必修2圆的方程测试题(有答案)

高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案：C解析：两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C. 2．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32C ．±32D ．不存在 答案：A解析：由题意得直线kx －y ＝4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k 2－3＋4＝0，解得k ＝2.故选A. 3．当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( )A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上D ．这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A解析：圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上．4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D.5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为( )A ．5 2B ．102C ．15 2D ．202答案：B解析：圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2. 6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π答案：B解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为π×22＝4π.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0解析：只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________． 答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析：设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.答案：－2解析：由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2. 三、解答题10．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解析：解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.[点评] (1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．11．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解析：方法1：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．方法2：(定义法)由方法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．12．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.。

圆的一般方程A 组 基础巩固1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1,2) D ．(－12，－1) 解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)． 答案：D2．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A ，B 两点坐标代入四个选项，只有A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ F ＝0，2D ＋F ＝－4，3E ＋F ＝－9，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－3，F ＝0，故方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB 所对的圆心角为90°，知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫1322，化为一般式得x 2＋y 2－2x －3y ＝0.答案：A4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2. ∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R)－(d －R)＝82－22＝6 2.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由|PA|＝2|PB|得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________． 解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1，所以k ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－29．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是__________． 解析：所给圆的半径长为r ＝1＋－2－2m 22＝12－＋2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4. 答案：3π410．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C(－D 2，－E 2)， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0.则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.B 组 能力提升11．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a 的取值范围为A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜02a ＞0|－a|＞2|2a|＞2，解得a ＞2，故选D.答案：D12．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异的两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k 2＝－1，又直线PQ 与直线kx ＋2y －4＝0垂直，所以k PQ ＝1.答案：113．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P 的坐标为(x ，y)，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为AB的中点，所以x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62.于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6. ∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程：(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.∴(2x －8＋1)＋(2y －6)2＝4，整理得，(x －72)2＋(y －3)2＝1. ∴点P 的轨迹是以(72，3)为圆心，1为半径的圆． 14．已知以点C(t ，2t)(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．求证：△OAB 的面积为定值．解析：由于圆C 过原点，故可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.由于圆心为C(t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t. 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)．令x ＝0，得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B(0，4t)， ∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(定值)．。

人教A 版圆的标准方程精选课时练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．()()22 111x y ++-=的圆心在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知点()()4,4,5,3A B 都在圆C 上,且()()6,0,2,6M N 仅有一点在圆C 上,则圆C 的标准方程为A ．2297122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()22125x y -+= C ．()()22525x y -+-= D ．()()22352x y -+-= 3．已知两点()()1,3,3,A B a -,以线段AB 为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为 A ．()()22125x y -+-=B ．()()221240x y -+-= C ．()()22118x y -+-= D ．()()221132x y -+-= 4．若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为（ ）A ．1(1,)2-- B ．1(1,)2 C ．1(1,)2- D ．1(1,)2- 5．若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y x =对称,则圆C 的标准方程为 A ．()2211x y -+=B ．()2211y x ++= C ．()2211y x -+= D ．()2211x y ++=6．方程2220x y ax ++-=表示圆心在直线x+y=0上的圆,则该圆的半径为A B ．C D ．6 7．函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A ．25[1,-∪(0,1]B ．[－1,0)∪25C ．25[1,5--∪25(0,5D ．25[1,5--∪5(1]58．圆2cos ,{2sin 2x y θθ==+的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,-2)D ．(-2,0) 9．已知三点(1,0)A ，3)B ，3)C ，则ABC △外接圆的圆心到原点的距离为（ ）．A ．43B 25C 21D ．5310．圆220x y ax ++=的圆心横坐标为1，则a 等于（ ）．A ．1B ．2C ．1-D ．2- 11．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝912．已知圆2260x y ax y +++=的圆心在直线10x y --=上，则a 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．813．已知三点()((1,0,3,3A B C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B 21C 25D ．4314．过点()0,2A 和()1,1B -，且圆心在直线10x y --=上的圆的方程是（ ） A ．()2215x y -+=B ．()2215x y +-=C ．()()22115x y -+-=D ．()()22115x y -++=15．方程x = ）A ．两个半圆B ．两个圆C ．圆D ．半圆 16．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)-- 17．(2018·河南天一大联考段考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝518．(2018·长春二模)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y x 对称的圆的方程是( )A ．(x 2＋(y －1)2＝4B ．(x )2＋(y )2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y 2＝419．若直线10ax by -+=（0a >，0b >）平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为（ ）A ．3+B ．C ．12D ．3+20．圆:C 2220x y x +-=的圆心坐标和半径分别是( )A ．(1,0),2B ．(1,0),1C ．(1,0),2-D ．(1,0),1- 21．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2522．圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -，()0,2B -，则圆C 的方程为 （ ）A ．()()22235x y -++=B ．()()22228x y -++= C ．()()22329x y -++= D ．()()22215x y -++= 23．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ）A ．23B ．1C ．12D ．3424．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以11A B 为直径的圆C 过点(2,3)M -，则圆C 的方程为( )A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(1)5x y ++-=D ．22(1)(2)26x y +++=25．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝426．以()2,1为圆心且与直线10y +=相切的圆的方程为（ ）A ．()()22214x y -+-=B ．()()22212x y -+-= C ．()()22214x y +++= D ．()()2221x y +++ 27．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A ．224250x y x y ++--=B ．224250x y x y +-+-=C ．22420x y x y ++-=D ．22420x y x y +-+=二、填空题28．圆心为()3,0且与直线0x +=相切的圆的方程为________.29．已知圆的圆心在曲线10)xy x =>（上，且与直线4130x y ++=相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．30．圆C 的圆心为点(8,3)-，且经过点(5,1)A ，则圆C 的方程为______________.31．已知圆M 与圆O ：x 2＋y 2＝3＋相内切，且和x 轴的正半轴，y 轴的正半轴都相切，则圆M 的标准方程是________．32．已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且经过(6,2)A ，(4,8)B 两点，则圆C 的标准方程是__________．33．圆22230x y x y ++-=的圆心坐标为__________．34．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第________象限．35．圆22230x y x y +-+=的圆心坐标为________．36．已知圆C 经过点()0,6A -，()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方程为__________．37．若圆C 过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心C 在直线x －2y －2＝0上，则圆C 的标准方程为_________．三、解答题38．若圆C 经过坐标原点,且圆心在直线23y x =-+上运动,求当圆C 半径最小时圆C 的标准方程.39．已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点 （1）求过点O 、F ，并且与直线:2l x =-相切的圆的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.40．圆C 与直线250x y +-=相切于点()2,1，且与直线2150x y ++=也相切，求圆C 的方程．41．在Rt △ABO 中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P 为它的内切圆C 上任一点,求点P 到顶点A ,B ,O 的距离的平方和的最大值和最小值.42．已知直线l 过点(2,1)和点(5,4)．（1）求直线l 的方程．（2）若圆C 的圆心在直线l 上，且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程． 43．求过P （5，-3）、Q （0，6）两点，并且圆心在直线2x-3y-6=0上的圆的方程. 44．求圆心C 在直线2y x =上，且经过原点及点()3,1M 的圆C 的方程.45．已知过点()()1,3,1,1-且圆心在直线1y x =-上的圆C 与x 轴相交于,A B 两点，曲线Γ上的任意一点P 与,A B 两点连线的斜率之积为34-． （1）求曲线Γ的方程；（2）过原点O 作射线,OM ON ，分别平行于,PA PB ，交曲线Γ于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．46．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，12,A A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB ∆面积的最大值为2. （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点,P Q ，求PQ 的取直范围.47．已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，过抛物线上一点M 作抛物线C 的切线l ，l 交y 轴于点N .（1）判断MNF ∆的形状；（2） 若,A B 两点在抛物线C 上，点(1,1)D 满足0AD BD +=u u u v u u u v v，若抛物线C 上存在异于,A B 的点E ，使得经过,,A B E 三点的圆与抛物线在点E 处的有相同的切线，求点E的坐标.48．已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.49．某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示.已知,M N 是东西方向主干道边两个景点，,P Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为52km ，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy .（1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？50．已知圆C 经过()1,1A 和()2,2B -，且圆C 在直线:3410l x y -+=上， （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线m 垂直于直线l 且与圆C 相切．求直线m 的方程．参考答案1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．C8．A9．C10．D11．B12．A13．B14．A15．D16．B17．A18．D19．A20．B21．D22．A23．B24．C25．C26．A27．C28．()2233x y -+=29．221(2)()172x y -+-=30．22(8)(3)25x y -++=31．(x －1)2＋(y －1)2＝132．22(2)(4)20x y -+-=33．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 34．四35．3(1,)2-36．22(3)(2)25x y +++=37．22(4)(1)25x y -+-= 38．22639555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭39．（1）2219()(.24x y ++±=（2）1(,0).2-40．()()222120x y +++=.41．88,7242．（1）1y x =-；（2）22(4)(3)16x y -+-= 43．22323445(19)()39x y -+-=． 44．()()22125x y -+-=.45．（1）()221243x y x +=≠±；（2）7]2.46．(1) 椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y += (2)[3,347．(1) MNF ∆为等腰三角形.(2) 点E 的坐标为1(1,)2-.答案第3页，总3页 48．(1) (221x y +=;(2)(2,)+∞.49．(1) 25x x y y +=- (2) 站点G的坐标为⎛ ⎝，可使G 到景点Q 的距离最近50．（1）()()223225x y +++=；（2）43430x y ++=.。

第四章 4.2 4.2.3一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6，卡车宽1.6，所以AB ＝0.8， 所以弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－ 5C ．5D ．25[答案] A [解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d ＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )[答案] A[解析] 由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上和以下的部分．4．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )D ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.5．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．6．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)． 二、填空题7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为________.[答案] [34，＋∞)[解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QD ．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)．8．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________.[答案] (－3,32][解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点． 三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C ．现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A 、B 、P 在此圆上，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6. 答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.一、选择题1．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.2．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－ 2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1[答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6. 4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )D ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4[答案] A[解析] 原点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离为d ，则d ＝45，点C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，所以r 最小为25，面积最小为4π5，故选D ． 二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.[答案] B 景点在小路的投影处[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧ a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．6．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________.[答案] [0，43][解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.三、解答题7.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解析] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.8．已知隧道的截面是半径为4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m 、高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得 y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

与方程姓名：班级:一、选择题(共8小题；共40分)1Mx2 +尸一4x + 6y = 0的圆心坐标是()A (2,3)B (-2,3) C(-2,-3) D(2,-3)2OO的百径是3,百线1与OO相交，圆心0到百线1的距离是d,贝M应满足()Ad > 3 B 15 < d < 3 C 0 < d < 15 Dd < 0 3圆(x — 2)2 + (y- l)2 = 4与圆(x + l)2 + (y- 2)2 = 9的公切线有()条A1 B 2 C3 D4 4从原点向圆x2 + y2 一12y + 27 = 0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A nB 2nC 4TTD 6TT5过点(1,1)的直线与圆(x - 2)2 + (y - 3)2 = 9相交于A, B两点，贝lj| AB |的最小值为() A2V3 B4 C2V5 D5 6已知圆C的半径为2, |员|心在x轴的正半轴上，直线3x + 4y + 4 = 0与圆C相切，贝I」圆C的方程为()Ax2 4-y2 - 2x - 3 = 0 B x2 4- y2 + 4x = 0Cx2 +y2 + 2x - 3 = 0 D x2 + y2 - 4x = 07耍在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范閘都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是()A6 B 5 C4 D38 已知圆:C1:(x-2)2 + (y-3)3 = 1,圆：C2:(x-3)2 + (y-4)2 = 9, M、N分别是圆C〔、C?上的动点，P为x轴上的动点,贝OIPMI + IPNI的最小值为()A5V2-4 B V17- 1 C6-2V2 D V17二、填空题(共7小题；共35分)9过点A(3,—4)与闘x2 +y2 = 25相切的直线方程是_______ .10如果单位圆X? +y2 = 1与圆C: (x — a)2 + (y - a)2 = 4相交，则实数a的取值范围为 ________ 11在空间直角坐标系,已知点A(l,0,2), B(l,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则点M的坐标是 _____ ・12已知圆C: (x-2)2+y2 = l.若直线y二k(x+l)上存在点P,使得过P向圆C所作的州条切线所成的角为夕则实数k的取值范闌为 _______ .13如图，以棱长为a的止方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间百角坐标系，若点P为对角线AB的点，点Q在棱CD上运动，则PQ的最小值为 .14在圆C:(x-2)2 + (y-2)2 = 8内,过点P(l,0)的最长的弦为AB,最短的弦为DE,贝9以边形ADBE的面积为____ •15据气象台预报：在A城正东方300km的海而B处有一台风心，正以每小时40km的速度向術北方向移动，在距台风心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约__________ h,台风将影响A城, 持续时间约为_______ h.(结果精确到Olh)三、解答题(共5小题；共65分)16若关于x, y的方程X? + y? - 4x + 4y + m = 0表示圆C.(1)求实数m的取值范围；(2)若圆C与圆M:x2 4-y2 = 2相离，求m的取值范囤.17已知圆C:x? + y? + 4x + 4y + m = 0,直线l:x + y 4- 2 = 0.(1)若I员IC与直线1相离，求m的取值范围；(2)若I员1D过点P(l,l), H.与恻C关丁•直线1对称，求I処D的方程.18如图，在平面直角坐标系xOy,点A(0,3),直线l:y = 2x-4.设圆C的半径为1,圆心在1上.(1)若圆心C也在直线y = x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA = 2M0,求圆心C的横坐标a的取值范|节|・19已知直线啲方程为2x+(l + m)y+2m = 0, m€R，点P的坐标为(-1,0).(1)求证：直线1恒过定点，并求出定点坐标；(2)求点P到直线1的距离的最大值；(3)设点P在直线1上的射影为点M, N的坐标为(2,1),求线段MN长的取值范闱.20 在平面直角坐标系xOy,已知圆Ci： (x + 3)2 + (y - I)2 = 4和圆C?： (x 一4)2 + (y — 5)2 = 4.(1)若直线1过点A(4,0), £L被圆C］截得的弦长为2孙，求直线啲方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂肖的肖线h和12,它们分别与圆C1 和圆C2相交，且直线h被圆C］截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标.答案第一部分I D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A第二部分9 3x-4y = 2510 -—< a < H J C —< a < —」 2 22 2 II (0,-1,0) 12 ［一普，晋］13 yal4 4V615 20； 66第三部分 16 (1) |w|C 化简为(x- 2)2 4-(y + 2)2 = 8-m,所以8 — m > 0,即m V 8.(2)圆C 的圆心为(2,-2),半径为V8^ (m<8),圆M 的圆心为(0,0),半径为返,由题意，得圆心距大于两圆的半径和，则“22 + 22 + 解得6<m<8.17 (1)圆Ux?+y2+4x + 4y + m = 0即(x 4- 2)2 + (y + 2)2 = 8 - m.圆心C(-2,—2)到直线啲距离d =三|旦=V2,若圆C 与直线1相离，则d > r,所以 * = 8 — m < 2即 m > 6乂严=8 - m > 0即m V 8.故m 的取值范围是(6,8).(2)设圆D 的圆心D 的坐标为(xo ，y ())，由于圆C 的圆心C(_2,_2), 依题意知点D 和点C 关于直线1对称，解牡:0 所以圆D 的方程为x 2+y 2 = r 2,而r=|DP |=V2,因此，圆D 的方程为x 2+y 2 = 2.18 (1)由题设，I 员I 心C 是直线y = 2x- 4和y = x- 1的交点, 解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方稈为y = kx + 3由题意，得解得：k=0或—孑 4故所求切线方程为{Xo-2 Yo+2Xo+2 + 竽+2 = 0x (-1) = -1I 3k + 1 |Vk 2 + 1y = 3 或3x + 4y — 12 = 0(2)因为圆心在直线y = 2x —4上，所以圆C的方程为(x — a)2 3 + ［y — 2 (a — 2)］2 = 1 设点M(x,y),因为MA = 2M0,所以Jx2 + (y — 3)2 = 2jx2 +y2, 化简得x? + y2 + 2y — 3 = 0,即x2 + (y + l)2 = 4, 所以点M在以D(0,-l)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x,y)在圆C上，所以圆(：与圆D有公共点，贝I」12-11 < CD <2 + 1, 即l<Va2 + (2a-3)2<3 整理，得—8 S 5a2— 12a S 0由5a2-12a + 8>0,得a G R;S5a2 - 12a < 0,得12所以点C的横坐标a的取值范闌为［0,y .19(1)由2x + (l + m)y+2m = 0得2x + y + m(y + 2) = 0,所以直线1恒过直线2x + y= 0与直线y + 2 = 0交点Q.解方程组炸暮律得Q(l，-2)，所以直线1恒过定点，且定点为Q(l,-2).2 设点P在直线1上的射影为点M,贝IJIPMI < |PQ|,当且仅当直线1与PQ垂直时,等号成立, 所以点P到直线1的距离的最大值即为线段PQ的长度为2逅.3因为直线1绕着点Q(l,-2)旋转，所以点M在以线段PQ为直径的I员1上，其I员I心为点C(O.-l)，半径为说，因为N的坐标为(2,1),所以|CN| = 2V2,从而V2 < |MN| < 3V2.20(1)由于直线x = 4与圆C］不相交，所以直线1的斜率存在.设直线1的方程为y = k(x - 4),圆C］的I员I心到直线1的距离为d, 乂因为直线1被I员©截得的弦长为2箱，所以|l-k(-3-4)| d = ------- , ----Vl + k 2 y = 0 或 7x + 24y - 28 = 0 (2)设点P(a,b)满足条件，不妨设直线h 的方程为y — b = k(x — a), k H 0, 则直线】2的方程为山点到直线的距离公式得 d = J22 - (V3)2 = 1从而即所以直线1的方程k(24k + 7) = 0, 7 241因为圆Ci和C2的半径相等，及宜线I】被圆C］截得的弦长与直线-被【员丄2截得的弦长相等，所以I 员IC］的|员］心到直线1］的距离和圆C2的國心到直线】2的距离相等,即|1 一k(-3 - a) - b| |5 + £ (4 — a) — b|整理得|1 + 3k + ak — bl = |5k + 4 — a — bk|,从而1 + 3k + ak — b = 5k + 4 — a - bk,(a + b — 2)k — b — a + 3, 因为k的取值有无穷多个，所以(a + b — 2 = 0,戒(a — b + 8 = 0, (b - a + 3 = 0 严ia + b-5 = 0 解得这样点P只可能是点P］ (I，-扌)或点卩2 (-!，¥)• 经检验点P］和P2满足题口条件.。

第四章圆与方程检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )(A)m< (B)m>(C)m<0 (D)m≤解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )(A)-2或2 (B)或(C)2或0 (D)-2或0解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.选C.6.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( D )(A)-,4 (B),4(C)-,-4 (D),-4解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2×k=-1,解得k=,故选D.7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=1 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点坐标为(x1,y1),其与点P所连线段的中点坐标为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( A )(A) (B)1 (C) (D)解析:如图所示,当直线l上恰好只存在一个圆与圆C相切时,直线l的斜率最大,此时,点C(4,0)到直线l的距离是2.即=2.解得k=或k=0.所以k的最大值是.9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )(A)x+y-2=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0解析:欲使两部分的面积之差最大,需直线与OP垂直,因为k OP=1,所以所求的直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.10.过点P(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( C )(A)5x+12y+20=0(B)5x-12y+20=0(C)5x+12y+20=0或x+4=0(D)5x-12y+20=0或x+4=0解析:x2+y2+2x-4y-20=0可化为(x+1)2+(y-2)2=25,当直线l的斜率不存在时,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),由题意得==3,得k=-.所以直线l的方程为y=-(x+4),即5x+12y+20=0,综上,符合条件的直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是,半径是.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径为.答案:(2,-3)12.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1C和A1C1的长度分别为, .解析:易得A1(1,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),所以|A1C|==,|A1C1|==.答案:13.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .解析:由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得所以-=-3,D=6,-=1,E=-2.答案:6 -214.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则m+n的值等于,mn的取值范围是.解析:圆心(2,1),则m×2+2n×1-4=0,即m+n=2,m=2-n,于是mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+1≤1,故mn的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]15.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则实数b的取值范围是.解析:将曲线x=变为x2+y2=1(x≥0).如图所示,当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-,或-1<b≤1时,直线与曲线x=有且只有一个公共点.答案:(-1,1]∪{-}16.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是.解析:A∩B=B等价于B⊆A.当a>1时,集合A和B中的点的集合分别代表圆x2+y2=16和圆x2+(y-2)2=a-1的内部,如图,容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意.由0<a-1≤4,得1<a≤5;当a=1时,满足题意;当a<1时,集合B为空集,也满足B⊆A,所以当a≤5时符合题意.答案:(-∞,5]17.已知直线l1:x+y-=0,l2:x+y-4=0,☉C的圆心到l1,l2的距离依次为d1,d2且d2=2d1,☉C与直线l2相切,则直线l1被☉C所截得的弦长为.解析:当圆心C在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,d1+d2=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=2,d1=1,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=2;同理,当圆心C不在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,则d2-d1=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=6,d1=3,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=6.故直线l1被☉C所截得的弦长为2或6.答案:2或6三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)一直线 l 过直线 l1:2x-y=1 和直线 l2:x+2y=3 的交点 P,且与直线 l3:x-y+1=0 垂直.(1)求直线 l 的方程;(2)若直线 l 与圆 C:(x-a)2+y2=8 (a>0)相切,求 a.解:(1)由解得P(1,1),又直线l与直线l3:x-y+1=0垂直,故l的斜率为-1,所以l:y-1=-(x-1),即直线l的方程为x+y-2=0.(2)由题设知C(a,0),半径r=2,因为直线l与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0)相切,所以C到直线l的距离为2,所以=2,又a>0,得a=6.19.(本小题满分15分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40,②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.20.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的方程.解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,所以圆心C为(-2,3),直线l:3x+2y+6=0,圆心C到直线l的距离d==,所以|AB|=2=.(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0,(*)所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为a>0,所以a=,所以方程(*)的解为x=-,所以切点坐标为(-,),根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为(x+5)2+(y-)2=3.21.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则=.所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则=.所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.所以切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)设P(x1,y1).因为|PM|2+r2=|PC|2,即|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).22.(本小题满分15分)圆C:x2+y2+2x-3=0内有一点P(-2,1),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程;(3)若圆C上的动点M与两个定点O(0,0),R(a,0)(a≠0)的距离之比恒为定值λ(λ≠1),求实数a的值.解:(1)由题意知,圆心C(-1,0),半径r=2,直线AB的方程为x+y+1=0,直线AB过圆心C,所以弦长AB=2r=4.(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥PC,k AB·k PC=-1,又k PC=-1, 所以k AB=1,直线AB的方程为x-y+3=0.(3)设M(x0,y0),则满足++2x0-3=0, ①由题意得,=λ,即=λ.整理得+=λ2[-2ax0+a2+], ②由①②得,3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立,所以又a≠0,λ>0,λ≠1,解之得a=3.。

学业分层测评一、选择题1．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0即(x－4)2＋(y－2)2＝9圆心为C1(42)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4圆心为C2(－2－1)两圆相离|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5【答案】 C2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切且都过点(41)则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．4 2C．8 D．8 2【解析】∵两圆与两坐标轴都相切且都经过点(41)∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(aa)(bb)则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2(4－b)2＋(1－b)2＝b2即ab为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根整理得x2－10x＋17＝0∴a＋b＝10ab＝17∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32∴|C1C2|＝2(a－b)2＝32×2＝8【答案】 C3．过点P(23)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线P APB则弦AB所在的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0D．3x－2y－1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线而以PC为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134根据两圆的公共弦的求法可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0整理可得2x ＋3y －1＝0故选B【答案】 B二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(31)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)将(31)代入得λ＝－25故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝07．两圆相交于两点A (13)和B (m －1)两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上则m ＋c 的值为________．【解析】 由题意知线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上且k AB ＝41－m＝－1即m ＝5 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上 所以1＋m 2－1＋c ＝0所以c ＝－2所以m ＋c ＝3【答案】 3三、解答题8．求圆心为(21)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0①已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0又此直线经过点(5－2)∴5－4－5＋r 2＝0∴r 2＝4故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝49．有相距100 km 的AB 两个批发市场商品的价格相同但在某地区居民从两地运回商品时A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定AB 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【09960144】【解】 建立以AB 所在直线为x 轴AB 中点为原点的直角坐标系则A (－500)B (500)．设P (xy )由2|P A |＝|PB |得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0 所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到AB 两地购物一样合算．[自我挑战]10．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45 D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等排除CD 选项画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限排除A 故选B【答案】 B11．设半径为3 km 的圆形村落A 、B 两人同时从村落中心出发A 向东B 向北A 出村后不久改变前进方向斜着沿切于村落圆周的方向前进后来恰好与B 相遇设A 、B 两人的速度一定其比为3∶1问A 、B 两人在何处相遇？【解】由题意以村中心为原点正东方向为x轴的正方向正北为y轴的正方向建立直角坐标系设A、B两人的速度分别为3v km/h v km/h设A出发a h在P处改变方向又经过b h到达相遇点Q则|PQ|＝3b v|OP|＝3a v|OQ|＝(a＋b)v则P(3a v0)Q(0(a＋b)v)在Rt△OPQ中由|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4bk PQ＝0－v(a＋b)3a v－0∴k PQ＝－34设直线PQ的方程为y＝－34x＋c(c>0)由PQ与圆x2＋y2＝9相切得|4c|42＋32＝3解得c＝154故A、B两人相遇在正北方离村落中心154km。

高一数学（必修2）第四章 圆与方程[基础训练]一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或11 5．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x二、填空题1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。

3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的值为________________。

2020年高中数学必修2 圆的方程章节复习卷一、选择题1.圆心为(1，-2)，半径为3的圆的方程是( )A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=3C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=92.当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=53.直线y=kx-2k+1恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为（ )A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=25C.(x+2)2+(y-1)2=25D.(x+2)2+(y+1)2=54.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（ )A. B. C. D.25.已知圆心为C（6，5)，且过点B（3，6)的圆的方程为（)A.(x-6)2+(y-5)2=10B.(x+6)2+(y+5)2=10C.(x-5)2+(y-6)2=10D.(x+5)2+(y+6)2=106.直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交且直线不过圆心D.相交且过圆心7.过点P(3,0)能做多少条直线与圆x2＋y2－8x－2y＋10=0相切( )A.0条B.1条C.2条D.1条或2条8.已知A(-4，-5)、B(6，-1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A.(x＋1)2＋(y-3)2=29B.(x-1)2＋(y＋3)2=29C.(x＋1)2＋(y-3)2=116D.(x-1)2＋(y＋3)2=1169.圆x2＋y2-4x＋6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m-n=( )A.10-27B.5-7C.10-33D.5-22310.若直线x-y=2被圆(x-a)2＋y 2=4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A.-1或 3 B.1或3 C.-2或6 D.0或411.圆x 2+y 2+2x+4-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有( )个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、412.已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP=3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条13.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a=0关于直线y=x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)14.已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4=0上运动，则点P 到直线l ：x －2y －5=0的距离的最小值是( )A ．4 B. 5 C.5＋1 D.5－115.在平面直角坐标系中，记d 为点P(cos θ，sin θ)到直线x －my －2=0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．416.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→=λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2二、填空题17.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.18.以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15=0所得弦长为8的圆的方程是________.19.已知圆C ：x 2＋y 2+2x+2y-2=0和直线l ：x-y+2=0，则圆心C 到直线l 距离为 .20.已知圆C的圆心(2,0)，点A(-1,1)在圆C上，则圆C的方程是；以A为切点的圆C的切线方程是.21.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________.22.已知圆的方程为x2＋y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________.三、解答题23.已知圆经过点A(2,-3)和B(-2,-5)，其圆心在直线x-2y-3=0上，求圆的标准方程.24.已知动点M(x,y)到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.（1)求动点M的轨迹方程；（2)求的取值范围.25.在平面直角坐标系中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，求a的值.26.求一个动点P在圆x2＋y2=1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程.27.若直线l：ax＋by＋1=0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0的周长，求(a－2)2＋(b－2)2的最小值.答案解析1.D ；2.C ；3.B.4.A5.A.6.D ；7.A ；8.答案为：B ；9.A ；10.D ；11.C ；12.答案：C ．详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ；Rt △OAP 中，OP=3，OA=5；根据勾股定理，得AP=4；∴AB=2AP=8；故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条； 当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条．故选C ．13.答案：A ．详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2．由圆心在直线上，可得b=－2，∴a －b ＜4，所以选A ．14.答案为：D ；解析：圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4=0化为(x －2)2＋(y －1)2=1，圆心C(2,1)，半径为1，圆心到直线l 的距离为|2－2－5|12＋22=5， 则圆上一动点P 到直线l 的距离的最小值是5－1.故选D.15.答案为：C ；解析：由题知点P(cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2=1上的动点，所以点P 到直线x －my －2=0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离． 又直线x －my －2=0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2=0的距离d=21＋m2的最大值为2， 所以点P 到直线x －my －2=0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3.16.答案为：A ；解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2=0，点C 到直线BD 的距离为222＋12=25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2=45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→=(1,0)，AD ―→=(0,2)，AP ―→=λAB ―→＋μAD ―→=(λ，2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ=2＋255cos θ＋55sin θ=2＋sin(θ＋φ)≤3 (其中tan φ=2)，当且仅当θ=π2＋2kπ－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.17.答案为：1+3；18.答案为：x 2＋y 2=2519.答案为：4,2.20.答案为：(x-2)2＋y 2=10，y=3x+4.21.答案为：(0，-1)；22.答案为：206;解析:点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，∴|AC|=10，最短弦BD ⊥AC ，∴|BD|=46，S 四边形ABCD =0.5AC|·|BD|=206.23.解：圆方程为：(x+1)2+(y+2)2=10.24.解：25.解：26.27.解：由题意知，圆心坐标为(－2，－1)，∴－2a－b＋1=0.22(2)(2)a b-+-(a，b)与点(2,2)的距离，22(2)(2)a b-++4215 41+-=+，∴(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.。

直线与圆的方程综合复习〔含答案〕一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是〔 C 〕 A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B 〔m,4〕的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为〔 C 〕 A 0 B 2 C -8 D 103.假设直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于〔 D 〕A -1或2 B23C 2D -1 4.假设点A 〔2，-3〕是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 〔a 1，b 1〕和〔a 2，b 2〕所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m= 12〞是“直线〔m+2〕x+3my+1=0与直线〔m-2〕x+(m+2y)-3=0相互垂直〞的〔 B 〕A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B 〔-5,6〕，则直线L 的方程为〔B 〕 A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).假设直线2l 经过点〔0,5〕且1l 2l ，则直线2l 的方程为〔 B 〕A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为〔 A 〕A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是〔A 〕A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是〔 C 〕A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为〔D 〕， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于〔 B 〕A B 4 C 8 D 914.假设直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为〔 B 〕A 1B -1C 3D -315.假设直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba 11+的最小值是〔 C 〕 A.41B.2C.4D.2116.假设直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 〔 A 〕A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,0 17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点〔4,1〕，则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于〔 C 〕A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 〔 C 〕 A.2B.5C.3D.3519.假设直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211b a +≤1 D.2211b a +≥120.已知A 〔-3，8〕和B 〔2，2〕，在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为〔 B 〕A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x +2(2)y =4相交于M 、N 两点，假设︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是〔 A 〕A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞〕 C [-33,33] D [-23,0] 22.〔X 理科2〕已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为〔 C 〕A ．0B ．1C ．2D ．3 23.〔X 理科9〕假设曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以了解，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。

专题：直线与圆1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝14．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0D ．2x －y ±5＝05．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2B ．2C ．22D ．426．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0C ．x 2＋y 2－2y ＝0D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝07．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )． A ．30B ．18C ．62D ．528．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2D ．(a ＋b )2＝2r 29．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )． A ．14或－6B ．12或－8C ．8或－12D ．6或－1410．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )． A ．453B ．253 C ．253 D ．21311．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x ＝a 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则a 的值是_________． 13．直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长为_________．14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．参考答案一、选择题 1．A解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2＋ 1 ＋ 2)()(＝13． 因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9， 所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 －＋ 2 ＋ 2)()(＝5． 因为r 1＝2，r 2＝3，所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由221＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心． 所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ． 依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直． 因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)， 所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0．(第6题)解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32． 设圆心到直线的距离为d ，d ＝210＞r ，所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2． 化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0． 由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得221＋ 34 － ＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，所以c ＝14或－6． 10．C解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛3 ，23 ，2， 所以|CM |＝2220 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(⎪⎭⎫⎝⎛＝253． 二、填空题11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)． 令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)． 所以AB 的中点，即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2， －． 因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋223 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛y ＝425．即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切， 所以a 的值是0或2．解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3． 所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．解析：由2221 － ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2＝36．所以z ＝7，或－5． 15．22．解析：如图，S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝21|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22． 三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上． 则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3． 由⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋，－＝023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧．－ ＝，＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 －＋ 1 － 2)()(＝2． 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝21． 所以点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，21 ，1， (第15题)又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1，，． 18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0． 又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧，＝－，＝－－00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧，＝＋，＝－－00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧，＝，44b a ＝或⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )， 圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |，(第19题)设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．。

高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。

(x-2)²+y²=5B。

x²+(y-2)²=5C。

(x+2)²+(y+2)²=5D。

x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。

x-y-3=0B。

2x+y-3=0C。

x+y-1=0D。

2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。

2B。

1+√2C。

1-√2D。

1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。

-3或7B。

-2或8C。

2或10D。

1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。

1条B。

2条C。

3条D。

4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。

x+3y-2=0B。

x+3y-4=0C。

x-3y+4=0D。

x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。

章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。

第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。

阶段质量检测（四） 圆与方程(时间120分钟　满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. B ．2 2C ．2D ．42解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝，弦心距d ＝＝，所以3|－1＋0－1|12＋122所求的弦长为2＝2，选B.r 2－d 22．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝＝－，所以直线MN 的斜率为2，所以弦1－01－312MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由＝a 2＋325，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.x ＋y －5＝0 B.x ＋y ＋5＝0 22C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，12∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为，a 2＋7由题意得＝－1，解得a ＝±3.|－1×3－4×2－4|(－3)2＋42a 2＋76.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.米 D ．2米5151解析：选D 如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝， 51∴水面宽度|A ′B ′|＝2米．517．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为，半径长为(2，12)12＝.故此圆的方程为(x －2)2＋2＝.① (3－1)2＋(1－0)252(y －12)54圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2C ．2D ．22解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝＝，所以弦长|AB |＝2|0－1－1|22＝2＝2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为＝，所以△OAB 的面积为r 2－d 24－22|0＋0－1|21212×2×＝1.故选A.212二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝＝，∴圆C 的方程(2－0)2＋(－3＋2)25为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有＝4，＝3，＝1，解得x ＝5，y ＝4，z x ＋32y ＋22z ＋12＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4.|3×1＋4×1＋8|32＋42答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2， 则圆C 的半径为，圆心坐标为(0,2)． 2点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－＝1， 12－10－1则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案：　x －y ＝0213．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1. －2－0－1－1答案：－1　114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则a ＝________.3解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得＝2，解|－2k ＋1|k 2＋1得k ＝－，故切线方程为y ＝－(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.3434综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由＝得a ＝±. 4a 2＋14－(3)215答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0　±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝＝(a ＋1)2＋(－2－a )22a 2＋6a ＋5＝，所以当a ＝－时，d min ＝，此时＜|3－2|，所以两圆内含．2(a ＋32)2＋12322222答案：　内含22三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ­ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ­ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G(－1，－1，12)∴|BG |＝ ＝.32＋32＋1473217．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为|OP |＝ ＝，1212(4－0)2＋(6－0)213∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上． 由Error!得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝|AB |＝为半径．1210则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. (2)法一：直线AB 的斜率k ＝＝－3，4－(－2)－1－1则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝x ，13即x －3y ＋3＝0. 由Error!解得Error! 即圆心的坐标是C (3,2)． ∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2. 则Error!⇒Error!∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由Error!得Error!∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋＝， 5(a －2)25a 2解得a ＝1＋或a ＝1－(舍去)；5555②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|－2|＝， 5(a －2)25a 2解得a ＝1－或a ＝1＋(舍去)．5555综上所述，a ＝1±.5520．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －y －4＝0相切．3(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝3|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点， 所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝<2，|3|1＋k 2解得k >或k <－.5252假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分， 所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝|OM |＝1.12所以＝1，解得k 2＝8， |3|1＋k2即k ＝±2，经验证满足条件．2所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形． 法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－x ，1k 由Error!解得Error! 所以点M 的坐标为. (－6k k 2＋1，6k 2＋1)因为点M 在圆上，所以2＋2＝4，解得k ＝±2，经验证均满足条件． (－6k k 2＋1)(6k 2＋1)2所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。

人教版高中数学必修2圆与方程章末测验（含两套，附答案）第四章 圆与方程章末测验一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85 D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ）A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标.答 案1． C 2． A 3． A 4． A 5． B 6． B 7． B 8． A 9． C 10． C 11． D 12． D 13． (－1，－2，3) 14． －215． x ＋y －3＝0，x －y －3＝0 16． (x ＋2)2＋y 2＝2 17． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94．18． E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19． x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，152，12130．20． （1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27．21． （1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．22． （1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35．第四章 圆与方程章末测验二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ） A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ） A ． 2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ）A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝012．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为22，则c的取值范围是（）A．[－22，22] B．(－22，22)C．[－2,2] D．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是__________________.14．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案1． B 2． B 3． B 4． B 5． D 6． C 7． B 8． A 9． B 10． B 11． A 12． C 13． (0，－76，0)14． x ＋y －3＝0 15．2216． (x －1)2＋y 2＝2. 17． x 2＋(y －1)2＝10． 18．64a ． 19． （1）见证明；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． （1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ． 20． 见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．21． （1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1． 22． （1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．。

第四章圆与方程单元检测(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1．直线 y ＝ x ＋ 10 与曲线 x 2＋y 2＝ 1 的地点关系是 ()．A ．订交B ．相离C ．相切D ．不可以确立2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ( )． A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ． x 2＋ (y ＋ 2)2＝ 1 C ．( x － 1) 2＋ (y －3) 2＝ 1D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 13．点 P(x ， y ， z)知足x 1 2 y 1 2 z 1 22，则点 P 在()．A ．以点 (1,1，－ 1)为圆心，2 为半径的圆上B ．以点 (1,1，－ 1) 为中心，2 为棱长的正方体内 C ．以点 (1,1，－ 1) 为球心， 2 为半径的球面上 D ．没法确立4．圆 x 2 ＋y 2＝4 与圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则 l 的方程是 ()．A ． x ＋ y ＝ 0B ． x ＋ y －2＝ 0C ．x － y － 2＝ 0D ． x － y ＋ 2＝ 05．圆 C 1：x 2＋ y 2＋2x ＋ 2y － 2＝ 0 与 C 2：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋1＝ 0 的公切线有且只有 ( )．A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条 6．把圆 x 2 ＋ y 2＋2x － 4y － a 2－2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x － 4y － 4＝ 0 相切，则实数 a 的值为 ( )．A ．－ 3B ． 3C ．－3或 3D ．以上都不对7．过点 P(2,3)向圆 x 2＋ y 2＝ 1 作两条切线 PA 、 PB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ()．A ． 2x － 3y － 1＝ 0B ． 2x ＋ 3y － 1＝ 0C ．3x ＋ 2y － 1＝ 0D ． 3x － 2y － 1＝ 08．与圆 x 2＋ y 2－ ax －2y ＋ 1＝ 0 对于直线 x － y － 1＝0 对称的圆的方程为＝0，则 a 等于 ( )．A ． 0B ． 1C ． 2D ．3229．圆 x ＋(y ＋1) ＝ 3 绕直线 kx －y － 1＝ 0 旋转一周所得的几何体的表面积为 x 2 ＋y 2－ 4x ＋ 3()．A ． 36πB ． 12πC ．4 3D ． 4π10．动圆 x 2＋ y 2－ (4m ＋2)x － 2my ＋ 4m 2＋4m ＋ 1＝ 0 的圆心的轨迹方程是 ( ) ．A ． 2x － y － 1＝ 0B ． 2x － y － 1＝0(x ≠ 1)C ．x － 2y － 1＝0(x ≠ 1)D ．x － 2y － 1＝ 011．若过定点 M(－ 1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2＋ 4x ＋ y 2－ 5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 ( )．A ． 0 k 5B ．5 k 0C ． 0 k13D ． 0＜ k ＜ 512．直线 y ＝kx ＋ 3 与圆 (x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 M ， N 两点，若 MN2 3 ，则 k的取值范围是 ()．A ． [3,0]B ． (－∞，3 ]∪[0 ，＋ ∞)44C ． [3 , 3 ]D ．[ 2,0]3 33二、填空题 (此题共 4 小题，，每题 4 分，共 16 分)13．过直线 l ：y ＝ 2x 上一点 P 作圆 C ：(x － 8)2＋ (y － 1)2＝ 2 的切线 l 1， l 2，若 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 __________ ．14．点 P 为圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，则点P 到直线3x－ 4y－ 10＝ 0 的距离的最小值为__________．15．已知圆 C 经过 A(5,1) ，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ________．16．已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ：y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________．三、解答题 (此题共 6 小题，共74 分)17． (12 分)一圆和直线 l ：x＋ 2y－ 3＝0 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程．18．(12 分 )求平行于直线 3x＋223y＋5＝ 0 且被圆 x ＋ y＝ 20 截得长为6 2的弦所在的直线方程．22＝ 16 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若 BA⊥ CA，19．(12 分 )点 A(0,2)是圆 x ＋ y求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．222220． (12 分)圆 x ＋ y －2x－ 5＝ 0 与圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B.(1)求线段 AB 的垂直均分线的方程；(2)求线段 AB 的长．21． (12 分 ) 已知圆C： (x－ 1)2＋ ( y－ 2)2＝ 25，直线l： (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝0(m∈R)．(1)证明：无论 m 为什么值时，直线和圆恒订交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．22．(14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y＝ x2－ 6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 x－y＋ a＝ 0 交于 A， B 两点，且 OA⊥OB ，求 a 的值．答案与分析1.答案： B分析：圆心到直线的距离|10 |2 1.522.答案： A分析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0， b)，则由题意知0 1 2 b 2 21，解得b＝2，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法二 (数形联合法 ) ：由作图依据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法三 (考证法 )：将点 (1,2)代入四个选择支，清除 B ， D，又因为圆心在y 轴上，清除C.3.答案： C(x， y， z)知足到定点 (1,1，－ 1)的距离恒分析：依据两点间距离公式的几何意义，动点等于 2.4.答案： D分析：∵两圆圆心分别为(0,0)和 (－ 2,2)，∴中点为 (－ 1,1)，两圆圆心连线斜率为－ 1.∴l 的斜率为 1，且过点 (－ 1,1)．∴l 的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋ 2＝ 0.5.答案： B解析：⊙C1： (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 ，⊙ C2： (x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 ，C1C2＝ 2 12 1 1 213 4，∴只有 2 条公切线．∴应选 B.6.答案： C分析：圆的方程可变成 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为a27 ，由题意得| 13 42 4 |a27 1，3 242解得 a＝±3.7.答案： B解析：圆x2＋ y2＝ 1的圆心为坐标原点O ，以OP为直径的圆的方程为( x－1)2＋( y－3) 2＝13.24明显这两个圆是订交的，x2y 21由1 2y32 13x2 4得 2x＋3y－ 1＝ 0，这就是弦 AB 所在直线的方程．8.答案： C分析：两圆的圆心分别为(a,1)，B(2,0)，A2则 AB 的中点(a1,1) 在直线x－y－1＝0上，即a11 1 0 ，解得a＝2，应选4242择 C.9.答案： B分析：由题意，圆心为(0，－ 1)，又直线kx－ y－ 1＝ 0 恒过点 (0，－ 1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S＝ 4π(3 )2＝12π.10.答案： C分析：圆心为 (2m＋1， m)， r ＝ |m|(m≠0)．不如设圆心坐标为(x， y)，则 x＝ 2m＋ 1， y＝ m，所以 x－2y－ 1＝ 0.又因为 m≠0，所以 x≠1因.此选择 C.11.答案： A分析：圆 x2＋ 4x＋ y2－ 5＝ 0 可变形为 (x＋ 2)2＋ y2＝ 9，如下图．当 x＝ 0 时，y＝ 5 ，联合图形可得A(0, 5) ，∵ k AM＝55 ，1∴ k (0， 5) ．12.答案： A分析：圆心 (3,2) 到直线 y＝kx＋ 3的距离 d＝| 3k1| ，k21MN ＝23k 1 2，4 2 3k 21∴30 .k413.答案： 3 5 分析： 圆心 C 的坐标为 (8,1)， 由题意，得 PC ⊥ l ，∴ PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离．|161|即 PC ＝ 3 5 .514.答案： 1分析： ∵圆心到直线的距离为 d ＝102 ，5∴点 P 到直线 3x － 4y － 10＝ 0 的距离的最小值为 d －r ＝ 2－ 1＝ 1.15.答案： ( x － 2)2 ＋y 2＝10分析： 由题意，线段 AB 中点 M(3,2) ， k AB ＝－1k AB ＝－ 1，2 2∴线段 AB 中垂线所在直线方程为y － 2＝2(x － 3)．y 2 2 x 3得圆心 (2,0) ．由y则圆 C 的半径 r ＝ 2 1 23 210故圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 10.16.答案： x ＋ y － 3＝ 0分析： 设圆心 (a,0)，∴ (| a 1| )2( 2) 2＝ | a －1|2 ,∴ a ＝ 3.2∴圆心 (3,0)．∴所求直线方程为 x ＋ y － 3＝0. 17.解： 设圆心坐标为 C( a ， b)，圆的方程即为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ 25.∵点 P(1,1)在圆上，则 (1－ a)2＋ (1－ b)2＝ 25.①又 l 为圆 C 的切线，则 CP ⊥ l ，∴b1 2.②a 1 联立①②解得a15a 15或b1 2 5b 125即所求圆的方程为 (x － 1－5 )2＋ (y － 1－ 2 5 )2 ＝ 25 或 (x －1＋ 5 )2＋ (y － 1＋ 2 5 )2＝25.18.解： 设弦所在的直线方程为 x ＋ y ＋c ＝ 0.①则圆心 (0,0)到此直线的距离为d ＝ | c || c | .112因为圆的半弦长、半径、弦心距恰巧组成直角三角形，所以 ( | c |) 2(3 2) 2＝20 .2由此解得 c ＝ ±2，代入①得弦的方程为 x ＋ y ＋2＝ 0 或 x －y － 2＝ 0.19.解： 设点 M(x ， y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM ⊥ BC.又∵∠ BAC ＝ 90°，∴ |MA |＝1|BC|＝ |MB |.2∵ |MB |2＝ |OB|2－ |OM |2，222，即 4 2222＋ (y － 2) 222∴|OB| ＝|MO | ＋|MA| ＝ (x ＋ y ) ＋ [(x － 0) ] ，化简为 x ＋ y － 2y －6＝ 0，即 x 2 ＋(y － 1)2＝ 7.∴所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7 为半径的圆．20.解： (1) 两圆方程相减，得 4x － 4y ＋ 1＝ 0，即为AB的方程．两圆圆心连线即为AB的垂直均分线，所以 AB 的垂直均分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直． 则 AB 的垂直均分线的斜率为－ 1.又圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直均分线的方程为 y ＝－ (x － 1)，即 x ＋ y － 1＝0.(2)圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的半径、圆 x 2＋y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心到 AB 的距离、 AB 长的一半三者组成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋ y 2－ 2x － 5＝0 可化为 (x － 1)2＋ y 2＝ 6，所以圆心(1,0)，半径 6，弦心距|4 1 40 1| 5 2，由勾股定理得42428(|AB |25 2 2 2)()( 6，)28解得 AB ＝346.221.解： (1) 由 (2m ＋ 1)x ＋ (m ＋ 1)y － 7m － 4＝ 0，得 (2x ＋ y － 7)m ＋ x ＋ y －4＝ 0.2x y 7 0 x 3则y4 0解得1x y∴直线 l 恒过定点 A(3,1) ．又∵ (3－ 1)2＋ (1－ 2)2＝ 5＜ 25，∴ (3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点．(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有l ⊥ AC ，由 k AC ＝－1 ，得 l 的方程为 y － 1＝22(x － 3)，即 2x － y －5＝ 0.22.解： (1) 曲线 y ＝ x 2－ 6x ＋ 1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2,0) ，(3 2 2,0) ．故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32＋(t －1)2＝(2 2) 2 t 2，解得 t ＝ 1.则圆 C 的半径为32＋(t －1)2 3所以圆 C 的方程为 (x － 3)2＋ (y － 1)2＝ 9.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，其坐标知足方程组：x y a0 x 3 2y1 2 9.消去 y ，获得方程 2x 2＋ (2a － 8)x ＋ a 2－ 2a ＋ 1＝ 0.由已知可得，鉴别式 ＝ 56－16a － 4a 2＞ 0.所以 x 1,2＝ (8 2a)56 16a 4a24 ，进而 x 1＋ x 2＝ 4－ a ， x 1 x 2＝ a 22a 12.①因为 OA ⊥OB ，可得 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.又 y 1＝ x 1＋ a ， y 2＝ x 2＋a ，所以 2x 1 x 2＋ a(x 1＋ x 2)＋ a 2＝ 0.② 由①，②得 a ＝－ 1，知足 ＞ 0，故 a ＝－ 1.。