苏教版九年级上册数学[直线与圆、圆与圆的位置关系—重点题型巩固练习](基础版)

苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【356966 ：经典例题3-4】1.（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．【答案与解析】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．【总结升华】此题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．举一反三：【356966 ：切线长定理及例题5-7】【变式】已知:如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：AC∥OP【答案】如图，连接OA、AB，圆O为△ABC的外接圆，∴∠BAC＝90度，即AC⊥AB∵PA、PB为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，且OA＝OB＝r，∴OP是AB的的垂直平分线∴AB⊥OP∴AC‖OP(垂直同一条线的两直线平行)2.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（1）如图1，求∠AOD的度数；（2）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（3）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【思路点拨】（1）根据内切圆的定义得到AD、AB、CD为⊙O的切线，则根据切线长定理得∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，再利用平行线的性质得∠ADC+∠BAC=180°，所以∠ODA+∠OAD=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠AOD的度数；（2）先在Rt△AOD中利用勾股定理可计算出AD=10（cm），再根据切线的性质得OE⊥AD，然后利用面积法可计算出OE的长；【答案与解析】解：（1）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（2）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（3）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．类型二、圆与圆的位置关系3. 如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P与⊙O外切时，则有5+r＝8，∴ r＝3．当⊙P与⊙O内切时，则有r-5＝8，∴ r＝13．∴当r＝3或13时，⊙O与⊙P相切．(2)当⊙P与⊙O相交时，则有| r-5|＜8＜r+5，解得3＜r＜13，即当3＜r＜13时，⊙P与⊙O相交．【总结升华】两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d＝R+r和d＝R-r(R ＞r)，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( ) A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．故选C.4.如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1+t(t≥0)．(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式；(2)问点A出发后多少秒两圆相切?【思路点拨】本题通过平移，考查了圆和圆相切这一位置关系．相切包括内切与外切，不要漏解.【答案与解析】(1)当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t－11．(2)两圆相切可分为如下4种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1+1+t，∴ t＝3：②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1+t-l，∴113t ；③当两圆第二次内切，由题意，可得2t-11＝1+t-1，∴ t＝11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t-11＝1+t+1，∴ t＝13．综上可得：点A出发后3秒、113秒、11秒、13秒两圆相切．【总结升华】这里需要注意的是，学生常常只考虑一种情况而导致解答不全面，因此，解决这类问题时，要通过观察、分析搞清图形的变化过程，做到不重复，不遗漏．。

苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的有关概念及圆的确定—知识讲解【学习目标】1．知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3．情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆内 ⇔d ＜ r ；点P 在圆上 ⇔d = r ；点P 在圆外 ⇔d ＞r.r r r P PP“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB ≥CD.证明：连结OC 、OD∵AB=AO+OB=CO+OD ≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A 、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=200.9（s）相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示. 类型二、圆的有关计算3．已知，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】 C.【解析】作图，过点P作直径AB，过点P作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，由勾股定理，得，∴CD=2PC=8，又∵AB=10，∴过点P的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，容易漏解.举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm或6.5cmD. 5cm或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4．已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作：⊙O使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.【变式】（2015•江干区二模）给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选D．5．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的OP的最大值与最小值.【答案】3≤OP≤5.【解析】OP最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．∵直径为10，弦AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，=，∴OP最短为3.由勾股定理的3∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___ ____．【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.。

苏科版九年级数学（上册） 直线与圆的位置关系 一课一练一、单选题1．在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有ABC 9045C AC AB ︒∠===，，C R C AB 一个公共点，则的取值范围是（ ）R A ．B ．C ．或D ．或125R =34R 03R <<4R >34R < 125R =2．如图，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，如果∠APB=60°，⊙O 半径是3，则劣弧AB 的长为（ ）A ．B ．πC ．2πD ．4π2π3．在中，，，，以C 为圆心作与AB 相切，则的半径Rt ABC △90C ∠=︒10AB =8AC =C C 长为（）A ．8B ．4C ．9.6D ．4.84．已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，那么点O 到直线l 的距离是( )A ．2.5B ．3C ．5D ．105．已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ 5cm 10cm π）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定6．如图，在中，，点在线段上（不与、重合），若为的ABC 40B C ∠=∠=︒D BCB C O ADC 内心，则不可能是（ ）AOC ∠A ．B ．C ．D ．100︒120︒140︒150︒7．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A ．4B ．6.25C ．7.5D ．98．已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，则∠BOC等于（）A ．（∠B+∠C ）B ．90°+∠AC ．90°-∠AD ．180°-∠A1212129．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C，若⊙O 的半径为1，则BC 的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 10．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 在⊙O上，且BC=CD ，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 延长线于E ，交AB 延长线于F 点．若AB=4ED ，则cos ∠ABC 的值是（　）A ．B ．C ．D ．12131415二、填空题11．如图，⊙O 的半径OC =5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于A 、B 两点，AB =8cm ，则l沿OC 所在直线向下平移 __________cm 时与⊙O 相切．12．如图，已知，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作，当30AOB ∠=︒M ________cm时，与OA 相切.OM =M 13．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若ABCD AB O C F AB E的周长为，则直角梯形周长为___________．CDE ∆12ABCE 14．如图，已知Rt △ABC 中，AC =5，BC =12，∠ACB =90°，P 是边AB 上的动点，Q 是边BC上的动点，且∠CPQ =90°，则线段CQ 的取值范围是____．15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若以C 为圆心，R 为半径作的圆与直线AB 相切,则R=______.16．已知⊙O的半径OA＝5cm，延长OA到B，AB＝2cm，以OB为一边作∠OBC＝45°，那么BC所在直线与⊙O的位置关系是_____．17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是_______°．18．等腰直角△ABC中, ∠C=90度，斜边AB=6,则此三角形的内心与外心之间的距离是_________.三、解答题19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？(1) r=2cm；(2) r=2.4cm；(3) r=3cm．20．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．21．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．22．如图，在锐角△ABC 中，BC ＝5，sin ∠BAC ＝，点I 为三角形ABC 的内心，AB ＝BC ，求AI 的45长．23．如图，以平行四边形的顶点为圆心，长为半径作，分别交于两点，ABCD A ABA ,BC AD ,E F 交的延长线于点．BA G （1）求证：；EF FG =（2）连接，若，求的度数．AE 140EAG ︒∠=D ∠24．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．25．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为 ACE，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC=DP；AC（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．26．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD 增加条件AD ∥BC 而成为梯形，梯形的中位线长为m ，其他条件不变，试用m 表示梯形的周长．27．如图，都为⊙O 的切线，切点分别为，且．52,,,APB PA PB DE ︒∠=,,A B F 6PA =（1）求的周长；PDE △（2）求的度数．DOE ∠28．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，以点D 为圆心，DA 为半径的⊙D 与AB 相交于点E.(1)判断直线BC 与⊙D 的位置关系，并证明你的结论.(2)若AC＝3，BC＝5，求BE的长.答案1．D如图，过点作于点．C CD AB ⊥D ，．9045ACB AC AB ︒∠=== ，，3BC ∴=①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时C R AB CD R =．1112225CD AB AC BC R CD ⋅=⋅∴==，②当时，圆与边也只有一个公共点．34R < AB 综上，或．34R < 125R =故选D．2．C解：连接OA ，OB ．则OA ⊥PA ，OB ⊥PB∵∠APB=60°∴∠AOB=120°∴劣弧AB 的长是：120π32π.180⨯=故选C ．3．D解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵，，，90C ∠=︒10AB =8AC =∴，6BC ==∵S △ABC ，1122AC BC CD AB =⋅=⋅∴，4.8AC BC CD AB ⋅==则以C 为圆心CD 为半径作与AB 相切.C 故选D.4．C根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径.5．B解：∵圆的周长为10πcm ，∴圆的半径为5cm ，∵圆心到直线l 的距离为5cm ，∴d=r ，∴直线与圆相切，∴直线l 和这个圆的公共点的个数为1个．故选：B ．6．A∵中，，ABC 40B C ∠=∠=︒∴∠BAC=180º﹣∠B﹣∠C=100º，∵为的内心，O ADC ∴∠OAC=∠DAC ，∠ACO=∠ACB=20º，1212∴∠AOC=180º﹣∠OAC﹣∠ACO=160º﹣∠DAC ，12∵点在线段上（不与、重合），D BC B C ∴0º﹣∠DAC﹣100º，即0º﹣∠DAC﹣50º，12∴110º﹣∠AOC﹣160º，故∠AOC 不可能是100º，故选：A ．7．A∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，∴OE=OF=r ，∴S 四边形AEOF =r²，连接AO ，BO ，CO，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴，11()22AB AC BC r AB AC ++=⋅∴r=2，∴S 四边形AEOF =r²=4，故选A.8．C设⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∠BOD ＝∠EOD ，∠COD ＝∠FOD ，1212∴∠EOF ＝180°－∠A ，∴∠BOC ＝∠BOD ＋∠COD＝(∠EOD ＋∠FOD )12＝∠EOF12＝×(180°－∠A )12＝90°－∠A ．12故选C ．9．D连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即 解得：x即BC222)3x x =+故选：D10．A连接OC 、AC，∵CE ⊥AD ，∴∠EAC+∠ECA=90°，∵OC=OA ，∴∠OCA=∠OAC ，又∵BC=CD ，∴∠OAC=∠EAC ，∴∠OCA=∠EAC ，∴∠ECA+∠OCA=90°，∴EF 是⊙O 的切线，∴∠ECD=∠EAC ，又∵BC=CD ，∴∠EAC=∠BAC ，∴∠ECD=∠BAC ，又∵AB 是直径，∴∠BCA=90°，在△BAC 和△DCE 中，∠BCA=∠DEC=90°，∠ECD=∠CAB ，∴△CDE ∽△ABC ，∴ ＝，CDDE A B B C 又∵AB=4DE ，CD=BC ，∴，=14BC AB BCAB∴BC=AB ，12∴cos ∠ABC= =．BC AB 12故选：A ．11．2∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2 =4，OA =5，∴OH =3．∴需要平移5-3=2cm ．故答案是：2．12．4解：如图，过M 作MN ⊥OA 于点N ，∵MN=2cm ，，30AOB ∠=︒∴OM=4cm ，则当OM=4cm 时，与OA相切.M 故答案为4.13．212设正方形ABCD 的边长为a则，AB BC CD AD a ====90BAD ABC D ∠=∠=∠=︒由圆的切线的判定得：AD 、BC 均为圆O 的切线由切线长定理得：,AE FE FC BC a===的周长为CDE 12，即12DE CE CD ∴++=12DE FE FC CD +++=，即12DE AE BC CD ∴+++=12AD BC CD ++=，解得312a ∴=4a =设，则AE x =3,3DE AD AE x CE FE FC x =-=-=+=+在中，，即Rt CDE △222CD DE CE +=2223(3)(3)x x +-=+解得34x =315,344AE CE x ∴==+=则直角梯形周长为ABCE 1532133442AB BC CE AE +++=+++=故．21214．≤CQ ≤12．203∵Rt △ABC 中，AC =5，BC =12，∠ACB =90°，∴AB =13，①当半圆O 与AB 相切时，如图，连接OP ，则OP ⊥AB ，且AC =AP =5，∴PB =AB ﹣AP =13﹣5=8；设CO =x ，则OP =x ，OB =12﹣x ；在Rt △OPB 中，OB 2=OP 2+OB 2，即(12﹣x )2=x 2+82，解之得x =，103∴CQ =2x =；203即当CQ =且点P 运动到切点的位置时，△CPQ 为直角三角形．203②当＜CQ ≤12时，半圆O 与直线AB 有两个交点，当点P 运动到这两个交点的位置时，△CPQ 为直203角三角形；③当0＜CQ ＜时，半圆O 与直线AB 相离，即点P 在AB 边上运动时，均在半圆O 外，∠CPQ ＜90°，203此时△CPQ 不可能为直角三角形；∴当≤CQ ≤12时，△CPQ 可能为直角三角形．203故≤CQ ≤12．20315．2.4解：过C 作CD ⊥AB 于D.∵ AB 2＝AC 2＋BC 2，AC ＝3，BC ＝4，∴ AB 2＝32＋42＝25，∴ AB ＝5，根据三角形面积，得AC ·BC ＝CD ·AB∴CD ＝2.4.∵直线AB 和⊙C相切，∴ R ＝CD ＝2.4.16．相交过O 作OC ⊥BC ，在Rt △OBC 中，∠B=45°，OB=5+2=7，∴5，∴BC 所在直线与⊙O 的位置关系是相交，故答案为相交．17．135∵AB 是⊙O 的直径∴=90ACB ∠︒∴90CAB CBA ∠+∠=︒∵I 是△ABC 的内心∴IA 、IB 是角平分线∴()1452IAB IBA CAB CBA +=+=︒∠∠∠∠∴()180135AIB IAB IBA =︒-+=︒∠∠∠故135．18．3如图，∵AB=6，AC=BC ，∠ABC=90°∴CO 1= AO 1= BO 1=3AC=BC=∵O 2是内心，∴11()22AB CDAB AC BC r ⋅=++∴-3即O 1O 2-3故-319．（1）相离（2）相切（3）相交∵∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，∴AB ＝5cm.作CD ⊥AB 于D , 则 AC ·BC ＝ AB ·CD , CD ＝ cm.(1) ∵CD ＝2.4cm ＞r ＝2cm, ∴直线AB 与⊙C 相离.(2) ∵CD ＝2.4cm ＝r ＝2.4cm, ∴直线AB 与⊙C 相切.(3) ∵CD ＝2.4cm ＜r ＝3cm, ∴直线AB 与⊙C 相交.20．BC 、AC 的长分别是10cm 、cm.解：∵圆O 内切于△ABC ，∴∠ABO=∠CBO ，∠BCO=∠ACO ，∵∠ACB=90°，∴∠BCO=×90°=45°，12∵∠BOC=105°，∴∠CBO=180°−45°−105°=30°，∴∠ABC=2∠CBO=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB=×20=10cm ，1212∴==∴BC 、AC 的长分别是10cm 、21．S=(a+b+c)r12如图，设△ABC 与⊙O 相切与点D 、E 、F ．连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ．则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC ．∵S △AOB =AB•OD=cr ，同理，S △OBC =ar ，S △OAC =br ．12121212∵S △ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC ，即S=cr+ar+br=(a+b+c)r1212121222．AI .连结CI ，BI ，且延长BI 交AC 于点F ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ，IE ⊥AB 于点E .∵AB ＝BC ＝5，点I 为△ABC 的内心，∴BF ⊥AC ，AF ＝CF .在Rt △ABF 中，∵sin ∠BAC ＝，∴BF ＝4.∴AF＝3，∴AC ＝6.∵点I 是△ABC 的内心，45BF AB ＝IE ⊥AB ，IF ⊥AC ，IG ⊥BC ，∴IE ＝IF ＝IG .∴S △ABC ＝AB ＋AC ＋BC )·IF ＝AC ·BF ，∴IF ＝1212，∴AI.6436562AC BF AB AC BC ⨯ ＝＝＋＋＋＋23．（1）详见解析；（2）70°（1）证明：连接．AE∵四边形是平行四边形，ABCD ，//AD BC ∴，，EAF AEB ∴∠=∠GAF B ∠=∠，AE AB = ，B AEB ∴∠=∠，EAF GAF ∴∠=∠.EF FG ∴=（2）解：为的直径，，GB A 140EAG ︒∠=，40BAE ︒∴∠=，70B AEB ︒∴∠=∠=∵四边形是平行四边形，ABCD ．70D B ︒∴∠=∠=24．（1）r=3cm. (2) r=（a+b-c ）．12（1）如图,连接OD ，OF ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=9cm ；根据勾股定理=15cm ；四边形OFCD 中，OD=OF ，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；则四边形OFCD 是正方形；由切线长定理，得：AD=AE ，CD=CF ，BE=BF ；则CD=CF=（AC+BC-AB ）；12即：r=（12+9-15）=3cm ．12（2）当AC=b ，BC=a ，AB=c ，由以上可得： CD=CF=（AC+BC-AB ）；12即：r=（a+b-c ）．则⊙O 的半径r 为：（a+b-c ）．121225．（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析．解：（1）连接BC、OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，连接OF，AF，AC∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四边形OACF为菱形．26．（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.(1)AB+CD=AD+BC证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，即AB+CD=AD+BC(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m27．（1）12；（2）64°解：（1）∵PA 、PB 、DE 都为⊙O 的切线，∴DA=DF ，EB=EF ，PA=PB=6，∴DE=DA+EB ，∴PE+PD+DE=PA+PB=12，即△PDE 的周长为12；（2）连接OF，∵PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、F 三点，∴OB ⊥PB ，OA ⊥PA ，∠BOE=∠FOE=∠BOF ，∠FOD=∠AOD=∠AOF ，1212∵∠APB=52°，∴∠AOB=360°-90°-90°-52°=128°，∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF ）=∠BOA=64°．121228．(1)直线BC 与⊙D 相切，理由见解析；(2)BE=1.(1)直线BC 与⊙D 相切，理由：过D 作DF ⊥BC 于F ，∴∠CFD ＝∠A ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴DA ＝DF ，∴直线BC 与⊙D 相切；(2)∵∠BAC ＝90°，AC ＝3，BC ＝5，∴AB 4，在Rt △ACD 与Rt △FCD 中,AD DF CD CD =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △FCD(HL)，∴CF ＝AC ＝3，∴BF ＝2，∵BF 是⊙D 的切线，∴BF 2＝BA•BE ，∴.22214BF BE AB ===。

2.5直线与圆的位置关系一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•宿豫区期中）下列关于三角形的外心说法正确的是（）A．三角形的外心一定在它的外部B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点C．三角形的外心到它的三边距离相等D．三角形的外心与它的内心不可能重合2．（2019秋•宿豫区期中）已知⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交3．（2019秋•邗江区校级期中）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是（）A．r＜3 B．r＝3 C．r＞3 D．r≥34．（2019秋•睢宁县期中）如图，AB是半圆的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆于点C，若∠CAB ＝29°，则∠P等于（）A．29°B．30°C．31°D．32°5．（2019秋•东台市期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（）A．r B．r＝3或r＝4 C．r≤3 D．r≤46．（2019秋•西城区校级期中）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（）A．3cm B．3cm C．6cm D．6cm7．（2019秋•江宁区期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB+CD的值是（）A．14 B．12 C．9 D．78．（2019秋•锡山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，﹣6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（）A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2019秋•睢宁县期中）如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在AB上，过C的切线分别交P A、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为．10．（2019秋•亭湖区校级期中）若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为．11．（2019秋•宝应县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为．12．（2019秋•沛县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝50°，∠C＝60°，则∠EDF＝．13．（2019秋•镇江期中）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝°．14．（2019秋•建邺区期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2020春•锡山区期中）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB 并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AB＝BE；（2）若⊙O的半径R＝2.5，MB＝3，求AD的长．16．（2019秋•宿豫区期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．17．（2019秋•新北区期中）如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，直线CD为⊙P的切线．（1）试说明：2∠B+∠DAB＝180°（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半径．18．（2019秋•建湖县期中）如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PE⊥P A，PE交OC的延长线于点E．（1）求证：OE＝PE；（2）连接BC并延长交PE于点D，P A＝AB，且CE＝9，求PE的长．19．（2019秋•宝应县期中）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O 交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．20．（2019秋•东海县期中）小明在学习“圆的对称性”时知道结论：垂直于弦的直径一定平分这条弦，请尝试解决下面的问题：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，圆O是△ACB的外接圆．点D是圆O上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，且BD平分∠ABE．（1）判断直线ED与圆O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝12，BC＝5，求线段BE的长．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•宿豫区期中）下列关于三角形的外心说法正确的是（）A．三角形的外心一定在它的外部B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点C．三角形的外心到它的三边距离相等D．三角形的外心与它的内心不可能重合【分析】分别根据三角形外心内心逐项判断即可．【解析】A．三角形的外心还可以在三角形的边上或三角形的内部，故错误；B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点，正确；C．根据三角形的外心到三个顶点的距离相等，故此选项错误；D．只有等边三角形的外心与内心重合，故错误．故选：B．2．（2019秋•宿豫区期中）已知⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解析】如图所示：根据题意可知，圆的半径r＝4．因为OP＝4，当OP⊥l时，直线和圆是相切的位置关系；当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于4，所以是相交的位置关系．所以l与⊙O的位置关系是：相交或相切，故选：D．3．（2019秋•邗江区校级期中）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是（）A．r＜3 B．r＝3 C．r＞3 D．r≥3【分析】直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，①当d＝r时，直线l和⊙O相切，②当d＜r时，直线l和⊙O相交，③当d＞r时，直线l和⊙O相离，根据以上内容得出即可．【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，∴r＞3，故选：C．4．（2019秋•睢宁县期中）如图，AB是半圆的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆于点C，若∠CAB ＝29°，则∠P等于（）A．29°B．30°C．31°D．32°【分析】连接OC，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论．【解析】连接OC，∴∠CAB＝29°，∴∠COP＝2∠CAB＝58°，∵PC切半圆于点C，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝90°﹣58°＝32°，故选：D．5．（2019秋•东台市期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（）A．r B．r＝3或r＝4 C．r≤3 D．r≤4【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有公共点，即可得出r的取值范围．【解析】作CD⊥AB于D，如图所示：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，∵△ABC的面积AB•CD AC•BC，∴CD，即圆心C到AB的距离d，∵AC＜BC，∴以C为圆心，r或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，∴若⊙C与斜边AB有公共点，则r的取值范围是r≤4．故选：D．6．（2019秋•西城区校级期中）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（）A．3cm B．3cm C．6cm D．6cm【分析】先画图，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的半径．【解析】设圆心为O，∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB∠CAB＝60°，∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的半径是3cm．故选：B．7．（2019秋•江宁区期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB+CD的值是（）A．14 B．12 C．9 D．7【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．【解析】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD+BC＝AF+DF+BH+CH＝AE+BE+DG+CG＝AB+CD，∵AD＝2，BC＝5，∴AB+CD＝AD+BC＝7，故选：D．8．（2019秋•锡山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，﹣6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（）A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s【分析】由题意可求OP＝2，分圆心P在x轴下方和x轴上方两种情况讨论可求解．【解析】∵⊙P与x轴相切∴OP＝2当点P在x轴下方，即点P（0，﹣2）∴t2s当点P在x轴上方，即点P（0，2）∴t4s故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2019秋•睢宁县期中）如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在AB上，过C的切线分别交P A、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为20．【分析】根据切线长定理求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，代入求出△PDE的周长为2PB，代入即可．【解析】∵P A、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，∴△PED的周长是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+PE+BE＝P A+PB＝2PB＝20．答：△PED的周长是20．故答案为：20．10．（2019秋•亭湖区校级期中）若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为2或1．【分析】首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE，分两种情况，问题即可解决．【解析】如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；半径为r，连接OD、OF；则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；∵∠C＝90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD＝CF＝r；①当AC＝8，BC＝6时，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，∴AB＝10；由切线长定理得：AF＝AE，BD＝BE；∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，∴r＝2；②当AB＝8，AC＝6，则BC2，∴r（26﹣8）1；它的内切圆半径为2或1．故答案为：2或 111．（2019秋•宝应县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为4．【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP＝2，则AB的最小长度为4．【解析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，∵C（3，4），∴OC5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OC﹣3＝2，∴OP＝OA＝OB＝2，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最小值为4，故答案为：4．12．（2019秋•沛县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝50°，∠C＝60°，则∠EDF＝55°．【分析】连接OE，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝70°，由切线的性质可知：∠OF A＝90°，∠OEA＝90°，从而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝110°由圆周角定理可求得∠EDF＝55°．【解析】如图所示，连接OE，OF．∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°．∵AB是圆O的切线，∴∠OF A＝90°．同理∠OEA＝90°．∴∠A+∠EOF＝180°．∴∠EOF＝110°．∴∠EDF＝55°，故答案为：55°．13．（2019秋•镇江期中）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝65°．【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，利用互余得到∠OCB＝65°，然后根据等腰三角形的性质得到∠B的度数．【解析】连接OC，如图，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣25°＝65°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝65°．故答案为：65．14．（2019秋•建邺区期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是．【分析】作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，由等边三角形的性质和勾股定理得出AD2，由切线的性质得出AE⊥DE，由勾股定理求出DE，当点M与D重合时，N与E重合，此时MN最小．【解析】作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC＝AB＝4，BD＝CD BC＝2，∴AD2，∵DE是⊙A的一条切线，∴AE⊥DE，AE＝1，∴DE，当点M与D重合时，N与E重合，此时MN最小，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2020春•锡山区期中）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB 并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AB＝BE；（2）若⊙O的半径R＝2.5，MB＝3，求AD的长．【分析】（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，等腰三角形的性质∠MAB＝∠AMB，根据等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，即可证得AB＝BE；（2）连接BC，证明△ABC∽△EAM，由比例段求出AM的长，则答案可求出．【解答】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠EAM，在Rt△ABC中，AC＝5，BM＝AB＝3，∴BC4，∵BE＝AB＝BM，∴EM＝6，由（1）知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴，∠AMB＝∠C，即，∴AM，又∵∠C＝∠D，∴∠AMB＝∠D，∴AD＝AM．16．（2019秋•宿豫区期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可；（2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案．【解答】（1）证明：连接AD．∵点D为弧BC的中点，∴，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB，∴∠EAD＝∠ADO，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r，∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2，∴（8﹣r）2+42＝r2，∴r＝5，∴⊙O的半径为5．17．（2019秋•新北区期中）如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，直线CD为⊙P的切线．（1）试说明：2∠B+∠DAB＝180°（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半径．【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理，可得∠APC＝∠PCB+∠B＝2∠B，证得∠DAB+∠APC＝180°，则结论得证；（2）连接AC，证得△ACP是等边三角形，可得AC＝P A，∠ACP＝60°，可求出AC长，P A长，则⊙P 的半径可求出．【解析】（1）连接CP，∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，∴∠APC＝∠PCB+∠B＝2∠B，∵CD是⊙OP的切线，∴∠DCP＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DAB+∠APC＝180°∴2∠B+∠DAB＝180°；（2）解：连接AC，∵∠B＝30°，∴∠APC＝60°，∵PC＝P A，∴△ACP是等边三角形，∴AC＝P A，∠ACP＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4，∴P A＝4．即⊙P的半径为4．18．（2019秋•建湖县期中）如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PE⊥P A，PE交OC的延长线于点E．（1）求证：OE＝PE；（2）连接BC并延长交PE于点D，P A＝AB，且CE＝9，求PE的长．【分析】（1）欲证明OE＝PE，只要证明∠EOP＝∠EPO即可；（2）设OA＝r．在Rt△PCE中，利用勾股定理构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OP．∵P A、PC分别与⊙O相切于点A，C∴P A＝PC，OA⊥P A，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OP A≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵EP⊥P A，∴EP∥BA，∴∠EPO＝∠AOP，∴∠EOP＝∠EPO，∴OE＝PE．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥ED，∴∠EDC＝∠B，∵∠OCB＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC，∴EC＝ED＝9，∵EO＝EP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCE＝90°，在Rt△PCE中，∵PE2＝PC2+EC2，∴（9+r）2＝92+（2r）2，解得：r＝6或0（舍弃），∴PE＝15．19．（2019秋•宝应县期中）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O 交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．【分析】（1）欲证明直线AB是⊙O的切线，只要证明OC⊥AB即可．（2）首先证明OC∥DF，再证明∠FDC＝∠OCD，∠EDC＝∠OCD即可．（3）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，在Rt△CDM中，求出DM、CM即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴3，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，在RT△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9，∴CD3．20．（2019秋•东海县期中）小明在学习“圆的对称性”时知道结论：垂直于弦的直径一定平分这条弦，请尝试解决下面的问题：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，圆O是△ACB的外接圆．点D是圆O上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，且BD平分∠ABE．（1）判断直线ED与圆O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝12，BC＝5，求线段BE的长．【分析】（1）直线ED与⊙O相切．连接OD．根据圆的性质和等边对等角可得∠ODB＝∠OBD，等量代换得到∠ODB＝∠DBE，根据平行线的判定和性质得到∠DEC＝∠ODE＝90°，再根据垂直的定义和性质可得OD⊥DE，根据切线的判定即可求解；（2）如图，延长DO交AC于点H，连结CO，构建直角△ABC的中位线OH，运用三角形中位线定理和勾股定理分别求得OH＝HO BC、AB＝13，结合图形找到相关线段间的和差关系求得线段BE的长度即可．【解析】（1）如图，连接OD．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，又∵∠OBD＝∠DBE，∴∠ODB＝∠DBE，∴OD∥BE，又∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，又∵OD为半径，∴直线ED与⊙O相切；（2）如图，延长DO交AC于点H，连结CO，∵OD∥BE，∠ODE＝90°，∴∠OHC＝90°，即OH⊥AC，又∵OA＝OC，∴AH＝CH，又由O是AB的中点，∴HO是△ABC的中位线，∴HO BC．∵AC为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝12，BC＝5，∴AB13，∴OA＝OD AB．∴HD＝HO+OD＝9由四边形CEDH是矩形，∴CE＝HD＝9，∴CE＝9，∴BE＝CE﹣BC＝4．。

九年级上册数学《直线与圆的位置关系》
复习资料苏教版
知识点
①直线和圆无公共点，称相离。

AB与圆o相离，d&gt;r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。

AB与⊙o相交，d
③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

AB与⊙o相切，d=r。

平面内，直线Ax+By+c=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
.由Ax+By+c=0，可得y=/B，，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
如果b^2-4ac&gt;0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac&lt;0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+c=0，即x=-c/A，它平行于y 轴，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为^2+^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
当x=-c/Ax2时，直线与圆相离;。

授课学案授课标题直线与圆的位置关系（1）学习目标1.理解直线与圆的三种位置关系和相关特征，掌握直线与圆的各位置关系所表现的数量特征。

2.掌握直线与圆相切时的相关判定和性质定理，并能进行灵活运用。

重点难点1.重点：直线与圆的三种位置的性质和判定。

2.难点：直线与圆的三种位置关系的研究及运用。

一、知识点1.直线与圆有种位置关系，分别是。

2.将公共点个数确立为直线和圆位置关系分类的原则：(1)当直线与圆有两个公共点时，则直线和圆。

(2) 当直线和圆有唯一公共点时，则直线和圆。

这时直线叫做圆的，唯一的公共点叫做。

(3) 当直线和圆公共点时，则直线和圆相离。

3.如果将圆心O到直线l的距离记作d，圆O的半径记作r：(1)如果直线与圆相离，那么 d r；(2) 如果直线与圆，那么 d﹦r；(3)如果直线与圆相交，那么 d r。

4.切线的判定定理：经过外端并且垂直于的直线是圆的切线5.切线的性质定理：圆的切线于过切点的半径二、.经典例题题型一、 直线与圆的位置关系例题1. 已知圆的直径为13 cm ，圆心到直线l 的距离为6 cm ，那么直线l 和这个圆的公共点有 个.例题2. 在RT △ABC 中，,4,3,90cm BC cm AC C o===∠以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm (2) r=2.4cm (3) r=3cm题型二、 切线的性质与判定 例题3. 如图1所示，DB 切O 于点A ，66,AOM ∠=︒则DAM∠度.例题4. 如图2所示，AB 为⊙O 的直径，C 为圆上一点，过点B 作直线和过点C 的⊙O 的切线垂直，垂足为点D ，连接BC 。

（1）BC 是否为∠ABD 的平分线？为什么？ （2）BD 交⊙O 于点E ，连接AE 。

若BD=14， BE ：DE=5：2，求⊙O 的半径和线段CD 的长。

例题5.已知：如图3，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，BD和过E点的直线CD互相垂直，垂足为D，BD交⊙O于F，且BE平分∠ABD。

《直线与圆的位置关系》专题解析【考点图解】【技法透析】1．判定直线与圆的位置关系的方法有两种：一是从直线与圆的公共交点的个数来进行判断，另一种是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系来判断．2．切线的判定方法有三种：一是根据定义，直线与圆只有一个公共点；二是圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；三是切线的判定定理，当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常用“连半径证垂直”的方法，当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常用“作垂直证半径”的方法．3．切线的性质定理有：①切线与圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．4．涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据租方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理．5．和圆有关的比例线段定理包括相交弦定理、切割线定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系．利用这些定理，可直接进行线段的等积式的变换，或比例线段的转化．【名题精讲】考点1直线与圆的位置关系例1 如图10－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，OB＝m，⊙O的半径为r＝12，当m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交？【切题技巧】要判断OB＝m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交，就是要判断圆心O到BC的距离d与⊙O的半径r之间的大小关系．【切题技巧】作OD⊥BC于点Ｄ【借题发挥】判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小确定：①若d<r，直线与圆相交；②若d＝r，直线与圆相切；③若d>r，直线与圆相离．【同类拓展】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；BC＝4cm，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．相切或相交2．如图10－2，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P 在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是( )A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤2C．0≤x≤2D．x>2考点2直线与圆相切的综合问题例2 如图10－3，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．(1)求证：PC是⊙O的切线(2)求证：BC＝12AB(3)点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN·MC的值．【切题技巧】(1)证∠OCP＝∠ACB＝90°即可得PC是⊙O的切线，(2)证∠CBO＝∠COB得BC＝OC，从而有BC＝12AB，(3)连MA，MB，先证△BMN∽△CMB得MN·MC＝BM2，再在Rt△ABM中求出BM长即可求值．【规范解答】【借题发挥】切线的证明有两种方法：一种是已知切点，连接圆心和切点证垂直；另一种是不知切点，过圆心向已知直线作垂线，证垂线段长等于半径．【同类拓展】3．如图10－4，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于D，交AC于点E，连接AD，BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G，则以下正确的结论是_______（填序号）①BD＝CD ②DF是⊙O的切线③∠DAC＝∠BDH ④DG＝12BM4．如图10－5，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC 于点D，连接BD．(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．考点3线段相等的证明例3 如图10－6，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD＝BC，CE⊥AD，垂足为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC【切题技巧】由切割线定理得PC2＝PF·PA，要证明PE＝PC，只需证明PE2＝PF·PA，这样通过圆幂定理把线段相等问题转化为线段等积式的证明，由三角形相似可完成，【规范解答】延长DA交⊙O于K，连结BK，OC．【借题发挥】证比例式或平方法是圆中证线段相等的重要方法，证比例式常通过相似三角形或平行线性质得到，当要证相等的线段中有一条是圆的切线时，常采用平方法，而线段的平方常由切割线定理，相似三角形的性质来证，值得注意的是，几何图形中有直径这一条件，常添加辅助线，构成直径上的圆周角是直角，使其杓成直角三角形．【同类拓展】5．如图10－7，AB是半圆的直径，AC⊥AB，在半圆上任取一点D，过点D 作DE⊥CD，交直径AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F，问图中除了AB＝AC外，是否还有其它两条线段相等，如果有，指出这两条相等的线段，并给出证明：如果没有，也要说明理由．6．如图10－8，四边形ABCD为正方形，00过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．(1)求证：DE＝AF；(2)若⊙O的半径为32，AB＝2＋1，求AEED的值．考点4多边形的切圆问题例4 如图10－9，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切（我们称T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【切题技巧】(1)由圆内接正六边形的特点可知，相邻两个顶点与圆心构造的三角形是等边三角形，所以它的外接圆半径与边长相等，由此不难得出它们的比值；(2)由相切关系和等边三角形的性质可求得它们之间的比值．【规范解答】(1)如图10－10，连接圆心O和Ｔ1的6个顶点可得6个全等的正三角形，且OC⊥AB．∴OA＝AB=b，AC=12 b．【借题发挥】解决正多边形外切圆和内接圆问题的一般方法是转化为等腰三角形或直角三角形问题，特别地，对于三角形的内切圆问题，有一条很有用的结论：如图10－11，⊙O切△ABC 的三边于点D，E，F，则AE＝AF＝12(AB＋AC－BC)，BD＝BF＝12(BC＋AB－AC)，CD＝CE＝12(AC＋BC－AB)．【同类拓展】7．如图10－12，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上的点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于E，F两点，设AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径等于_______．8．如图10－13，△ABC是正三角形，点C在矩形ABDE的边DE上，△ABC的内切圆半径是1，则矩形ABDE的外接圆直径是_______．考点5 直线与圆的动态问题例5 如图10－14，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB ＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为ts，当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．(1)当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．【切题技巧】对于(1)按半圆与直线AC，AB相切分两大类，每一大类又可分两小类：①与线段AC相切，切点为E；②与线段AC相切，切点为D；③与线段AB相切，切点为F；④与线段AB的延长线相切，切点为Q．【规范解答】(1)在图10－15中，①如图10－15①，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm．所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了2cm，所求运动时间为：t＝22＝1(s．)②如图10－15②，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12 cm．则OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了8cm，所求运动时间为：t＝82＝4(s)．③如图10－15③，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了14cm，所求运动时间为：t＝142＝7(s)．④如图10－15④，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作⊙O上直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径．所以直线AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm，所求运动时间为：t＝322＝16 (s)．因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB 所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交，所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切．(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与图③所示的两种情形．①如图10－15②，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：s扇形EOM＝14π×62＝9(cm2)．②如图10－15③，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则PH＝BH．Rt△OBH中，∠OBH＝30°，OB＝6cm，则OH＝3cm，BH＝33cm，BP＝63cm．S△POB＝12×63×3＝93(cm2)．又因为∠DOP＝2∠DBP＝60°，所以S扇形DOP＝16π×62＝6π(cm2)．所求重叠部分面积为：S△POB＋S扇形DO P＝（93＋6π）(cm2)．【同类拓展】9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？参考答案1. B2. C3.①②③④4．(1)203(2)略5．BF＝BE 6．(1)略227．aba b219．(1)t＝83（s）(2)t＝2。

第2章对称图形一一圆2.5直线与圆的位置关系（3）【基础提优】1.如图，AABC的内心为点0, ZBOC=HO°,则ZA的度数是（）第1题2.如图，OO是RtAABC的内切圆，D, E,数为（）A.25°B. 30°C. 45°3.己知在Z\ABC中，内切圆OI和BC, CA,第2题F分别为切点，ZACB=90°,则ZEDF的度D. 60°AB边分别相切于点D, E, F,则点1是厶ABC （）A.三条高的交点B.三个内角平分线的交点C.三边中线的交点D.三边垂直平分线的交点4.下列说法中，正确的是（）A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B.圆有且只有一个外切三角形C.三角形有且只有一个内切圆D.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等5.如图，在AABC屮，OI是AABC的内切圆，与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,则ZFDE与ZA的关系为__________________________ .6.如图，PA、PB分别切OO于点A、B,并与OO的切线分别相交于D、C两点，已知PA=7 cm,则Z\PCD的周长等于__________ .7.在厶ABC中，如果ZA=/??°,点I是内心，那么ZBIC= __________ .8.已知OO 分别切△ ABC 的三边AB, BC, CA 于点D, E, F,若BO G, AO/?, AB=c, ZC=90°,则OO的半径为9. 如图，某市有一块由三条马路闱成的三角形绿地，现准备在其屮建一小亭供人们休息， 要求小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.（不写作法，保留作图痕迹）10. 如图，点I 是AABC 的内心，ZBAC 的平分线与AABC 的外接圆相交于点D,交BC于点E.求证：BD=ID.【拓展提优】1. 已知三角形的面积为15,周长为30,则它的内切圆半径为（） A. 2 B. 1 C. 1.5D. 2.52. 下列四边形中，一定有内切圆的是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形D.直角梯形 3. 如图，是边长为2的等边三角形ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积是（）ZDCF=32°,那么ZA 的度数为（）A ・n B. ---------- T t 3第3题4.如图，EB 、EC 是。

苏版初三上册数学复习要点：直线和圆的位置关系知识点对朋友们的学习专门重要，大伙儿一定要认真把握，查字典数学网为大伙儿整理了人教版九年级上册数学复习要点：直线和圆的位置关系，让我们一起学习，一起进步吧!1、直线和圆的位置关系：d----圆心到直线的距离，r----圆的半径1)直线与圆相交dr。

2、圆切线的判定方法：1)定义：直线与圆只有一个公共点。

2)直线到圆心的距离等于半径。

(当题目未交待直线与圆有公共点时，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径)3)定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(当题目交待了直线与圆的公共点时，则作过公共点的半径，再证明该半径与直线垂直)3、切线的性质：1)切线与圆只有一个公共点。

2)切线和圆心的距离等于圆半径。

3)定理：切线垂直于过切点的半径。

(或过切点的半径垂直于切线)[总结为：一条直线满足：1)过圆心;2)过切点;3)垂直于切线。

中的任意两点，则第三点也成立]4、切线长定理：1)切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。

那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录同时阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便能够积存40多则材料。

假如学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?2)定理：从圆外一点能够引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录同时阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。