2014版北师大版九年级数学上3.6利用相似三角形测高学案

上埠二中《乡村中小学信息技术与数学教课有效整合的实践研究》课题组4.6利用相像三角形测高1.经过丈量旗杆的高度的活动，稳固相像三角形相关知识，累积数学活动的经验；（要点）2.灵巧运用三角形相像的知识解决本质问题 .（难点）一、情形导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇观之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯以前利用相似三角形的原理丈量金字塔的高度.你能依据图示说出他丈量金字塔的原理吗？二、合作研究研究点一：利用阳光下的影子丈量高度【种类一】影子在同一平面上时高度的丈量如下图，身高为 1.6m 的某同学想丈量学校旗杆的高度，当他站在 C 处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？分析：同一时辰的太阳的光芒应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，所以能够经过相像三角形对应边成比率来求旗杆的高度.解：如图，用 DC 表示人的身高， EC 表示人的影长， AB 表示旗杆的高度， BC 表示旗杆的影长.由题意知DC＝1.6m ， EC＝ 2m， BC＝8m.∵太阳光 AC ∥DE，∴∠ E＝∠ ACB.又∵∠B＝∠DCE＝90°，∴△ ABC∽△ DCE.∴AB＝BC，即AB8DC CE＝ .1.62解得 AB＝ 6.4（ m）.故旗杆的高度是 6.4m.方法总结：同一时辰，关于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比同样 .【种类二】影子不在同一平面上时高度的丈量如图①，在离某建筑物 CE4m 处有一棵树 AB ，在某时辰， 1.2m 的竹竿 FG 垂直地面搁置，影子 GH 长为 2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子 CD 高为 2m，那么这棵树的高是多少？解：方法一：延伸 AD ，与地面交于点 M，如图② .依据同一时辰，物体的影长和它的高度成正比，AB CD FG所以BM＝CM＝GH.由于 CD ＝ 2m， FG＝ 1.2m， GH＝ 2m，BC＝ 4m，10所以 CM ＝3 m，所以 BM ＝ BC＋ CM ＝上埠二中《乡村中小学信息技术与数学教课有效整合的实践研究》课题组223（ m） .所以AB＝1.2， AB＝ 4.4（ m） .22 23故这棵树的高是 4.4m.方法二：过点 D 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M，如图③ .由题意可知AM ＝FG，而DM＝BC＝DM GH4m，AM＝ AB －CD＝（ AB－ 2）m，FG ＝1.2m， GH ＝ 2m，所以AB－2＝1.2，解得 AB＝ 4.4（m） .42故这棵树的高是 4.4m.方法三：过点 C 作 AD 的平行线交 AB 于点 P，如图④ .由题意可知BP＝FG，而 BP ＝AB－CD BC GH＝（ AB－ 2）m， BC＝ 4m，FG ＝ 1.2m，GH ＝2m，所以AB－2＝1.2，解得 AB＝ 4.4（m） .42故这棵树的高是 4.4m.方法总结：在图上补全影子或结构相像三角形是求出树高的要点.三种方法的解题依照本质上都是应用了相像三角形的性质，但其解题的简易性不一样，明显方法二和方法三比方法一简单.研究点二：利用标杆丈量高度如图，小明为了丈量一棵树 CD 的高度，他在距树 24m 处立了一根高为 2m 的标杆 EF ，而后小明前后调整自己的地点，当他与树相距 27m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上 .已知小明的眼高 1.6m ，求树的高度 .分析：人、树、标杆是互相平行的，添加协助线，过点A作 AN∥BD交 CD于N，交 EF 于 M，则可得△AEM ∽△ ACN.解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N，交EF 于 M，由于人、标杆、树都垂直于地面，所以∠ ABF ＝∠ EFD ＝∠ CDF ＝ 90°，所以 AB∥EF∥CD ，所以∠EMA ＝∠CNA .由于∠ EAM＝∠ CAN，所以△ AEM∽△ ACN，所以EMCN＝AMAN .由于AB＝1.6m，EF＝2m，BD ＝27m，FD ＝ 24m，2－ 1.627－24CN ＝ 3.6所以CN＝27，所以（ m），所以 CD ＝ 3.6＋ 1.6＝ 5.2（ m） .故树的高度为 5.2m.方法总结：利用标杆丈量物体的高度时，一定使观察者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上 .研究点三：利用镜子的反射丈量高度为了丈量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下丈量方案：如图，①在距离树 AB 底部 15m的 E 处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m 的 C 处，目高 CD 为 1.5m；③察看镜面，恰巧看到树的顶端 .你能帮助他计算出大树的大概高度吗？分析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），而后利用相像三角形的知识求解 .解：如图，∵∠ 1＝∠ 2，∠DCE ＝∠ BAE＝ 90°，∴△ DCE ∽△ BAE.上埠二中《乡村中小学信息技术与数学教课有效整合的实践研究》课题组∴DCBA＝CEAE，即1BA.5＝115.2，解得 BA ＝18.75（ m） .所以，树高约为18.75m.方法总结：利用镜子的反射丈量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相像三角形，利用相像三角形的性质求树高.三、板书设计利用相像三角形测高利用阳光下的影子丈量高度利用标杆丈量高度利用镜子的反射丈量高度经过设计丈量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，领会本质问题转变成数学模型的转变思想，培育学生的观察、概括、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在加强互相协作的同时，激发学习数学的兴趣.。

北师大版数学九年级上册《6 利用相似三角形测高》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册《6 利用相似三角形测高》这一节主要让学生了解利用相似三角形测高的原理和方法。

通过本节课的学习，学生能够掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质和判定方法，但实际应用能力有待提高。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的实际操作能力，引导学生将理论知识运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握利用相似三角形测高的方法，能够解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.重点：利用相似三角形测高的方法。

2.难点：将相似三角形测高的理论知识运用到实际问题中。

五. 教学方法1.讲授法：讲解相似三角形的性质和测高的原理。

2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用相似三角形解决实际问题。

3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

2.学具：练习本、尺子、三角板。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 呈现（10分钟）教师利用多媒体课件展示实际问题，引导学生发现其中隐含的相似三角形。

例如，展示一个直角三角形和一个与其相似的直角三角形，让学生观察它们的边长关系。

3. 操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，如何利用相似三角形测高。

每组学生通过实际操作，用尺子和三角板测量高。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4. 巩固（10分钟）教师挑选几组学生进行成果分享，让学生讲解他们是如何利用相似三角形测高的。

其他学生认真听讲，对比自己的方法，吸取优点。

5. 拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生思考如何将相似三角形测高的方法应用到实际生活中。

4.6利用相似三角形测高一、学习任务分析：利用相似三角形测量是被广泛应用于实际生活中的数学知识。

学会利用相似三角形对事物进行测量，不仅可以使学生更好的认识图形的相似，也能培养学生通过数学知识解决实际问题的数学素养，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力。

《利用相似三角形测高》是在学生已经较为系统的研究了相似三角形的判定和应用的基础上进行学习和探究的。

本课立足于学生已有的相似三角形的知识和已有的生活经验，对如何利用相似三角形测量旗杆的方法进行了充分的讨论，从而以小组为单位，经过讨论、人员分工、测量数据等逐步探索，进行了较为完整的方案制定。

让学生通过自己的努力，完全参与，让学生加深认识和理解相似三角形的相关知识，也通过实地测量、计算、比较，体验成功的快乐。

《利用相似三角形测高》也为九年级下册学生利用三角函数测高垫下了坚实的基础，积累数学活动经验。

二、学情分析：学生在七年级下册学习过了图形的全等和全等三角形的相关知识，也经历过利用三角形全等测量不能直接测量的相关数据，即相似三角形的特殊情况，这对本节学生的理解和方案制定有了一定的基础知识和基本活动经验。

但本节的是测量像旗杆一样，不能直接度量的物体的高度，这为如何将物体与三角形结合起来，如何构造两个看不见的相似三角形，就是本节学生障碍所在。

在不同的方案制定前，首先要明白一些物理知识，如利用太阳光测量‘旗杆’高度时，要明白在同一时刻同一地点，太阳光线是平行的，即能与地面形成的角度一样；利用平面镜侧高时，要用到光入射角等于反射角等等。

为了学生更科学更顺利的完成测量，本节课共分两课时，第一课时我组织学生进行充分讨论，并对学生提出的一些方法进行展示，进行了科学指导。

学生在课下又进行了方案制定，人员分工。

之后我对对每组的测高方案进行了审查，并进行了细节处理。

学生最后又打印成电子稿，以便在课上进行展示。

三、教学定位：教学目标：1、熟练应用三角形相似的判定掌握测量旗杆（或其他建筑物）高度的方法；2、通过设计测量旗杆高度的方案和实地测量、计算，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想；3、发展学生合作交流意识，培养学生勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神。

利用相似三角形测高学案【学习目标】通过测量旗杆的高度，来综合运用三角形相似的判定条件和性质，加深对相似三角形的理解.【重点难点】正确的画出图形，综合运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题.情景导入读一读：小明有一个正方形的玩具，面积为A2.有一天，他突发奇想，要做一个面积比它大三倍的形状相同的玩具，自己弄了很长时间，伤透了脑筋就是不知该怎么办.你能帮小明解决这个问题吗？自主学习测量旗杆的高度有很多种方法，有用太阳光，有用测角仪，有用镜子……每种方法都离不开相似.究竟是怎样测量的呢？请看第1版《测量旗杆的高度》一文.导学解疑一、展示点拨，归纳新知：二、典例分析1、一个钢筋三脚架的边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则有几种不同的截法?并简单说明理由．三、巩固练习1、雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，从他前面2m远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m，该学生的眼部到地面的高度为1.5 m，求旗杆的高度．2、某人身高为1.8米，站在一路灯下时无影子，然后背对路灯向前走了6米，此时的影长为2米．求路灯的灯泡距地面的高度．3、如图4-73所示，路边有两根相距4m的电线杆AB，CD，分别在高为3 m的A处和6 m的C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度MH．成果检验一、达标测评1、我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6 m ，则这棵树的高度约为 m ．2、明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图4-77所示，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2 m ，CE ＝0.8 m ，CA ＝30m(点A ，E ，C 在同一直线上)．已知小明的身高EF 是1.7 m ，请你帮小明求出楼高AB (结果精确到0.1 m)．二、总结延伸:1. 本节课的收获：先由学生总结，老师启发补充2. 本节课渗透的数学思想方法3. 关于这一课的知识你还有不明白的地方吗？如果有请提出来，让老师和同学帮你解决。

4.6 利用相似三角形测高一、三维目标知识目标：会运用三角形相似的判定定理和定义设计测量物体的高度方案。

能力目标：会利用三角形相似计算物体实际高度。

情感目标：在活动过程中，发展学生的数学应用意识，增强学生学习数学的自信心。

重点： 会利用相似三角形定义和判定定理计算物体实际高度。

难点 : 构造相似三角形的模型自学方法： 自学课本103--104页完成以下三个知识点自学要求：（1）先独立完成，有疑问与同桌，邻桌交流（2）小组交流讨论解决个人疑问二、自主梳理：（一）旧知识梳理：1、 相似三角形的性质：相似三角形的对应角_________，对应边_________；2相似三角形的判定：①___________________的两个三角形相似；②________________且___________的两个三角形相似；③______________________的两个三角形相似；（二）新知识梳理：（三）课堂探究1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度∵太阳的光线是_________的，∴________∥_________，∴∠AEB ＝∠CBD ，∵人与旗杆是________于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB=_____°，∴△_______∽△_______ ∴BDBE CD AB = 即CD=BE BD AB ⋅ 2：利用标杆测量旗杆的高度BDC A E如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝_______∴EF ∥CN ，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3， ∴△______∽△______， ∴CNEM AN AM = ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为________．∴DN ＝_______，∴能求出旗杆CD 的长3：利用镜子的反射(点拨：入射角＝反射角}∵入射角＝反射角∴∠________＝∠________ ∵人、旗杆都_________于地面∴∠B ＝∠D ＝_______° ∴△________∽△________， ∴ DEBE CD AB = 四 随堂闯关：议一议五、 巩固练习、如图，利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，如果标杆BE 的长为1.2米，测得AB=1.6米，BC=8.4米，则楼高CD=___________米.六、自我评价：七：衔接中考：（佛山中考）旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米，如果此时附近小树的影子长为3米，那么小树的高是___________米；。

4.6利用相似三角形测高教学目标1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，提高综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题的能力，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．2．在分组合作活动以及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验和成功的体验，增强学习数学的自信心．重点综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题难点把生活中的问题转化为数学问题，利用工具构造相似三角形模型教学用具教学环节说明二次备课复习请同学们回忆判定两三角形相似的条件有哪些？新课导入今天我们要学一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度、大树的树高、楼房等——板书课题.课程讲授活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度．活动方式：分组活动、全班交流研讨．活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具．设计意图：回顾复习三角形相似判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．一、活动探究，体验方法方法1：利用阳光下的影子（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．处理方式：由小组交流、体会操作方法，把生活中的问题转为数学模型．教师注意点拨：把太阳的光线看成是平行的，构造出相似三角形进而利用三角形相似得出比例式．示意图：说明：AE、BC表示光线，DC表示旗杆，EB表示人影长，AB表示身高，BD表示杆影长．因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．方法2:利用标杆测量旗杆的高度（原理：这是间接运用相似三角形的方法）操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．示意图：如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．方法3：利用镜子的反射（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．处理方式：学生先独立思考体会操作方法，在教师引导下理解“入射角＝反射角”这一物理知识，并根据相似三角形完成解题过程．教师引导学生如何根据测量的数据及相似三角形的知识求解，代入测量数据即可求出CD的长度示意图：因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．归纳总结我们在应用以上几种测量方法时要注意哪几点？处理方式：学生总结归纳．运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．运用方法3时应注意光线的入射角等于反射角的现象小结通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？作业习题2、4布置板书设计课后反思中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A ．18B ．36C ．41D ．58【答案】C 【解析】根据已知三点和近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.【详解】解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃∴旋钮的旋转角度x 在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.故选：C ，【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．2．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣y ，x+y ，a+b ，x 2﹣y 2，a 2﹣b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美B ．宜晶游C ．爱我宜昌D ．美我宜昌 【答案】C【解析】试题分析：（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2=（x 2﹣y 2）（a 2﹣b 2）=（x ﹣y ）（x+y ）（a ﹣b ）（a+b ），因为x ﹣y ，x+y ，a+b ，a ﹣b 四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C ．考点：因式分解.3．已知m ＝12+，n ＝12-，则代数式223m n mn +-的值为 （ ）A ．±3B ．3C ．5D ．9 【答案】B【解析】由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，223m n mn +-=2()5m n mn +-.【详解】由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，原式=22()525(1)93m n mn +-=-⨯-==故选：B【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键.4．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°【答案】A 【解析】试题分析：如图，过A 点作AB ∥a ，∴∠1=∠2，∵a ∥b ，∴AB ∥b ，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A ．考点：平行线的性质．5．如图，小明从A处出发沿北偏西30°方向行走至B处，又沿南偏西50°方向行走至C处，此时再沿与出发时一致的方向行走至D处，则∠BCD的度数为（）A．100°B．80°C．50°D．20°【答案】B【解析】解：如图所示：由题意可得：∠1=30°，∠3=50°，则∠2=30°，故由DC∥AB，则∠4=30°+50°=80°．故选B．点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出∠3的度数是解题关键．6．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】根据基本作图的方法即可得到结论．【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；（3）弧③是以A为圆心，大于12AB的长为半径所画的弧，错误；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．7．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】先将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，求出m的值，将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到x1+x2＝4，x1•x2＝3，即可解答【详解】将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到m＝3，所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点，设A(x1，y1)，b(x2，y2)∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根，∴x1+x2＝4，x1•x2＝3，∴AB＝|x1﹣x2|＝2；故选B．【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.8．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（）A．πB．32πC．2πD．3π【答案】D【解析】根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴图中阴影部分的面积=2 1203360π⨯=3π．故选D．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键．9．如图，某小区计划在一块长为31m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m1．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=570【答案】A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570，故选A.10．如图是测量一物体体积的过程：步骤一：将180 mL 的水装进一个容量为300 mL 的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm 3)( ).A ．10 cm 3以上，20 cm 3以下B ．20 cm 3以上，30 cm 3以下C ．30 cm 3以上，40 cm 3以下D ．40 cm 3以上，50 cm 3以下 【答案】C【解析】分析：本题可设玻璃球的体积为x ，再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可． 详解：设玻璃球的体积为x ，则有33001804300180x x -⎧⎨-⎩＜＞ 解得30＜x ＜1．故一颗玻璃球的体积在30cm 3以上，1cm 3以下．故选C ．点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x 的取值范围．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为_____．【答案】3【解析】设两个正方形的边长是x 、y （x ＜y ），得出方程x 2＝1，y 2＝9，求出x 3y ＝1，代入阴影部分的面积是（y ﹣x ）x 求出即可．【详解】设两个正方形的边长是x 、y （x ＜y ），则x 2＝1，y 2＝9，x 3=y ＝1，则阴影部分的面积是（y ﹣x ）x ＝（13333-=）1．故答案为31．【点睛】本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力．12．如图所示是一组有规律的图案，第l 个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n 的式子表示）．【答案】3n+1【解析】试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n 个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个考点：规律型13．如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，则水的最大深度CD 是______mm ．【答案】200【解析】先求出OA 的长，再由垂径定理求出AC 的长，根据勾股定理求出OC 的长，进而可得出结论．【详解】解：∵⊙O 的直径为1000mm ，∴OA=OA=500mm ．∵OD ⊥AB ，AB=800mm ，∴AC=400mm ，∴22OA AC -22500400-=300mm ，∴CD=OD-OC=500-300=200（mm ）．答：水的最大深度为200mm ．故答案为：200【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC 的长是解答此题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .【答案】18。

北师大版九年级上册6利用相似三角形测高课程设计一、课程背景在初中数学中，相似三角形是比较重要的一个概念。

相似三角形不仅是计算几何中的一个重要基础，而且在日常生活中也有着广泛应用。

例如，在科学实验或者工程建设中，需要测量高度，利用相似三角形就可以方便、准确地测得高度。

这个课程设计将通过实际的测量实验，让学生深入理解相似三角形的概念，并掌握如何利用相似三角形进行测高。

二、课程目标1.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定方法；2.学习如何利用相似三角形进行测高；3.学会利用数学工具进行实际测量，并处理实验数据；4.培养学生的数学思维和动手实践能力。

三、课程内容1. 相似三角形通过授课和练习，让学生学会判断两个三角形是否相似，了解相似三角形的性质和定理。

2. 测高实验让学生根据相似三角形的原理，进行实际测量。

具体步骤如下：•选定一个有高度的物体（如教学楼、篮球架、树木等），确定其实际高度；•将一个三角板竖直放在物体旁边，测量其与地面的距离；•确定观察点距离物体的距离，并测量观察点与地面的高度；•测量三角板上阴影的长度，并记录测量数据；•利用相似三角形的原理，计算出物体的高度；•验证计算结果的准确性。

3. 实验数据处理学生需要将实验数据整理成表格，并利用数学工具（如Excel）进行处理，得出计算结果。

在计算过程中，要求学生写出计算式，并标注清楚各个数值的含义和单位。

4. 实验报告要求学生根据实验数据和处理结果，撰写实验报告。

报告应包括实验目的、步骤、数据与处理结果、分析与讨论、结论以及感想等内容。

四、教学方法1. 讲授法通过讲授相似三角形的定义、性质和定理，让学生了解其应用领域以及实际意义。

2. 实验法让学生亲自动手进行测高实验，加深对相似三角形的认识。

3. 讨论法在实验进行过程中，鼓励学生进行讨论，并引导学生对实验结果进行分析与讨论。

4. PBL教学法通过实验和报告的形式，培养学生的问题解决能力和团队合作精神。

4.6 利用相似三角形测高一、学习任务分析：利用相似三角形测量是被广泛应用于实际生活中的数学知识。

学会利用相似三角形对事物进行测量，不仅可以使学生更好的认识图形的相似，也能培养学生通过数学知识解决实际问题的数学素养，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力。

《利用相似三角形测高》是在学生已经较为系统的研究了相似三角形的判定和应用的基础上进行学习和探究的。

本课立足于学生已有的相似三角形的知识和已有的生活经验，对如何利用相似三角形测量旗杆的方法进行了充分的讨论，从而以小组为单位，经过讨论、人员分工、测量数据等逐步探索，进行了较为完整的方案制定。

让学生通过自己的努力，完全参与，让学生加深认识和理解相似三角形的相关知识，也通过实地测量、计算、比较，体验成功的快乐。

《利用相似三角形测高》也为九年级下册学生利用三角函数测高垫下了坚实的基础，积累数学活动经验。

二、学情分析：学生在七年级下册学习过了图形的全等和全等三角形的相关知识，也经历过利用三角形全等测量不能直接测量的相关数据，即相似三角形的特殊情况，这对本节学生的理解和方案制定有了一定的基础知识和基本活动经验。

但本节的是测量像旗杆一样，不能直接度量的物体的高度，这为如何将物体与三角形结合起来，如何构造两个看不见的相似三角形，就是本节学生障碍所在。

在不同的方案制定前，首先要明白一些物理知识，如利用太阳光测量‘旗杆' 高度时，要明白在同一时刻同一地点，太阳光线是平行的，即能与地面形成的角度一样；利用平面镜侧高时，要用到光入射角等于反射角等等。

为了学生更科学更顺利的完成测量，本节课共分两课时，第一课时我组织学生进行充分讨论，并对学生提出的一些方法进行展示，进行了科学指导。

学生在课下又进行了方案制定，人员分工。

之后我对对每组的测高方案进行了审查，并进行了细节处理。

学生最后又打印成电子稿，以便在课上进行展示。

三、教学定位：教学目标：1、熟练应用三角形相似的判定掌握测量旗杆（或其他建筑物）高度的方法；2、通过设计测量旗杆高度的方案和实地测量、计算，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想；3、发展学生合作交流意识，培养学生勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神。

教学准备
1. 教学目标
使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质2. 教学重点/难点
综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题
解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
【归纳小结】
综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题时，其方法是：
（1）将实际问题转化为相似三角形问题；
（2）想方设法找出一对相似三角形
（3）根据相似三角形性质，建立比例式，求出相应的量。

三、当堂训练，达标测试
1、已知高为4米的旗杆在水平地面的影长是6米，此时测得附近一个建筑物的影子长为
18米，则该建筑物的高度是——米。

2、如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小芳想用绳子测量A、B
两点之间的距离，但绳子的长度不够，一位同学帮她想了一个主意，先在地上
取一个可以直接到达A、B点的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且DE的长为
5m，则A、B两点的距离是多少？
四、拓展延伸
某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直时的影长为
1.5m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9m，留在墙上的影长为2m，求旗杆的高度。

利用相似三角形测高教学目标1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.3.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.4.在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.教学重点1.测量旗杆高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具各3套.教学过程Ⅰ.创设问题情境，引出课题Ⅱ.新课讲解甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§4.6 A）从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图①）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC =，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.乙组:利用标杆.（出示投影片§4.6 B ）如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G ,交标杆EF 于H ,于是得△DHF ∽△DGC ..BC AD AB EA =EAAD BA ⋅图③［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§4.6 C）Ⅲ.课堂练习高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度.图4－37Ⅳ.课时小结这节课我们通过分组活动，交流研讨，学会了测量旗杆高度的几种常用方法，并且明白了它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累了一些数学建模的经验.Ⅴ.课后作业习题4.10板书设计。

北师大版数学九年级上册《6 利用相似三角形测高》教学设计一. 教材分析《6 利用相似三角形测高》这一节主要让学生掌握利用相似三角形的性质来解决实际问题，即如何利用相似三角形测物体的身高。

通过这一节的学习，让学生体会到数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似三角形的性质，对相似三角形的判定和性质有了一定的了解。

但是，如何将相似三角形应用于实际问题，解决生活中的测量问题，对学生来说是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用相似三角形解决实际问题。

2.培养学生的应用意识，提高学生解决问题的能力。

3.激发学生学习数学的兴趣，增强学生对数学学科的信心。

四. 教学重难点1.重点：理解相似三角形的性质，并能够运用相似三角形解决实际问题。

2.难点：如何引导学生将相似三角形与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，引导学生理解相似三角形的性质，并能够应用于实际问题。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考，探讨如何利用相似三角形解决实际问题。

3.合作学习法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。

2.准备一些实际问题，如测量建筑物的高度、测量树的高度等。

3.准备一些辅助工具，如直尺、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一些实际问题，如测量建筑物的高度、测量树的高度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

2.呈现（10分钟）利用PPT或黑板，呈现相似三角形的性质，引导学生回顾已学的知识。

3.操练（10分钟）分组讨论，每组选取一个实际问题，利用相似三角形的性质进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）选取一些典型的实际问题，让学生独立解答，巩固所学知识。

4.6利用相似三角形测高◇教学目标◇【知识与技能】运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题.【过程与方法】通过测量旗杆的高度综合运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题,提高应用意识,加深对相似三角形的理解和认识.【情感、态度与价值观】在分组合作和全班交流的过程中,进一步积累数学活动经验,增强数学学习的自信心.◇教学重难点◇【教学重点】运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题.【教学难点】运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题.◇教学过程◇一、情境导入在生活当中有些物体的高度是可以测量的,比如房子的高度,人的身高等,那么怎样测量旗杆的高度呢?二、合作探究探究点1利用阳光下的影子测量高度典例1某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF,如图所示,量出DF的影子EF的长度为1米,再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米,那么旗杆AC的高度为()A.6米B.7米C.8.5米D.9米[解析]由于太阳光线是平行光线,即DE∥AB,∴∠DEF=∠ABC,又∵∠DFE=∠ACB=90°,∴△DEF∽△ABC.∴EFBC =DFAC,即16=1.5AC,∴AC=9.[答案] D如图,为了测量一个大峡谷的宽度,地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O,再在他们所在的一侧选点A,B,D,使得AB⊥AO,BD⊥AB,然后确定DO和AB的交点C,测得AC=120 m,CB=60 m,BD=50 m,你能帮助他们算出峡谷的宽OA吗?[解析]∵OA⊥AB,BD⊥AB,∴OA∥BD,∴△AOC∽△BDC,∴OABD =ACBC,即OA50=12060,∴OA=100.答:这个峡谷的宽度是100 m.探究点2利用标杆或镜子的反射测量高度典例2如图,小明欲测量一座古塔的高度,他拿来一根竹竿竖直插在地面上,然后自己退后,使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶,若小明眼睛离地面1.6 m,竹竿顶端离地面2.4 m,小明到竹竿的距离DF=2 m,竹竿到塔底的距离DB=33 m,求这座古塔的高度.[解析]作EH⊥AB于点H,交CD于点G.∵CD⊥BF,AB⊥BF,∴CD∥AB,∴△EGC∽△EHA,∴AHCG =EHEG.又∵CG=2.4-1.6=0.8,EHEG =33+22=352,∴AH=352×0.8=14,又∵BH=EF=1.6,∴AB=AH+BH=15.6.答:古塔的高度为15.6 m.如图,小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度,镜子与铁塔的距离EB=20米,镜子与小华的距离ED=2米,小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距离地面的高度CD=1.5米,则铁塔AB的高度是多少米?[解析]根据反射角等于入射角可得∠1=∠2,∵∠1+∠AEB=90°,∠2+∠CED=90°,∴∠AEB=∠CED.又∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABE=∠CDE=90°, ∴△ABE∽△CDE,∴ABCD =EBED,又∵CD=1.5,EB=20,ED=2,∴AB1.5=202,AB=15.即铁塔的高度为15米.三、板书设计利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子测量高度2.利用标杆或镜子的反射测量高度◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下几个方面:首先,进一步熟悉了相似三角形的相关知识,并且将其应用到生活实际中去,加深对相似三角形的理解;其次,在分组合作和全班交流的过程中,进一步积累数学活动经验,增强数学学习的自信心.。

《利用相似三角形测高》教学设计教材分析：本节课的内容是继上节课《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用。

它将生活中的一些无法直接测量物体高度的实际问题是转化成数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决，通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学识模和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识，同时为今后学习三角函数埋下伏笔。

学情分析：学生在前几节课的学习中，已初步理解相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备利用三角形相似来解决现实世界中的具体问题的基本知识。

三维目标：知识与技能：使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质。

过程与方法：通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题，以及运用这种方法测得红塔的高度，进一步积累数学活动经验。

情感与态度：通过问题情景的设置，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心，通过交流学习，体现数学解决实际问题的价值。

重点：通过利用三种方法测量旗杆高度，结合应用相似的判定，性质解决实际问题。

难点：通过两次相似解决实际问题。

教学过程：一、创设情景，导入新课1、出示浮梁古县衙图片，引导到求红塔的高度，激发学习兴趣。

2、展示课题《利用相似三角形测高》。

3、复习：①相似三角形的判定条件。

②相似三角形的性质（提问、举手回答）。

二、新授探究一：利用阳光下影子测高1、出示：数学课外小组同学录制的视频资料。

板书：利用阳光下的影子。

2、引导，设置问题：a 、数学小组同学想干吗？b 、他们直接测量旗杆的高度了吗？3、课件展示模拟动画图。

设置想一想：他们测量了哪几个数据？（举手回答），在几何图形中标出相应数据（举手回答）课件展示。

4、引导学生求出AB 的长度，分组讨论，提示同一时刻阳光线互相平行。

5、板书：几何图形（巡视、指导）6、学生口述解题过程，教师板书。

7、总结 = 的比例式。

探究二：利用标杆测高1、出示数学课外小组同学录制的视频资料。

第二环节实践活动
活动内容：将全班学生分成五人小组，选出组长，分头进行户外自行寻找测量对象进行实际测量，被测物不一定是旗杆，也可以选择楼房、树等进行测量．活动目的：通过实践，使学生运用所学知识解决问题．
活动的注意事项：
1、教师要提前将学生分组，活动工具必须课前准备好，各小组都必须准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具．
2、教师在活动中要加强巡视观察、引导，对学生测量中的不当之处要立即纠正．
3、学生实际测量后回教室进行计算，小组间交流测量结果．
4、在实际测量时，充分调动学生原有的生活经验和知识基础，去解决生活中的实际问题，体验成功的喜悦，轻松愉快地学习数学．
5、进入小组汇报总结阶段时，应引导学生比较各种方法的优点和缺点，寻求最优化意识．
活动内容：通过以下问题的解决，充分发挥学生的聪明才智．
[想一想]同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？你认为最优化的方法是哪种？
思路点拔：1、如果旗杆周围有足够地空地使旗杆在太阳光照射下影子都在平地上，并能测出影子的长度，那么，可以在平地垂直树一根小棒，等到小棒的影子恰好等于棒高时，再量旗杆的影子，此时旗杆的影子长度就是这个旗杆的高度．2、可以采用立一个已知长度的参照物在旗杆旁照相后量出照片中旗杆与参照物的长度根据线段成比例来进行计算．3、拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．等等．。

4.6 利用相似三角形测高一、三维目标知识目标：会运用三角形相似的判定定理和定义设计测量物体的高度方案。

能力目标：会利用三角形相似计算物体实际高度。

情感目标：在活动过程中，发展学生的数学应用意识，增强学生学习数学的自信心。

重点： 会利用相似三角形定义和判定定理计算物体实际高度。

难点 : 构造相似三角形的模型自学方法： 自学课本103--104页完成以下三个知识点自学要求：（1）先独立完成，有疑问与同桌，邻桌交流（2）小组交流讨论解决个人疑问二、自主梳理：（一）旧知识梳理：1、 相似三角形的性质：相似三角形的对应角_________，对应边_________；2相似三角形的判定：①___________________的两个三角形相似；②________________且___________的两个三角形相似；③______________________的两个三角形相似；（二）新知识梳理：（三）课堂探究1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度∵太阳的光线是_________的，∴________∥_________，∴∠AEB ＝∠CBD ，∵人与旗杆是________于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB=_____°，∴△_______∽△_______ ∴BDBE CD AB = 即CD=BE BD AB ⋅ 2：利用标杆测量旗杆的高度BDC A E如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝_______∴EF ∥CN ，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3， ∴△______∽△______， ∴CNEM AN AM = ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为________．∴DN ＝_______，∴能求出旗杆CD 的长3：利用镜子的反射(点拨：入射角＝反射角}∵入射角＝反射角∴∠________＝∠________ ∵人、旗杆都_________于地面∴∠B ＝∠D ＝_______° ∴△________∽△________， ∴ DEBE CD AB = 四 随堂闯关：议一议五、 巩固练习、如图，利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，如果标杆BE 的长为1.2米，测得AB=1.6米，BC=8.4米，则楼高CD=___________米.六、自我评价：七：衔接中考：（佛山中考）旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米，如果此时附近小树的影子长为3米，那么小树的高是___________米；。