初中数学不等式与不等式组

第九课时不等式与不等式组1、不等式及其解集①不等式的定义：用“<”或“>”、“≤”“≥” 表示大小关系的式子，叫做不等式，像a +2≠a -2这样用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式。

注意：⑴“＜” 、“＞” 、“≠”、“ ≤”、“ ≥”都是不等号；⑵有些不等式中不含未知数，例如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，例如4x>3中字母x 表示未知数。

例1、下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？⑴-2＜5 ⑵x+3>6 ⑶4x-2y ≤0 ⑷a -2b⑸a +b ≠c ⑹5m+3=8 ⑺8+4<7 ⑻5213<+x 例2、用不等式表示：⑴a 是正数； ⑵a 是负数；⑶a 与5的和小于7； ⑷a 与2的差大于-1；【a 与b 之差: a -b 】 ⑸a 的4倍大于8； ⑹a 的一半小于3；⑺a 与1的和是正数； ⑻y 的2倍与1的和小于3；⑼y 的3倍与x 的2倍的和是非负数； ⑽x 乘以3的积加上2最多为5.②不等式的解：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，与方程类似 , 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解。

代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法。

例如x=78是不等式5032>x 的解吗？x=75呢？x=72呢？ ③不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫解不等式。

思考：⑴不等式的解和不等式的解集是一样的吗?使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集⑵不等式的解与解不等式一样吗？④解集的表示方法：⑴第一种:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式(如x>a 或x<a)来表示.如不等5032>x 的解集可以用不等式x >75来表示。

⑵第二种:用数轴,标出数轴上某一区间,其中的点对应的数值都是不等式的解.Ⅰ、用数轴表示不等式的解集的步骤:①画数轴; ②定边界点; ③定方向.Ⅱ、用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆.例1、下列数中哪些是x+3>6的解？那些不是？-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.例2、下列说法正确的是( )A. x=3是2x+1>5的解B. x=3是2x+1>5的唯一解C. x=3不是2x+1>5的解D. x=3是2x+1>5的解集例3、直接想出不等式的解集:⑴ x+2>6 ⑵ 3x>9 ⑶ x －3>0例4、用数轴表示下列不等式的解集:⑴ x>－1； ⑵ x< 9； ⑶x>3； ⑷x<2； ⑸y≥-1； ⑹y≤0；⑺x≠4例5、在数轴上表示x≥－2正确的是 ( )例6、写出下列数轴所表示的不等式的解集:例7、请说出一个不等式，使得3是它的一个解，而4不是它的解。

2、不等式的性质①不等式的性质1 ：不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

如果 a>b, 那么 a+c>b+c 或 a-c>b-c.②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b ，c>0，那么ac>bc (或cb c a >). ③不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。

如果a>b ，c<0,那么ac <bc (或cb c a <). ④解不等式：与解方程一样，解不等式的过程就是利用不等式的性质，将不等式逐步变形成x>a 或x<a （a 为常数）的形式。

⑤解一元一次不等式的基本步骤：（1）移项；（2）合并同类项；（3）化系数为1.【注意】不等式两边同乘以负数要改变不等号的方向例1、判断下列各题的推导是否正确？为什么？(口答，要判断出来不等式发生了什么变化)(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a ＞-4；(3)因为4a ＞4b ，所以a ＞b ； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2；(5)因为3＞2，所以3a ＞2a ．例2、选择适当的不等号填空：（1）∵0 1,∴ aa+1(不等式的基本性质1）；（2）∵(a-1)2 0,∴(a -1)2-2-2(不等式的基本性质1）（3）若x+1＞0,两边同加上-1,得____________(依据:_____________________).（4）若2 x ＞-6,两边同除以2,得________,（依据_______________）.（5）若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得________,（依据___________）.例3、填空：⑴若-m>5，则m-5；⑵如果x/y>0, 那么xy0；⑶如果a>-1,那么a-b-1-b ；⑷-0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得_______； ⑸.______，得87两边都乘,178⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-x 例4、()()的取值范围求,33且,若a y a x a y x ->-<例5、利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示出来：⑴X －2>0 ⑵X ＋1>0 ⑶－2x<4 ⑷3x+3≤0例6、求不等式1-2x < 6的负整数解要求x 的负整数解，首先应该求出一元一次此不等式x 的解集，要使x 的解是负整数，则x 还必须小于0.例7、填空：（1）不等式x<25的正整数解为________； （2）不等式x≤3的非负整数解为 ____________；（3）不等式x≥-2的负整数解为_______.3、一元一次不等式①定义：类似于一元一次方程，含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

判断一个式子是不是一元一次不等式，必须满足四个条件：⑴式中只含有一个未知数；⑵未知数的次数是1；⑶式子用不等号连接；⑷分母中不含未知数。

②解一元一次不等式：要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x<a 或x>a 的形式。

需要特别注意的是，当不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等式的方向要改变。

例1、有下列数学表达式：⑴-1<0; ⑵3m-2n>0; ⑶x=4; ⑷x≠7; ⑸5x+4=x+5；⑹x 2+xy+y 2; ⑺x+2>y+3; ⑻x 2>4; ⑼3x-2>4x-3; ⑽3+5<7;其中是不等式的有（ ），是一元一次不等式的有（）（只填序号）例2、下列各式是一元一次不等式的是（ ）A. 4x-2y≤0B. x≥-11C. x 2-1≤0D. 3250x 例3、下列说法中错误的是（）A.不等式x<5的解有无数个B.不等式x<5的正整数解有有限个C.x=-4是不等式-3x>9的一个解D.x>5是不等式x+3>6的解集例4、当x 或y 满足什么条件时，下列关系成立？⑴2（x+1）大于或等于1；⑵4x 与7的和不小于6；⑶y 与1的差不大于2y 与3的差；⑷3y 与7的和的四分之一小于-2.4、一元一次不等式组①定义：一般地,由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式,叫做一元一次不等式组。

②不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

用数轴来解释：在⑴ X ＞-1 ⑵ X ＞-2 ⑶ X ＜-2 ⑷ X ＜-1X≤2 X＞-1 X ＜2 X ＞1各个一元一次不等式组中,两个不等式里X 的值,有公共部分的是: ;没有公共部分的是:.公共部分 不等式组的解集无公共部分 不等式组无解求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组④解一元一次不等式组的规律：⑴两大取大，⑵两小取小；⑶大小小大中间找，⑷大大小小解不了。

⑤解一元一次不等式组的步骤：⑴求出不等式组中各个不等式的解集；⑵利用数轴找几个解集的公共部分（注意：找不到公共部分则不等式组无解、邻界点的选取及有无等号）；⑶写出这个不等式组的解集.例1、利用数轴判断下列不等式组是否有解集？如有，请写出。

⎩⎨⎧<<31)1(x x （两小取小）⎩⎨⎧>>31)2(x x （两大取大）⎩⎨⎧<>31)3(x x （一大一小中间找）⎩⎨⎧><31)4(x x （大大小小解不了）例2、解不等式组： ⑴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-+>-x x x x 237121)1(325⑵例3、解不等式：53121<-≤-x★5、实际问题与一元一次不等式例1、小兰准备用30元买钢笔和笔记本，已知一支钢笔4.5元，一本笔记本3元：（1）如果她买了5本笔记本，则她最多还可以买多少支钢笔？（2）如果她钢笔和笔记本共买了8件，则她最多可以买多少支钢笔？例2、某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，以后每天至少加工多少个零件才能在规定的时间内超额完成任务？例3、某单位要制作一批宣传材料，甲广告公司提出：每份材料收费50元，另收设计费2000元，乙广告公司提出：每份材料收费70元，不收设计费。

（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算？（3）什么情况下两公司的收费相同？。