2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版.docx

中考数学专题复习《圆的切线证明》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图 在ABC 中 6,8,10AB BC AC === 以AB 为直径作O 交AC 于点F 连接CO 并延长 分别交O 于D E 、两点 连接,BE BD ．(1)求证：BC 是O 的切线(2)求证：2BC CD CE =⋅(3)求ABE ∠的正切值．2．如图 ABC 是圆内接三角形 过圆心O 作OE AC⊥ 连接OA过点C 作CD ∥AO 交BA 的延长线于点D 45AOE ∠=︒．(1)求证：DC 是O 的切线(2)如果8BC CF ⋅= 求O 半径的长度．3．如图 AB 为O 的直径 点C 在O 上 EAC CAB ∠=∠ 直线CD AE ⊥于点D交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线CD 为O 的切线(2)当1tan 2F = 4CD =时 求BF 的长．4．已知BC 是O 的直径 点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD是O的切线(2)若AE BC⊥垂足为M O的半径为10 求AE的长．5．如图ABC内接于O AB是O的直径D为AC的中点连接OD并延长交O于点E过点E作AC的平行线交BA的延长线于点F连接BE与AC交于点G．(1)求证：EF是O的切线(2)若12EF=5sin BAC∠=求CG的长．6．如图 Rt ABC 中 90ABC ∠=︒ 以点C 为圆心 CB 为半径作C D 为C 上一点 连接AD CD AB AD = AC 平分BAD ∠．(1)求证：AD 是C 的切线(2)延长AD BC 相交于点E 若:2:1ED DA = 求tan BAC ∠的值．7．如图 点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点 且AC CE= 连接AE 交CD 于点O以点O 为圆心 OD 为半径作,O O 交线段AO 于点F ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若2AB = 求阴影部分的面积．8．如图 在菱形ABCD 中 DH AB ⊥于H 以DH 为直径的O 分别交AD BD 于点E F 连接EF ．(1)求证：①CD 是O 的切线①DEF DBA ∽(2)若5AB = 6DB = 求sin DFE ∠．9．如图 已知 AB 是О☉的直径 PB AB ⊥ 连接OP 弦AD OP ∥ 直线PD 交直线AB 于点C 2CD PB =．(1)证明：直线PD 是O ☉的切线(2)求sin OPB ∠的值．10．如图 以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O 交斜边AC 于点D过圆心O 作OE AC ∥交BC 于点E 连接DE .(1)求证：DE 是O 的切线(2)求证：22DE CD OE =⋅.11．如图 AB 为O 的直径 AC 是O 的一条弦 作BAC ∠的角平分线与O 相交于点D过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线上于点E 延长线段AB ED 、交于点F 连接DA DB 、．(1)求证：DE 是O 的切线(2)若10AB = 45AD = 求BF ．12．如图 已知点C 是以AB 为直径的半圆上一点 D 是AB 延长线上一点过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E 连结CD 且CD ED =．(1)求证：CD 是O 的切线(2)若tan 2DCE ∠= 1BD = 求O 的半径．13．如图1 在ABC 中 90ACB ∠=︒ ABC ∠的平分线交AC 于点E 过点E 作BE 的垂线交AB 于点F BEF △的外接圆O 与CB 交于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若9BC = 3EH = 求O 的半径长(3)如图2 在（2）的条件下 过C 作CP AB ⊥于P 求CP 的长．14．如图 点P 是O 外一点 PA 切O 于点A AB 是O 的直径连接OP过点B 作BC OP ∥交O 于点C 连接AC 交OP 于点D ．(1)求证：PC是O的切线(2)若16cm3PD=8cmAC点E是AB的中点连接CE求CE的长．15．如图AB是O的直径点C在O上．(1)尺规作图：在弦BC的右侧作BCD CAB∠=∠交AB的延长线于点D（保留作图痕迹不写作法）(2)在（1）所作的图中①求证：CD是O的切线①若2BD OB=求tan CAB∠的值．参考答案：1．（1）证明：在ABC中222268100AB BC+=+=2210100AC222AB BC AC ∴+=ABC ∴是直角三角形 90ABC ∴∠=︒ AB 是O 的的直径BC ∴是O 的切线 （2）证明：DE 是直径 90EBC ∴∠=︒90EBO OBD ∴∠+∠=︒ 90CBD OBD ∠+∠=︒ EBO CBD ∴∠=∠OE OB =E EBO ∴∠=∠E CBD ∴∠=∠BCD BCE ∠=∠（公共角） BCD ECB ∴∽BC CD CE BC∴= 即2BC CD CE =⋅ （3）由（2）得2()BC CD CD DE =+ 即(6)64CD CD +=解这个方程 得3CD =-+3CD =-3CD ∴=-BCD ECB ∽BD CD BE BC ∴==连结,AE ADAB 与DE 都是O 的直径AB ∴与DE 互相平分∴四边形AEBD 为平行四边形AE BD ∴=在Rt ABD 中733tan AE BD ABE BE BE -∠=== 2．（1）证明：连接OC①45AOE ∠=︒ OA OC = OE AC ⊥①290AOC AOE ∠=∠=︒ ()118090452OAC ∠=︒-︒=︒ ①CD AO ∥①18090OCD AOC ∠=︒-∠=︒即CD OC ⊥①OC 是O 的半径①DC 是O 的切线．（2）解：由（1）可知=90AOC ︒∠ 45OAC ∠=︒ ①1452ABC AOC ∠=∠=︒ ①45ABC OAC ∠=∠=︒①BCA ACF =∠∠①ABC FAC ∽ ①BC AC AC CF= 即2AC BC CF =⋅ ①8BC CF ⋅=①28AC =①由勾股定理得2228OC AC ==解得：2OC =（负值舍去）①O 半径的长度为2．3．（1）证明：连接OC BCOA OC =CAO ACO ∴∠=∠EAC CAB ∠=∠DAC ACO ∴∠=∠OC AD CDADOC DF ∴⊥ OC 是O 的半径∴直线CD 为O 的切线（2）解：1tan 2F = ∴12OC CF = 设OC x = 则2CF x = AO OB x ==OF ∴=OC ADAFD OFC ∴∽ ∴CF OF DF AF=∴25245x x x x x++ 25x ∴=1025BF OF OB ∴=-=-4．（1）证明：如图 连接OA30AEC ∠=︒∴30B AEC ∠=∠=︒ 260AOC AEC ∠=∠=︒AB AD =∴30D B ∠=∠=︒∴18090OAD AOC D ∠=︒-∠-∠=︒OA 是O 的半径 且AD OA ⊥∴直线AD 是O 的切线．（2）解：BC 是O 的直径 且AE BC ⊥于点M∴AM EM =90AMO ∠=︒ 60AOM ∠=︒∴30OAM ∠=︒ ∴12OM OA = 11052=⨯= ∴2222105AM OA OM -=-53∴2253AE AM ==⨯=35．（1）证明：①AC 是O 的弦 OE 是O 的半径 D 为AC 的中点①OE AC ⊥．①EF AC ，①OE EF ⊥ 即90OEF ∠=︒．①OE 是O 的半径①EF 是O 的切线（2）解：如解图 连接AE ．①EF AC ∥①F BAC ∠=∠即sin sin F BAC =∠=OE OF ∴=设OE = 则5OF x =．在Rt OEF △中 222OE EF OF +=①222)12(5)x +=解得x =（负值已舍去） ①6OE =①6OA =在Rt AOD 中 sin OD OA BAC =∠=①AD = 6DE OE OD =-=．在Rt ABC △中 sin BAC ∠=212AB OA ==①sin BC AB BAC AD =∠==． 在BCG 和ADE 中90CBG DAE BC ADBCG ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩①BCG ADE ≌ ①656CG DE == 6．（1）证明：AC 平分BAD ∠BAC DAC ∴∠=∠．又AB AD = AC AC =()SAS BAC DAC ∴≌90ADC ABC ∴∠=∠=︒CD AD ∴⊥即AD 是C 的切线（2）由()1可知 90EDC ABC ∠=∠=︒又E E ∠=∠EDC EBA ∴∽．①:2:1ED DA =2EDC ADC SS ∴= 且BAC DAC ≌△△ :1:2EDC EBA S S ∴=:2DC BA ∴=DC CB =:2CB BA ∴=2tan CB BAC BA ∴∠==． 7．（1）解：过点O 作OG AC ⊥ 交AC 于点G①正方形ABCD①DA CB ∥ OD AD ⊥①∠=∠DAE AEC①AC CE =①EAC AEC ∠=∠①EAC DAE ∠=∠①OD OG =①点G 在O 上①AC 是O 的切线（2）解：①正方形ABCD①45OCG DAC ∠=∠=︒2DC AB ==①OD OG =设OD a = 则OC =①(12DC a == 解得：2a =①2OD a == ①114522.522EAC DAE DAC ∠=∠=∠=⨯︒=︒ ①9022.567.5DOA ∠=︒-︒=︒()22167.5π167.5π23222π236023604ABC DOF OD S S S DA OD ⨯=-=⨯⋅-=⨯⨯-=-阴影扇形故答案为：324-π． 8．（1）证明：①①①四边形ABCD 是菱形①AB CD ∥①DH AB ⊥①90CDH DHA ∠=∠=︒①CD OD ⊥①D 为O 的半径的外端点①CD 是O 的切线①连接HF①DF DF =①DEF DHF ∠=∠①DH 为O 直径①90DFH ∠=︒①90DHF BDH ∠=︒-∠ ①90DHB ∠=︒①90DBA BDH ∠=︒-∠①DHF DBA DEF ∠=∠=∠ ①EDF BDA ∠=∠①DEF DBA ∽（2）解：连接AC 交BD 于G ．①在菱形ABCD 中 6BD = ①AC BD ⊥ AG GC = 132DG GB BD === ①在Rt AGB △中 2222534AG AB GB -- ①28AC AG == ①12ABCD S AC BD AB DH =⋅=⋅菱形 即18652DH ⨯⨯=⋅ ①245DH = ①DEF DBA ∽①DFE DAH ∠=∠ ①24245sin sin 525DH DFE DAH AD ∠=∠===． 9．（1）证明：如图所示 连接OD ①PB AB ⊥①90OBP ∠=︒①OA OD =①OAD ODA ∠=∠①AD OP ∥①OAD BOP ODA DOP ==∠∠，∠∠ ①DOP BOP ∠=∠又①OD OB OP OP ==， ①()SAS DOP BOP ≌①90ODP OBP ∠=∠=︒ ①OD CD ⊥又①OD 是O 的半径①直线PD 是O ☉的切线（2）解：①DOP BOP ≌△△ ①PD PB =①2CD PB =①3PC PD =①3PC PB =①AD OP ∥①CAD COP △∽△ ①23AC CD OC CP ==①2AC OA =①44BC OA OB ==在Rt PBC 中 由勾股定理得222PC PB BC =+ ①()()22234PB PB OB =+ ①2PB OB = ①225OP OB PB OB + ①5sin OB OPB OP ==∠10．（1）证明：连接OD BD①AB 是O 的直径①90ADB BDC ∠=∠=︒. ①OE AC ∥ OA OB = ①BE CE =①DE BE CE ==①DBE BDE ∠=∠.①OB OD =①OBD ODB ∠=∠①90ODE OBE ∠=∠=︒ ①点D 在O 上①DE 是O 的切线.（2）证明：①90BCD ABC ∠=∠=︒ C C ∠=∠ ①BCD ACB ∽△△ ①BCCDAC BC =①2BC CD AC =⋅.由（1）知12 DE BE CE BC ===①24DE CD AC=⋅.由（1）知OE是ABC是中位线①2AC OE=①242DE CD OE=⋅①22DE CD OE=⋅.11．（1）证明：连接ODBAC∠的角平分线与O交于点DCAD BAD∴∠=∠OA OD=BAD ADO∴∠=∠CAD ADO∴∠=∠AC DO∴∥DE AC⊥90E∴∠=︒90ODF E∴∠=∠=︒OD DE∴⊥OD是O的半径DE∴是O的切线（2）如图过点D作DM AB⊥于点MAB为O的直径90ADB ∴∠=︒1045AB AD ==，2225BD AB AD ∴=-=1122ABD S AD BD AB DM =⋅=⋅ 45254AD BD DM AB ⋅⨯∴=== 228AM AD DM ∴=-设BF x =BAC ∠的角平分线与O 交于点D DE AC DM AB ⊥⊥， DE DM ∴=CD BD ∴=在Rt AED △和Rt AMD △中 AD AD DE DM =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AED AMD ∴≌ AE AM ∴=4DM =4DE DM ∴==8AM =8AE AM ∴==90F F ODF E ∠=∠∠=∠=︒， FDO FEA ∴△∽△OD OF AE AF∴= 55810x x +∴=+ 解得：103x = 103BF ∴=． 12．（1）解：连接OC①CD DE = OC OA =①DCE E ∠=∠ OCA OAC ∠=∠ ①ED AD ⊥①90ADE ∠=︒ 90OAC E ∠+∠=︒ ①90DCO ∠=︒①CD 是O 的切线（2）解：连接BC①CD DE =①DCE E ∠=∠①tan 2DCE ∠=①tan 2E =①ED AD ⊥在Rt EDA △中 2AD ED= 设O 的半径为x 则OA OB x ==, ①1BD =①21AD x =+ ①212x ED+= ①12ED x CD =+= ①CD 是O 的切线①2·CD BD AD = 即：()211212x x ⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭ 解得：32x =或12x =-（舍） 故答案为：O 的半径为32． 13．（1）证明：连接OE 如图所示：OB OE =ABE OEB ∴∠=∠ BE 平分ABC ∠ABE CBE ∴∠=∠OEB CBE ∴∠=∠①OE BC ∥90OEA ACB ∴∠=∠=︒ AC 经过O 的半径OE 的外端 且AC OE ⊥ AC ∴是O 的切线（2）解：如图 作OG BD ⊥于点G 则90OGB OGC ∠=∠=︒90C OEC ∴∠=∠=︒∴四边形OECG 是矩形 CG OE OB == BE 平分ABC ∠ EC BC ⊥ EH BA ⊥ 3OG EC EH ∴===9BC =99BG CG OB ∴=-=-222OG BG OB +=()22239OB OB ∴+-= 5OB ∴=∴O 的半径长为5．（3）解：连接OE 如图所示：由（2）得：5OE OF == 3EC EH == ①EH AB ⊥①4OH ==在Rt OHE △中 45cos OH EOA OE ∠== 在Rt EOA 中 4cos 5OE EOA OA ∠== ①52544OA OE ==①154AE == ①1527344AC AE EC =+=+=①2545544AB OB OA=+=+=90ACB∠=︒①ABC的面积1122AB CP BC AC =⨯=⨯①2792744554BC ACCPAB⨯⨯===．14．1）证明：如图连接OCPA切O于点A∴OA PA⊥∴90PAO∠=︒OP BC∥∴AOP OBC∠=∠COP OCB∠=∠OC OB=∴OBC OCB∠=∠∴AOP COP∠=∠在PAO和PCO△中OA CAOP COPOP OP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SASPAO PCO≌∴90PAO PCO∠=∠=︒∴OC PC⊥∴PC是O的切线（2）连结AE BE作BH CE⊥于H如图AB 是O 的直径∴90ACB AEB ∠=∠=︒OP BC ∥∴PO AC ⊥142AD CD AC ∴=== 在Rt PAD △中PA APO DPA ∠=∠∴Rt Rt PAD POA ∽△△∴ PA PO PD PA =∶∶ 即201620333PO =∶∶ 解得253PO = ∴3OD PO PD =-=AO BO = ∥OD BC∴26BC OD ==在Rt ACB △中10AB =点E 是AB 的中点1452BCE ACE ACB ∴∠=∠=∠= ∴AE BE =∴BCH 和ABE 都是等腰直角三角形252BE AB ∴==在Rt BEH △中 ()()22523242EH =-=324272CE CH EH ∴=+= 15．（1）如图所示 BCD ∠为所求．（2）①连接OCOA OC =∴CAO ACO ∠=∠ CAO BCD ∠=∠∴ACO BCD ∠=∠AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒∴90ACO OCB BCD OCB ∠+∠=∠+∠=︒ 即OC CD ⊥∴CD 是O 的切线①设OB a = 则2BD a = OA OC a == 4AD a = 在Rt OCD △中 ()2222322CD OD OC a a a =--= BDC ADC ∠=∠ BCD CAD ∠=∠∴BDC CDA ∽ ∴222BC CD a AC AD ==∴在Rt ABC △中 2tan BC CAB AC ∠==．。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上DCE B∠=∠．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan3B=，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)13【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵11322OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8.∴1384132OA=⨯=.则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD=，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD 的面积为6×4=24，Rt △CED 的面积为12×4×2=4， 扇形ABE 的面积为12π×42=4π， ∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.4．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”．如图，M （1，2），N （4，2）．（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围；（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．【答案】（1）P 1和P 3；（2）3311x -≤≤；（3333 3.r +≤ 【解析】【分析】 （1）先根据题意求出点P 的横坐标的范围，再求出P 点的纵坐标范围即可得出结果； （2）由直线y=x+1经过点M （1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P 4N 交于点A ，过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C ，则在△AMN 中，MN=3，∠AMN=45°，∠ANM=30°，设AB=MB=a ，tan ∠ANM=AB BN ，即tan30°=3a a-，求出a 即可得出结果； （3）圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，分别求出两个距离即可得出结果．【详解】（1））如图1所示：∵点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点，M （1，2），N （4，2），∴点P 的横坐标1≤x≤4，∵以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，当∠MPN=60°时，PM=60MN tan ︒=3=3， 同理P′N=3，∴点P 的纵坐标为2-3或2+3，即纵坐标2-3≤y≤2+3，∴线段MN 的“关联点”有P 1和P 3；故答案为：P 1和P 3；（2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），∴ x ≥1.设直线1y x =+与P 4N 交于点A .过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°.设AB = MB = a ，∴ tan AB ANM BN ∠=，即tan303a a ︒=-， 解得333a -=∴ 点A 的横坐标为33333111.22x a --=+=+= ∴331.x -≤ 综上 3311.2x -≤≤（3）点P 在以O （1，-1）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，如图3所示：连接P 4O 交x 轴于点D ，P 4、M 、D 、O 共线，则圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，由（1）知：MP 4=NP 53即OD+DM+MP 433圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，作OE ⊥MP 5于E ，连接OP 5， 则OE 为r 的最小值，MP 5225MN NP +223(3)+3OM=OD+DM=1+2=3， △OMP 5的面积=12OE•MP 5=12OM•MN ，即12312×3×3， 解得：33 ∴3323 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN 的“关联点”图是关键．5．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点6，0)与点B(02)，点D 在劣弧OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO.(1)求⊙M 的半径；(2)求证：BD 平分∠ABO ；(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．【答案】（1）M 的半径r ＝2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为(263，2)． 【解析】 试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=2633=∴点E 的坐标为（263，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.6．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝28°，∴∠POC ＝56°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，∴OD ⊥AC ，∵∠CAB ＝12°，∴∠AOE ＝78°，∴∠DCA ＝39°，∵∠P ＝∠DCA ﹣∠CAB ，∴∠P ＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．7．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与A 、B 重合），连AP ，BP ，过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ，（1）求证：△PCM 为等边三角形；（2）若PA ＝1，PB ＝2，求梯形PBCM 的面积．【答案】（1）见解析；（21534【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM ∥BP ，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中， BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=332，∴S梯形PBCM=12（PB+CM）×PH=12×（2+3）×33=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．8．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE 3．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA ＝2∠ABC ．②如图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 60AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=，∴PE ＝36 ． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分∠DAB ． （1）求证：AD ⊥CD ；（2）若AD ＝2，AC=6，求⊙O 的半径R 的长．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】试题分析：（1）连接OC ，由题意得OC ⊥CD ．又因为AC 平分∠DAB ，则∠1=∠2=12∠DAB ．即可得出AD ∥OC ，则AD ⊥CD ； （2）连接BC ，则∠ACB =90°，可证明△ADC ∽△ACB ．则2AD AC AC R ，从而求得R ． 试题解析：（1）证明：连接OC ，∵直线CD 与⊙O 相切于C 点，AB 是⊙O 的直径，∴OC ⊥CD ．又∵AC 平分∠DAB ，∴∠1=∠2=12∠DAB ． 又∠COB =2∠1=∠DAB ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ．（2）连接BC ，则∠ACB =90°，在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB =90°，∴△ADC ∽△ACB ． ∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD =10．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．【答案】(1) B （，2）．(2)证明见解析.【解析】 试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题； （2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B （，2）． （2）连接MC ，NC∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，∴CD=NB=ND ，∴∠CND=∠NCD ，∵MC=MN ，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．。

人教版数学九年级上学期《圆》单元测试考试时间:100分钟;总分:120分一、单选题(每小题3分，共30分)1．(2019·全国初三课时练习)下列直线是圆的切线的是( )A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线2．(2019·全国初三课时练习)如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是( )A．8 B．18 C．16 D．143．(2019·台湾中考真题)如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？()A．32B．52C．43D．534．(2019·辽宁中考真题)如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°5．(2019·辽宁中考真题)如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若70ADB︒∠=，∠的度数是( )则ABCA．20︒B．70︒C．30︒D．90︒∆的内切圆的半径为( )6．(2019·湖南中考真题)如图，边长为23的等边ABCA．1 B．3C．2 D．237．(2019·山东初三期中)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为( )A.点M在⊙C上B.点M在⊙C内C.点M在⊙C外D.点M不在⊙C内8．(2018·浙江初三期中)如图:在⊙O中，AD平分圆周角∠BAC，AE⊥BC，∠BAC＝60°，∠OAD＝16°，求∠C的度数为()A.50°B.30°C.44°D.45°∠为() 9．如图，CA为O的切线，A为切点，点B在O上，如果55∠=，那么AOBCABA.55B.90C.110D.12010．(2018·杭州市下沙中学初三月考)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC 于F，若BD=8cm，AE=2cm．则OF的长度是( )A． 5B． 6C． 2.5D．3二、填空题(每小题4分，共24分)11．(2019·山东初三期中)如图CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CD＝10，AB＝8，那么CE的长为_____．12．(2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中)如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD 的度数是_____°．13．(2019·无锡市硕放中学初三期中)如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB=_________．14．(2019·浙江初三期中)已知在圆O中，AB是直径，点E和点D是圆O上的点，且∠EAB=45°，延长AE和BD相交于点C，连接BE和AD交于点F，BD=12，CD=8，则直径AB的长是_____．15．(2019·江苏初三期中)如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为___________16．(2019·无锡市硕放中学初三期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=43，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为_______________.三、解答题一(每小题6分，共18分)17．(2018全国初三单元测试)已知:如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证:AB＝CD．18．(2019·山东初三期中)已知AB，AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，求证:MN∥BC且MN＝12 BC．19．(2019·江苏东绛实验学校初三期中)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC 于F，若BD＝16cm，AE＝4cm．(1)求⊙O的半径;(2)求OF的长．四、解答题二(每小题7分，共21分)20．(2018全国初三课时练习)如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB 为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.求证:(1)∠AOE＝∠BOD;(2)AD BE.21．(2019·无锡市甘露学校初三期中)如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N(1)求证:∠AOC＝135°;(2)若NC＝3，BC＝5DM的长．22．(2019·陕西延安职业技术学院附中初三期中)如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC CD ∠=平分ACB ∠，交AB 于点D ，以点D 为圆心，DA 为半径的⨀D 与AB 相交于点E ．(1)判断直线BC 与⨀D 的位置关系，并证明你的结论;(2)若3,5AC BC ==，求BE 的长．五、解答题三(每小题9分，共27分)23．(2019·贵州中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 交于点E ，且AC ＝BD ，连接AD ，BC ．(1)求证:△ADB ≌△BCA ;(2)若OD ⊥AC ，AB ＝4，求弦AC 的长;(3)在(2)的条件下，延长AB 至点P ，使BP ＝2，连接PC ．求证:PC 是⊙O 的切线．24．(2019广东中考真题)如图1，在ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作BCD ACB ∠=∠交O 于点D ，连接AD 交BC 于点E ，延长DC 至点F ，使CF AC =，连接AF .(1)求证:ED EC =;(2)求证:AF 是O 的切线;(3)如图2，若点G 是ACD ∆的内心，25BC BE ⋅=，求BG 的长.25．(2016安徽初三月考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF 。

圆的综合题类型一 与全等结合1. 如图,⊙O 的直径AB ＝4,C 为⊙O 上一点,AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ,P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合). (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时,求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时,求证：△APC 与△ABC 全等.第1题图(1)解：∵AC ＝2,OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2,∴AC ＝OA ＝OC , ∴△ACO 为等边三角形,∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°,∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°, 又∵DC 与⊙O 相切于点C , ∴OC ⊥DC , ∴∠DCO ＝90°,∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图,连接PB ,OP ,∵AB 为直径,∠AOC ＝60°, ∴∠COB ＝120°,当点P 移动到CB ︵的中点时,∠COP ＝∠POB ＝60°, ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形, ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB , ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径,∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°, 在Rt △ABC 与Rt △CP A 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC , ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL).2. 如图,AB 为⊙O 的直径,CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ,CO 的延长线交⊙O 于点M ,连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45,求cos ∠BDM 的值.第2题图(1)证明：如解图,连接OD ,∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D , ∴OA ⊥AC ,OD ⊥CD , 在Rt △OAC 和Rt △ODC 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC , ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL), ∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知, △OAC ≌△ODC ,∴∠AOC ＝∠DOC , ∴∠AOD ＝2∠AOC , ∵∠AOD ＝2∠OBD , ∴∠AOC ＝∠OBD , ∴BD ∥CM ； (3)解：∵BD ∥CM ,∴∠BDM ＝∠M ,∠DOC ＝∠ODB ,∠AOC ＝∠B , ∵OD ＝OB ＝OM ,∴∠ODM ＝∠OMD ,∠ODB ＝∠B ＝∠DOC , ∵∠DOC ＝2∠DMO , ∴∠DOC ＝2∠BDM , ∴∠B ＝2∠BDM ,如解图,作OE 平分∠AOC ,交AC 于点E ,作EF ⊥OC 于点F ,第2题解图∴EF ＝AE ,在Rt △EAO 和Rt △EFO 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE AE ＝EF, ∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL), ∴OA ＝OF ,∠AOE ＝12∠AOC , ∴点F 在⊙O 上,又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM , ∴∠AOE ＝∠BDM , 设AE ＝EF ＝y , ∵sin B ＝45,∴在Rt △AOC 中,sin ∠AOC ＝AC OC ＝45,∴设AC ＝4x ,OC ＝5x ,则OA ＝3x , 在Rt △EFC 中,EC 2＝EF 2＋CF 2, ∵EC ＝4x －y ,CF ＝5x －3x ＝2x , ∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2, 解得y ＝32x ,∴在Rt △OAE 中,OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ,∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x＝255.3. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 为直径,AB ︵＝BD ︵,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ； (2)求证：BE 是⊙O 的切线； (3)若EC ＝1,CD ＝3,求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图,过点B 作BF ⊥AC 于点F ,∵AB ︵＝BD ︵, ∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB, ∴△ABF ≌△DBE (AAS), ∴BF ＝BE , ∵BE ⊥DC ,BF ⊥AC , ∴∠1＝∠BCE ； (2)证明：如解图,连接OB ,∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ABC ＝90°,即∠1＋∠BAC ＝90°, ∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°,且∠1＝∠BCE , ∴∠BAC ＝∠EBC , ∵OA ＝OB ,∴∠BAC ＝∠OBA , ∴∠EBC ＝∠OBA ,∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°, ∴∠EBO ＝90°, 又∵OB 为⊙O 的半径, ∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS), ∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4, ∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5,∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35. 类型二 与相似结合4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AB ＝AC ,∠BAC ＝36°,过点A 作AD ∥BC ,与∠ABC 的平分线交于点D ,BD 与AC 交于点E ,与⊙O 交于点F . (1)求∠DAF 的度数； (2)求证：AE 2＝EF ·ED ； (3)求证：AD 是⊙O 的切线.第4题图(1)解：∵AB ＝AC ,∠BAC ＝36°,∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°, ∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠DBC ＝36°, ∵AD ∥BC ,∴∠D＝∠DBC＝36°,∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D,∠AEF＝∠AED,∴△EAF∽△EDA,∴AEDE＝EFEA,∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图,过点A作BC的垂线,G为垂足,∵AB＝AC,∴AG垂直平分BC,∴AG过圆心O,∵AD∥BC ,∴AD⊥AG ,∴AD是⊙O的切线.第4题解图5. 如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,OC ⊥AB ,D 为BC ︵的中点,连接DA 、DB 、DC ,过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ,DA 交OC 于点F . (1)求证：∠CED ＝45°； (2)求证：AE ＝BD ； (3)求AOOF 的值.第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°,又∵CE ⊥DC ,∴∠DCE ＝90°, ∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°； (2)解：如解图,连接AC ,∵D 为BC ︵的中点,∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°, 而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°, ∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°,∴AE ＝CE ,∵∠ECD ＝90°,∠CED ＝45°, ∴CE ＝CD , 又∵CD ︵＝BD ︵, ∴CD ＝BD ,∴AE ＝CE ＝CD ＝BD , ∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ,∴AE ＝CE ＝x ,由勾股定理得,DE ＝2x ,则AD ＝x ＋2x , 又∵AB 是直径,则∠ADB ＝90°, ∴△AOF ∽△ADB ,∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2xx ＝1＋ 2.6. 如图,AB 为⊙O 的直径,P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点,过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ,连接AD ,作BE ⊥AB ,OE //AD 交BE于E 点,连接AE 、DE ,AE 交CD 于点F . (1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3,sin ∠ADP ＝13,求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系,并加以证明.第6题图(1)证明：如解图,连接OD ,∵OA ＝OD , ∴∠OAD ＝∠ODA , ∵OE ∥AD ,∴∠OAD ＝∠BOE ,∠DOE ＝∠ODA , ∴∠BOE ＝∠DOE , 在△BOE 和△DOE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE,∴△BOE ≌△DOE (SAS), ∴∠ODE ＝∠OBE , ∵BE ⊥AB , ∴∠OBE ＝90°, ∴∠ODE ＝90°, ∵OD 为⊙O 的半径, ∴DE 为⊙O 的切线； (2)解：如解图,连接BD ,∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB ＝90°, ∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°, ∵AB ⊥CD ,∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°, ∴∠ABD ＝∠ADP ,∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13, ∵⊙O 的半径为3,∴AB =6,∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ,证明：∵CD ⊥AB ,BE ⊥AB , ∴CD ∥BE , ∴△APF ∽△ABE , ∴PF BE ＝AP AB , ∴PF ＝AP ·BEAB , 在△APD 和△OBE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠P AD ＝∠BOE , ∴△APD ∽△OBE ,∴PD BE ＝AP OB , ∴PD ＝AP ·BEOB , ∵AB ＝2OB , ∴PF ＝12PD , ∴PF ＝FD .7. 如图①,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,OD ∥AC ,OD 交⊙O 于点E ,且∠CBD ＝∠COD . (1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点,求证：四边形OACE 是菱形. (3)如图②,作CF ⊥AB 于点F ,连接AD 交CF 于点G ,求FGFC 的值.第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠BCA ＝90°,∴∠ABC＋∠BAC＝90°,∵OD∥AC,∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC,∴∠BAC＝∠ACO,又∵∠COD＝∠CBD,∴∠CBD＝∠BAC,∴∠ABC＋∠CBD＝90°,∴∠ABD＝90°,即OB⊥BD,又∵OB是⊙O的半径,∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图,连接CE、BE,∵OE＝ED,∠OBD＝90°,∴BE＝OE＝ED,∴△OBE为等边三角形,∴∠BOE＝60°,又∵AC∥OD,∴∠OAC＝60°,又∵OA＝OC,∴△OAC为等边三角形,∴AC＝OA＝OE,∴AC∥OE且AC＝OE,∴四边形OACE是平行四边形,而OA＝OE, ∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB,∴∠AFC＝∠OBD＝90°,而AC∥OD,∴∠CAF＝∠DOB,∴Rt△AFC∽Rt△OBD,∴FCBD＝AFOB,即FC＝BD·AFOB,又∵FG∥BD,∴△AFG∽△ABD,∴FGBD＝AFAB,即FG＝BD·AFAB,∴FCFG＝ABOB＝2,∴FGFC＝12.8. 如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O、B重合),作EC⊥OB交⊙O于点C,作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证：AC平分∠F AB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时,求劣弧BD︵的长度.第8题图(1)证明：∵PF切⊙O于点C,CD是⊙O的直径,∴CD⊥PF,又∵AF⊥PC,∴AF∥CD,∴∠OCA＝∠CAF,∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∴∠CAF＝∠OAC,∴AC平分∠F AB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∵∠DCP＝90°,∴∠ACB＝∠DCP＝90°,又∵∠BAC＝∠D,∴△ACB∽△DCP,∴∠EBC＝∠P,∵CE⊥AB,∴∠BEC＝90°,∵CD是⊙O的直径,∴∠DBC＝90°,∴∠CBP ＝90°,∴∠BEC ＝∠CBP ,∴△CBE ∽△CPB ,∴BC PC ＝CE CB ,∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠F AB ,CF ⊥AF ,CE ⊥AB ,∴CF ＝CE ,∵CF CP ＝34,∴CE CP ＝34,设CE ＝3k ,则CP ＝4k ,∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2,∴BC ＝23k ,在Rt △BEC 中,∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32,∴∠EBC ＝60°,∴△OBC 是等边三角形,∴∠DOB ＝120°,∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.类型三 与全等相似结合9. 如图,四边形ABCD 内接于圆O ,∠BAD ＝90°,AC 为直径,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ,过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ,连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3,BE ＝92,求CD 的长.第9题图(1)证明：∵AC 为直径,∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°, ∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°,∴BC∥AD,∴∠BCA＝∠CAD,又∵AC＝CA,∴△ABC≌△CDA(AAS),∴AB＝CD；(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心,∴OA⊥AE,即CA⊥AE,∴∠EAB＋∠BAC＝90°,而∠BAC＋∠BCA＝90°,∴∠EAB＝∠BCA,而∠EBA＝∠ABC,∴△EBA∽△ABC,∴EBAB＝BABC,∴AB2＝BE·BC, 由(1)知AB＝CD,∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ,即CD 2＝92BC ①,∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点,∴G 为AB 的三等分点,即CD ＝AB ＝3BG ,在Rt △CBG 中,CG 2＝BG 2＋BC 2,即3＝(13CD )2＋BC 2②,将①代入②,消去CD 得,BC 2＋12BC －3＝0,即2BC 2＋BC －6＝0,解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③,将③代入①得,CD ＝332.10.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为圆外一点,AC 交⊙O 于点D ,BC 2＝CD ·CA ,ED ︵＝BD ︵,BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15,CD ＝9,∠BAC ＝36°,求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ,∴BC CA ＝CD BC ,∵∠C ＝∠C ,∴△CBD ∽△CAB ,∴∠CBD ＝∠BAC ,又∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB ＝90°,即∠BAC ＋∠ABD ＝90°,∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°,即AB ⊥BC ,又∵AB 为⊙O 的直径,∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形.证明如下：∵ED ︵＝BD ︵,∴∠DAE ＝∠BAC ,又∵△CBD ∽△CAB ,∴∠BAC ＝∠CBD ,∴∠CBD ＝∠DAE ,∵∠DAE ＝∠DBF ,∴∠DBF ＝∠CBD ,∵∠BDF ＝90°,∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°,∵BD ＝BD ,∴△BDF ≌△BDC ,∴BF ＝BC ,∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知,BC 为⊙O 的切线,∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ,∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25,由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20,∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10,∵∠BAC ＝36°,∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。

中考数学 圆的综合综合试题附详细答案一、圆的综合1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠A ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中，OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC （SAS ），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，∴△CDO 为直角三角形，∵S △CDO =12CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，∴S△CDO=12×6×4=12，∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．2．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的长为；（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．【答案】（1）4；（2）35；（3）点E的坐标为（1，2）、（53，103）、（4，2）．【解析】分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．∵OA =6，BC =2，∴AH =0A ﹣OH =OA ﹣BC =6﹣2=4．∵∠BHA =90°，∠BAO =45°，∴tan ∠BAH =BH HA=1，∴BH =HA =4，∴OC =BH =4． 故答案为4． （2）过点B 作BH ⊥OA 于H ，过点G 作GF ⊥OA 于F ，过点B 作BR ⊥OG 于R ，连接MN 、DG ，如图1（2）．由（1）得：OH =2，BH =4．∵OC 与⊙M 相切于N ，∴MN ⊥OC ．设圆的半径为r ，则MN =MB =MD =r ．∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =12（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ．∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ．∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =12BD =2，∴OF =4，∴OG同理可得：OB AB ，∴BG =12AB ．设OR =x ，则RG x ．∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，∴（2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．解得：x =5，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2﹣（5）2=365，∴BR =5．在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB35． 故答案为35． （3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ． 则有2t =2．解得：t =1．则OP =CD =DB =1．∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴DE OC =BD BC =12，∴DE =2，∴EP =2，∴点E的坐标为（1，2）．②当∠BED=90°时，如图3．∵∠DBE=OBC，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE∽△OBC，∴BEBC =2DB BEOB∴，=25，∴BE=5t．∵PE∥OC，∴∠OEP=∠BOC．∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE∽△BCO，∴OEOB =25OPBC∴，=2t，∴OE=5t．∵OE+BE=OB=255，∴t+55t=25．解得：t=53，∴OP=53，OE=55，∴PE=22OE OP-=103，∴点E的坐标为（51033，）．③当∠DBE=90°时，如图4．此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．则有OD=PE，EA=22PE PA+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．在Rt△DBE中，cos∠BED=BEDE=22，∴DE=2BE，∴t=22（t﹣22）=2t﹣4．解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（51033，）、（4，2）．点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．3．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．4．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．5．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，当∠D=°时，四边形FOBE是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE P ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.6．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M 和点N ．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD =，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，在Rt△AHP中，tanA=12PHAH =，设PH=y，AH=2y，y 2+（2y ）2=（65）2 解得：y=6（取正数）， ∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴35535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.7．如图．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AB =30cm ，点P 在AB 上，AP =10cm ，点E 从点P 出发沿线段PA 以2c m/s 的速度向点A 运动，同时点F 从点P 出发沿线段PB 以1c m/s 的速度向点B 运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿线段AB 向点B 运动，在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设点E 、F 运动的时间为t （s ）（0＜t ＜20）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=22 2 9?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．8．已知：AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.图1 图2 图3 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12105【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠=，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°． ∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ． （2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ． ∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ． ∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°． ∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°． ∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM =12AG ．在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α． 设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6． ∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK 22(2)m m +=6，解得：m =655，∴AH =2m 125．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BADGAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL 2AH 12109．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数10．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，（1）求证：△PCM为等边三角形；（2）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．【答案】（1）见解析；（2153 4【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可． 【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠APC=∠ABC=60°， ∠BAC=∠BPC=60°， ∵CM ∥BP ， ∴∠BPC=∠PCM=60°， ∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形， ∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ， ∴∠BCP=∠ACM ， 在△BCP 和△ACM 中，BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCP ≌△ACM （SAS ）， ∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt △PMH 中，∠MPH=30°， ∴PH=332， ∴S 梯形PBCM =12（PB+CM ）×PH=12×（2+3）×33=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．11．如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409R=;（2）25880320xy x xx=-++（3）505-【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，即可求解；（2）首先证明PD∥BE，则EB BFPD PF=，即：2024588x yxxx-+--=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝5【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，解得：R＝409；（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，则BH＝ACsinC＝8，同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝45，则：tan∠CAB＝2，BP＝228+(4)x-＝2880x x-+，DA＝25x，则BD＝45﹣25x，如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，tanβ＝2，则cosβ5，sinβ5，EB ＝BDcosβ＝（45﹣25x ）×5＝4﹣25x ， ∴PD ∥BE ， ∴EB BF PD PF =，即：2024588x y x xx y -+--=， 整理得：y ＝25x x 8x 803x 20-++； （3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G ，则PG ＝PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ， GD 为相交所得的公共弦，∵点Q 是弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ，∵AG 是圆P 的直径，∴∠GDA ＝90°，∴EP ∥BD ，由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形，∴AG ＝EP ＝BD ，∴AB ＝DB+AD ＝AG+AD ＝5设圆的半径为r ，在△ADG 中，AD ＝2rcosβ5DG 5AG ＝2r ， 5＝52r 51+， 则：DG 550﹣5 相交所得的公共弦的长为50﹣5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．12．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．求证：（1）AD 是⊙B 的切线；（2）AD ＝AQ ；（3）BC 2＝CF×EG ．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】()1连接BD ，由DC AB ⊥，C 为AB 的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD BD =，再根据正方形的性质，可得90ADB ∠=o ；()2由BD BG =与//CD BE ，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得122.52G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=∠=o ，继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=o ，由等角对等边，可证得AD AQ =； ()3易求得67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠o ，90DCF E ∠=∠=o ，即可证得Rt DCF V ∽Rt GED V ，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．【详解】证明：()1连接BD ，Q 四边形BCDE 是正方形，45DBA ∴∠=o ，90DCB ∠=o ，即DC AB ⊥，C Q 为AB 的中点，CD ∴是线段AB 的垂直平分线，AD BD ∴=，45DAB DBA ∴∠=∠=o ，90ADB ∴∠=o ，即BD AD ⊥，BD Q 为半径，AD ∴是B e 的切线；()2BD BG =Q ，BDG G ∴∠=∠，//CD BE Q ，CDG G ∴∠=∠，122.52G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=∠=o ， 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=o o ，9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=o o ， ADQ AQD ∴∠=∠，AD AQ ∴=；()3连接DF ，在BDF V 中，BD BF =，BFD BDF ∴∠=∠，又45DBF ∠=o Q ，67.5BFD BDF ∴∠=∠=o ，22.5GDB ∠=o Q ，在Rt DEF V 与Rt GCD V 中，67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠o Q ，90DCF E ∠=∠=o ，Rt DCF ∴V ∽Rt GED V ，CF CD ED EG∴=， 又CD DE BC ==Q ，2BC CF EG ∴=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．13．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠D ＝60°且AB ＝6，过O 点作OE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求OE 的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】（1）OE的长为32；（2）阴影部分的面积为3 2π【解析】（1）OE=32（2）S=32π14．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE．①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．【答案】（1）6；（2）①证明见解析；33．【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．试题解析：（1）如图2，连接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB•tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考点：圆的综合题15．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）332 23π-【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。

2019甘肃中考数学-圆的切线证明与综合计算1.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB.(1)求证：CE⊥AB；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)若BD＝2OD，且PB＝9，求tan P的值．第1题图（1）证明：如解图，连接OC，第1题解图∴∠COB＝2∠CAB，又∵∠POE＝2∠CAB，∴∠COD＝∠EOD，又∵OC＝OE，∴CE⊥AB;(2)证明：∵CE⊥AB，∠P＝∠E，∴∠P＋∠PCD＝∠E＋∠PCD＝90°，又∠OCD＝∠E，∴∠OCD＋∠PCD＝∠PCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(3)解：设⊙O的半径为r，OD＝x，则BD＝2x，r＝3x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，∴Rt△OCD∽Rt△OPC，∴OC 2＝OD ·OP ，即(3x )2＝x (3x ＋9)， 解得x ＝32或x =0（舍去），∴⊙O 的半径r 为92，同理可得PC 2＝PD ·PO ＝(PB ＋BD ) ·(PB ＋OB )＝162， ∴PC ＝92， 在Rt △OCP 中，tan P ＝OC PC ＝242、如图所示, 直线DP 和☉O 相切于点C ,交直径AE 的延长线于点P , 过点C 作AE 的垂线, 交AE 于点F , 交☉O 于点B ,作平行四边形ABCD ,连接BE , DO ,CO . (1)求证：DA =DC ;(2)求∠P 及∠AEB 的大小.第2题图(1)证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CB ⊥AE ， ∴AD ⊥AE ，∴∠DAO ＝90°， 又∵直线DP 和☉O 相切于点C ， ∴DC ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°，∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中， ⎩⎨⎧DO ＝DO AO ＝CO， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)， ∴DA ＝DC ；(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径，∴CF ＝FB ＝12BC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ， ∴CF ＝12AD ，又∵CF ∥DA ，∴△PCF ∽△PDA ，∴PC PD ＝DC PD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD . 由 (1) 知DA ＝DC ，∴DA ＝12PD ，∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°.∵DP ∥AB ，∴∠FAB ＝∠P ＝30°， 又∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝90°－30°＝60°.3．如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E .(1)求证：AC 平分∠DAB;(2)连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝45，求AFFC的值．第3题图(1) 证明：连接OC ，如解图①，第3题解图①∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD ， ∵AD ⊥CD ， ∴OC ∥AD ，∴∠DAC ＝∠OCA ， ∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠DAC ＝∠OAC ， ∴AC 平分∠DAB ；(2)解：如解图②，连接BC ，第3题解图②∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵cos ∠CAD ＝45，设AD ＝4x ，则AC ＝5x ，CD ＝3x ，∴tan ∠DAC ＝34，∵∠EBC ＝∠DAC ，由(1)得，∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠EBC ＝∠BAC ，∴tan ∠EBC ＝tan ∠BAC ＝tan ∠DAC ＝34，∴CF BC ＝BC AC ＝34， ∴BC AC ·CF BC ＝34×34， ∴CF AC ＝916，∴CF AF ＝97，∴AF FC ＝79. 4.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F . (1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．第4题图（1）证明：如解图，连接OD ，第4题解图∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠B ， 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ，∴∠DFC ＝90°，∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25， ∴OA ＝5，∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.5、如图,CD 是⊙O 的直径,点B 在⊙O 上,连接BC 、BD ,直线AB 与CD 的延长线相交于点A ,AB 2=AD ·AC ,OE ∥BD 交直线AB 于点E ,OE 与BC 相交于点F , (1)求证：直线AE 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3,cos A =54,求OF 的长.G第5题图(1)证明：如解图，连接OB ，∵AB 2＝AD ·AC ，∴AB AD ＝ACAB，∵∠A 为公共角，∴△ABD ∽△ACB ， ∴∠ABD ＝∠ACB ， 在⊙O 中，OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB ， ∴∠OBC ＝∠ABD ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CBD ＝90°，∴∠OBC ＋∠OBD ＝90°，∴∠OBD ＋∠ABD ＝90°， 即∠OBA ＝90°，∵点B 为AE 上一点，且OB 为⊙O 的半径， ∴AE 是⊙O 的切线；第4题解图(2)解：在Rt △ABO 中，OB ＝3，cos A ＝AB OA ＝45， ∴设AB ＝4k ，OA ＝5k (k > 0)， 又OA 2＝AB 2＋OB 2， ∴(5k )2＝(4k )2＋32， ∴k 2＝1(k >0)，∴k ＝1，即AB ＝4，OA ＝5， ∵OD ＝3，∴AD ＝OA －OD ＝2， ∵OE ∥BD ， ∴AD OD ＝AB BE ，即23＝4BE， ∴BE ＝6.在Rt △OBE 中，OE ＝BE 2＋OB 2＝62＋32＝35， ∵∠CBD ＝90°，BD ∥OE ， ∴∠EFB ＝90°，∵S △OBE ＝12OB ·BE ＝12OE ·BF ，∴BF ＝OB ·BE OE ＝3×635＝655， 在Rt △OBF 中，由勾股定理可知，55355632242=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=BF BO OF . 6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E . (1)求证：∠ABD ＝∠ADE ； (2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求CE 的长．第6题图（1）证明：如解图，连接OD .第6题解图 ∵DE 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥DE ，∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°. ∴∠ADE ＝∠ODB ， ∵OB ＝OD， ∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ABD ＝∠ADE ; (2)解：∵AB ＝AC ＝2×256＝253，∠ADB ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD . ∵O 为AB 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ， ∵OD ⊥DE ， ∴AC ⊥DE ， 在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°， ∴△DEC ∽△ADC ，∴CE DC ＝DC AC ，即CE 5＝5253， ∴CE ＝3.7. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO . (1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．第7题图(1)证明：∵BE ∥CO ， ∴∠OCB ＝∠EBC ， ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠OBC ＝∠EBC ，∴BC 是∠ABE 的平分线；(2)解：设AD ＝x ，则DO ＝x ＋6， ∵CD 是⊙O 的切线，∴CD⊥CO ， ∴∠DCO ＝90°，在Rt △DCO 中，有DC 2＋CO 2＝DO 2， ∴82＋62＝(x ＋6)2，解得x ＝4， ∴DO ＝10，∵CO ∥BE ，∴CE DC ＝BODO ，∴CE 8＝610，∴CE ＝245. 8．如图，在⊙O 中，AC 与BD 是⊙O 的直径，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F .(1)四边形ABCD 是什么特殊的四边形？请判断并说明理由； (2)求证：BE ＝CF .第8题图(1)解：四边形ABCD 是矩形，理由如下： ∵AC 与BD 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAD ＝∠BCD ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形 ；(2)证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥BD ， ∴∠BEO ＝∠CFO ＝90°， 在△BOE 和△COF 中，⎩⎨⎧ ∠BEO ＝∠CFO ∠BOE ＝∠COF ， OB ＝OC∴△BOE ≌△COF (AAS)． ∴BE ＝CF .9.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，∠ACD ＝∠ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan ∠ABC ＝23，tan ∠AEC ＝53，求⊙O 的直径．第9题图(1)证明：∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°，∴∠ABC ＋∠DCB ＝90°， ∵∠ACD ＝∠ABC ，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°， 即BC ⊥CA ，又∵BC 是⊙O 的直径， ∴CA 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △AEC 中，tan ∠AEC ＝53，∴AC EC ＝53，EC ＝35AC . 在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝23，∴AC BC ＝23，BC ＝32AC . ∵BC －EC ＝BE ＝6，∴32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ∴BC ＝32×203＝10，即⊙O 的直径为10.10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD . (1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin ∠BPD ＝35，求⊙O 的直径．第10题图(1)证明：∵∠BPD ＝∠BCD, ∠1＝∠BCD ， ∴∠1＝∠BPD ， ∴CB ∥PD ；(2)解：如解图，连接AC ，第10题解图∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵CD ⊥AB ， ∴BD ︵＝BC ︵， ∴∠BPD ＝∠CAB ，∴sin ∠BPD ＝sin ∠CAB ＝35，即BC AB ＝35， ∵BC ＝3， ∴AB ＝5，即⊙O 的直径是5.11.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F . (1)求证：DE ⊥AC ；(2)若AB ＝10，AE ＝8，求BF 的长．第11题图（1）证明：如解图,连接OD ，AD ，第11题解图∵DE 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥DE .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°， ∵AB =AC ，∴D 为BC 中点， 又∵O 为AB 中点， ∴OD ∥AC ，∴DE ⊥AC ； (2)解：∵AB =10， ∴OB =OD =5.由(1)知OD ∥AC ， ∴△ODF ∽△AEF ，∴ABBF OB BF AF OF AE OD ++==，设BF =x ,则有10585++=x x 解得x =310， ∴BF =310. 12.如图，AB是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连接BE .(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)若tan ∠PCB ＝34，BE ＝52，求PF 的长．第12题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ，∵PC 是⊙O 的切线，且AD ⊥CD ， ∴∠OCP ＝∠D ＝90°， ∴OC ∥AD ，∴∠CAD ＝∠OCA ＝∠OAC ，即AC 平分∠DAB ； (2)解：如解图，连接AE ，第12题解图∵弦CE 平分∠ACB , ∴∠ACE ＝∠BCE ， ∴AE ︵＝BE ︵，∴AE＝BE，又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2BE＝10，∴OB＝OC＝5，∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△PAC，∴PBPC＝BCCA，∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝34，∴PBPC＝BCCA＝34，设PB＝3x，则PC＝4x，在Rt△POC中，根据勾股定理得，(3x＋5)2＝(4x)2＋52，解得x1＝0，x2＝307.∵x＞0，∴x＝307，∴PC＝1207，又∵∠PCB=∠PAC，∠BCE=∠ACF，∴∠PCB＋∠BCE=∠PAC＋∠ACF，即∠PCF=∠PFC，∴PF=PC=1207.13. 如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E.(1)求证：∠BME＝∠MAB；(2)若BE＝185，sin∠BAM＝35，求⊙O的半径．第13题图(1)证明：如解图，连接OM，∴直线CD切⊙O于点M，∴∠OMD＝90°，第13题解图∴∠BME＋∠OMB＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∴∠AMO＋∠OMB＝90°，∴∠BME＝∠AMO.∵OA＝OM，∴∠MAB＝∠AMO.∴∠BME＝∠MAB；(2)解：由(1)可得，∠BME＝∠MAB.∵sin∠BAM＝35，∴sin∠BME＝35，在Rt△BEM中，BE＝185，sin∠BEM＝BEBM＝35.∴BM＝6，在Rt△ABM中，∵sin∠BAM＝BMAB＝35.∴AB＝35BM＝10.∴⊙O的半径为5.14．如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝∠β，∠EAG＋∠EBA＝γ.(1)用含α的代数式表示β和γ；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．第14题图解：(1)如解图①，连接OB，由圆周角定理可知：2∠BCA＝360°－∠BOA，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝α，第14题解图①∴∠BOA ＝180°－2α，∴2β＝360°－(180°－2α)， ∴β＝α＋90°，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ， ∴OE 是线段BC 的垂直平分线，∴BE ＝CE ，∠BED ＝∠CED ，∠EDC ＝90°， ∵∠BCA ＝∠EDC ＋∠CED ， ∴β＝90°＋∠CED ， ∴∠CED ＝α，∴∠CED ＝∠OBA ＝α， ∴O 、A 、E 、B 四点共圆， ∴∠EBO ＋∠EAG ＝180°，∴∠EBA ＋∠OAB ＋∠EAG ＝180°， ∴γ＋α＝180°，即γ＝180°－α；(2)∵γ＝135°，∴α＝45°，β＝135°， ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝α＝45°， ∴∠BOA ＝90°，∠BCE ＝45°，∴当γ＝135°时，如解图②所示，连接OB ，第14题解图②由(1)可知：O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠BEC ＝90°， ∵△ABE 的面积为△ABC 的面积的4倍， ∴AE AC ＝4，∴CEAC＝3， 设CE ＝3x ，AC ＝x ，∵D 是BC 的中点，∴BC ＝2CD ＝6， ∵∠BCE ＝45°，∴BE ＝CE ＝3x ，由勾股定理可知(3x)2＋(3x)2＝62，解得x＝2，∴BE＝CE＝32，AC＝2，∴AE＝AC＋CE＝42，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：AB2＝BE2＋AE2＝(32)2＋(42)2＝50，在Rt△AOB中，设半径为r，由勾股定理可知：AB2＝2r2，∴r＝5，∴⊙O半径的长为5.15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．第15题图(1)证明：如解图，过点O作OM⊥CD，第15题解图∵OD平分∠ADC，∴∠ADO＝∠MDO，∵AD∥BC，AE⊥BC，∴OA⊥AD，∴∠DAO＝∠DMO＝90°，∴OM＝OA，∴OM是⊙O的半径，且∠DMO＝90°，∴CD与⊙O相切；(2)解：如解图，连接OB，∵AE⊥BF，AE经过圆心，∴BE＝EF＝12BF＝12，在Rt△OBE中，OB＝BE2＋OE2＝122＋52＝13，∵OA＝OB＝13，∴AE＝OA＋OE＝18，在Rt△ABE中，tan∠ABE＝AEBE＝1812＝32.∴tan∠ABC＝3 2 .16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA 的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若EA＝EF＝1，求⊙O的半径．第16题图(1)证明：如解图，连接OD，第16题解图∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∵OD是⊙O的半径，∴OD⊥DH，∴DH是⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，∵OD∥EC，EA＝EF＝1，∴OD＝FD＝r，∵∠5＝∠1，∠1＝∠2，∴∠5＝∠2，∴ED＝DC＝r＋1，又∵AC＝2OD＝2r，∴EC＝2r＋1，如解图，连接AD，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠BDA ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴D 为BC 的中点， ∴BC ＝2CD ＝2r ＋2，∵在△CDE 与△CAB 中，∠2为公共角，∠1＝∠5， ∴△CDE ∽△CAB ， ∴CD CA ＝CECB，即CD ·CB ＝CA ·CE ， 得(r ＋1)(2r ＋2)＝2r (2r ＋1)， 解得r 1＝5＋12，r 2＝1－52(舍去)． ∴⊙O 的半径为5＋12.。

人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的∠O经过点D．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若∠C＝30°，且CD＝2．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A．D的∠O分别交AB，AC于点E，F．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=8，sin B≈513，求∠O的半径；(3)求证：AD2=AB•AF．3．如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，点E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2DE =，30BDE ∠=︒，求OC 的长．4．如图，∠O 的弦AB 、CD 交于点E ，点A 是CD 的中点，连接AC 、BC ，延长DC 到点P ，连接PB ．(1)若PB ＝PE ，判断PB 与∠O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC 2＝2AE 2，求证：点E 是AB 的中点．5．如图，在Rt ABC 中，∠BAC =90°，以AD 为直径的∠O 与边BC 有公共点E ，且AB =BE ．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=3，BC=7，求∠O的半径．⊥于点C，交O于点E，CD与BA的延长线交于点6．如图，AB为O直径，D为O上一点，BC CDF，BD平分ABC∠．(1)求证：CD是O的切线；BC=，求BD的长．(2)若3AB=，27．如图，四边形ABCD内接于∠O，AB是∠O的直径，点P为CA的延长线上一点，∠CAD＝45°．(1)若AB＝8，求图中阴影部分的面积；(2)若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是∠O的切线．8．如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE∠AC，垂足为E，∠O经过A，B，D三点．(1)证明：AB是∠O的直径(2)试判断DE与∠O的位置关系，并说明理由；(3)若DE的长为3，∠BAC＝60°，求∠O的半径．9．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的∠O与AB边交于点D，连接DE．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若CD＝3cm，5cm2DE ，求∠O直径的长．10．如图，点D在∠O的直径AB的延长线上，点C在∠O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．(1)求证：CD是∠O的切线；(2)若∠O的半径为2，求图中阴影部分的面积．11．如图，在∠ABC中，AB=AC，以AB为直径的∠O与BC相交于点D，DE∠AC于E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若∠O的半径为5，BC=16，求DE的长．12．如图，AB是∠O的直径，C、D是∠O上的点，BD平分∠ABC，DE∠BE，DE交BC的延长线于点E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)如果CE＝1，AC＝∠O的半径r．13．如图，AB是O的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧BG的中点时，CD垂直直线AG，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ．(1)求证：DC 与O 相切；(2)求证：PC PF =；(3)若1tan 3E =，BE =PF 的长．14．如图，∠O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是∠O 的直径，BE ∠DC ，交DC 的延长线于点E ，CB 平分∠ACE ．(1)求证：BE 是∠O 的切线．(2)若AC ＝4，CE ＝1，求tan∠BAD ．15．如图，AB 为∠O 的直径，射线AD 交∠O 于点F ，C 为BF 的中点，过点C 作CE ∠AD ，连接AC ．(1)求证：CE是∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．16．如图，∠O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与∠O交于点E，连接AE．(1)求证△ABC∠∠ADE；(2)求证：AD是∠O的切线．．以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DE∠AC于点17．已知：如图，在∠ABC中，AB ACE．(1)求证：DE与O相切；AB ，sin B，求线段AF的长．(2)延长DE交BA的延长线于点F，若618．如图，Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是半圆∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．19．如图，AB是∠O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DEBE平分∠ABD，BE与AD交于点F．(1)求证：BP是∠O的切线；(2)若tan∠DBE EF的长；(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求∠O的半径．20．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作∠O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)当α＝90°时，求证：BH是∠O的切线；(2)当BH与∠O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；(3)当△AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离．参考答案：1．(1)连接OD，∠AD是∠BAC的平分线，∠∠DAB＝∠DAO，∠OD＝OA，∠∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∠DO∠AB，而∠B＝90°，∠∠ODB＝90°，∠BC是∠O的切线；(2)连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∠∠C＝30°，CD＝∠OD＝CD•tan30°＝3，∠∠DAB＝∠DAE＝30°，∠DE＝DF，∠∠DOE＝60°，∠∠DOF＝60°，∠∠FOA＝60°，∠∠OFD、△OF A是等边三角形，∠DF∠AC，∠S阴影＝S扇形DFO＝2603360π⨯⨯＝32π．2．(1)证明： 如图，连接OD ，∠OA =OD ，∠∠ODA =∠OAD ，∠AD 平分∠BAC ，∠∠OAD =∠CAD ，∠∠ODA =∠CAD∠OD AC ∥，∠∠C =90°，∠ ∠ODB =∠C =90°，又∠OD 是∠O 的半径，∠BC 是∠O 的切线；(2)解：90BDO ∠=︒，∴在Rt∠BDO 中，5sin 813OD OD OD B BO BE OD OD ====++， 解得5OD =，故∠O 的半径为5；(3)证明：如图：连接EF ，∠AE 是直径，∠90AFE ACB ∠=︒=∠，∠EF BC ∥，∠AEF B ∠=∠，又∠AEF ADF ∠=∠，∠B ADF ∠=∠，又∠OAD CAD ∠=∠，∠∠DAB ∠∠F AD ， ∠AD AF AB AD=， ∠2AD AB AF =⋅．3．(1)解：连接OD ，∠OD OB =，∠B ODB ∠=∠，又∠B CDA ∠=∠，∠ODB CDA ∠=∠，∠AB 是圆O 的直径，∠∠ADB =90°，∠90ODB ODA ∠+∠=︒，∠90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒， ∠CD 是O 的切线；(2)解：连接BE 、OE∠E 是BD 的中点，∠2BE DE ==，OE BD ⊥，260BOE BDE ∠=∠=︒， ∠OBE △是等边三角形，∠2OB BE ==，60BOE ∠=︒∠OB OD =，OE BD ⊥，∠60BOE DOE ∠=∠=︒，∠60DOC ∠=︒在Rt ODC ，60DOC ∠=︒，∠∠C =30°，∠24OC OD ==．4．(1)PB 与∠O 相切，理由是：连接OA 、OB ，OA 交CD 于F ，∠点A 是CD 的中点，∠OA ∠CD ，∠∠AFE ＝90°，∠∠OAE ＋∠AED ＝90°，∠OA＝OB，PB＝PE，∠∠OAE＝∠OBA，∠PEB＝∠PBE，∠∠AED＝∠PEB，∠∠OBA＋∠PBE＝90°，即∠OBP＝90°，∠OB∠PB，∠PB与∠O相切；(2)∠AC＝AD，∠∠ACE＝∠ABC，∠∠CAE＝∠BAC，∠∠ACE∠∠ABC，∠ACAE＝ABAC，∠AC2＝AE•AB，∠AC2＝2AE2，∠AE•AB＝2AE2，∠AB＝2AE，∠E为AB的中点．5．(1)证明：连接OB，OE，如图所示，在ABO和EBO△中，AB BE OA OE OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠()SSS ABO EBO △△≌， ∠90BEO BAO ∠=∠=︒，即OE BC ⊥,∠BC 是O 的切线；(2)解：∠3BE =，7BC =，∠3AB BE ==，4CE =，∠AC == ∠OE BC ⊥，∠222OE EC OC +=，即()2224OE OE +=，解得：OE = ∠O6．(1)连接OD ，如图，∠BD 平分ABC ∠，∠ABD DBC ∠=∠，∠OB OD =，∠OBD ODB ∠=∠∠DBC ODB ∠=∠，∠∥OD BC ，∠ODF C ∠=∠∠BC CD ⊥，∠90C ∠=︒，∠90ODF C ∠=∠=︒，即OD DC ⊥，∠CD 是O 的切线(2)连接AD ，如图，∠AB 为O 直径，∠90ADB ∠=︒∠90C ∠=︒，∠90ADB C ∠=∠=︒∠ABD DBC ∠=∠，∠ABD DBC △△∽ ∠BC BD BD AB =，即23BD BD =， ∠BD =∠BD ．7．(1)解：如图，连接OC ，OD ，∠∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，∠∠COD＝90°，∠AB＝8，∠OC＝12AB＝4，∠S扇形COD＝2904360π⨯⨯＝4π，S△OCD＝12×OC×OD＝12×4×4＝8，∠S阴影= S扇形COD- S△OCD =4π﹣8．(2)证明：∠BC＝AD，∠BC AD=，∠∠BOC＝∠AOD，∠∠COD＝90°，∠∠AOD＝45°，∠OA＝OD，∠∠ODA＝∠OAD，∠∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠∠ODA＝67.5°，∠AD＝AP，∠∠ADP＝∠APD，∠∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，∠∠ADP＝12∠CAD＝22.5°，∠∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，∠PD是∠O的切线．8．(1)解：如图所示，连接AD∠AB＝AC，BD＝DC，∠AD∠BC即∠ADB＝90°，∠AB是∠O的直径．(2)解：DE与∠O相切，理由如下：如图所示，连接OD，∠OB＝OA，BD＝DC，∠OD是∠ABC的中位线，∥．∠OD AC∠DE∠AC，∠DE∠OD即∠ODE＝90°，∠DE与∠O相切．(3)解：∠AB＝AC，AD∠BC，∠BAC＝60°，∠∠BAD＝∠DAE＝30°．∠DE∠AC，AD∠BD，∠AD＝2DE＝6，AB＝2BD．在∠ABD 中，222BD AD AB +=， ∠()22262BD BD +=，解得BD =∠2AB BD ==，∠∠O 的半径为9．(1)连接OD∠AC 为圆O 的直径 ∠∠ADC ＝90°∠OD ＝OC∠∠ODC ＝∠OCD在Rt ∠BCD 中，∠E 为BC 中点 ∠12DE BC CE == ∠∠EDC ＝∠ECD∠∠ODC ＋∠EDC ＝∠OCD ＋ECD ＝90° 即∠ODE ＝90°∠OD ∠DE∠DE 是圆O 的切线(2)在Rt∠BCD中，∠E为BC中点∠BC＝2DE＝5∠CD＝3∠BD=4∠AC为直径，∠∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，又∠∠B＝∠B∠∠ABC∠∠CBD，∠AC BC CD BD=∠5 34 AC=∠154=AC cm10．(1)证明：如图，连接OC，∠CD＝AC，∠∠CAD＝∠D，又∠∠ACD＝120°，∠∠CAD＝∠D＝12（180°﹣∠ACD）＝30°，∠OC＝OA，∠∠A＝∠2＝30°，∠∠COD＝60°，又∠∠D＝30°，∠∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，∠OC∠CD∠OC是∠ O的半径∠CD是∠ O的切线；(2)解：∠∠A ＝30°，∠∠1＝2∠A ＝60°． ∠260223603OBC S ππ⨯==扇形 ，在Rt ∠OCD 中，tan 60CD OC ==•︒=∠11222Rt OCD S OC CD =⨯=⨯⨯=△．∠图中阴影部分的面积为23π．11．(1)证明：如图：连接OD ．∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，又∠OD =OB ，∠∠ODB =∠OBD ．∠∠ODB =∠ACB ．∠OD AC ∥，∠DE ∠AC ．∠OD ∠DE ．∠OD 是圆的半径，∠DE 是∠O 的切线；(2)解：如图：连接AD ，∠AB为∠O的直径，∠∠ADB=90°，即AD∠BC，又∠AB=AC，BC=16，∠BD=CD=8，∠∠O的半径为5，∠AC=AB=10，∠6 AD=，∠S△ADC11••22AC DE CD AD ＝＝，∠10DE=8×6，∠DE=4.8．12．(1)解：连接OD，如下图所示：∠OB=OD，∠∠OBD=∠ODB，∠BD平分∠ABC，∠∠OBD=∠DBE，∠∠ODB=∠DBE，∠OD∥BE，∠DE∠BE于点E，∠∠E=90°，∠∠ODE=180°-∠E=180°-90°=90°，∠OD∠DE；∠DE是∠O的切线．(2)解：设OD交AC于点M，如下图：∠AB为∠O的直径，∠∠ACB=∠ACE=90°，由(1)知，∠ODE=90°，∠∠ACE=∠E=∠ODE=90°，∠四边形DECM为矩形，∠EC=DM=1，∠MO∥CB，O为AC的中点，∠MO为∠ABC的中位线，且∠AMO=∠ACB=90°，AC∠AM=MC=12设圆的半径为r，则MO=DO-DM=r-1，在Rt∠AMO中，由勾股定理可知：AO²=AM²+MO²，代入数据：222=+-，r r(1)解出：4r=，故圆∠O的半径为4．13．(1)解：（1）CD AD ⊥，90D ∴∠=︒，∠∠DAC +∠DCA =90°，点c 是弧BG 的中点，∠CG BC =DAC BAC ∴∠=∠，OA OC =，OCA BAC ∴∠=∠，OCA DAC ∠=∠∴，//∴AD OC ，∠∠D =∠OCP =90°， OC 是圆O 的半径，DC ∴与O 相切，(2) AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90PCB ACD ∴∠+∠=︒，由（1）得：90DAC DCA ∠+∠=︒，PCB DAC ∴∠=∠，DAC BAC ∠=∠，PCB BAC ∴∠=∠， CE 平分ACB ∠，ACF BCF ∴∠=∠，∠∠PFC =∠BAC +∠ACF ，∠PCF =∠PCB +∠BCF ，PFC PCF ∴∠=∠，PC PF ∴=；(3)连接AE ，CE 平分ACB ∠，∴AE BE =，AE BE ∴=， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，AEB ∴∆为等腰直角三角形，∠AB ，∠OB =OC ∠1tan 3E = ∠1tan 3BC CAB AC ==∠， ∠∠PCB =∠BAC ，∠P =∠P ，∠△PCB ∠△P AC ， ∠13BC PB AC PC ==， ∴设PB x =，3=PC x ，在Rt OCP ∆中，222OC PC OP +=，∠222(3))x x +=，∠x =x =0(舍去)，∠PC∠PF 14．(1)证明：如图，连接OB，∠CB平分∠ACE．∠∠ACB＝∠ECB，∠OB＝OC，∠∠BCO＝∠CBO，∠∠BCE＝∠CBO，∠OB∠ED．∠BE∠ED，∠EB∠BO．∠BE是∠O的切线；(2)解：∠AC是∠O的直径，∠∠ABC＝90°，∠BE∠ED，∠∠E＝90°，∠∠E＝∠ABC，∠∠BCE＝∠ACB，∠∠BCE∠∠ACB，∠BC CE AC BC=，∠AC＝4，CE＝1，∠2BC==，∠BE，∠∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，∠∠BCE＝∠BAD，∠tan tan BE BAD BCE CE∠=∠== 15．(1) 解：（1）连接BF ，OC ，∠AB 是∠O 的直径，∠∠AFB ＝90°，即BF ∠AD ，∠CE ∠AD ，∠BF ∠CE ，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠OC ∠BF ，又BF ∠CE ，∠OC ∠CE ，∠OC 是∠O 的半径，∠CE 是∠O 的切线；(2)解：连接OF ，CF ，∠OA ＝OC ，∴∠OCA =∠BAC ＝30°，∠∠BOC ＝60°，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠FC BC =，∠∠FOC ＝∠BOC ＝60°，∠OF ＝OC ，∴△FOC为等边三角形，∠∠OCF＝∠COB=60°，∠CF∠AB，∠S△ACF＝S△OCF，∠阴影部分的面积等于S扇形COF，∠AB＝4，∠FO＝OC＝OB＝2，∠S扇形FOC＝260223603ππ⋅⨯=，即阴影部分的面积为23π．16．(1)解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠B＝∠D．∠四边形ABCE为∠O的内接四边形，∠∠B+∠AEC＝180°．∠∠AED+∠AEC＝180°．∠∠B＝∠AED．∠AB＝AC，∠AB＝∠ACB∠∠ACB＝∠AED．∠∠ABC∠∠ADE．(2)解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．∠AB＝AC，OB＝OC，∠AM垂直平分BC．∠∠AMC＝90°．∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC．∠∠DAO＝90°．∠点A在∠O上，∠AD是∠O的切线．17．(1)证明：连接OD，∠AB=AC，∠=∠，∠B C=，又∠OB OD∠1∠=∠，B∠C1∠=∠，∥，∠OD AC∠DE∠AC于E，∠DE∠OD，∠OD是O的半径，∠DE与O相切；(2)解：如图：连接AD，∠AB为O的直径，∠∠ADB=90°，∠AB =6，sin B∠sin AD AB B =⋅ ∠123290∠+∠=∠+∠=︒， ∠13∠=∠，∠3B ∠=∠，在∠AED 中，∠AED =90°，∠sin 3AE AD ∠==∠65AE AD ===. 又∠OD AE ∥， ∠∠FAE ∠∠FOD ， ∠FA AE FO OD=， ∠6AB =，∠3OD AO ==， ∠235FA FA =+， ∠2AF =．18．(1)连接OD ，BD ，如图，AB 是直径，90ADB ∴∠=︒， 90BDC ∴∠=︒，E 是BC 的中点，12DE BE EC BC ∴=== EBD EDB ∠∠∴=，OB OD =OBD ODB ∠∠∴=OBD EBD ODB EDB ∠∠∠∠∴+=+即90ODE ABC ∠=∠=︒OD DE ∴⊥ OD 是半径，∴DE 是半圆∠O 的切线．(2)2DE =24BC ED ∴==30BAC ∠=︒28AC BC ∴==AB ∴==12BD AB ∴==6AD ∴=．19．(1) 证明：∠AB 是∠O 的直径，∠∠ADB ＝90︒，∠∠DAB +∠ABD ＝90︒，∠∠BED ＝∠DAB ，∠PBD ＝∠BED ，∠∠DAB ＝∠PBD ，∠∠PBD +∠ABD ＝90︒，∠∠ABP ＝90︒，∠AB ∠PB ，∠BP 是∠O 的切线；(2)解：连接AE ，∠AB 是直径∠∠AEB ＝90︒，∠BE 平分∠ABD ，∠∠ABE ＝∠DBE ，∠AE DE =，∠AE ＝DE∠∠ABE ＝∠DBE ＝∠DAE ，∠tan tan tan EF DBE ABE DAE EA ∠∠∠==＝＝，∠EF (3)解：连接OE ，∠OE =OB ，∠∠ABE =∠OEB ，∠∠ABE =∠DBE ，∠∠DBE =∠OEB ，∠//OE BD ∠CE OC DE OB=， ∠CA =AO ，设CA =AO =BO =R ， ∠22CE R DE R==，2=， ∠CE∠DC = CE +DE∠∠ADC =∠ABE ，∠C =∠C ，∠CAD CEB △∽△， ∠CD AC CB CE=，= ∠R，∠∠O20．(1)证明：∠α＝90°，∠AOB ＝90°，∠∠AOP ＝∠BOH ，在∠AOP 和∠BOH 中，OA OB AOP BOH OP OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOP ∠∠BOH （SAS ），∠∠OP A＝∠OHB，∠AP是∠O的切线，∠∠OP A＝90°，∠OHB＝90°，即OH∠BH于点H，∠BH是∠O的切线；(2)如图，过点B作∠O的切线BC，BD，切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC∠BC，OD∠BD，∠OC＝2，OB＝4，∠cos2142OCBOCOB===∠∠∠BOC＝60°，同理∠BOD＝60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，∠∠OHB＝90°．∠圆弧PH的长为902180ππ⨯=；当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，∠圆弧PH的长为21027 1803ππ⨯=，∠当BH与∠O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或73π；(3)设h表示点H到直线AB的距离，作ON∠AB于点N，H在圆O上，在Rt∠ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∠ON＝4cos45°＝∠h的最小值为＝ON﹣r＝2∠当∠AHB面积最小时，点H到AB的距离为2。

2019中考数学试题分类汇编：考点30 切线的性质和判定一．选择题（共11小题）1．（2019•哈尔滨）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3 C．6 D．9【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【解答】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=3，∴AO=3，则OP=6，故BP=6﹣3=3．故选：A．2．（2019•眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（）A．27° B．32° C．36° D．54°【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP=90°，∵∠P=36°，∴∠AOP=54°，∴∠B=27°．故选：A．3．（2019•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（）A．4 B．2 C．3 D．2.5【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．【解答】解：连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO=90°，∵∠C=90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴===，设PA=x，则=，解得：x=4，故PA=4．故选：A．4．（2019•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40° B．50° C．60° D．80°【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选：D．5．（2019•泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）A．3 B．2 C．D．【分析】如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH=，连接OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，则PA=，然后利用垂线段最短求PA的最小值．【解答】解：如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，y=x+2=2，则D（0，2），当y=0时， x+2=0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），∴CD==4，∵OH•CD=OC•OD，∴OH==，连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴PA==，当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA的最小值为=．故选：D．6．（2019•泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°，∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选：A．7．（2019•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（）A．3 B．C．6 D．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan ∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，∴光盘的直径为6，故选：D．8．（2019•重庆）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2 B．C．D．【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【解答】解：连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB，∴即∴CD=．故选：B．9．（2019•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4 D．4【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E，∵CD=8，∴CE=DE=CD=4，连接OC，则OC=OA=5，在Rt△OCE中，OE===3，∴AE=AO+OE=8，则AC===4，故选：D．10．（2019•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠COD=45°，故选：D．11．（2019•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O 在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OG，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．二．填空题（共14小题）12．（2019•安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE= 60 °．【分析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．【解答】解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为：60．13．（2019•连云港）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB= 44°．【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP=90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，∵OA=OB，∠OAB=22°，∴∠OAB=∠OBA=22°，∴∠APO=∠CBP=68°，∵∠APO=∠CPB，∴∠CPB=∠ABP=68°，∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°，故答案为：44°14．（2019•泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为或．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．设PQ=PA′=r，∵PQ∥CA′，∴=，∴=，∴r=．如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，∵△A′BT∽△ABC，∴=，∴=，∴A′T=，∴r=A′T=．综上所述，⊙P的半径为或．15．（2019•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB==4．综上所述，BP的长为3或4．16．（2019•台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D= 26 度．【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴∠D=90°﹣∠COD=26°，故答案为：26．17．（2019•长沙）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB= 50 度．【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB 的度°°【解答】解：∵∠A=20°，∴∠BOC=40°，∵BC是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBC=90°，∴∠OCB=90°﹣40°=50°，故答案为：50．18．（2019•香坊区）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，若CD=2，则OE的长为．【分析】根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线，直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得OE的长．【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，∴∠DAB=90°，∠OAC=90°，∵AB=AC，在△ACO和△BAD中，，∴△ACO≌△BAD（ASA），∴AO=AD，∵AO=OD，∴AO=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAO=60°，∴∠B=∠C=30°，∠OAE=30°，∠DAC=30°，∴AD=DC，∵CD=2，∴AD=2，∴点O为AD的中点，OE∥AD，OE⊥AB，∴OE=，故答案为：．19．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．【分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴BF=CF=BC=4，∴DF==3，连接OF，∵OC=OD，CF=BF，∴OF∥AB，∴∠OFC=∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°，∴∠OFC+∠BFG=90°，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG===，故答案为．20．（2019•包头）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 115 度．【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．【解答】解：连接OC，∵DC切⊙O于C，∴∠DCO=90°，∵∠D=40°，∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，∴的度数是130°，∴的度数是360°﹣130°=230°，∴∠BEC==115°，故答案为：115．21．（2019•湘潭）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB= 60°．【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，故答案为：60°．22．（2019•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°，则∠CDA= 126 度．【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．【解答】解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=72°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=∠COD=36°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．23．（2019•青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是﹣π．【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为： =∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π24．（2019•广东）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为π．（结果保留π）【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π．故答案为π．25．（2019•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为 4 ．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，继而求得CG=B′E=OH===2，根据垂径定理可得CF的长．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′=∠OHB′=90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，∴B′H=OE=2.5，∴CH=B′C﹣B′H=1.5，∴CG=B′E=OH===2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，∴CF=2CG=4，故答案为：4．三．解答题（共25小题）26．（2019•柯桥区模拟）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE；（2）如图2，连接BD，∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC===5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴，∴BC2=CD•CE，∴CD==，∴OC==，∴⊙O的半径=．27．（2019•天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．【分析】（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；（Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°，∵D为的中点，∠AOB=180°，∴∠A OD=90°，∴∠ACD=45°；（Ⅱ）连接OD，∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP=90°，由DP∥AC，又∠BAC=38°，∴∠P=∠BAC=38°，∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°，∴∠ACD=64°，∵OC=OA，∠BAC=38°，∴∠OCA=∠BAC=38°，∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°．28．（2019•荆门）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD ⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．（1）求证：AC平分∠DAE；（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到=，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出r即可；②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，又∵AD⊥DE，∴OC∥AD．∴∠1=∠3∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AC平方∠DAE；（2）解：①∵AB为直径，∴∠AFB=90°，而DE⊥AD，∴BF∥DE，∴OC⊥BF，∴=，∴∠COE=∠FAB，而∠FAB=∠M，∴∠COE=∠M，设⊙O的半径为r，在Rt△OCE中，cos∠COE==，即=，解得r=4，即⊙O的半径为4；②连接BF，如图，在Rt△AFB中，cos∠FAB=，∴AF=8×=在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，∴CE=3，∵AB⊥FM，∴，∴∠5=∠4，∵FB∥DE，∴∠5=∠E=∠4，∵=，∴∠1=∠2，∴△AFN∽△AEC，∴=，即=，∴FN=．29．（2019•随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD=MC；（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=，∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即MC=．30．（2019•黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．（1）求证：∠CBP=∠ADB．（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，∴△AOP∽△ABD，∴=，即=，∴BP=7．31．（2019•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；（2）利用分割法求得阴影部分的面积．【解答】解：（1）证明：连接OE、OC．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵BC=EC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠OBC=∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC=∠OBC=90°；∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA=DE；（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，DF=AB=6，∴DC=BC+AD=4．∵FC==2，∴BC﹣AD=2，∴BC=3．在直角△OBC中，tan∠BOE==，∴∠BOC=60°．在△OEC与△OBC中，，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠BOE=2∠BO C=120°．∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π．32．（2019•长春）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．33．（2019•白银）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．【分析】（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===，从而可求出r的值．【解答】解：（1）连接OE，BE，∵DE=EF，∴∴∠OBE=∠DBE∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC∴BC⊥AC∴∠C=90°（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=∴AB=5，设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===∴r=∴AF=5﹣2×=34．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．【分析】（1）证明：连接OD，如图，利用切线长定理得到EB=ED，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ACB，则EC=ED，从而得到BE=CE；（2）作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE=CE=r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH=DH=r，CD=r，接着根据勾股定理计算出OC=r，然后根据正弦的定义求解．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵EB、ED为⊙O的切线，∴EB=ED，OD⊥DE，AB⊥CB，∴∠ADO+∠CDE=90°，∠A+∠ACB=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠CDE=∠ACB，∴EC=ED，∴BE=CE；（2）解：作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，∵DE∥AB，∴∠DOB=∠DEB=90°，∴四边形OBED为矩形，而OB=OD，∴四边形OBED为正方形，∴DE=CE=r，易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，∴OH=DH=r，CD=r，在Rt△OCB中，OC==r，在Rt△OCH中，sin∠OCH===，即sin∠ACO的值为．35．（2019•德州）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．（1）求证：AD⊥CD；（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得，∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3， ==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．36．（2019•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．37．（2019•铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．【分析】（1）连接OC，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF⊥AC；（2）解：如图，连接BG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BGC=90°，∵∠EFC=90°=∠BGC，∴EF∥BG，∴∠CBG=∠E，Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，∴CD=4，S△ABC=，6×4=5BG，BG=，由勾股定理得：CG==，∴tan∠CBG=tan∠E===．38．（2019•昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH=CD=4，∠CHF=90°，∴OH⊥BF，∴BH=FH=4，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB===2，∴⊙O的半径为．39．（2019•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．【分析】（1）连接ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则∠1=∠B，再证明∠2=∠B得到ON∥DB，接着根据切线的性质得到ON⊥NE，然后利用平行线的性质得到结论；（2）连接DN，如图，根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°，则可判断四边形CMDN为矩形，所以DM=CN，然后证明CN=BN，从而得到MD=NB．【解答】证明：（1）连接ON，如图，∵CD为斜边AB上的中线，∴CD=AD=DB，∴∠1=∠B，∵OC=ON，∴∠1=∠2，∴∠2=∠B，∴ON∥DB，∵NE为切线，∴ON⊥NE，∴NE⊥AB；（2）连接DN，如图，∵AD为直径，∴∠CMD=∠CND=90°，而∠MCB=90°，∴四边形CMDN为矩形，∴DM=CN，∵DN⊥BC，∠1=∠B，∴CN=BN，∴MD=NB．40．（2019•曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．【分析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC 为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=OP，从而可判定PM是⊙O的切线；（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）PM与⊙O相切．理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC=DC，BO=BD，∴OC=DC=BO=BD，∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠COP=∠EOP=60°，∵∠MPB=∠ADC，而∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠MPB，∴PM∥BC，∴OE⊥PM，∴OE=OP，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OC=OP，∴OE=OC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切线；（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．41．（2019•邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．求证：CD为⊙O的切线．【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．42．（2019•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．【分析】（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】（1）解：连接DB，如图，∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°﹣120°=60°，∵BE为直径，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，BD=DE=×=3；（2）证明：连接EA，如图，∵BE为直径，∴∠BAE=90°，∵A为的中点，∴∠ABE=45°，∵BA=AP，而EA⊥BA，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，∴直线PE是⊙O的切线．43．（2019•怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；（2）求证：CD是⊙O的切线．【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．【解答】解：（1）∵AB=4，∴OB=2∵∠COB=60°，∴S扇形OBC==（2）∵AC平分∠FAB，∴∠FAC=∠CAO，∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO∴∠FAC=∠ACO∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线44．（2019•新疆）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，∴AC=BC，∴PA=PB在△PAO和△PBO中∴△PAO和≌△PBO∴∠OBP=∠OAP=90°∴PB是⊙O的切线．（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6 在Rt△ACO中，OC=3，AC=4∴AO=5在Rt△ACO与Rt△PAO中，∠APO=∠APO，∠PAO=∠ACO=90°∴△ACO∼△PAO=∴PO=，PA=∴PB=PA=在△EPO与△EBD中，BD∥PO∴△EPO∽△EBD∴=，解得EB=，PE=，∴sinE==45．（2019•安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．【分析】（1）先判断出∠CAO=∠BAO，进而判断出OD=OE，即可得出结论；（2）先求出OB，再用勾股定理求出OA，最后用三角形的面积即可得出结论．【解答】解：（1）如图，作OE⊥AB于E，连接OD，OA，∵AB=AC，点O是BC的中点，∴∠CAO=∠BAO，∵AC与半圆O相切于D，∴OD⊥AC，∵OE⊥AB，∴OD=OE，∵AB径半圆O的半径的外端点，∴AB是半圆O所在圆的切线；（2）∵AB=AC，O是BC的中点，∴AO⊥BC，在Rt△AOB中，OB=AB•cos∠ABC=12×=8，根据勾股定理得，OA==4，由三角形的面积得，S△AOB=AB•OE=OB•OA，∴OE==，即：半圆O所在圆的半径为．46．（2019•衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）【分析】（1）连接OD，由OA=OD知∠OAD=∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO，据此可得∠DAE=∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；（2）作OG⊥AE，知AG=CG=AC=2，证四边形ODEG是矩形得OA=OB=OD=CG+CE=4，再证△ADE∽△ABD得AD2=48，据此得出BD的长及∠BAD的度数，利用弧长公式可得答案．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE=∠DAO，∴∠DAE=∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD，则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，∴△ADE∽△ABD，∴=，即=，∴AD2=48，在Rt△ABD中，BD==4，在Rt△ABD中，∵AB=2BD，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=60°，则的长度为=．47．（2019•孝感）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF ⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB 知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得=，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）连接OD，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，又∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DG⊥AC，∴OD⊥FG，∴直线FG与⊙O相切；（2）连接BE．∵BD=2，∴，∵CF=2，∴DF==4，∴BE=2DF=8，∵cos∠C=cos∠ABC，∴=，∴=，∴AB=10，∴AE==6，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥GF，∴△AEB∽△AFG，∴=，∴=，∴BG=．48．（2019•江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BOC=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=3，再证△ABD∽△OBC得=，据此可得答案．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，∵∠AOD=∠BAD，∴∠ABD=∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC=∠D=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，在△BOC和△BOE中，∵，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE=OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，∴∠EOA=∠ABC，∵tan∠ABC=、BC=6，∴AC=BC•tan∠ABC=8，则AB=10，由（1）知BE=BC=6，∴AE=4，∵tan∠EOA=tan∠ABC=，∴=，∴OE=3，OB==3，∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，∴△ABD∽△OBC，∴=，即=，∴AD=2．49．（2019•金华）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠3=∠B，∵∠B=∠1，∴∠1=∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，根据勾股定理得：AB==4，。