号，假设口号底端距地面15m，请你计算口号AE 的长度应为多少？AEB D C12.亮亮和颖颖住在同一幢住处楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人合适调整自己的地址，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的地址 C ， D ．尔后测出两人之间的距离 CD 1.25m ，颖颖与楼之间的距离 DN 30m 〔 C ， D， N 在一条直线上〕，颖颖的身高 BD 1.6m ，亮亮蹲地察看时眼睛到地面的距离 AC0.8m ．你能依照以上测量数据帮助他们求出住处楼的高度吗？MBAC D N13. 〔河南〕以以下图，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m 的顶灯 . 梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七均分，使用时梯脚的固定跨度为 1m．矩形面与地面所成的角α为 78° . 李师傅的身高为 l.78m ，当他爬升到头顶距天花板 0.05 ～0.20m 时，安装起来比较方便 . 他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你经过计算判断他安装可否比较方便 ?14.图〔 1〕是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图〔2〕画的是它的一个横断面．虚线表示门完满关好和开到最大限度〔由于碰到墙角的阻拦，再也开不动了〕时的两种状况，这时二者的夹角为 120°，从室内看门框露在外面局部的宽为 4cm，求室内露出的墙的厚度 a 的值．〔假设该门无论开到什么角度，门和门框之间根本都是无缝的．精确到，3≈〕图1〕图〔2〕。