勾股定理小报word版本

勾股定理之总统证法错误!
这个梯形的面积为
S=(a+b)(a+b)/2=(a+b)²/2=（a²+2ab+b²）/2 即上底+下底（A+B）高（A+B）除2
也可以用S= ab/2+ab/2+c²/2=1/2(2ab+c²) 左右2个三角形和中间大三角形的和来表示
比较1/2（a²+2ab+b²）= 1/2(2ab+c²)
因为面积是一样的，所以数值是一样的，所以左式括号中的a²和b²=右括号中的C²相等，所以a²+b²=c²
勾股定理的历史
在《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。

书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。

《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。

但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。

勾股定理 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理a b 、c 222a b c +=01 思维导图02 知识速记　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.四、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．题型一　用勾股定理解三角形例题1．若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【答案】D a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+272903 题型归纳2．在直角ABC V 中，90B Ð=°，3AB =，4AC =，则BC 的长为（ ）A ．5B C ．5D ．53．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，2BC =，则222AC AB BC ++的值为（ ）A ．8B ．2C ．4D ．【答案】A 【分析】利用勾股定理进行求解即可．【解析】解：∵90A Ð=°，2BC =，∴222228A BC C AB BC BC ++=+=；故选A ．【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．4．如图所示，已知ABC V 中，6AB =，9AC =，AD BC ^于D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于 ．【答案】45【分析】在Rt △ABD 和Rt ADC V 中，分别表示出2BD 和2CD ，在Rt BDM V 和Rt CDM △中，表示出2MB 和2MC ，代入求解即可；【解析】解：∵AD BC ^于D ，∴90ADB ADC Ð=Ð=°，在Rt △ABD 和Rt ADC V 中，222BD AB AD =-，222CD AC AD =-，在Rt BDM V 和Rt CDM △中，222222MB BD MD AB AD MD =+=-+222222MC CD MD AC AD MD =+=-+，()()22222222MC MB AC AD MD AB AD MD \-=-+--+，22AC AB =-，45=．故答案为：45．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键．题型二　勾股定理逆定理 勾股数例题5．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）A ．5，12，14B ．6，8，9C ．7，24，25D ．8，13，15【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案．【解析】A 、22245121+¹，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B 、222689+¹，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C 、22272425+=，能构成直角三角形，故此选项符合题意；D 、22281315+¹，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方是解决问题的关键．巩固训练6．由下列条件不能判定ABC V 为直角三角形的是（ ）A ．A C BÐ+Ð=ÐB ．13a =，14b =，15c =C ．()()2b a b a c+-=D ．5:::3:2A B C ÐÐÐ=7．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．3，4，5C ．2，8，10D ．1【答案】B【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．【解析】解：A ．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；8．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．A ．1，2，3B C D ．9，12，15例题9．（1）如图，在ABC V 中，AD BC ^，求证：2222AB AC BD CD -=-；（2）在ABC V 中，8AB =，5AC =，BC 边上的高4AD =，求边BC 的值．10．如图，已知等腰ABC V 的底边25cm BC =，D 是腰AB 上一点，连接CD ，且24cm 7cm CD BD ==，．(1)求证：BDC V 是直角三角形；(2)求AB 的长．11．如图，已知在ABC V 中，CD AB ^于点D ，20AC =，15BC =，9DB =，(1)求DC 、AB 的长；(2)求证：ABC V 是直角三角形．12．已知在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，9AC =，15AB =，5BD =，过点D 作DH AB ^于点H ．(1)求CD 的长；(2)求DH 的长．题型四　勾股定理逆定理拓展性质例题13．下列由三条线段a 、b 、c 构成的三角形：①2a mn =，22b m n =-，()220c m n m n =+>>，②21a n =+，2221b n n =++，()2220c n n n =+>，③3a k =，4b k =，()50c k k =>，④2=，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．以下四组代数式作为ABC V 的三边：①345n n n ，，（n 为正整数）；②12n n n ++，，（n 为正整数）；③22121n n n +-，，（2n ³，n 为正整数）；④22222m n mn m n -+，，（m n >，m ，n 为正整数）．其中能使ABC V 为直角三角形的有（ ）A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行计算判断即可．【解析】解：①中222234255n n n n +==（）（）（），能构成直角三角形，故符合要求；②中，222221222144n n n n n n n =+++¹++=++（）（），不能构成直角三角形，故不符合要求；③中222422212211n n n n n ++-=+=+（）（）（），能构成直角三角形，故符合要求；④中2222422422222m n mn m m n n m n +=++=+-（）（）（），能构成直角三角形，故符合要求．∴能使ABC V 为直角三角形的有3组，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．解题的关键在于正确的运算．15．下列命题①如果a b c 、、为一组勾股数，那么444a b c 、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边a b c 、、，（ab c >=），那么222::2:1:1a b c =，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④题型五　勾股定理与数轴上的实数例题16．如图，在数轴上点A 表示的实数是（ ）A B C D ∵3,1OC BC ==∴223110OA OB ==+=，17．如图，OA OB =，(1)写出数轴上点A 表示的数；(2)比较点A 表示的数与 1.5-的大小；(3)由勾股定理得：2222=+=+OC OH CH以O为圆心，OC长为半径画弧，交x轴的正半轴于点18．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．(1)点B表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．(2)若将图中数轴上标的A ，C ，D 3和p -对应起来，则点A 表示的实数为_________，点C 表示的实数为_________，点D 表示的实数为_________．例题19．如图，ABC V 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为（ ）A B 5C 5D ．45【答案】C【分析】根据图形和三角形的面积公式求出ABC V 的面积，根据勾股定理求出AC ，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：如图，ABCV的面积12BC =´由勾股定理得，AC=则1522BD´´=，20．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）A．B．C．D．故选A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a b c ，，满足222+=a b c ，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．21．如图所示，在44´的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）A ．60CBA Ð=°B ．5AB =C ．90ACB Ð=°D ．BC =例题22．如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A 和正方形B 的面积分别为25和9，则正方形C 的面积为 ．【答案】34【分析】根据题意，得出90EDF Ð=°，再根据勾股定理，得出222DE DF EF +=，再结合正方形的面积，得出22234EF DE DF =+=，进而即可得出正方形C 的面积．【解析】解：如图，由题意得90EDF Ð=°，∴222DE DF EF +=，∵四边形都是正方形，∴2A S DE =正边形，2B S DF =正边形，2C S EF =正边形，∵正方形A 、B 的面积分别为25和9，∴225DE =，29DF =，∴22234EF DE DF =+=，∴正方形C 的面积为：34．故答案为：34．【点睛】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键．巩固训练23．如图，1S 、2S 、3S 分别是以Rt ABC △的三边为直径所画半圆的面积，其中110S p =，26S p =，则3S = ．24．如图，五个正方形放在直线MN 上，正方形A 、C 、E 的面积依次为3、5、4，则正方形B 、D 的面积之和为（ ）A ．11B ．14C ．17D ．20【答案】C 【分析】如图：由题意可得90ABC ACE CDE Ð=Ð=Ð=°,2223,5,A C B S AB S DE S AC =====,AC CE =，再根据全等三角形和勾股定理可得538B C A S S S =+=+=，同理可得549D C E S S S =+=+=，最后求正方形B 、D 的面积之和即可．【解析】解：如图：由题意可得：90ABC ACE CDE Ð=Ð=Ð=°,2223,5,A C B S AB S DE S AC =====,AC CE=∴90,90,BAC ACB DCE ACB Ð+Ð=°Ð+Ð=°∴BAC DCE Ð=Ð，∴ABC CDE @V V ,∴DE BC =,∵90ABC Ð=°，∴222AC BC AB =+，∴222AC DE AB =+,即538B C A S S S =+=+=,同理：549D C E S S S =+=+=;∴8917D B S S +=+=．故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，发现各正方形之间的面积关系是解答本题的关键．25．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E 的面积是（ ）A ．11B ．47C ．26D ．35【答案】D 【分析】如图，根据勾股定理分别求出F 、G 的面积，再根据勾股定理计算出E 的面积即可．【解析】解：如图，由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积22=+=，3425同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积221310=+=，=+=，∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积251035故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么222a b c．+=26．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和D¢，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A．2B．4C．8D．16例题27．已知a ，b ，c 是ABC V 中A Ð，B Ð，C Ð的对边，下列说法正确的有（ ）个①若90C Ð=°，则2a +22b c =；②若90B Ð=°，则222a c b +=；③若90A Ð=°，则2b +22c a =；④总有2a +22b c =．A ．1B ．2C ．3D ．428．在Rt ABC △中，斜边2BC =，则222AB AC BC ++的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．无法计算【答案】C【分析】根据勾股定理可知222BC AB AC =+，进而可知22222A C B C C B A B BC +=++．【解析】解：∵在Rt ABC △中，斜边为BC ，∴222BC AB AC =+，∵2BC =，∴224AB AC =+，∴22222448B AB AC BC BC C +=+=++=，故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．29．如图，ABC V 中，90BAC Ð=°，点A 向上平移后到A ¢，得到A BC ¢V ．下面说法错误的是（ ）A ．ABC V 的内角和仍为180°B ．BAC BAC ¢Ð<ÐC ．222AB AC BC +=D ．222A B A C BC ¢¢+<30．如图，在ABC V 中，AB AC >，AH BC ^于H ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB AC -与MB MC -的大小，则AB AC -（ ）MB MC -．A．大于B．等于C．小于D．大小关系不确定【答案】C【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2−AC2＝BH2−HC2，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，则AB2−AC2＝MB2−MC2．再根据平方差公式即可求解．【解析】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，∴AB2−AC2＝BH2−HC2，又∵MH⊥BC，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，∴AB2−AC2＝MB2−MC2，即（AB＋AC）（AB−AC）＝（MB＋MC）（MB−MC），又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，则AB−AC＜MB−MC．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用．题型九　勾股定理的证明方法例题31．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【答案】D32．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）A．函数思想B．数形结合思想C．分类思想D．方程思想【答案】B【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．33．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（）A ．B ．C ．D ．34．如图，在四边形ABDE 中，AB DE ∥，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE ≌△△；②A C C E ^；③四边形ABDE 的面积是222121b ab a ++；④()2221112222a b c ab +-=´；⑤222+=a b c ．其中正确的结论个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例题35．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成45°角，则木杆原来的长度是（　）A．8米B．(8+米C．16米D．24米^，一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端B与墙角C距离为7 36．如图，AC BC米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离BD为（）A．4米B．6米C．8米D．10米37．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度x （罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）A ．1213x ≤≤B ．1215x ££C ．512x ££D ．513x ££【答案】A 【分析】由题意得当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a 的长度x 为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a 的长度x 为最大，根据勾股定理可进行求解．【解析】解：由题意得：当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a 的长度x 为最小，即为12，38．如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．39．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．40．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距^，如图，为了安全起见，爆破点C周围离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA CB250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．∴在Rt ABC △中，400AB =∵1122AB CD BC AC ×=×，41．某条道路限速80km /h ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s ，小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ．(1)求BC 的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【答案】(1)40m(2)没有超速．【分析】（1）Rt ABC △中，有斜边AB 的长，有直角边AC 的长，那么根据勾股定理即可求出BC 的长；例题42．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边9cm AC =，12cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合．(1)求EB 的长；(2)求CD 的长．43．如图，在长方形ABCD 中，将长方形沿EF 折叠，使点C 的对应点与点A 重合，点D 的对应点为点G ．(1)求证：AE AF =；(2)若48AB BC ==，，求ABE V 的面积．【答案】(1)见解析(2)ABE V 的面积为6．【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质证明AFE AEF Ð=Ð，再根据等角对等边即可证明AE AF =；（2）由折叠的性质得AE CE =，设AE CE x ==，在Rt ABE △中，建立方程，进一步计算即可求解．【解析】（1）证明：∵长方形ABCD 中，∴AD BC ∥，∴Ð=ÐAFE CEF ，由折叠的性质得AEF CEF Ð=Ð，∴AFE AEF Ð=Ð，44．如图，在ABC V 中，9068ACB AC BC Ð=°==，，．(1)如图（1），把ABC V 沿直线DE 折叠，使点A 与点B 重合，求BE 的长；(2)如图（2），把ABC V 沿直线AF 折叠，使点C 落在AB 边上G 点处，请直接写出BF 的长．45．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP D ，形成如下四种情形，设DP x =，ADP D 和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP D 后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？【答案】（1）32.8y =；（2）当5DP =时，点D 恰好落在BC 边上,这时25y =.【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;（2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;【解析】解：（1）由题意可得,DAC D AC ACE¢Ð=Ð=Ð∴AE CE =46．如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF Ð=°，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ^，理由见解析∵FAO AFO AOF Ð+Ð+Ð∴90FAO DCO Ð=Ð=°，∵ABC V 是等腰直角三角形，∴12BH CH AH BC ===∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴90AMD DNE Ð=°=Ð，同理（2）可知，4AM =，MD ∵90ADM EDN EDN Ð+Ð=°=Ð∴ADM DEN Ð=Ð，∵90AMD DNE Ð=°=Ð，ADM Ð。

⼩学⽣⼿抄报内容：勾股定理
勾股定理：在任何⼀个直⾓三⾓形中，两条直⾓边的平⽅之和⼀定等于斜边的平⽅。

这个定理在中国⼜称为"商⾼定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。

为什么⼀个定理有这么多名称呢?商⾼是公元前⼗⼀世纪的中国⼈。

当时中国的朝代是西周，是奴⾪社会时期。

在中国古代⼤约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商⾼同周公的⼀段对话。

商⾼说："…故折矩，勾⼴三，股修四，经隅五。

"什么是"勾、股"呢?在中国古代，⼈们把弯曲成直⾓的⼿臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。

商⾼那段话的意思就是说：当直⾓三⾓形的两条直⾓边分别为3(短边)和
4(长边)时，径隅(就是弦)则为5。

以后⼈们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。

由于勾股定理的内容最早见于商⾼的话中，所以⼈们就把这个定理叫作"商⾼定理"。

毕达哥拉斯(Pythagoras)是古希腊数学家，他是公元前五世纪的⼈，⽐商⾼晚出⽣五百多年。

希腊另⼀位数学家欧⼏⾥德(Euclid，是公元前三百年左右的⼈)在编著《⼏何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。

勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴ 222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC ∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+. 【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.。