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福建省三明市2012届高三质量检查数学理试题

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2012年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s =13V S h =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知0α<<π，且3tan 4α=，则cos α等于 A ．35-B ．35C ．45-D ．452．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，则3a 等于A ．3B ．4C ．5D ．63．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是A ．找出a 、b 、c 三个数中最大的数B ．找出a 、b 、c 三个数中最小的数C ．找出a 、b 、c 三个数中第二大的数D ．把c 的值赋给a两平5．若l m n 、、是空间中互不相同的直线，αβ、是不重合的面，则下列命题中为真命题的是 A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥C ． 若,l n m n ⊥⊥，则//l mD ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 6．已知双曲线Γ：22221x y ab-=(0,0)a b >>的离心率2e =，过双曲线Γ的左焦点F 作O ：222x y a +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则AFB ∠的大小等于A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7．已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 图象的一条对称轴方程为6x π=-，则实数a 的值为A ．3-B ．3C ． D8．已知正实数a ,b 满足不等式1ab a b +<+,则函数()()log a f x x b =+的图象可能为9．在Rt △PAB 中，PA ＝PB ，点C 、D 分别在PA 、PB 上，且CD ∥AB ，AB ＝3，AC ，则AD BC ⋅的值为A ．－7B ．0C ．－3D ．310．若数列{}n a 满足n a a b ≤≤，其中a 、b 是常数，则称数列{}n a 为有界数列，a 是数列{}n a 的下界，b 是数列{}n a 的上界．现要在区间[1,2)-中取出20个数构成有界数列{}n b ，并使数列{}n b 有且仅有两项差的绝对值小于1m，那么正数m 的最小取值是A ．5B ．193C ．7D ．233第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置． 11．已知复数122i ,43i z z =+=-在复平面内的对应点分别为点A 、B ，则A 、B 的中点所对应的复数是 ． 12．已知函数1()22x xf x =-，且(),(0),()(),(0),f x xg x f x x ≥⎧=⎨-<⎩则函数g (x )的最小值是 ．13．若23*0123(1)()n n n x a a x a x a x a x n +=+++++∈N ，且12:1:3a a =，则=n ． 14．已知函数()11x f x m -=+(其中0m >，且1m ≠)的图象恒过定点A ，而点A 恰好在直线220ax by +-=上（其中0ab >），则14a b+的最小值为 ．15．如图，标识为①、②、③、④的四张牌，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母．现在规定：当牌的一面写的是数字3时，它的另一面必须写字母M ．为了检查这四张牌是否符合规定，你仅需．．翻看的牌的标识为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）某工厂共有工人40人，在一次产品大检查中每人 的产品合格率（百分比）绘制成频率分布直方图， 如图所示．(Ⅰ) 求合格率在［50，60）内的工人人数； (Ⅱ)为了了解工人在本次大检查中产品不合格的情况，从合格率在[50，70）内的工人中随机选取3人的合格率进行分析，用X 表示所选工人合格率在[ 60，70）内的人数，求X 的分布列和数学期望．①②③④17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，且AB ＝1，AD ＝CD ＝2，E 在线段PD 上．（Ⅰ）若E 是PD 的中点，试证明：AE ∥平面PBC ；（Ⅱ）若异面直线BC 与PD 所成的角为60°，求四棱锥P －ABCD 的侧 视图的面积．18．（本小题满分13分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点与椭圆224205x y +=的右焦点重合． (Ⅰ）求抛物线Γ的方程；(Ⅱ）动直线l 恒过点(0,1)M 与抛物线Γ交于A 、B 两点，与x 轴交于C 点，请你观察并判断：在线段MA ，MB ，MC ，AB 中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明．19．（本小题满分13分）已知函数()f x 的导函数是2()329f x x mx '=++，()f x 在3x =处取得极值，且(0)0f =，（Ⅰ）求()f x 的极大值和极小值；（Ⅱ）记()f x 在闭区间[0,]t 上的最大值为()F t ，若对任意的t (04)t <≤总有()F t t λ≥成立，求λ的取值范围；（Ⅲ）设(,)M x y 是曲线()y f x =上的任意一点．当(0,1]x ∈时，求直线OM 斜率的最小值，据此判断()f x 与4sin x 的大小关系，并说明理由．20．（本小题满分14分）某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为θ，小屋有一扇面向正南的窗户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示．如图2是遮阳篷的截面示意图，AB 表示窗户上、下边框的距离，AB=m ，CD 表示遮阳篷．已知该公园夏季正午太阳最高这一天，太阳光线与水平面所成角为α，冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面所B成角为β（αβ>）．若要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD 和遮阳篷与窗户上边框的距离BC 各为多少？21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．(1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设矩阵11a M b⎛⎫=⎪⎝⎭． （I ）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1M -；（II ）若曲线C ：22421x xy y ++=在矩阵M 的作用下变换成曲线C '：2221x y -=，求a b +的值．(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程(3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|1||2|f x x x =++-． (Ⅰ)求()y f x =的最小值；(Ⅱ)若关于x 的不等式()4f x ≥的解集为A ，求集合A ．2012年三明市普通高中毕业班质量检查图1图2理科数学参考答案及评分标准一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCABDBABCB二、填空题：11． 3－i . 12． 0 13．7 14．9 15． ②、④ 三、解答题：16．解：（Ⅰ）产品合格率在［50，60）内的频率为：1－（0.035＋0.03＋0.0225＋0.0075）×10＝0.05， ………………………2分 所以产品合格率在［50，60）内的人数共有40×0.05＝2人． ……………………4分 （Ⅱ）同（1）可得产品合格率在[ 60，70）内的人数有40×0.0225×10＝9， 所以产品合格率在[50，70）内的人数共有11人.依题意，X 的可能取值是1，2，3. ………………………6分 P (X ＝1)＝2129311C C C＝355；P (X ＝2)＝1229311C C C＝2455；P (X ＝3)＝P(A)＝2855. ……10分则………………………11分所以EX ＝1×355＋2×2455＋3×2855＝2711. ………………………13分17．解：（Ⅰ）解法一：在四棱锥P －ABCD 中，取PC 的中点F ，连结EF 、FB ，因为E 是PD 的中点，所以EF ∥12CD ∥AB ， ………………………………2分所以四边形AEFB 是平行四边形， …………………………………………3分 则AE ∥FB ，而AE ⊄平面PBC ，FB ⊂平面PBC ， …………………………………………5分 ∴AE ∥平面PBC ． ……………………………………………6分 解法二：如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设PB ＝t ， 则P （0,0，t ），D （－1,2，0），C （1,2，0），A （－1,0，0），所以E （－12，1，2t），1(1,)22tAE = ，…………２分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =a ，则0,0,BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ a a 所以20,0,x y tz +=⎧⎨=⎩即2,0.x y z =-⎧⎨=⎩取1y =-，得到平面PBC 的法向量为(2,1,0)=-a ．所以AE ⋅a ＝0，而AE ⊄平面PBC ，则AE ∥平面PBC . ……………………6分 （Ⅱ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系， 设PB t =（t ＞0），则P （0,0，t ）， D （－1,2，0），C （1，2，0），所以PD ＝（－1,2，－t ），BC＝（1,2，0），则|PD |＝，|BC |＝…………9分由已知异面直线BC 与PD 成60°角，所以PD ·BC ＝||||cos 60PD BC ⋅⋅︒12，又PD ·BC＝－1×1＋2×2＋(－t )×0＝3，12＝3，解得t 5PB 5所以侧视图的面积为S ＝12×2×5＝5. ……………………13分18．解：（Ⅰ）∵椭圆方程为：2215144xy+=，∴2251,44a b ==， ………………2分所以21c =，即椭圆的右焦点为（1 , 0）， 因为抛物线的焦点为（2p ，0），所以p ＝2， ……………………3分则抛物线的方程为24y x =. …………………………4分 （Ⅱ）解法一：设直线l ：1(0)y kx k =+≠，则C （－1k，0），由21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩ 得222(2)10k x k x +-+=， ………………………………………6分 因为△＝224(2)40k k -->，所以k ＜1， ………………………………7分 设A （x 1，y 1），B （x 2，y2），则1222(2)k x x k-+=-，1221x x k=， ………………8分所以由弦长公式得：1|||M Ax =，2|||M B x =，1||||M C k =，12||||A B x x k=-=………………10分通过观察得：||||MA MB ⋅＝(21k +)·12||x x ＝(21k +)·21k＝2||M C . ………………11分若||||MA MB ⋅＝2||AB ，则8k =-±，不满足题目要求. ………………12分 所以存在三线段MA 、MC 、MB 的长成等比数列. ………………………………13分 解法二：同法一得1221x x k=， …………………………………………8分而MA MB ⋅＝1122(,1)(,1)x y x y -⋅-＝1122(,)(,)x kx x kx ⋅＝212(1)k x x +＝221(1)k k+⋅＝211k+，因为C （－1k，0），所以2||M C ＝1＋21k. …………………………10分因为M 、A 、B 三点共线，且向量MA 、MB同向，所以MA MB ⋅ ＝||||cos 0M A M B ⋅⋅︒ ＝||||M A M B ⋅， ……………………11分因此||||M A M B ⋅ ＝211k+＝2||M C .所以存在三线段MA 、MC 、MB 的长成等比数列. ………………………………13分解法三：设直线l ：1(0)y kx k =+≠，则C （－1k，0），由21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩ 得2440ky y -+=， …………………………………6分由△＝16－16k ＞0，得到k ＜1， 所以124y y k+=，124y y k⋅=，212121()16x x y y =， ……………………………8分所以MA MB ⋅＝1122(,1)(,1)x y x y -⋅-＝1212(1)(1)x x y y +--＝2121()16y y ＋12y y －（12y y +）＋1 ＝211644116kkk⋅+-+＝211k+， ………………10分下同解法二.19．解：（I ）依题意，(3)0f '=，解得6m =-， ……………………1分由已知可设32()69f x x x x p =-++， 因为(0)0f =，所以0p =，则32()69f x x x x =-+，导函数2()3129f x x x '=-+． …………………………3分 列表：由上表可知()f x 在1x =处取得极大值为(1)4f =，()f x 在3x =处取得极小值为(3)0f =． …………………………………5分（Ⅱ）①当01t <≤时，由（I ）知()f x 在[0,]t 上递增，所以()f x 的最大值32()()69F t f t t t t ==-+， ……………………6分 由()F t t λ≥对任意的t 恒成立，得3269t t t t λ-+≥， 则2269(3)t t t λ≤-+=-，因为01t <≤，所以332t -<-≤-，则24(3)9t ≤-<，因此λ的取值范围是4λ≤． ………………………………8分 ②当14t <≤时，因为(1)(4)4f f ==，所以()f x 的最大值()(1)4F t f ==， 由()F t t λ≥对任意的t 恒成立，得4t λ≥， ∴4tλ≤，因为14t <≤，所以414t≤<，因此λ的取值范围是1λ≤，综上①②可知，λ的取值范围是1λ≤． ……………………10分 （Ⅲ）当(0,1]x ∈时，直线O M 斜率322()69(3)f x x x xk x xx-+===-，因为01x <≤，所以332x -<-≤-，则24(3)9x ≤-<，即直线O M 斜率的最小值为4． …………………………………11分 首先，由()4f x x≥，得()4f x x ≥.其次，当(0,1]x ∈时，有44sin x x >，所以()4sin f x x >， ………………12分 证明如下：记()44sin g x x x =-，则()44cos 0g x x '=-≥， 所以()g x 在(0,1)递增，又(0)0g =，则()0g x >在(0,1)恒成立，即44sin x x >，所以 ()4sin f x x >.……………13分在△ACD 中，C AD AC D C D A πθα∠=-∠-∠=-， AB ＝m ，AC m x =+， 由正弦定理得sin sin()m x y αθα+=-，② …………6分由①②得sin()()sin()sin sin x m x θβθαβα-+-=， ……………………8分所以sin()sin sin sin()sin sin()m x θαβαθββθα-=---， ………………………………11分sin()sin()sin()sin sin sin()sin sin()m y x θβθαθββαθββθα---==---. ……………………13分答：遮阳篷的伸出长度CD 为sin()sin sin sin()sin sin()m θαβαθββθα----，遮阳篷与窗户上边框的距离BC 为sin()sin()sin sin()sin sin()m θαθβαθββθα-----. ……………………14分21． (1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换解：（I ）设矩阵M 的逆矩阵11122x y Mx y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则110.01M M -⎛⎫= ⎪⎝⎭又1231M ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以112212103101x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以121221,30x x x x +=+=， 121220,31y y y y +=+=，即11221231,,,,5555x y x y =-===-故所求的逆矩阵112553155M-⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭. ………………………………4分 （II ）设曲线C 上任意一点(,)P x y ，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点 中国校长网中国校长网资源频道 http://zy '(',')P x y ，则11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭''x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即',',x ay x bx y y +=⎧⎨+=⎩， ……………………5分 又点'(',')P x y 在曲线'C 上，所以2221x y ''-=，则22()2()1x ay bx y +-+=， 即2222(12)(24)(2)1b x a b xy a y -+-+-=为曲线C 的方程，又已知曲线C 的方程为22421x xy y ++=，比较系数可得2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得0,2b a ==，∴2a b +=. ……………………7分 (2)(本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程解：（I ）圆C 直角坐标方程为22(1)(1)4x y -++=，展开得222220x y x y +-+-=， ……………………………2分化为极坐标方程为22cos 2sin 20ρρθρθ-+-=． ………………………4分 （II ）点Q 的直角坐标为(2,2)-，且点Q 在圆C 内，因为||Q C =P ，Q 两点距离的最小值为||2PC =-． ……………7分(3)(本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲解：(I )2 1 , (1),()3, (-12),2 1 , (2),x x f x x x x -+≤-⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩所以()y f x =的最小值为3．……………4分 (II ) 由(I )可知，当1x ≤-时，()4f x ≥，即()4f x ≥，此时32x ≤-； 当2x ≥时，()4f x ≥，即214x -≥，此时52x ≥． 因此不等式()4f x ≥的解集为A 为{|32x ≤-或25≥x }． …………………7分。

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2012年5月福州市高中毕业班数学综合质检试卷(理科)(带答案)

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2012年5月福州市高中毕业班数学综合质检试卷(理科)（带答案）2012年福州市高中毕业班综合练习理科数学试卷参考答案及评分参考一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.B2.A3.C4.D5.B6.D7.C8.B9.D10.D二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.212.1213.14.15.①④三、解答题(本大题共6小题，共80分)16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率”为，则．6分（Ⅱ）（元），7分（元）．8分，9分．10分选择甲部门：因为，说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙部门小，竞争压力没有乙部门大，比较安稳．13分选择乙部门：因为，说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲部门大，岗位工资拉的比较开，工作比较有挑战性，能更好地体现工作价值．13分17．（本小题满分13分）解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．2分（Ⅰ）证明：由平面可知为平面的一个法向量．∴．3分∴直线与平面不平行．4分（Ⅱ）设平面的法向量为，则，5分取，则，故．6分∴，7分解得．∴．8分（Ⅲ）在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线．9分∵，，∴．∴，∴．11分由（Ⅱ）知，，故，∴．12分∴直线与所成的角的余弦值为．13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．1分∵∴，解得．3分∴圆的方程为．5分（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即点，．6分（1）当轴时，由椭圆对称性可知．7分（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．联立方程，消去得，．8分设直线交椭圆于两点，则，．9分∵，∴．10分∵，11分∴，．12分综上所述，．13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，∴，1分∴，所以所求的切线的斜率为3.2分又∵，所以切点为.3分故所求的切线方程为：.4分（Ⅱ）∵，∴．5分①当时，∵，∴；6分②当时，由，得；由，得；7分综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增．8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当时，在上单调递增．9分∴当时，，即．10分令（），则．11分另一方面，∵，即,∴．12分∴（）．13分方法二：构造函数，9分∴，10分∴当时,；∴函数在单调递增．11分∴函数，即∴，，即12分令（），则有．13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）已知是锐角，根据三角函数的定义，得1分又，且是锐角，所以．2分所以．4分（Ⅱ）证明：依题意得，，，因为，所以，，于是有，①6分又∵，，②7分同理，，③由①，②，③可得，线段MA、NB、PC能构成一个三角形.8分（III）第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为.不妨设的边长分别为，其中角、、的对边分别为.则由余弦定理，得：9分11分因为，所以，所以，12分设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，∴，13分所以的外接圆的面积为.14分21．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换解：（Ⅰ）由条件得矩阵．2分（Ⅱ）因为矩阵的特征多项式为，令，解得特征值为，，4分设属于特征值的矩阵M的一个特征向量为，则，解得，取，得，5分同理，对于特征值，解得，取，得，6分所以是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值的一个特征向量．7分（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程解：（Ⅰ）∵点、的极坐标分别为、，∴点、的直角坐标分别为、，2分∴直线的直角坐标方程为．4分（Ⅱ）由曲线的参数方程化为普通方程为，5分∵直线和曲线C只有一个交点，∴半径．7分（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵关于的不等式对于任意的恒成立1分根据柯西不等式，有所以，当且仅当时等号成立，故．3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则∴5分当且仅当，即时取等号，6分所以函数的最小值为．7分。

福州市2012届第一学期高三期末质量检查数学(理科)试卷

福州市2012届第一学期高三期末质量检查数学(理科)试卷

福州市2012届第一学期期末高三数学(理科)模拟试卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =x 为样本平均数.第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知集合{|3}A x x =>，{}24B x x =<<，那么集合()R A B ð等于 A ．{|3}x x ≤B ．{|23}x x <≤C ．{|34}x x <<D ．{|4}x x <2．复数21i i +（i 为虚数单位）等于A ．1122i +B ．1122i -C ．1122i --D ．1122i -+ 3．“3c o s 5α=”是 “7cos 225α=-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，若输入x =0.1，则输出m 的值是A ．0B ．0.1C ．1D ．1-5．将函数()x x f 2sin =（x ∈R ）的图象向右平移4π个单位，则所得到的图象对应的函数在下列区间中单调递增的是A ．(,0)4π-B ．(0,)2πC ．3(,)24ππD ．3(,)4ππ 6．已知||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++= ，则a 与c 的夹角为A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ． 30︒7．已知()g x 为三次函数32()3a f x x ax cx =++的导函数，则它们的图象可能是 第4题图图甲图乙A ．B.C.D.8．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为 A ．14B ．34C ．964D ．27649．直线y =与椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）交于A B 、两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为ABC1 D．4-10．设Q 为有理数集，函数1(),R Q Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩，,-1，ð()11x xe g x e -=+，则函数 ()()()h xf xg x =⋅A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 11．计算1213x dx -⎰的值等于 ★★★ ．12．在24(1(1-+的展开式中，x 的系数等于★★★ .(用数字作答)13．在圆224x y +=所围成的区域内随机取一个点(,)P x y ，则2x y +≤的概率为 ★★★ ．14．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ★★★ ．15．如图的倒三角形数阵满足：⑴ 第1行的n 个数，分别是1，3，5，…，21n -；⑵ 从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；⑶ 数阵共有n 行．问：当2012n =时，第32行的第17个数是 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）第14题图第15题图16．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（*Νn ∈，常数0c ≠），且1a ，2a ，3a 成等比数列． （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．17．（本小题满分13分）某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”（ 健康上网是指每天上网不超过两小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[](](]0,5,5,10,,25,30⋅⋅⋅，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.（Ⅰ）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；（Ⅱ）现从这40名的学生中任取2名，设Y 为健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列及其数学期望E （Y ）．18．（本小题满分13分） 如图，在△ABC 中，已知3B π=，34=AC ,D 为BC 边上一点．（Ⅰ）若2AD =，DAC S ∆=，求DC 的长；（Ⅱ）若AB AD =，试求ADC ∆的周长的最大值．19．（本小题满分13分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ()1,1-，P 是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；第18题图第17题图（Ⅱ）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA ∆和PAM ∆的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分） 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（Ⅰ）若函数()1()1x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间； （Ⅱ）设直线l 为函数()f x 的图象上一点00(,())A x f x 处的切线．证明：在区间1,+∞（）上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．福州市2012届第一学期期末高三数学(理科)模拟试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．2 12．3- 13．2π14．sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ 15．372 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知，12a =，22a c =+，323a c =+， ………2分 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+， ………4分 解得0c =或2c =，又0c ≠，故2c =． ………6分 （Ⅱ）当2n ≥时，由1n n a a cn +=+得21a a c -=， 322a a c -=，…1(1)n n a a n c --=-，以上各式相加，得1(1)[12...(1)]2n n n a a n c c --=+++-=， ………9分 又12a =，2c =，故22(2)n a n n n =-+≥， ………11分 当1n =时，上式也成立， ………12分 所以数列{}n a 的通项公式为22n a n n =-+（*Νn ∈）． ………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.010.020.030.09)50.1550.75+++⨯=⨯=， ………2分∴ 健康上网天数超过20天的学生人数是第20题图40(10.75)400.2510⨯-=⨯=．………4分（Ⅱ）随机变量Y的所有可能取值为0,1,2．………5分P(Y=0)=2302402952CC=, P(Y=1)=111030240513C CC=, P(Y=2)=210240352CC=．……8分所以Y的分布列为11分∴E（Y）=0×2952+1×513+2×352=12．………………………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）DACS∆=1sin2AD AC DAC∴⋅⋅⋅∠=，∴1sin2DAC∠=．………2分∵233DAC BACπππ∠<∠<-=,∴6DACπ∠=．………3分在△ADC中，由余弦定理，得6cos2222πACADACADDC⋅-+=, ……4分24482228DC∴=+-⨯⨯=,DC∴=………6分（Ⅱ）∵AB AD=，3Bπ=，∴ABD∆为正三角形，在ADC∆中，根据正弦定理，可得，⎪⎭⎫⎝⎛-==CDCCAD3sin32sin34sinππ, ………7分8sinAD C∴=，8sin3DC Cπ⎛⎫=-⎪⎝⎭, ………8分∴ADC∆的周长为8sin8sin3AD DC AC C Cπ⎛⎫++=+-+⎪⎝⎭34cos 23sin 21834sin 21cos 23sin 8+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=C C C C C …9分 343sin 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πC , …………………………………10分22033333ADC C C πππππ∠=∴<<∴<+<，，， ………11分 () 3.326C C f A πππ∴+=当，即＝时，有最大值16+8 ADC∆的周长最大值为348+． ……13分 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设每件定价为x 元， 依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯， ………3分 整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤． ………5分 ∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． ………6分 （Ⅱ）依题意，25>x 时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解, ………8分 等价于25>x 时，1501165a x x ≥++有解, ………9分()150110306x x x +≥==当且仅当时，等号成立 , ………11分 10.2a ∴≥. ………12分． ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． ………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得，1111y y x x -+=-+， 整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-）. ………4分 （Ⅱ）方法一、设22112200(,),(,),(,)P x x Q x x M x y ， 由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x +=-， ………6分 由O M P 、、三点共线可知， 00(,)OM x y = 与211(,)OP x x =共线， ∴ 201100x x x y -=，由（Ⅰ）知10x ≠，故001y x x =， ………8分同理，由00(1,1)AM x y =+- 与222(1,1)AQ x x =+- 共线，∴ 20220(1)(1)(1)(1)0x x x y +--+-=，即2020(1)[(1)(1)(1)]0x x x y ++---=，由（Ⅰ）知21x ≠-，故020(1)(1)(1)0x x y +---=， ………10分 将001y x x =，211x x =--代入上式得0101(1)(2)(1)0x x x x +----=， 整理得0112(1)1x x x -+=+，由11x ≠-得012x =-， ………12分由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)． ………14分方法二、设221122(,),(,),P x x Q x x由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， ………6分 ∴直线OP 方程为：1y x x = ①； …………8分直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+，∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+，即11(2)1y x x x =-+--， ② …10分 联立①②，得12x =-，∴点M 的横坐标为定值12-． ……………12分 由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)． ………14分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） ()1()1x x f x x ϕ+=--11ln -+-=x x x ， ()()()22211121-⋅+=-+='x x x x x x ϕ．……………………2分∵0x >且1x ≠， ∴()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ的单调递增区间为()()∞+，和11,0． ……………………4分（Ⅱ）∵1()f x x'=，∴001()f x x '=，∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=-， 即001ln 1y x x x =+-， ① ……………………6分设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)xx e ，∵()x g x e '=，∴101xe x =，∴10ln x x =-． ……………………8分∴直线l 的方程为()00011ln y x x x x -=+， 即0000ln 11x y x x x x =++， ② ……………………9分由①②得 0000ln 1ln 1x x x x -=+， ∴0001ln 1x x x +=-． …………………11分 下证：在区间1,+∞（）上0x 存在且唯一： 由（Ⅰ）可知，()x ϕ11ln -+-=x x x 在在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011e e e e e ϕ+-=-=<--，22222213()ln 011e e e e e e ϕ+-=-=>--， ……………13分 结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=必在区间2(,)e e 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x ．故结论成立．………………14分。

2012年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．===≤的充要条件是，但是4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不sinx+≥（x∈R）时，不等式两边相等；sinx+6．（5分）（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）By=（（﹣=取自阴影部分的概率为=7．（5分）（2012•福建）设函数，则下列结论错误的是（）=（8．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则B∵双曲线的右焦点与抛物线∴双曲线的一条渐近线方程为∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于9．（5分）（2012•福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，B10．（5分）（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）在]（≤=[f二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=2．×12．（4分）（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于﹣3．13．（4分）（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．据三角形三边长成公比为，aaa﹣14．（4分）（2012•福建）数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2012= 3018．cos ncos的规律，即可求出数列的规律即可求出结ncos=0ncos的每四项和为15．（4分）（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．=）轴的左边，得到，），又在，）上成立，y=（，即故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．××+3×=2.86×+2.9×××+3×=2.86××=2.7917．（13分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．﹣，可得这个常数的=++sin2，化简可得结果．sin30．．++sin sin﹣sin=++（）﹣﹣+cos2﹣=1﹣+．18．（13分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．为原点，，，为原点，，，的方向为，，，==（•．此时的法向量=⊥平面⊥，⊥=，﹣，﹣，只要⊥，即有•，有此得t=，AP=的一个法向量，此时与==|，解得19．（13分）（2012•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．，；，，∴的方程为．（Ⅱ）由===，），此时，，，，﹣），交20．（14分）（2012•福建）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．==，则c=，使得四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。

福建省2012届高三高考模拟试题数学理

福建省2012届高三高考模拟试题数学理

2012年普通高等学校招生全国统一考试福建模拟卷(1）数学试题(理工类)试卷组稿：福建省安溪第八中学 楚留香（362402）前言：教学离不开评价,评价离不开试卷。

一份好的试卷不仅可以帮助学生巩固所学知识,轻松掌握重点、攻克难点、化解疑点，还使考试成为学生展示才华的舞台,成为学生旅途中的一个加油站，成为学生生命成长过程中的一种美丽的体验。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

点位于1．在复平面内，复数2334i i-+-所对应的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．如右图，是一程序框图，则输出结果为（ ) A ．49B ．511C ．712D ．6133．设α、β是两个不同的平面，a 、b是两条不同的直线，给出下列4个命题，其中正确命题是( ） A ．若a ∥α,b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βC ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥βD ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b 4．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示．已 知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率 是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） A ．24 B ．18 C ．16 D ．12 5．若点M 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，则ABM 与ABC ∆的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．456．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数()l f d =的图像大致是（ ）7．已知正项等比数列{}na 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =,则14m n+的最小值为（ ）A ．32B ．53C ．256D ．不存在8．若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ,线段21F F 被抛物线22ybx = 的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为（ ）A ．98B ．63737C.324D.31010一年级 二年级 三年级女生 373 xy 男生 377 370z9．设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义。