力学中的泛函分析和变分原理第十二讲

泛函分析在力学和工程中的应用陆章基（复旦大学应用力学系）摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。

并介绍当前非线性分析中部分动态。

$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。

所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。

其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。

根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。

力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。

对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。

从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。

同时带有拓扑和代数结构。

所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。

有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。

这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。

由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。

泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。

线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。

但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。

每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。

线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。

就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。

于是，具有这两个空间中所有概念。

例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。

即任何柯西序列是否为收敛序列。

（iv）Banach空间。

它是完备的线性赋范空间。

完备性使该空间具有十分良好的性质。

例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。

（v）内积空间。

内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。

内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。

《泛函分析》课程教学大纲课程编码：171210140课程性质：专业方向限选课程适用专业：统计学专业所需先修课数学分析高等代数实变函数论学时学分：32学时1.5学分编写单位：数学与信息科学系一、课程说明1、课程简介：泛函分析课程是数学与应用数学专业的专业课程，是数学分析的后续课程，是近代数学中的一个重要分支，在古典分析、线性代数、线性微分方程、积分方程、变分学、逼近论等的开展基础上逐渐形成。

其内容已渗透到逼近论、偏微分方程、概率论、最优化理论等各方面.近年来，在工程技术上更是获得了广泛而有效的应用.它的开展受到了数学物理方程和量子力学的推动，后来又整理、概括了经典分析和函数论的许多成果，因此学习泛函分析时需要学生掌握分析、代数、概率论、拓扑学等基本知识，是数理方程、稳定性理论等后续课程的必要基础课程.2、教学目的要求：通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握度量空间，赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为学习数学的其它专业课打下扎实的理论基础.3、教学重点难点教学重点：离散度量空间、序列空间、有界空间、可测函数空间的性质、度量空间中极限、稠密集、可分空间的概念、用极限的形式和集合对应关系给出两个重要定理、空间的结构理论，度量收敛；完备度量空间的定义、压缩映照原理及其应用、对向量组的线性相关、线性无关定义的理解和判定向量组的线性相关性、三个定理的内容；有界线性算子与连续线性泛函，算子的范数，经典空间，l p的共地空间、内积空间，施瓦茨不等式，直交投影，希尔伯特空间中的规范正交系，贝塞尔不等式，帕塞瓦尔不等式，同构映射，连续线性泛函，自共朝，本章难点柯西积分定理的证明、刘维尔定理的应用.本章内容第一节复积分的概念及其简单性质1.1复变函数积分的定义1.2复变函数积分的计算问题1.3复变函数积分的基本性质第二节柯西积分定理2.1不定积分2.2柯西积分定理的推广2.3柯西积分定理推广到复围线的情形第三节柯西积分公式及其推论3.1柯西积分公式3.1解析函数的无穷可微性3.2柯西不等式与刘维尔定理3.3摩勒拉定理第四章解析函数的幕级数表示法（8学时）教学目标1、使学生掌握复级数的基本概念及其相关性质，能够深刻认识理解复级数与实级数在概念、性质、定理上的区别与联系；2、使学生理解并掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理.本章重点.1、理解并掌握复级数的基本性质；2、理解并掌握幕级数敛散性的判别，收敛域的求法以及和函数的求法；3、能够熟练掌握并运用直接展法和间接展法，将某些解析函数展成泰勒级数,牢记sin z,cosz,—匚,一匚的展式，并注意展式的可展范围; 1-Z 1 + Z4、深刻理解解析函数零点的孤立性、唯一性定理及最大模定理，并能够综合运用证明有关数学问题.本章难点事级数的和函数在其收敛圆周上的状况、解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理.本章内容第一节复级数的基本性质1.1复数项级数1.2一致收敛的复函数项级数1.3解析函数项级数第二节累级数1.1塞级数的敛散性1.2收敛半径的求法、柯西一阿达玛公式1.3基级数的解析性第三节解析函数的泰勒展式3.1泰勒定理3.2累级数的和函数在其收敛圆周上的状况3.3 一些初等函数的泰勒展式第四节解析函数零点的孤立性、唯一性定理4.1解析函数零点的孤立性4.3最大模原理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点（6学时）教学目标使学生理解并掌握解析函数的罗朗展式的概念与展法，并注意与泰勒级数进行相关性质的比拟.深刻理解并牢固掌握可去奇点、极点、本性奇点的概念及等价定义.为下一章残数理论的学习打下坚实的基础.本章重点1、理解并掌握解析函数的罗朗展式以及罗朗级数与泰勒级数的关系.熟练掌握解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式的基本方法与技巧；5.理解并深刻认识孤立奇点的三种类型及分类方法，熟练掌握可去奇点、极点、本性奇点的概念及等价定义；6.了解解析函数在无穷远点处的性质.本章难点解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式的基本方法与技巧.本章内容第一节解析函数的罗朗展式1.1双边塞级数1.2解析函数的罗朗展式1.3罗朗级数与泰勒级数的关系1.4解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式第二节解析函数的孤立奇点2.1孤立奇点的三种类型2.2可去奇点2.3极点2.4本质奇点第六章留数理论及其应用（6学时）教学目标1、使学生理解并掌握留数的定义及留数定理，会利用留数定理求解复积分与实积分，并知晓其内在联系与区别.深刻理解留数定理与柯西积分定理、柯西积分公式之间的关系；2、理解并掌握辐角原理、儒歇定理，会判定复方程根的个数及存在范围. 本章重点1、理解并掌握留数的定义及留数的求法；2、深刻理解并熟练掌握留数定理并能够灵活运用留数定理求解复积分3、了解用留数定理计算实积分的理论及基本方法；4、深刻理解并熟练掌握辐角原理、儒歇定理，会判定复方程根的个数及存在范围.本章难点留数定理与柯西积分定理、柯西积分公式之间的关系.本章内容第一节留数1.1留数的定义及留数定理1.2留数的求法1.3函数在无穷远点的留数1.4用留数定理计算实积分简介第二节辐角原理及其应用2.1对数留数2.2辐角原理2.3儒歇定理三、使用教材及参考书指定教材：钟玉泉编，复变函数论（第三版），高等教育出版社,2001年.参考书：[1]张锦豪、邱维元编，复变函数论，高等教育出版社,2001年.[2]钟玉泉编,复变函数学习指导书,高等教育出版社，1996年.[3]刚家泰，谭欣欣编,复变函数全程学习指导与解题能力训练,大连理工大学出版社,2001年.共辗算子，巴拿赫空间，汉恩一巴拿赫定理，一致有界性定理，逆算子定理，闭图像定理.教学难点：连续映射、空间完备性的证明、压缩映照原理及其应用、对向量组的线性相关、线性无关定义的理解和掌握一些判定定理、Holder不等式和Minkowski不等式的内容；有界线性算子与连续线性泛函；经典空间广〃的共辗空间，各种收敛性之间的各种联系，投影定理，斯捷克洛夫定理，汉恩一巴拿赫定理，一致有界性定理，逆算子定理，闭图像定理.5、教学手段及教学方法建议主要以教师讲授为主，适当的时候可以应用多媒体辅助教学.4、考核方式1）考核形式：考查2）开卷笔试3）期末总评成绩评定方法考试：试卷总分值100分，其中平时作业、期中考试及考勤占总评成绩的40%, 期末考查成绩占总评成绩的60%.5、学时分配表本课程的教学包括如下环节：课堂讲授，主要以教师讲授为主，要求学生课下预习；辅导或习题课，师生互动，边讲边练，解决学生学习过程中出现的一些问题；课外作业，通过对作业的批改，使学生加深巩固对所学内容的理解与掌握。

变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。

概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。

本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。

2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。

对这一能量特征举几个简例。

例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。

弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。

用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。

现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。

系统势能p ∏是位移∆的二次式。

由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。

显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。

换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。

根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。

例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。

根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。

式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。

为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。

变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。

因此泛函也称为函数的函数。

变分法的基本问题是求解泛函的极值。

对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。

弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。

因此，应变能就是泛函。

在数学分析中，讨论函数和函数的极值。

变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。

下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。

如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。

§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。

泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。

因此泛函也称为函数的函数。

变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。

考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。

（补充图）设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。

于是，这一曲线的长度为连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。

满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。

根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。

求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。

因此y（x）称为容许函数。

上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。

§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。

变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。

函数在某一点有极值的必要条件是但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题 就是函数的函数，详细见后面)。

例1.1 一个简单的变分问题：最短线问题图1.1最短线问题假设经过A, B 两点距离最短的曲线方程为(X 。

) (X 1) 0显然y y(x) (X)依旧是过固定两点 A, B 的连续曲线，其对应的长度为L( )",r~(7~~~ dxx当 0,y y(x)时 L(dL() d把(,展开后有y''3.1 y'2第1章泛函和变分1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题 y f (X i ,X 2,..., X n ),其在区域R n 内任何一点 :一个足够光滑的连续函数(X i , X 2,..., X n )T 都可以作以下的Taylor 展开 f(x X) f(x)f(X )x T f(x) 4 T f x T Df(x) x o(|| x T |2)X2Xny y(x)另有一任意的连续可导函数(X ) ,(X )满足两端固定的边界条件dL()dX1 (V' .1 (y'x%dx|X i-―dx,1 y'_y' |x i1 y'2 X 0X ixy' 1 y'2dxX i X 0y'' .1 y'2y'y'y''dxylX0 ,ry'23dx 由于(对于任意的(x)都成立，根据变分引理(见，我们可以得到一泛函的极值问题(泛函简单地讲, )取到极小值，也就是说意味着y Gx C 2(因此，在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。

下面我们来看几类比较典型的变分问题。

例1.2最速降线问题图1.2最速降线问题我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以 A 为坐标原点，水平为 x 轴，向下为y 轴。

曲线的方程为y y(x), A 点坐标(X o ,y o ) (0,0) , B 点坐标(X i ,y i )。