【发现】物理沪科版必修2同步精练精析53万有引力定律与天文学的发现沪科版必修二

课后训练1．2011年11月3日，“神舟”八号飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实施了首次交会对接。

任务完成后“天宫”一号经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟”九号交会对接。

变轨前和变轨完成后“天宫”一号的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则12v v 等于（ ） ABCD ．21R R2．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的14，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（ ） A ．向心加速度大小之比为4∶1 B ．角速度大小之比为2∶1 C ．周期之比为1∶8D ．轨道半径之比为1∶23．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的（ ）A ．14B ．4倍C ．16倍D ．64倍 4．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。

假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。

下列说法正确的是（ ）A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值5．一行星绕恒星做圆周运动。

由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v 。

引力常量为G ，则（ ）A ．恒星的质量为32πv TGB ．行星的质量为2324πv GTC ．行星运动的轨道半径为2πvT D ．行星运动的加速度为2πvT6．据媒体报道，“嫦娥”一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km ，运行周期127分钟。

若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ ）A ．月球表面的重力加速度B ．月球对卫星的吸引力C ．卫星绕月运行的速度D ．卫星绕月运行的加速度7．一艘宇宙飞船飞近一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道运转，宇航员能不能仅用一只秒表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程。

高中物理 同步测控（5.3 万有引力定律与天文学的新发现）（带解析）沪科版必修2同步测控我夯基 我达标1.航天飞机中的物体处于失重状态是指这个物体……（ ）A.不受地球的吸引力B.地球吸引力和向心力平衡C.对支持它的物体的压力为零D.以上说法都不对解析：宇宙飞船上的物体处于失重状态，是指重力全部提供向心力，其视重为零，并不是不受重力，所以选项A 错误，C 正确.向心力是一种效果力，本题中的向心力是由地球的吸引力提供的，所以选项B 错误. 答案：C2.物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了（ ） A.地球半径是月球半径的6倍 B.地球质量是月球质量的6倍C.月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6D.物体在月球表面的重力是其在地球表面重力的1/6解析：物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，根据牛顿第二定律可得物体在月球表面的重力也是其在地球表面的重力的1/6，所以选项D 正确，选项A 、B 、C 错误. 答案：D3.两颗人造地球卫星，都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比r 1/r 2＝2.则它们的动能之比E 1/E 2等于（ ）A.2B.2C.1/2D.4解析：根据G 2r mM =m r v 2可得：卫星的动能E ＝21r GmM ，所以122121r m r m E E ==21.答案：C4.把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳较远的行星（ ）A.周期较小B.线速度较小C.角速度较小D.加速度较小 解析：行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供.G 2r mM =m r v 2，v=r GM .r 越大，线速度越小，B 正确.G 2r Mg =mrω2，ω=3rGM .R 越大，角速度越小，C 正确.ω越小，则周期T=ωπ2`越大，A 错误.G 2r mM =ma ，a ＝2rGM,r 越大，则a 越小，D 正确.答案：BCD 5.（北京高考）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（ ）A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量解析：万有引力提供向心力，则G 2r Mm =m 224Trπ，由于飞行器在行星表面附近飞行，其运行半径r 近似等于行星半径，所以满足M ＝ρ·43πr 3，联立得：ρ＝23GTπ. 答案：C6.假如一个做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则下列说法正确的是（ ）A.根据公式v=rω，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B.根据公式F=m rv 2，可知卫星所需的向心力将减小到原来的21C.根据公式F=G2r Mm ，可知地球提供的向心力将减小到原来的41D.根据上述B 和C 中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的22解析：由于公式F=G2rMm中，G 、M 、m 都是不变的量，因此推导F 和r 的关系不易出错.设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r 1，所受到的地球引力为F 1；当人造地球卫星的轨道半径增为r 2=2r 1时，所受到的地球引力为F 2，则：因为F 1=G21r Mm,所以F 2=G22r Mm =G 21)2(r Mm =41G 21r Mm =41F 1[ 由此可知，选项C 正确,B 错误.将万有引力公式和向心力公式联系起来，可以写出下列两式：G 21r Mm=m 121v v ① G 22r Mm=m 222r v ②将r 2=2r 1代入②式可得：G 1222124r v m r Mm=③将①③两式相除可导出：24112221v v =,即4=22212v v所以v 22=4221v =21v 12v 2=222121121=∙=v v v 1. 由此可知，选项D 正确，A 错误. 答案：CD7.（经典回放）地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%.经估算，地核的平均密度为__________kg/m 3.（结果取两位有效数字，引力常量G ＝6.7×10－11 N·m 2/kg 2、地球半径R ＝6.4×106 m ） 解析：设g 为地球表面的重力加速度，由mg ＝2RGMm得地球平均密度 ρ＝V M =R G gR G gR ππ4334/32=，代入数据G 、R 数值得：ρ＝5.5×103 kg/m 3,据题设M m 1=0.34即VV ρρ11=0.34,又V V 1＝0.16得地核平均密度ρ1＝16.034.016.034.0=ρ×5.5×103 kg/m 3=1.2×104 kg/m 3.答案：1.2×1048.两颗行星绕某恒星运动，它们的运动周期之比为27∶1，则它们的轨道半径之比为多少？ 解析：只有v 一定时，r 与T 成正比.实际上，由于r 、v 、T 有“连带”关系，当其中一个物理量发生变化，其余的物理量都要跟着发生变化. 由G2rMm =m （T π2）2r 可得：T=2πGMr 3，即r ∝32T所以r 1∶r 2=321T ∶322T =3227∶321=9∶1.答案：9∶19.（经典回放）已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由G 2h Mm =m(T π2)2h 得M=2224GTh π. （1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由.如不正确，请给出正确的解法和结果.（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.解析：（1）不正确.应为G 2)(h R Mm +=m(22T π)2(R+h)，得M=2232)(4GT h R +π.（2）由mg=2R GMm 得M=G gR 2或由G 2r Mm =m(12T π)2r 得M=21324GT r π.答案：见解析10.（经典回放）据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的八大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年.若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍？（最后结果可用根式表示）解析：新行星和地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力.答案：设太阳质量为M,地球质量为m 0，地球绕太阳运行的公转周期为T 0，与太阳的距离为R 0，由于万有引力提供向心力，则有：G20R M m =m 0R 0(T π2)2，对新行星同理可得：G 2''R M m =m′R′(T π2)2，由以上两式解得：3232288)'('==TT R R ≈44. 11.为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球半径R ＝6.4×106 m ，地球质量m ＝6×1024 kg ，日地中心的距离r ＝1.5×1011 m ，取地球表面处的重力加速度g ＝10 m/s 2，1年约为3.2×107 s ，试估算目前太阳的质量M.（保留一位有效数字，引力常量未知）[来 解析：根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动（近似处理）的向心力列出相关方程，再根据地球表面物体重力等于引力列出方程联立求解.答案：设T 为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：G 2r mM =mr(T π2)2，对地球表面物体m′，又有G 2'R m m =m′g ，由以上两式解得：M=22324T gR mr π，代入已知数据可得M ＝2×1030 kg.12.一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R 的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.求该行星的质量和平均密度.解析：设宇宙飞船的质量为m ，行星的质量为M.宇宙飞船围绕行星做匀速圆周运动. G2R Mm =m(T π2)2R所以M=2324GT r π又v=34πR 3 所以ρ=V M =23GT π.答案：2324GT r π 23GT π13.某人在某一星球上以速度v 竖直上抛一物体，经时间t 落回抛出点，已知该星球的半径为R ，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？ 解析：星球表面的重力加速度g=t vt v 22= 人造星体靠近该星球运转时：mg=G 2R Mm =m Rv 2'(M:星球质量,m:人造星体质量)所以v′=tvRgR 2=. 我综合 我发展14.探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来确定（ ） A.若v ∝R ，则该环是土星的一部分 B.若v 2∝R ，则该环是土星的卫星群 C.若v ∝1/R ，则该环是土星的一部分 D.若v 2∝1/R ，则该环是土星的卫星群 解析：若为土星的一部分与土星为一整体，则它们的角速度与周期相同，根据v ＝ωr 可知v ∝R.若为卫星群，则万有引力为卫星提供向心力，由公式G 2R mM =m R v 2可得：v=RGM ，所以v 2∝1/R.故A 、D 正确，B 、C 错误.答案：AD15.一艘宇宙飞船飞近某一不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作.宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程.答案：使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，设行星质量为M ，宇宙飞船质量为m ，行星半径为r ，测出飞船运行周期为T.G 2r mM =mr(T π2)2，所以M=2324GT r π.又行星的体积V=34πr 3，所以ρ=V M =23GT π，即宇航员只需测出T 就能求出行星的密度16.（经典回放）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h ，速度方向是水平的，速度大小为v 0，求它第二次落到火星表面时速度的大小.计算时不计火星大气阻力，已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r ，周期为T 0.火星可视为半径为r 0的均匀球体.解析：以g′表示火星表面附近的重力加速度，M 表示火星的质量，m 表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有 G20'r Mm =m′g′ G 2r Mg =m 224Tπr 设v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v 1，水平分量仍为v 0，有 v 1=h g '2 v=2021v v +由以上各式解得v=20220328v r T hr +π. 答案：v=20220328v r T hr +π 17.（经典回放）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落后的12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射.解析：设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离. 有G2r mM =mr(T π2)2春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E 表示赤道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心.由图可看出当卫星S 绕地心O 转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它.据此再考虑到对称性，有rsinθ＝R t=θπ22T G 2RM =g 由以上各式可解得t=πTarcsin(3122)4gT R π答案：πTarcsin(3122)4gT R π同步测控我夯基 我达标1.航天飞机中的物体处于失重状态是指这个物体……（ ）A.不受地球的吸引力B.地球吸引力和向心力平衡C.对支持它的物体的压力为零D.以上说法都不对解析：宇宙飞船上的物体处于失重状态，是指重力全部提供向心力，其视重为零，并不是不受重力，所以选项A 错误，C 正确.向心力是一种效果力，本题中的向心力是由地球的吸引力提供的，所以选项B 错误. 答案：C2.物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了（ ） A.地球半径是月球半径的6倍 B.地球质量是月球质量的6倍C.月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6D.物体在月球表面的重力是其在地球表面重力的1/6解析：物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，根据牛顿第二定律可得物体在月球表面的重力也是其在地球表面的重力的1/6，所以选项D 正确，选项A 、B 、C 错误. 答案：D3.两颗人造地球卫星，都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比r 1/r 2＝2.则它们的动能之比E 1/E 2等于（ ）A.2B.2C.1/2D.4解析：根据G 2r mM =m r v 2可得：卫星的动能E ＝21r GmM ，所以122121r m r m E E ==21.答案：C4.把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳较远的行星（ ）A.周期较小B.线速度较小C.角速度较小D.加速度较小解析：行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供.G 2r mM =m r v 2，v=r GM .r 越大，线速度越小，B 正确.G 2r Mg =mrω2，ω=3r GM .R 越大，角速度越小，C 正确.ω越小，则周期T=ωπ2`越大，A 错误.G 2r mM =ma ，a ＝2rGM,r 越大，则a 越小，D 正确.答案：BCD 5.（北京高考）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（ ）A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量解析：万有引力提供向心力，则G 2r Mm =m 224Trπ，由于飞行器在行星表面附近飞行，其运行半径r 近似等于行星半径，所以满足M ＝ρ·43πr 3，联立得：ρ＝23GTπ. 答案：C6.假如一个做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则下列说法正确的是（ ）A.根据公式v=rω，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B.根据公式F=m rv 2，可知卫星所需的向心力将减小到原来的21C.根据公式F=G2r Mm ，可知地球提供的向心力将减小到原来的41D.根据上述B 和C 中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的22解析：由于公式F=G2r Mm中，G 、M 、m 都是不变的量，因此推导F 和r 的关系不易出错.设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r 1，所受到的地球引力为F 1；当人造地球卫星的轨道半径增为r 2=2r 1时，所受到的地球引力为F 2，则：因为F 1=G21r Mm,所以F 2=G22r Mm =G 21)2(r Mm =41G 21r Mm =41F 1 由此可知，选项C 正确,B 错误.将万有引力公式和向心力公式联系起来，可以写出下列两式：G 21r Mm=m 121v v ① G 22r Mm=m 222r v ②将r 2=2r 1代入②式可得：G 1222124r v m r Mm=③将①③两式相除可导出：24112221v v =,即4=22212v v所以v 22=4221v =21v 12v 2=222121121=∙=v v v 1. 由此可知，选项D 正确，A 错误. 答案：CD7.（经典回放）地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%.经估算，地核的平均密度为__________kg/m 3.（结果取两位有效数字，引力常量G ＝6.7×10－11 N·m 2/kg 2、地球半径R ＝6.4×106 m ） 解析：设g 为地球表面的重力加速度，由mg ＝2RGMm得地球平均密度 ρ＝V M =R G gR G gR ππ4334/32=，代入数据G 、R 数值得：ρ＝5.5×103 kg/m 3,据题设M m 1=0.34即VV ρρ11=0.34,又V V 1＝0.16得地核平均密度ρ1＝16.034.016.034.0=ρ×5.5×103 kg/m 3=1.2×104kg/m 3.答案：1.2×1048.两颗行星绕某恒星运动，它们的运动周期之比为27∶1，则它们的轨道半径之比为多少？ 解析：只有v 一定时，r 与T 成正比.实际上，由于r 、v 、T 有“连带”关系，当其中一个物理量发生变化，其余的物理量都要跟着发生变化. 由G2r Mm =m （T π2）2r可得：T=2πGMr 3，即r ∝32T所以r 1∶r 2=321T ∶322T =3227∶321=9∶1.答案：9∶19.（经典回放）已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由G 2h Mm =m(T π2)2h 得M=2224GT h π.（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由.如不正确，请给出正确的解法和结果.（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.解析：（1）不正确.应为G 2)(h R Mm +=m(22T π)2(R+h)，得M=2232)(4GT h R +π. （2）由mg=2R GMm 得M=G gR 2或由G 2r Mm =m(12T π)2r 得M=21324GT r π. 答案：见解析10.（经典回放）据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的八大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年.若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍？（最后结果可用根式表示）解析：新行星和地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力.答案：设太阳质量为M,地球质量为m 0，地球绕太阳运行的公转周期为T 0，与太阳的距离为R 0，由于万有引力提供向心力，则有：G20R M m =m 0R 0(T π2)2，对新行星同理可得：G 2''R M m =m′R′(T π2)2，由以上两式解得：3232288)'('==TT R R ≈44. 11.为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球半径R ＝6.4×106 m ，地球质量m ＝6×1024 kg ，日地中心的距离r ＝1.5×1011 m ，取地球表面处的重力加速度g ＝10 m/s 2，1年约为3.2×107 s ，试估算目前太阳的质量M.（保留一位有效数字，引力常量未知）解析：根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动（近似处理）的向心力列出相关方程，再根据地球表面物体重力等于引力列出方程联立求解.答案：设T 为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：G 2r mM =mr(T π2)2，对地球表面物体m′，又有G 2'R m m =m′g ，由以上两式解得：M=22324TgR mr π，代入已知数据可得M ＝2×1030 kg.12.一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R 的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.求该行星的质量和平均密度.解析：设宇宙飞船的质量为m ，行星的质量为M.宇宙飞船围绕行星做匀速圆周运动. G2RMm =m(T π2)2R 所以M=2324GT r π 又v=34πR 3 所以ρ=V M =23GTπ. 答案：2324GTr π 23GT π 13.某人在某一星球上以速度v 竖直上抛一物体，经时间t 落回抛出点，已知该星球的半径为R ，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？ 解析：星球表面的重力加速度g=t vt v 22= 人造星体靠近该星球运转时：mg=G 2R Mm =m Rv 2'(M:星球质量,m:人造星体质量)所以v′=tvRgR 2=. 我综合 我发展14.探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来确定（ ） A.若v ∝R ，则该环是土星的一部分 B.若v 2∝R ，则该环是土星的卫星群 C.若v ∝1/R ，则该环是土星的一部分 D.若v 2∝1/R ，则该环是土星的卫星群 解析：若为土星的一部分与土星为一整体，则它们的角速度与周期相同，根据v ＝ωr 可知v ∝R.若为卫星群，则万有引力为卫星提供向心力，由公式G 2R mM =m R v 2可得：v=RGM ，所以v 2∝1/R.故A 、D 正确，B 、C 错误.答案：AD15.一艘宇宙飞船飞近某一不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作.宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程.答案：使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，设行星质量为M ，宇宙飞船质量为m ，行星半径为r ，测出飞船运行周期为T.G 2r mM =mr(T π2)2，所以M=2324GTr π.又行星的体积V=34πr 3，所以ρ=V M =23GTπ，即宇航员只需测出T 就能求出行星的密度. 16.（经典回放）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h ，速度方向是水平的，速度大小为v 0，求它第二次落到火星表面时速度的大小.计算时不计火星大气阻力，已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r ，周期为T 0.火星可视为半径为r 0的均匀球体.解析：以g′表示火星表面附近的重力加速度，M 表示火星的质量，m 表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有 G 20'r Mm =m′g′ G 2r Mg =m 224Tπr 设v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v 1，水平分量仍为v 0，有 v 1=h g '2 v=2021v v +由以上各式解得 v=202020328v r T hr +π. 答案：v=202020328v r T hr +π 17.（经典回放）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落后的12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射.解析：设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离. 有G 2r mM =mr(T π2)2 春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E 表示赤道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心.由图可看出当卫星S 绕地心O 转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它.据此再考虑到对称性，有rsinθ＝R t=θπ22T G 2RM =g 由以上各式可解得t=πT arcsin(3122)4gT R π. 答案：πT arcsin(3122)4gT R π。

万有引力定律与天文学的新发现1．如下说法正确的答案是( )A ．海王星和冥王星是人们依据实验观察而直接发现的B ．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C ．天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D ．以上说法均不正确解析：选C ．海王星的发现是因为在1781年发现的天王星的运行轨道，总是与万有引力定律计算出来的有一定的偏离，经过计算、预测、观察发现了海王星，冥王星的发现是基于同样的原理．所以天王星的轨道偏离是因为受其他行星引力的作用，C 正确．2．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期．由此可推算出( )A ．行星的质量B ．行星的半径C ．恒星的质量D ．恒星的半径解析：选C ．由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可知，M ＝4π2r3GT 2，可求出恒星的质量．3．如图，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以一样的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的答案是( )A ．a 2>a 3>a 1B ．a 2>a 1>a 3C ．a 3>a 1>a 2D ．a 3>a 2>a 1解析：选D ．空间站和月球绕地球运动的周期一样，由a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 知，a 2>a 1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得GMmr 2＝ma ，可知a 3>a 2，应当选项D 正确． 4．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的( )A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍解析：选A ．此题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m 1、r 1、v 1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m 2、r 2、v 2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B 、D 均错；由Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2(L 为两星间的距离)，因此r 1r 2＝m 2m 1＝17，v 1v 2＝ωr 1ωr 2＝m 2m 1＝17，故A 对，C 错．5．宇航员站在一星球外表上某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t ，小球落到星球外表，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．假设抛出时初速度增大到原来的2倍．如此抛出点与落地点之间的距离为3L ．两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G ．求该星球的质量M ．解析：设抛出点的高度为h ，由平抛运动的特点可得： 2L 2－h 2＝〔3L 〕2－h 2，设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动规律得：h ＝12gt 2由万有引力定律与牛顿第二定律得mg ＝G Mm R2联立以上各式得M ＝23LR23Gt 2．答案：23LR 23Gt2[课时作业][学生用书P121(单独成册)]一、单项选择题1．发现海王星的天文学家是( ) A ．哈雷、吉尔伯特 B ．开普勒、哥白尼 C ．勒维烈、亚当斯 D ．牛顿、第谷解析：选C ．海王星是勒维烈与亚当斯根据万有引力定律，通过计算各自独立地发现的，故C 正确．2．科学家们推测，太阳系还有一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居〞着的地球的“孪生兄弟〞．由以上信息可以确定( )A ．这颗行星的公转周期与地球相等B ．这颗行星的半径等于地球的半径C ．这颗行星的密度等于地球的密度D ．这颗行星上同样存在着生命解析：选A ．因为只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．因为G Mm r 2＝m v 2r，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．3．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进展着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的根底．如果火星探测器环绕火星做“近地〞匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T ，如此火星的平均密度ρ的表达式为(k 为某个常数)( )A ．ρ＝kTB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT 2D ．ρ＝k T2解析：选D ．火星探测器环绕火星做“近地〞匀速圆周运动时，GMm R 2＝m 4π2T 2R ，又M ＝43πR 3·ρ，可得：ρ＝3πGT 2＝k T2，故只有D 正确．4．一卫星绕某一行星外表附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v ．假设宇航员在该行星外表上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N ．引力常量为G ，如此这颗行星的质量为( )A ．mv 2GNB ．mv 4GNC ．Nv 2GmD ．Nv 4Gm解析：选B ．设卫星的质量为m ′由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R ①m ′v 2R＝m ′g②由条件：m 的重力为N 得N ＝mg③由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝mv 2N代入①得M ＝mv 4GN，故A 、C 、D 三项均错误，B 项正确．5．月球与地球质量之比约为1∶80．有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为( )A ．1∶6 400B ．1∶80C ．80∶1D ．6 400∶1解析：选C ．双星系统中的向心力大小相等，角速度一样．据此可得M v 21r 1＝m v 22r 2，M ω2r 1＝mω2r 2，联立得v 2v 1＝M m ＝801，故C 项正确．6．质量为m 的探月航天器在接近月球外表的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．月球质量为M ，月球半径为R ，月球外表重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，如此航天器的( )A ．线速度v ＝GMRB ．角速度ω＝gRC ．运行周期T ＝2πgRD ．向心加速度a ＝Gm R2解析：选A ．由GMm R 2＝m v 2R ＝mω2R ＝m 4π2T2R ＝mg ＝ma 得v ＝GMR，A 对；ω＝g /R ，B 错；T ＝2πR g ，C 错；a ＝GMR2，D 错． 7．假设有一艘宇宙飞船在某一行星外表做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常量为G ，那么该行星的平均密度为( )A ．GT 23π B ．3πGT2C ．GT 24πD ．4πGT 2解析：选B ．设飞船的质量为m ，它做圆周运动的半径为行星半径R ，如此G Mm R2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，所以行星的质量M ＝4π2R 3GT 2，行星的平均密度ρ＝M 43πR 3＝4π2R3GT 243πR 3＝3πGT2，B 项正确． 二、多项选择题8．科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t ．假设还万有引力常量G ，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T ，光速c (地球到月球的距离远大于它们的半径)．如此由以上物理量可以求出( )A ．月球到地球的距离B ．地球的质量C ．月球受地球的引力D ．月球的质量解析：选AB ．根据激光往返时间为t 和激光的速度可求出月球到地球的距离，A 正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T ，根据G Mm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2可求出地球的质量M ＝4π2r 3GT 2，B 正确；我们只能计算中心天体的质量，D 不对；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，C 也不对．9．一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，如此( )A ．恒星的质量为v 3T2πGB ．行星的质量为4π2v3GT2C ．行星运动的轨道半径为vT2πD ．行星运动的加速度为2πvT解析：选ACD ．行星绕恒星转一圈，运行的距离等于圆的周长，即2πr ＝vT 得r ＝vT2π，故C 正确；a ＝rω2＝r 4π2T 2＝2πv T ，故D 正确；由G Mm r 2＝mr 4π2T 2得M ＝v 3T2πG，故A 正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由条件求不出来，故B 错误．三、非选择题 10．1881年，科学家佐利设计了一个测量地球质量的方法：首先，在长臂天平的两盘放入质量同为m 的砝码，天平处于平衡状态；然后，在左盘正下方放入一质量为M 的大球，且球心与砝码有一很小的距离d ；接着又在右盘中加质量为Δm 的砝码，使天平又恢复平衡状态．试导出地球质量M 0的估算式 ．(地球半径为R )解析：设大球M 对m 的引力为F ，由天平再次平衡得mg ＋F ＝mg ＋Δmg ， 即G Mmd2＝Δmg ①地球对大球的引力等于大球的重力，有GM 0MR 2＝Mg ②由①②解得地球的质量M 0＝Mm Δm ⎝ ⎛⎭⎪⎫R d 2．答案：Mm Δm ⎝ ⎛⎭⎪⎫R d 211．宇航员在地球外表以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t 物体落回原处；假设他在某星球外表以一样的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t 物体落回原处．(取地球外表重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球外表附近的重力加速度g ′的大小；(2)该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M 地．解析：(1)由竖直上抛运动规律可知地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：t ＝2v 0g在该星球外表竖直上抛的物体落回原地所用时间为： 5t ＝2v 0g ′，所以g ′＝15g ＝2 m/s 2． (2)星球外表物体所受重力等于其所受星体的万有引力，如此有：mg ＝G Mm R 2，所以M ＝gR 2G可解得M 星∶M 地＝1∶80． 答案：(1)2 m/s 2(2)1∶8012．在登月计划中，要测算地月之间的距离．地球外表重力加速度为g ，地球半径为R ，在地面附近，物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，又知月球绕地球运动的周期为T ，引力常量为G ，如此：(1)地球的质量为多少？ (2)地月之间的距离为多少？解析：(1)设地球质量为M ，对地面附近的任何物体m ′， 有GMm ′R 2＝m ′g 所以M ＝gR 2G．(2)设地月之间的距离为r ，月球的质量为m ，如此 GMm r 2＝m 4π2T 2·r 得r ＝3GMT 24π2＝3gR 2T 24π2．gR2 G (2)3gR2T24π2答案：(1)。

5.3 万有引力定律与天文学的新发现建议用时 实际用时满分 实际得分60分钟100分一、选择题（本题包括5小题，每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分，共30分）1. 已知引力常量，重力加速度，地球半径，则可知地球质量的数量级是（ ）Ａ. Ｂ.Ｃ. Ｄ.2. 可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（）Ａ.与地球表面上某一纬线（非赤道）是共面的同 心圆Ｂ.与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆 Ｃ.与地球表面上的赤道是共面的同心圆，且卫星相对地球表面是静止的Ｄ.与地球表面上的赤道是共面的同心圆，且卫星相对地球表面是运动的3. 下面关于同步卫星的说法正确的是（ ）Ａ.同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率就被确定Ｂ.同步卫星的角速度虽已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小，仍同步Ｃ.我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是 ，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低Ｄ.同步卫星的速率比我国发射第一颗人造卫星的速率小 4. 如图1所示，图、、 的圆心均在地球的自转轴线上，对环绕地球做匀速圆周运动而言（ ）Ａ.卫星的轨道可能为 Ｂ.卫星的轨道可能为 Ｃ.卫星的轨道可能为Ｄ.同步卫星的轨道只可能为5. 已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量（引力常量 已知）（ ） Ａ.月球绕地球运行的周期 及月球到地球中心的距离 Ｂ.地球绕太阳运行的周期 及地球到太阳中心的距离Ｃ.人造卫星在地面附近的运行速度和运行周期Ｄ.地球绕太阳运行的速度及地球到太阳中心的距离二、填空题(本题10分）6. 地核的体积约为整个地球体积的，地核的质量约为地球质量的，经估算，地核的平均密 度为_________．（结果取两位有效数字）三、计算题（本题共4小题，每小题15分，共60分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位） 7.宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为．若抛出时的初速度增大到２倍，则抛出点与落地点之间的距离为．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为，万有引力常量为，求该星球的质量.（提示：设小球质量为，该星球表面重力加速度为，则）8.2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经 98°的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取 图1为东经 98°和北纬＝40°，已知地球半径，地球自转周期，地球表面重力加速度（视为常量）和光速．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间.（要求用题给的已知量的符号表示）9.宇宙中两颗相距较近的天体称“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证它们轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比．(2)设二者的质量分别为和，二者相距，试写出它们角速度的表达式10.1997 年月日在日本举行的国际学术大会上，德国某学会的一个研究组宣布了他们的研究成果：银河系的中心可能存在一个大黑洞，他们的根据是用口径为的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行了近年的观测所得到数据．他们发现，距离银河系中心约亿千米的星体正以的速度围绕银河系中心做旋转运动．根据上面的数据，试通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少？5.3 万有引力定律与天文学的新发现得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6. ________三、计算题7.8.9.10.5.3 万有引力定律与天文学的新发现参考答案一、选择题1. 解析：由万有引力定律：①而在地球表面，物体所受重力约等于地球对物体的吸引力，即②○1○2联立得：．解得＝.故选项Ｄ正确．点拨：①估算地球质量，即使题中未给出、和，它们也应当作已知量．②利用以上已知条件，还可以估算地球的平均密度，设平均密度为则＝．2. 解析：人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力是地球对它的万有引力，也就是地球的球心是人造地球卫星做圆周运动的圆心，地球只有纬度为零的赤道的圆心与地球的球心是重合的，其他纬线所在平面的圆心与地球的球心不重合，故不可能发射与非赤道的纬线共面的人造地球卫星；由于地球的自转，地球上每一条经线所决定的圆都在绕地轴转动，而发射的人造地球卫星若是通过南北极，它与某一经线在某一时刻可能共面，但是这条经线马上就会与人造卫星所在的平面成一角度；同步卫星就是定点在赤道的上空，且相对地球的表面是静止的；人造地球卫星的轨道可以是与赤道共面的同心圆，只要其高度不是同步卫星的高度，则卫星相对地球表面是运动的．综上所述，Ｃ、Ｄ两选项正确．点拨：这是一道高考题，学生最容易出现错误的选项是Ｂ，认为人造地球卫星绕地球运转的轨道过南北极时，就会与某一经线共面，而没有考虑到地球的经线所在的圆平面是绕地轴转动的，而对于Ｃ、Ｄ两选项，由于对同步卫星的讨论得比较多，所以这两个选项一般没有错．3. 解析：同步卫星和地球自转同步，即它们的周期（）相同，设同步卫星绕地心近似做匀速圆周运动所需向心力由卫星（）和地球（）间的万有引力提供．设地球半径为，同步卫星高度为，因为，所以．得，所以，一定，由，得．可见一定，所以Ａ项正确．由于同步卫星的周期确定，即角速度确定，则和均随之确定，不能改变，否则不同步，所以Ｂ项错．由可知，当小时，低，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低，故Ｃ项正确．因为同步卫星离地面高度更高，由得：同步卫星的线速率小于第一颗卫星的线速率，Ｄ项正确．4. 解析：若卫星在轨道，则万有引力可分为两个分力，一个是向心力，一个是指向赤道平面的力，卫星不稳定，故Ａ项错误，对、轨道，万有引力无分力，故Ｂ、Ｃ正确．点拨：卫星只有在万有引力全部用来提供向心力时，才能稳定运行，当高度为时为同步卫星，其他高度与地球不同步.5. 解析：根据求解中心天体质量的方法，如果知道绕中心天体运动的行星（卫星）运行的某些量便可求解，方法是利用万有引力提供向心力，则可由等分析，如果知道中心天体表面的重力加速度，则可由分析.二、填空题6. 解析：由于，所以按题目给出的条件可得地核的密度与地球的密度之间的数量关系．因此求出地球的密度就是本题的重要一步，而地球体积为，必设法求出地球的质量．这正是万有引力在天文学上的应用：估算天体的质量，是采用卫星绕地球做圆周运动这一模型进行计算的，最熟悉的卫星就是近地卫星了．近地卫星线速度，周期，环绕半径．如果采用线速度表述则：，得．如果采用周期表达式则：，得．因此得地球密度的两种表达式：．由，所以．代入已知数据：．点拨：近地卫星的数据作为已知量可使解题变得简单．三、计算题7. 解析：设抛出点的高度为，第一次平抛的水平射程为，则有． 由平抛运动规律知，当初速度增大到２倍，其水平射程也增大到，得． 联立以上两式得．设该星球上的重力加速度为，由平抛运动的规律，得． 由万有引力定律与牛顿第二定律有：（其中小球的质量） 联立得．点拨：本题是一道高考题，从解题的过程来看，它并不是一道难度很大的题，但是考生做得不尽人意，其主要原因是审题不仔细，将题设中的“抛出点与落地点之间的距离”这一条件错误地当作是物体的水平位移，导致不能正确求解．虽然这是审题的不仔细，也是平时所见的平抛运动的问题总是将竖直和水平的位移分开来叙述，而对做平抛运动的物体位移反而没有进行讨论，在同学的脑子内形成了思维定势，不能建立正确的空间结构．8.解析：微波信号传播速度等于光速，求时间需先求出卫星与嘉峪关的距离．综合运用同步卫星的动力学关系和，解出卫星距地心距离，再结合地球知识，作出相应的几何图形（图2）运用数学知识求出卫星到嘉峪关的距离．设为卫星的质量，为地球的质量，为卫星到地球中心的距离，同步 卫星的周期即地球自转周期，有 又据，所以在东经98°的经线所在平面内，如图所示，嘉峪关市位于点，卫星到它的距离设为，据余弦定理得 ． 所以．点拨：本题易错点：一是不能综合运用卫星的动力学方程和重力等于万有引力这两个重要关系，无法正确求出卫星到地心距离．另一容易出错之处是无法建立卫星、嘉峪关与地心所构成的几何图形，无法正确列出、、和 之间的几何关系．遇到问题首先要在头脑中建立起能反映题目所描述的物理情景的空间图景，再把三维空间图变成可画在纸上的二维平面图．这一步是解题的关键．也是对空间想像能力的考查．解物理题往往离不开作图，要有这方面的意识和养成作图的习惯．其次是对题目叙述的情景和过程进行深入分析，情景和过程分析清楚了，需要哪些规律和公式也就明确了．特别是对较为复杂的物理过程，更要在分析过程上下功夫，只有真正把过程分析清楚、分析透彻了，才能保证解题方法正确．9.解析：两天体做圆周运动的角速度 一定相同．二者轨迹圆的圆心为，圆半径分别为和，如图3所示．(1)对两天体，由万有引力定律可分别列出 ① ② 所以因为，，所以． (2)由①得 ③图2 图3由②得④③与④相加化简得：．点拨：解决此类问题的关键有三点：①向心力的大小相等．②两天体的角速度相等．③两天体的轨道半径之和等于两天体的间距．10. 解析：设黑洞的质量为，距银河系中心约60亿千米，绕银河系中心旋转的星体质量为．则有①设光子绕黑洞表面做匀速圆周运动而不离去的半径为，则有：②把代入①②可得．点拨：黑洞是某些星体的最后演变期．本题利用万有引力定律探究了黑洞的大小．从本题的分析过程可以看出，对任何天体运动的研究，始终是以万有引力是天体运动的向心力为基本动力学方程．这是在中学物理范围内探究天体大小、质量的基本方法．。

5.3 万有引力定律与天文学的新发现熟悉的重力G ，显然重力不一定指向地球球心。

其中向心力F 2=mr ω2=mR cos ω2= mR ω2cos2、讨论：向心力、重力随纬度的变化从赤道到两极纬度升高 变大，向心力F 2减小。

根据平行四边 形定则可知重力逐渐增大。

两极上：=π/2，向心力F 2为零，重力G = F 1=2R GMm F =，取最大值。

赤道上：=0，向心力F 2最大，F 2= mR ω2，重力G = F 1=222GMm F F m R R ω-=-而且，只有在赤道或者两极时，重力的方向才与万有引力方向性同指向地心。

另一方面地球的现状并不是一个标准的球体，而是一个椭球体，两极半径小于赤道半径。

这一因素也会使两极的万有引力大于赤道，也会使两极的重力大于赤道。

3、通常情况下，我们常常不考虑这种变化，认为重力近似等于万有引力，这又是为什么？赤道上，物体m 所受向心力最大：262)36002414.32()104.6(⨯⨯⨯⨯⨯==m mR F ω向N=3.3×10-2×m (N) 重力G =mg ，g ≈9.8m/s 2，显然1300F mg =向这就是说，最大的向心力相对重力来说也是非常小的，远小于重力和万有引力，随着纬度的增大，向心力将变得更小。

因此在通常情况下不考虑这种变化。

故认为二者相等。

教师活动：总结归纳、板书记清并理解以下结论：1.在赤道处，所需向心力F 2最大，所以重力F 1最小。

2.在两极处，所需向心力为零，所以重力最大等于万有引力。

3．从赤道到两极，随着纬度的增大，重力也逐渐增大。

4.我们容易看出，只有在赤道和两级重力的方向与万有引力的方向才相同，指向地心，其它情况下均不相同。

这就是我们通常说重力的方向是竖直向下，而不说指向地心的原因。

【案例分析】案例1．已知地球半径约为6.4×106m ，又知月球绕地球的运动可近似看做圆周运动，试可估算出月球到地心的距离 (结果保留一位有效数字)。

教研中心教学指导一、课标要求1.进一步理解万有引力定律.2.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度.4.通过对万有引力定律的应用和联系天文知识的学习，培养学生学习物理的浓厚兴趣.5.体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用.二、教学建议1.万有引力定律在天文学上的一个重要应用就是计算天体的质量.在天文学上，像太阳、地球等无法直接测定的天体的质量，就是根据行星或卫星的轨道半径和周期(可直接测量)间接计算得来的.2.教学中也可提醒学生注意，用测定环绕天体(如卫星)半径和周期的方法测质量，只能测定其中心天体(如地球)的质量，不能测定其自身的质量.3.通过这节的教学应使学生了解，通常物体之间的万有引力很小，以致察觉不出，但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性的作用，万有引力定律的发现对天文学的发展起了很大推动作用.资源参考太阳系两个问题简介一、关于太阳太阳是距地球最近的一颗恒星，它是一颗质量十分巨大的球状炽热气团.由于它有着巨大的体积（是地球的133倍）和质量（是地球的33万倍），所以它的强大引力控制着整个太阳系中所有星体的运动.太阳是太阳系中唯一的本身发光发热的天体，是一个巨大的能源.它每秒辐射的能量达400亿亿亿焦耳（这么多的能量可在一小时内熔解并烧开25亿立方千米的冰）；总辐射功率达3 700万亿亿瓦；它的总光强约为300亿亿亿坎德拉（相当50万个满月月亮的亮度）.太阳的表面温度为6 000 ℃，中心温度达2 000万摄氏度左右（针尖大小的物体有了这样高的温度，就能把周围2 000千米以内的一切东西化为焦灰）；中心压强约为3 000亿大气压.太阳的辐射能大多射向了无边的空间，只有20亿分之一的太阳能落在地球上，如能将这些能量全部转化成电能，每秒会获得500亿度的电力.由于地球大气层的反射，地球表面和空气所吸收的太阳能又只占落在地球上太阳能的55％.太阳的结构分三大部分：中心部分是核反应和辐射区；中间部分为对流层，外部为大气层.大气层又分三部分：一是平常所见的光彩夺目的圆面，即光球层；二是光球层外面的色球层；三是最外面的日冕.太阳的形状、大小就是根据光球层而确定的，它的表面温度指的是光球层的温度.所见的太阳光基本上都是从光球层发出的，太阳黑子也出现在这层大气上.太阳自西向东自转着，但各处的自转周期不等.赤道处快（25天），两极处慢（纬度80度处为34天）；平均周期是27天.太阳的寿命一般认为是100亿年，现在年龄为46亿年.太阳周围有一个较完整的磁场，磁场的两极分别在自转轴北极附近.太阳的磁场并不强，极区附近只有2×10-4特斯拉（太阳黑子的磁场强度可达0.45特斯拉），不过它的磁场范围很大，可延伸到日地之间，甚至布满整个太阳系.太阳的组成物质和地球相仿，只是含量不同.太阳上已发现的元素达70多种，其中最丰富的元素是氦，占82％左右（氦是先在太阳光谱中发现，再在地球上找到的）；其次是氢，占17％左右.二、太阳系的特点太阳系是以太阳为中心的天体，由八大行星和八大行星控制下的42颗卫星、数千个小行星、众多的彗星和数不清的流星、固态粒子、气态分子以及很多的人造天体而构成的天体系统.太阳系的疆域十分辽阔，以冥王星为边界其半径达6亿千米.太阳系绕银河系中心运行速度达250千米/秒，它绕银河系中心运转一周要2亿年.太阳系在太阳的率领下正以20千米/秒的速度向武仙座方向进发.太阳系中天体的运动具有如下的特点：（1）轨道共面性：大行星的轨道面基本上都在一个共同的平面上.（2）轨道共圆性：行星的椭圆轨道偏心率都不大（即椭圆的两个焦点距椭圆中心不远），接近于正圆（水星的偏心率大一点）.大多数的卫星也都绕相应的行星沿接近圆形的轨道运转. （3）自转、公转同向性：大行星的自转、公转方向大多是一致的，且都自西向东运转，自转、公转轴也大致平行（天王星、金星例外）.卫星公转方向大多也和行星自转方向相同（海王星、木星、土星和各自的某些卫星例外）.（4）距离分布规律性：以日地平均距离为单位，行星至太阳的平均距离按离太阳的近远排列，接近一个等比数列，数列公式是0.4＋0.3×2n，n取-∞、0、1、2…….不过天王星例外.行星的卫星系也有类似的特点.各行星的彼此间隔随着它们离太阳的距离而依次增大.（5）“两面”平行或共面性：太阳的赤道面接近平行于行星的轨道面；卫星的轨道面大多也在相应行星的赤道面上.行星的赤道面也都近似平行于各行星的轨道面（天王星例外）. （6）角动量分配不均性：太阳的质量占整个太阳系质量的99.9％，诸行星的质量只是太阳系质量的七百分之一.但是太阳的角动量尚不及太阳系角动量的0.6％，而诸行星的角动量则占太阳系角动量的99％以上.太阳系的角动量大多集中在第一大行星木星和第二大行星土星上.。

5.3 万有引力定律与天文学的新发现1.如下数据,可以算出地球的质量M的是(引力常量G为)( )A.月球绕地球运行的周期T1与月球到地球中心的距离R1B.地球绕太阳运行的周期T2与地球到太阳中心的距离R2C.地球绕太阳运行的速度v3与地球到太阳中心的距离R3D.地球外表的重力加速度g与地球到太阳中心的距离R4解析:根据星球绕中心天体做圆周运动,可以计算中心天体质量,故B、C错误;由=m R得M=,A正确;地球外表的重力加速度和地球半径,由=mg得M=,但D中的R4不是地球的半径,D错误。

答案:A2.据报道,在太阳系外发现了首颗“宜居〞行星,其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球外表重力为600N的人在这个行星外表的重力将变为960 N。

由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为( )A.1∶2B.2∶1C.16∶5D.4∶1解析:设地球的质量为M1、半径为R1,行星的质量为M2、半径为R2。

人的质量为m,在地球和行星上的重力分别为G1、G2。

如此G1=G,G2=G。

两式比拟可得=2。

答案:B3.地球外表的平均重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,如此可估计地球的平均密度为( )A. B.C. D.解析:忽略地球自转的影响,对于处于地球外表的物体,有mg=G如此地球质量M=又因为ρ=,A项正确。

答案:A4.宇航员在月球上将一小石块水平抛出,最后落在月球外表上。

如果月球半径为R、引力常量为G。

要估算月球质量,还需测量出小石块运动的物理量是( )A.抛出的高度h和水平位移xB.抛出的高度h和运动时间tC.水平位移x和运动时间tD.抛出的高度h和抛出点到落地点的距离L解析:由G=mg得M=。

对平抛运动,水平位移x=v0t,竖直位移h=gt2得g=或g=,因此得M=或M=,应当选项B正确。

答案:B5.(多项选择)2011年8月26日消息,英国曼彻斯特大学的天文学家认为,他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星,这颗行星完全由钻石构成。

高中物理 5.2万有引力定律是怎样发现的同步练习 沪科版必修21．关于万有引力，下列说法正确的是( ) A ．万有引力只有在天体之间才能明显表现出来B ．一个苹果由于质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略C ．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力D ．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近解析：选D.自然界中任何两个物体之间都有相互吸引的力的作用，故A 错误；苹果质量虽小，但由于地球质量很大，故引力不可忽略，B 错误；物体间的引力是相互的，由牛顿第三定律知等大，故C 错误．2．关于行星绕太阳运动的正确说法是( ) A ．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B ．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处C ．离太阳越近的行星运动的周期越长D ．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等解析：选D.不同的行星围绕太阳运动的椭圆轨道不同，A 项错；太阳处在所有椭圆的一个焦点上，B 项错；由R 3T2＝k 知，离太阳越近，周期越短，C 项错；正确答案是D.3．人造卫星受到地球的万有引力为F ，且F ＝G Mmr2，下列说法正确的是( )A ．F 的方向指向地心B ．式中r 是卫星到地面的距离C ．由于卫星的质量m 小于地球的质量M ，所以卫星对地球的引力F ′小于FD ．卫星对地球的引力F ′与F 是作用力和反作用力解析：选AD.万有引力的方向应沿两质点的连线，地球的全部质量可以看成集中在地心，所以A 正确．公式中r 应为卫星到地心的距离，所以B 错误．两物体间的万有引力是相互的，互为作用力与反作用力，所以C 错误，D 正确．4．设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g ，则g /g 0为( ) A ．1 B ．1/9 C ．1/4 D ．1/16解析：选D.地球表面处的重力加速度和在离地心高4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有F ＝G Mm r 2＝mg ，故g g 0＝(r 0r )2＝R 24R2＝1/16.5．某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以a ＝12g 的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中支持物的相互挤压力为90 N 时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R 地＝6.4×103 km ，g 取10 m/s 2)解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面高度为h ，这时受到地球的万有引力为F ＝GMm R 地＋h2在地球表面GMmR 2地＝mg ① 在上升至离地面高度为h 时N －GMm R 地＋h2＝ma ②由①②式得R 地＋h 2R 2地＝mgN －ma h ＝( mgN －ma－1)R 地③将m ＝16 kg ，N ＝90 N ，a ＝12g ＝5 m/s 2，R 地＝6.4×103 km 代入③得h ＝1.92×104km.答案：1.92×104km一、选择题1．关于开普勒第三定律的公式a 3T2＝k ，下列说法中正确的是( )A ．公式只适用于绕太阳做椭圆轨道运行的行星B ．公式适用于所有围绕星球运行的行星(或卫星)C ．式中的k 值，对所有行星(或卫星)都相等D ．式中的k 值，对围绕不同星球运行的行星(或卫星)都相同解析：选B.开普勒运动定律不仅适用于椭圆运动，也适用于圆周运动，不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．式中的k 是与中心星体的质量有关的． 2．关于引力常量，下列说法正确的是( )A ．引力常量是两个质量为1 kg 的物体相距1 m 时的相互吸引力B ．牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值C ．引力常量的测定，证明了万有引力的存在D ．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量解析：选CD.引力常量的大小等于两个质量是1 kg 的物体相距1 m 时的万有引力的数值，而引力常量不能等于物体间的吸引力，选项A 错误；牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量，引力常量是卡文迪许巧妙地利用扭秤装置在实验室中第一次比较精确地测出的，所以选项B 错误；引力常量的测出，不仅证明了万有引力的存在，而且也使人们可以测出天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在．3．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( ) A ．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力 B ．只有能看成质点的两物体间的引力才能用F ＝G m 1m 2r 2计算 C ．由F ＝Gm 1m 2r 2知，两物体间距离r 减小时，它们之间的引力增大 D ．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11N·m/kg 2解析：选C.任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A 错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F ＝Gm 1m 2r 2来计算，B 错；物体间的万有引力与它们距离r 的二次方成反比，故r 减小，它们间的引力增大，C 对；引力常量G 是由卡文迪许精确测出的，D 错． 4．设想把质量为m 的物体放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R (把地球看成质量分布均匀的球体)，则物体与地球间的万有引力是( ) A ．G Mm R2B ．无穷大C ．零D ．无法确定解析：选C.设地球的质量是均匀分布的，将地球看成是由无数质点组成的，各质点对放在地球中心的物体都有万有引力作用，由对称性可知，放在地球中心的物体受到的地球各质点的万有引力的合力为零，正确选项为C.5．两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F ，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )A ．2FB ．4FC ．8FD ．16F解析：选D.小铁球之间的万有引力F ＝GMm2r 2＝G m 24r2大铁球半径是小铁球半径的2倍，其质量分别为小铁球m ＝ρV ＝ρ·(43πr 3)大铁球M ＝ρV ′＝ρ[43π(2r )3]＝8ρ·43πr 3＝8m故两个大铁球间的万有引力F ′＝G MM 2R 2＝G 8m 242r 2＝16G m 24r2＝16F .6．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球轨道半径的13，则此卫星运行的周期大约是( ) A ．1天～4天 B ．4天～8天 C ．8天～16天 D ．大于16天解析：选B.设月球绕地球运动的轨道半径为r 月，周期T 月＝27天；人造卫星绕地球运动的轨道半径为r 卫，周期为T 卫． 根据开普勒第三定律得r 3月T 2月＝k 1，r 3卫T 2卫＝k 2. 因为都绕地球运动，所以k 1＝k 2，即r 3月T 2月＝r 3卫T 2卫.所以T 卫＝T 月r 3卫r 3月＝27133天＝5.2天，故B 正确．7．1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R ＝6400 km ，地球表面重力加速度为g ，这个小行星表面的重力加速度为( )A ．400g B.1400gC ．20g D.120g解析：选B.星球表面上mg ＝G Mm R 2，星球质量M ＝43πR 3·ρ，所以g ＝43ρG πR .g g ′＝R R ′，所以g ′＝1400g .8．某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时的速率为( )A ．v b ＝b a v aB ．v b ＝ a b v aC ．v b ＝abv aD ．v b ＝b av a 解析：选C.如图所示，A 、B 分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律知，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过面积相等，取足够短的时间Δt ，则有：12v a ·Δt ·a ＝12v b ·Δt ·b ，所以v b ＝a bv a .9．如果人造地球卫星受到地球的引力为其在地球表面时的一半，则人造地球卫星距地面的高度是( )A ．等于地球的半径R B. 2 RC ．(2－1)RD ．(2＋1)R解析：选C.设地球半径为R ，卫星离地面的高度为h ，则卫星在地面和高空受到的引力分别为F 1＝G Mm R 2，F 2＝G Mm R ＋h 2由题设G Mm R 2＝2G MmR ＋h 2所以，h ＝(2－1)R .二、非选择题10．(2011年高考海南卷)2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星．建成以后北斗导航系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS 导航系统的依赖．GPS 由运行周期为12小时的卫星群组成．设北斗导航系统的同步卫星和GPS 导航卫星的轨道半径分别为R 1和R 2，向心加速度分别为a 1和a 2，则R 1∶R 2＝________，a 1∶a 2＝________.(可用根式表示)解析：同步卫星的运行周期T 1＝24小时，GPS 导航卫星的运行周期T 2＝12小时，由开普勒第三定律T 21R 31＝T 22R 32可得R 1∶R 2＝3T 21/T 22＝34，再由a ＝R ×(2πT )2可得a 1∶a 2＝R 1T 22R 2T 21＝1232 .答案：34123211．冥王星离太阳的距离是地球离太阳距离的39.5倍，那么冥王星绕太阳公转的周期是多少？(冥王星和地球绕太阳公转的轨道可视为圆形轨道)解析：设冥王星的公转周期为T 1，轨道半径为R 1，地球的公转周期为T 2，轨道半径为R 2，根据开普勒第三定律列关系式为：T 12T 22＝R 13R 23，则T 12＝R 13R 23T 22，求解得到结论：T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 1R 2 T 2， 所以T 1＝(39.5)×1年＝248.25年．答案：248.25年12．地球表面的重力加速度g 0＝9.8 m/s 2，忽略地球自转的影响，在距离地面高度为h ＝1.0×103 m 的空中重力加速度g 与g 0的差值是多大？取地球半径R ＝6.37×106m. 解析：不计地球自转的影响，物体的重力等于物体受到的地球的引力，有：mg ＝GMm R ＋h2，mg 0＝G Mm R23232两式相比得g g 0＝(R R ＋h )2＝(6.37×1066.371×106)2＝0.99969Δg ＝g 0－g ＝3.04×10－3 m/s 2.答案：3.04×10－3 m/s 2。

5.3　万有引力定律与天文学的新发现课后篇巩固探究学业水平引导1.科学家们推测,太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上,从地球上看,它永远在太阳的背面,人类一直未能发现它,可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。

由以上信息可以确定( )A.这颗行星的公转周期与地球相等B.这颗行星的半径等于地球的半径C.这颗行星的密度等于地球的密度D.这颗行星上同样存在着生命解析:因只知道这颗行星的轨道半径,所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等,由G =m 可知,行Mm r 2v 2r 星的质量在方程两边可以消去,因此无法知道其密度,A 项正确。

答案:A2.宇航员王亚平在天宫1号飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物理现象。

若飞船质量为m ,距地面高度为h ,地球质量为M ,半径为R ,引力常量为G ,则飞船所在处的重力加速度大小为( )A.0B.C.D.GM (R +ℎ)2GMm (R +ℎ)2GM ℎ2解析:飞船受的万有引力等于在该处所受的重力,即G =mg ,得g=,选项B 正确。

Mm (R +ℎ)2GM (R +ℎ)2答案:B3.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,设其周期为T ,引力常量为G ,那么该行星的平均密度为( )A. B. C. D.GT 23π3πGT2GT 24π4πGT 2解析:设飞船的质量为m ,它做圆周运动的半径为行星半径R ,则G =m ()2R ,所以行星的质量为M=,行MmR 22πT 4π2R 3GT 2星的平均密度ρ=,B 项正确。

M 43πR 3=4π2R 3GT 243πR 3=3πGT 2答案:B4.据报道,嫦娥一号和嫦娥二号绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km,运行速度分别为v 1和v 2,那么,v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( )A. B. C. D.1918191818191819解析:由G =m ,得v=,则,故选项C 正确。

5.3 万有引力定律与天文学的发现【学业达标训练】1.下列说法正确的是（）A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的B.天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星【解析】选D.由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星.由此可知，A、B、C错误，D正确.2.关于万有引力定律的应用，下列说法正确的是( )A.可以预言未知天体的轨道和位置B.可以计算天体的运行周期C.能够计算天体的质量D.在天体的运行中，万有引力提供向心力【解析】选A、B、C、D.发现万有引力定律之后，天文学家根据万有引力定律通过计算预言了海王星的轨道和位置，计算出了彗星的周期和天体的质量，在天体的运行中向心力是由万有引力提供的.故A、B、C、D均正确.3.宇宙飞船进入一个围绕太阳的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（）A.3年B.9年C.27年D.81年【解析】5.把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )A.火星和地球的质量之比B.火星和太阳的质量之比C.火星和地球到太阳的距离之比D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比【素能综合检测】一、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分，每小题至少一个选项正确）1.已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M（引力常量G为已知）（）A.月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1B.地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2C.地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3D.地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R42.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,由此估算该行星的平均密度约为（）A.1.8×103 kg/m3B.5.6×103 kg/m3C.1.1×104 kg/m3D.2.9×104 kg/m35.2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（）A．甲的运行周期一定比乙的长B．甲距地面的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比乙的小D．甲的加速度一定比乙的大二、非选择题（本题包括3小题，共30分.要有必要的文字叙述）6.（思维拓展题）(8分)假设地球自转速度达到使赤道上的物体能“飘”起来（完全失重）.试估算一下，此时地球上的一天等于多少小时？（地球半径取6.4×106 m，g取10 m/s2）【解析】7.（11分）“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342 km的圆形轨道.已知地球半径R=6.37×103 km，地面处的重力加速度g=10 m/s2.试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期的数值（保留一位小数）.［探究·创新］8.（11分）一宇宙飞船靠近某行星时，绕行星表面做匀速圆周运动，随后在行星上着陆，为了测定该行星的质量，宇航员带有简单仪器：秒表、天平、弹簧测力计、水银气压计、质量为m的钩码.（1）请为他设计一个可行性的测量方案，简述步骤；（2）导出行星质量表达式，引力常量G可作为已知.。

课手集训基础达标1.下面的说法中正确的是（ ）A ．海王星是人们根据万有引力定律计算出轨道而发现的B ．天王星是人们根据万有引力定律计算出轨道而发现的C ．天王星的运动轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D ．冥王星是人们根据万有引力定律计算出轨道而发现的 解析：天王星是通过天文观测观察到的，而海王星和冥王星是根据万有引力定律计算出轨道而发现的． 答案：ACD2.一航天飞机绕地球做匀速圆周运动，在航天飞机内一机械手将物体相对航天飞机无初速地释放于机外，则此物体将（ ） A ．做自由落体运动 B ．做平抛运动C ．绕地球做匀速运动D ．与航天飞机相对距离保持不变解析：物体抛出时相对地球的速度没有变，万有引力提供向心力，所以轨道半径没有变，它将在原来的轨道上做匀速圆周运动，且与航天飞机的相对距离保持不变． 答案：D3.假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ） A ．根据公式v ＝ωr ，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 B ．根据公式F ＝mv 2/r ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的21 C ．根据公式F ＝GMm ／r 2，可知地球提供的向心力将减小到原来的41 D ．根据上述B 和C 中给出的公式，可知卫星运动的线速度减小到原来的22 解析：万有引力提供向心力，F=rv r Mm 22=，因此当半径增大到原来的2倍时，向心力将减小为原来的41，线速度v=rGM 将减小到原来的22． 答案：CD4.两个球形行星A 和B 各有一卫星a 和b ，卫星的圆轨道接近各行星的表面．如果两行星质量之比为M A ／M B ＝p ，两行星半径之比R A ／R B ＝q ，则两卫星周期之比T A ／T B 为（ ） A.p q / B.p q C.q p p / D.pq解析：由G r T m r GM 22)2(π=，所以T=GMr 324π，可得Bb A a b a M r M r T T 33=，因为卫星的圆轨道接近各行星的表面，所以r a =R a ,r b =R b ，联立得p q q T T ba/=． 答案：A5.已知下面的哪些数据，可以计算出地球的质量M （G 已知）（ ） A ．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳中心的距离 B ．月球绕地球运行的周期及月球到地球中心的距离 C ．人造地球卫星在地面附近绕行时的速度和运动周期 D ．地球同步卫星离地面的高度解析：由M=2324GT r π可知，A 选项只能求出太阳的质量，D 选项还需要知道地球的半径．答案：BC6.某星球质量为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，在该星球表面从某一高度以10 m/s 的初速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要的时间为（g 地取10 m/s 2）（ ） A ．1 s B ．91s C ．181s D ．361s 解析：由G2RMm=mg ，得 g=22236)2(9地地地地R GM R M G l R GM =⨯==36g 地，物体从抛出到落回原地需要的时间为t=1813620=地g v ．答案：C7.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动．仅考虑地球和月球质量变化的影响，则与开采前相比（ ）A ．地球与月球间的万有引力将变大B ．地球与月球间的万有引力将变小C ．月球绕地球运动的周期将变长D ．月球绕地球运动的周期将变短 解析：F=G2r Mm，月球开采后，m 将减小，M 将增大，原来M ＞m ，根据数学知识可得，Mm 的乘积将减小，所以万有引力将减小．再由G 2r Mm =m 224T πr ，得T=GMr 324π，因M增大，所以周期逐渐变短．答案：BD 综合运用8.2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG63015，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞．假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量 …（ ） A ．地球绕太阳公转的周期和速度 B ．太阳的质量和运行速度C ．太阳质量和到MCG6-30-15的距离D ．太阳运行速度和到MCG6-30-15的距离解析：由M=2224GTr π可知，D 选项是正确的． 答案：D9.两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O 为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m 1、m 2，如图5-3-2所示．以下说法正确的是（ ）图5-3-2A ．它们的角速度相同B ．线速度与质量成反比C ．向心力与质量的乘积成正比D ．轨道半径与质量成反比解析：因为它们绕同一点转动，所以角速度相同．由m 1ω12r 1=m 2ω22r 2，所以轨道半径与质量成反比1221m m r r =．再根据2222121v vm v v =，得12211221m m r r m m v v =⨯=． 答案：ABD10.为了实现登月计划，先要测算地月之间的距离．已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，在地面附近物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，又知月球绕地球运动的周期为T ，万有引力常量为G .则： （1）地球的质量为多少?（2）地月之间的距离约为多少?解析：（1）由mg R G =2Mm ，得GgR M 2=.（2）由r T m r Mm G 2224π=，得3224πGMT r =，再根据GM=gR 2，得32224πT gR r =． 答案：（1）G gR M 2= (2)32224πgR T r =11.为了研究太阳的演化过程，需知道目前太阳的质量M ，已知地球半径为6.4×106 m ，地球的质量为M ＝6×1024kg ，日地中心的距离r ＝1.5×1011 m ，地球表面处的重力加速度为g ＝10 m/s 2，1年约为3.2×107 s ，试估算目前太阳的质量M.（保留一位有效数字，引力常量未知） 解析：设太阳质量为M太，地球质量为M地，由r T M r M M G2224π地地太=，所以M 太=2224GT r π．在地面上由m g R m M G =2地，所以地M gR G 2=．联立得M 太=2×1030 kg ． 答案：2×1030 kg 拓展探究12.已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地心做圆周运动，由h T m h ＭmG ===222)2(π得22224GT h M π=. （1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由.如不正确，请给出正确的解法和结果.（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果. 答案：(1)上面结果是错误的，地球的半径R 在计算过程中不能忽略. 正确的解法和结果是：)()2()(222h R T m h R Mm G+=+π得2232)(4GT h R M +=π.（2）方法一：对月球绕地球做圆周运动，由G r T m r Mm GM 212)2(π==得21224GT r M π=. 方法二：在地面重力近似等于万有引力，由mg R Mm=2得GgR M 2=.。

万有引力定律与天文学的新发现同步练习（沪科版必修2）1．下列说法正确的是A．海王星和冥王星是人们依据实验观察而直接发现的B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C．天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D．以上说法均不正确解析：选C海王星的发现是因为在1781年发现的天王星的运行轨道，总是与万有引力定律计算出来的有一定的偏离，经过计算、预测、观察发现了海王星，冥王星的发现是基于同样的原理．所以天王星的轨道偏离是因为受其他行星引力的作用，C正确．2．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有A．月球的质量B．地球的质量C．地球的半径D．月球绕地球运行速度的大小解析：＝m错误!R有：M＝错误!故可计算地球的质量．又v＝错误!，所以还可估算月球绕地球运行速度的大小．3．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为T A∶T B＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为A．R A∶R B＝4∶1，v A∶v B＝1∶2B．R A∶R B＝4∶1，v A∶v B＝2∶1C．R A∶R B＝1∶4，v A∶v B＝1∶2D．R A∶R B＝1∶4，v A∶v B＝2∶1解析：选＝m错误!·R∴R∝错误!又∵T A∶T B＝1∶8，R A∶R B＝1∶4 v＝错误!∴v A∶v B＝2∶14．2022年高考江苏卷一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，，则A．恒星的质量为错误!B．行星的质量为错误!C．行星运动的轨道半径为错误!D．行星运动的加速度为错误!解析：选ACD行星绕恒星转一圈，运行的距离等于圆的周长，即2πr＝vT得r＝错误!，故C正确；a＝rω2＝r错误!＝错误!，故D正确；由G错误!＝mr错误!得M＝错误!，故A正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件求不出来，故B错误．5．某行星的自转周期为T＝6 h，用弹簧秤在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧秤在赤道上的读数比在两极上的读数小10%行星视为球体．1该行星的平均密度是多大2设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，这时的自转周期是多少解析：1在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，即G错误!＝mg；在赤道上，万有引力产生了两个作用效果，一是让物体随行星一起自转，需要自转向心力，二是让物体来挤压地面，产生重力．即在赤道上，我们把物体所受到的万有引力分解为自转向心力和重力G错误!＝mg′＋m错误!R所以mg－mg′＝×G错误!＝m错误!R该行星的质量为M＝错误!密度为ρ＝错误!＝错误!＝×103 g/m32对物体原来有：＝m错误!R＝ma向物体“飘”起来时有：G错误!＝ma向′＝m错误!R由上面两式联立得T1＝错误!T＝错误!×6 h＝ h答案：1×103 g/m32 h一、选择题1．发现海王星的天文学家是A．哈雷、吉尔伯特B．开普勒、哥白尼C．勒维烈、亚当斯D．牛顿、第谷解析：选C海王星是勒维烈与亚当斯根据万有引力定律，通过计算各自独立地发现的，故C 正确．2．关于万有引力定律的应用，下列说法正确的是A．可以预言未知天体的轨道和位置B．可以计算天体的运行周期C．能够计算环绕天体的质量D．在天体的运行中，万有引力提供向心力解析：选ABD发现万有引力定律之后，天文学家根据万有引力定律通过计算预言了海王星的轨道和位置，计算出了彗星的周期和中心天体的质量而不能计算环绕天体的质量．故C错误．在天体的运行中向心力是由万有引力提供的，故A、B、D均正确．3．要计算地球的质量，除已知的一些常数外还须知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有哪些A．地球半径RB．卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度vC．卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期TD．地球公转的周期T′及运转半径r′解析：，地球的质量为M，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得G错误!＝mg，解得M＝错误!所以选项A正确．设卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得错误!＝m·错误!，即M＝错误!所以选项B正确．再根据T＝错误!，得M＝错误!＝错误!＝错误!所以选项C正确．若已知地球公转的周期T′及运转半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D错误．4．2022年高考福建卷“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球可视为密度均匀的球体，半径为R的球体体积公式V＝错误!πR3，则可估算月球的A．密度B．质量C．半径D．自转周期解析：选A因“嫦娥二号”在月球表面附近的圆轨道上运行，所以其轨道半径即为月球半径．根据万有引力提供向心力可知错误!＝m错误!·R，化简得M＝错误!，又V＝错误!πR3，联立消去R3可得ρ＝错误!＝错误!，故A正确．5．2022年高考四川卷据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancrie”，该行星绕母星中心天体运行的周期约为地球绕太阳运行周期的错误!，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的A．轨道半径之比约为错误!B．轨道半径之比约为错误!C．向心加速度之比约为错误!D．向心加速度之比约为错误!解析：＝m错误!2·r和M＝ρV，得出r∝错误!，计算知B正确；由向心加速度a＝错误!2·r，再结合r∝错误!，得a∝错误!，计算知C、D错误．6．科学家们推测，太阳系还有一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定A．这颗行星的公转周期与地球相等B．这颗行星的半径等于地球的半径C．这颗行星的密度等于地球的密度D．这颗行星上同样存在着生命解析：选A因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由G错误!＝m错误!可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．7．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面设月球半径为R．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为解析：选B飞船在月球表面飞行时，由重力充当向心力，mg＝m错误!，v＝错误!，又因为h＝错误!gt2，g＝2h/t2，所以v＝错误!/t，B正确．8．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为解析：，它做圆周运动的半径为行星半径R，则G错误!＝m错误!2R，所以行星的质量M＝错误!，行星的平均密度ρ＝错误!＝错误!＝错误!，B项正确．9．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的尘埃、岩石，类似于卫星，它们与土星中心的距离从×104 m延伸到×105 m已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为×10－11N·m2/g2，则土星的质量约为估算时不考虑环中颗粒间的相互作用A．×1016 g B．×1017 gC．×1025 g D．×1026 g解析：选D对外缘的颗粒，由万有引力提供向心力，得G错误!＝m错误!2r，所以M＝错误!将r＝×105 m，T＝14 h代入即可得D正确．二、非选择题10．有两颗人造卫星，都绕地球做匀速圆周运行，已知它们的轨道半径之比r1∶r2＝4∶1，求这颗卫星的：1线速度之比；2角速度之比；3周期之比；4向心加速度之比．解析：1由G错误!＝m错误!得v＝错误!所以v1∶v2＝1∶22由G错误!＝mω2r得ω＝错误!所以ω1∶ω2＝1∶83由T＝错误!得T1∶T2＝8∶14由G错误!＝ma得a1∶a2＝1∶16答案：11∶2 21∶8 38∶1 41∶1611．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两行星中心距离为R，其周期为T求两行星的总质量．解析：由万有引力定律得：G错误!＝m1ω2R1所以错误!＝ω2R1，即m2＝错误!同理：G错误!＝m2ω2R2，所以m1＝错误!，即m1＋m2＝错误!又因为R1＋R2＝R，所以m1＋m2＝错误!，而ω＝错误!解得：m1＋m2＝错误!答案：m1＋m2＝错误!12．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两颗岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为r A＝×104m和r B＝×105m忽略所有岩石颗粒间的相互作用．结果可用根式表示1求岩石颗粒A和B的线速度之比．2求岩石颗粒A和B的周期之比．3土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它在距土星中心×105 m处受到土星的引力为 N．已知地球半径为×103 m，请估算土星质量是地球质量的多少倍．解析：1设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律：错误!＝错误!解得v＝错误!，对于A、B两颗粒分别有v A＝错误!和v B＝错误!，解得错误!＝错误!2设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，则T＝错误!对于A、B两颗粒分别有T A＝错误!和T B＝错误!，解得错误!＝错误!3设地球质量为M，地球半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0′＝×105 m处的万有引力为G0′，根据万有引力定律G0＝错误!，G0′＝错误!解得错误!＝95答案：1错误!2错误!395。

5.3 万有引力定律与天文学的新发现题组一天体质量和密度的计算1．地球表面的平均重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,可估算地球的平均密度为<> A.错误! B.错误!C.错误!D.错误!答案 A解析忽略地球自转的影响,对处于地球表面的物体,有mg＝G错误!,又地球质量M＝ρV＝错误!πR3ρ,代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝错误!.2．火星直径约为地球直径的一半,质量约为地球质量的十分之一,它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据,下列说法中正确的是<>A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B．火星公转的周期比地球的长C．火星公转的线速度比地球的大D．火星公转的向心加速度比地球的大答案AB解析由G错误!＝mg得g＝G错误!,计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的错误!,A 正确；由G错误!＝m<错误!>2r得T＝2π 错误!,公转轨道半径大的周期长,B正确；周期长的线速度小<或由v＝错误!判断轨道半径大的线速度小>,C错误；公转向心加速度a＝G 错误!,轨道半径大的向心加速度小,D错误．故选A、B.3．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G,则这颗行星的质量为<>A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案 B解析设卫星的质量为m′由万有引力提供向心力,得G错误!＝m′错误!①m′错误!＝m′g ②由已知条件：m的重力为N得N＝mg ③由③得g＝错误!,代入②得：R＝错误!代入①得M＝错误!,故A、C、D三项均错误,B项正确．题组二天体运动的分析与计算4．科学家们推测,太阳系除八大行星之外的另一颗行星就在地球的轨道上,从地球上看,它永远在太阳的背面,人类一直未能发现它,可以说是"隐居"着的地球的"孪生兄弟"．由以上信息可以确定<>A．这颗行星的公转周期与地球相等B．这颗行星的半径等于地球的半径C．这颗行星的密度等于地球的密度D．这颗行星的质量答案 A解析因为只知道这颗行星的轨道半径,所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由G错误!＝m错误!可知,行星的质量在方程两边可以消去,因此无法知道其质量及密度．5．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动,则离太阳越远的行星<>A．周期越小B．线速度越小C．角速度越小D．加速度越小答案BCD解析行星绕太阳做匀速圆周运动,所需的向心力由太阳对行星的引力提供,由G错误!＝m 错误!得v＝错误!,可知r越大,线速度越小,B正确．由G错误!＝mω2r得ω＝错误!,可知r越大,角速度越小,C正确．又由T＝错误!知,ω越小,周期T越大,A错误．由G错误!＝ma得a ＝错误!,可知r越大,a越小,D正确．6．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R,月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r,则太阳质量与地球质量之比错误!为<>A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案 A解析无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转,统一表示为错误!＝m错误!r,即M∝错误!,所以错误!＝错误!,选项A正确．7．土星外层有一个环,为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群,可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系,则下列判断正确的是<>A．若v2∝R则该层是土星的卫星群B．若v∝R则该层是土星的一部分C．若v∝错误!则该层是土星的一部分D．若v2∝错误!则该层是土星的卫星群答案BD解析若外层的环为土星的一部分,则它们各部分转动的角速度ω相等,由v＝ωR知v∝R,A 错误,B正确；若是土星的卫星群,则由错误!＝m错误!,得v2∝错误!,故C错误,D正确．题组三万有引力和重力的关系8．设地球表面重力加速度为g0,物体在距离地心4R<R是地球的半径>处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则错误!为<>A．1 B.错误! C.错误! D.错误!答案 D解析地球表面上的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生,忽略自转所以有在地面上,G错误!＝mg0,①离地心4R处,G错误!＝mg,②由①②两式得错误!＝错误!2＝错误!.9．一物体在地球表面重16 N,地面上重力加速度为10 m/s2.它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N,则此火箭离地球表面的距离为地球半径的<忽略地球自转><>A．2倍B．3倍C．4倍D．一半答案 B解析设此时火箭上升到离地球表面高度为h处,火箭上物体的视重等于物体受到的支持力N,物体受到的重力为mg′,g′是h高处的重力加速度,由牛顿第二定律得N－mg′＝ma ①其中m＝错误!,代入①式得mg′＝N－错误!a＝错误!N＝1 N在距离地面为h处,物体的重力为1 N,忽略自转,物体的重力等于万有引力．在地球表面：mg＝G错误!②在距地面h高处,mg′＝G错误!③②与③相除可得错误!＝错误!,所以R地＋h＝错误!R地＝错误!R地＝4R地所以h＝3R地,故选B.10．火星半径约为地球半径的一半,火星质量约为地球质量的错误!.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50 kg.求：<1>在火星上宇航员所受的重力为多少？<2>宇航员在地球上可跳1.5 m高,他以相同初速度在火星上可跳多高？<取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2>答案<1>222.2 N<2>3.375 m解析<1>由mg＝G错误!,得g＝错误!.在地球上有g＝错误!,在火星上有g′＝错误!,所以g′＝错误!m/s2,则宇航员在火星上所受的重力mg′＝50×错误!N≈222.2 N.<2>在地球上,宇航员跳起的高度为h＝错误!即1.5 m＝错误!在火星上,宇航员跳起的高度h′＝错误!＝错误!, 联立解得h′＝3.375 m．。