2.3 初等函数

令z1=z,z2=-z, 得sin2z+cos2z=1.
y y e y e y e e e y e y 由于 cos iy i2 ishy chy , siniy 2i 2i 2
三角公式中取 z 1=x , z 2=iy , 得
cos x iy cos x cosiy sinx siniy cos xchy i sinxshy sin x iy sinx cosiy cos x siniy sinxchy i cos xshy
§3 初等函数
1.指数函数
(1) 定义
(2)性质 1)
z=x+iy 复变数z的指数函数 e z = e x(cosy + isiny)
当y=0时, e z = e x,即实指数函数; 当x=0时,e i y=cosy+isiny,即欧拉公式.
e z 在整个复平面内有定义且处处
e 0
z
z x 2) 模 e e ,辐角 Arg(e z) = y + 2k
则 e u iv re i
u ln r ln z
eu r
v Argz
对数函数: Lnz ln z iArgz ln z i arg z 2k i .k 0 1,2, 为具有多个分支的多值函数. 当k = 0时,称为主值分支.对数函数Lnz的主值记为lnz, 它是单值函数. ln z ln z i arg z 而 Lnz = lnz + 2 ki (k=0,±1,±2,…) 特别,当z = x > 0时,Lnz的主值lnz=lnx,就是实变数对数函数.
Lnzn n ln z in arg z 2k i nLnz n ln z in arg z 2nk i

பைடு நூலகம்
解析 答案
类型二 幂函数的图象及应用 例 2 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数 g(x)的图象上， 问当 x 为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x).
解答
引申探究 若对于例 2 中的 f(x)，g(x)，定义 h(x)＝fgxx，，ffxx≤>ggxx，， 试画出 h(x)的图象. 解 h(x)的图象如图所示：
类型三 幂函数性质的综合应用
命题角度1 比较大小
例3
设
a＝23
2 3
，b＝23
1 3
，c＝25
2 3
，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>b>a
解析 ∵y＝23x 在 R 上为减函数，
∴23
2 3
<23
1 3
，即
a<b；∵f(x)＝x
2 3
在(0，＋∞)上为增函数，
1
1
A.16
B.16
C.2
√D.2
12345
答案
3.设α∈{－1,1，1 ，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为
2
√A.1,3
B.－1,1
C.－1,3
D.－1,1,3
12345
答案
2
4.下列是y＝x 3 的图象的是
√
12345
答案
5.以下结论正确的是 A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大

arg z1增加2， 辐角arg z1变为arg z1＋2 .
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的

1 n
1 n Lnz 1 1 1 z n z e zn . n 1 b (3) 幂函数 w z ( 除去 b n 与 两种情况外) n 也是一个多值函数 , 当b 为无理数或复数时, 是无穷多值的.
Ln z 的主值
其余各值为 Lnz ln z 2ki ( k 1,2,),
对于每一个固定的 k , 上式确定一个单值函数 , 称为 Ln z 的一个分支.
特殊地,
当 z x 0 时, Ln z 的主值 ln z ln x ,
是实变数对数函数.
此时Lnx ln x 2ki ( x 0, k 1,2,),
3
一、指数函数
( e x )' e x 处处可导 实变：
1.指数函数的定义:
当函数 f ( z ) 在复平面内满足以下三 个条件:
(1) f ( z )在复平面内处处解析;
(2) f ( z ) f ( z );
(3)当Im( z ) 0时, f ( z ) e x , 其中x Re( z ).
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式
cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 , 2 2 sin z cos z 1.
cos( x yi ) cos x cos yi sin x sin yi , ( 2) sin( x yi ) sin x cos yi cos x sin yi .
x x0 y 0
lim arg z
x x0 y 0