北师大版高中数学必修二空间图形的基本关系与公理同步练习(精品试题)

第一章§4一、选择题1．已知点A，直线a，平面α：①A∈a，a⃘α⇒A∉α②A∈a，a∈α⇒A∈α③A∉a，aα⇒A∉α④A∈a，aα⇒Aα以上命题表述正确的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案] A[解析]①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不对；③中A 可以在α内，也可以在α外，故不正确；④符号“Aα”错．2．在空间中，下列命题成立的有________个()①两组对边都平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③顺次连接空间四边形各边中点所得的一定是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]②错误．3．在空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点[答案] D[解析]A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理1知其可以确定一个平面．4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线与直线EF互为异面直线的条数是()A．4 B．6C．8 D．10[答案] C[解析]AB，AD，AA1，A1B1，A1D1，D1D，D1C1，DC与直线EF都是异面直线．5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③[答案] C[解析]①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误．故选C.6．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合[答案] C[解析]∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A写法错误．二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线CC1平行的棱的条数是________．[答案] 3[解析]与CC1平行的棱有AA1，BB1，DD1.8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有________个．[答案]1或4[解析]四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面．三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．[解析]如图(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．(2)正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，故R∈PQ.所以P、Q、R三点共线．一、选择题1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] B[解析]对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A.对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确．2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案] B[解析]取A1B1的中点M，连接GM，HM.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，H，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，∴△GMH为正三角形，EF∥MG.于是∠MGH为异面直线EF与GH所成的角，即为60°角．二、填空题3．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．[答案] 3[解析]将展开图恢复成正方体后，得到AB与CD，EF与GH，AB与GH三对异面直线．4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．[答案]③④三、解答题5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线．[解析]因为点P既在平面α内又在平面AB1内，所以点P在平面α与平面AB1的交线上．同理，点A1在平面α与平面AB1的交线上．因此，P A1就是平面α与平面AB1的交线．同理可得：交线A1C1与交线PC1.所以由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线如图所示．6．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．[解析] ∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β.又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与平面β的一个公共点．同理可证，F ，G ，H 为平面α与平面β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．7．如图，两个三角形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ；(2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值． [解析] (1)证明：∵AA ′与BB ′交于点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝23，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)∵A ′B ′∥AB ，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′、AC 和A ′C ′方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.∴同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝(23)2＝49.。

《空间图形的基本关系与公理》同步测试题例1.下列命题：①空间不同的三点可以确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必定重合；③空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。

其中正确的命题是例2.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB 、CD 、EF 、GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________例3.三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。

已知：平面c b a =⋂=⋂=⋂λβγαβα,,，求证：a ∥b ∥c 或者a ，b ，c 交于一点P 。

例4.如图，O 1是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1C 1D 1的中心，M 是对角线A 1C 和截面B 1D 1A 的交点，求证：O 1、M 、A 三点共线。

例5.如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝BC/3，CH ＝DC/3。

求证：E 、F 、G 、H 四点共面；直线FH 、EG 、AC 共点。

同步训练一、选择题1.下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50m ，宽是20m ；③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2.下列图形中，不一定是平面图形的是( )A ．三角形B ．菱形C ．梯形D ．四边相等的四边形3.下列推理错误的是（）A ．ααα⊆⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,B ．AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．重合与不共线且βαβα⇒∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,,,4.下列命题中，正确的是（）A ．经过两条相交直线，有且只有一个平面．B ．经过一条直线和一点，有且只有一个平面．C ．若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点．D ．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．3．下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（）A ．α内的所有直线与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与a 平行D ．α内的直线与a 都相交6．对两条不相交的空间直线a 和b ，则（）A ．必定存在平面α，使得a α⊂，b α⊂B ．必定存在平面α，使得a α⊂，//b αC ．必定存在直线c ，使得//a c ，//b cD ．必定存在直线c ，使得//a c ，b c ⊥7．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（）A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交8.在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另两条分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点9.空间中有三条线段AB 、BC 、CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交均有可能10.下列叙述中正确的是（ ）A.因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α。

空间图形的基本关系与公理检测一、选择题1．在空间中，下列命题不正确的是（）A．若两个平面有一个公共点，则他们有无数多个公共点B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C．若点A既在平面α内又在平面β内，则α与β相交于直线l且A在l上D．任意两条直线不能确定一个平面2．空间有五个点，没有四个点在同一个平面内，这样的五个点最多能确定的平面的个数是（）A．3B．4 C．5D．103．用符号表示语句“直线a、b相交于平面内一点M”，正确的表示方法是（）A．B．C．D．4．三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（）A．1B．2 C．3D．1或35．两两相交的三个平面，最多能将空间划分n部分，则n的值为（）A．6B．7 C．8D．96．已知二直线a，b都和第三条直线c垂直并相交，则直线a，b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交、异面7．已知a，b是异面直线，直线a上有5个点，直线b上有8个点，则由这13个点能确定平面的个数是（）A．5B．8 C．13D．2208．已知a，b是异面直线，且直线c//a，那么直线c与直线b（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线9．已知异面直线a与b成80°的角，P为空间一定点，则过点P与a，b所成的角都是50°的直线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．过一点与已知直线垂直的直线有（）A．一条B．两条C．无数条D．一条或无数条二、填空题11．直线与平面公共点的个数可能为_________．12．设是两个相交平面，直线，直线，那么直线a与b的位置关系是_________．13．在空间四边形ABCD中，对角线AC=BD=2a，M、N分别是边AB、CD的中点，若MN=，则AC和BD所成的角为__________．14．给出下述五个命题：①一条直线和一个点可以确定一个平面；②三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线最多只能交于一个点；③两个平面有无数个公共点，那么这两个平面一定重合；④三条两两相交但不交于同一点的直线在同一平面内；⑤与不共线的三个点的距离都相等的点有一个或三个．其中正确的命题的序号是_________．三、解答题15．已知空间四点A，B，C，D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．16．已知点E、F、G、H分别是空间四边形AB、AD、CD、CB上的点，且直线EF和HG交于点M，求证：点B、D、M在同一直线上．17．已知：如图所示，AD和BC是异面直线，M、N分别是AB、CD的中点．求证：MN<(AD＋BC)．18．已知：＝a，，，，c//a.求证：b、c是异面直线．答案：例1、解析：对于①，在这两个条件下，直线a和c还可以异面，故为假命题．对于②，a、c不一定相交，也可以平行，也可以异面，故也为假命题．对于③，a、c还可以异面，假命题．对于④，a、c可以平行，也可以相交，则不一定异面，还是假命题．故真命题个数为0，选A.例2、证法1：∵a//b，∴a、b确定平面α，∴DAα，B∈α，又Cα，故AD与CB异面．证法2：（反证法）∵a//b，∴a、b确定平面α，DAα，B∈α，又Cα，假设AD、BC共面，则A、B、C、D∈α，与Cα矛盾．故假设不成立.∴AD与CB异面.例3、已知：a//b//c，．求证：直线a，b，c，l共面．分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明四线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条直线确定一个平面，另两条直线确定平面，再证平面重合．证明：，∴a、b确定一个平面，设为α．又．又即．同理b、c确定一个平面，．∴平面α与β都过两相交直线b与l．∵两相交直线确定一个平面，∴α与β重合．故l与a、b、c共面．例4、分析：欲证明P，Q，R三点在一条直线上，只需证明P，Q，R三点是两个平面的公共点，由公理2知，P，Q，R三点一定在两个平面的交线上．证明：如图，A，B，C三点确定的为平面ABC，直线AB在平面ABC内，直线与平面α的交点为P，所以点P在平面ABC内，也在平面α内，也就是P是平面ABC与平面α的公共点，故平面α与平面ABC相交，设其交线为l，则．同理，所以P，Q，R在一条直线上．它们都在平面α与平面ABC的交线l上．点拨：在立体几何中，证明三个点（或更多的点）共线通常所使用的方法都是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点．例5、分析：本题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造和异面直线a、b平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图所示，连接BC，并取BC的中点O，连接OM、ON．∵OM、ON分别是△ABC和△BCD的中位线，∴OM//AB，ON//CD，即OM//a，ON//b．∴OM、ON所成的锐角或直角是异面直线a、b所成的角．又∵AB=6，CD=8，∴OM=3，ON=4．在中，又∵MN＝５,∴,.故异面直线a、b所成的角是90°．答案及提示：1-10 DDBDC DCDCC1．根据公理3知若两个平面有一个公共点，则它们相交，故A正确．若其中任意三点共线，那么它与第四个点确定一个平面，四点共面，所以B是正确的，根据公理3，C 是正确的；两条直线是平行或相交直线时，可以确定一个平面，所以应是D．2．空间五点A、B、C、D、E任四点不共面，可确定的平面为：平面ABC、平面ABD、平面ABE、平面ACD、平面ACE、平面ADE、平面BCD、平面BCE、平面BDE、平面CDE，即最多确定10个．3．直线a，b相交于平面内一点M，但直线a,b和平面的关系并不确定，并不保证a，b在平面内．4．三条直线两两相交，当三条直线相交于一点时，最多可确定三个平面；当三条直线相交有三个交点时，可确定一个平面．5．当三个平面两两相交，三条交线交与一点时，可将空间分为8部分．6．直线a，b都和第三条直线c垂直相交，则直线a，b的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面．7．因为一条直线和直线外一点可确定一个平面，所以从直线a上任选一点与直线b可确定5个平面；从直线b上任选一点与直线a可确定8个平面．所以共确定13个平面．8．假如c//b，又c//a，a//b，这与a，b是异面直线矛盾，c与b不可能平行．9．过定点P分别作a，b的平行线，则形成两对对顶角，其中一对对顶角的角平分线与成角，所以有3条．10．过一点与已知直线垂直的直线有无数条，包括相交垂直和异面直线．11．0或1或无穷多12．平行、相交或异面13．90°14．②④15．证明：（反证法）如果直线AB和CD相交或平行，这两条直线确定平面，则AB,CD ,∴A，B，C，D，这与已知矛盾．∴AB和CD既不相交，也不平行．16．证明：连接BD，则BD＝面ABD面CBD．∵面ABD．又面ABD．①同理可证HG面CBD，M面BCD．②由①和②可得M面ABD面BCD＝BD．故点B、D、M在同一直线上．17.证明：设BD的中点为P，连接PM、PN．∵AM=MB，DP=PB，.∵DN=NC，DP=PB，.在中，MN<MP＋NP,∴ MN<(AD＋BC).18.证明：采用反证法证明．如图所示，假设b，c共面，则b//c或b、c相交，若b//c，又a//c，∴a//b，这与矛盾．若，又，∴，．这与a//c矛盾，由上可知b、c既不平行又不相交．∴b、c是异面直线．。

8-2空间图形的基本关系与公理基础巩固一、选择题1．(文)已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上[答案] D[解析]D、E、F为已知平面与平面A′、B′、C′的公共点，由公理3知，D、E、F 共线．(理)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件[答案] A[解析]若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．2．(2011·四川理，3)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[答案] B[解析]本题主要考查空间直线的位置关系，A l1与l2可能异面，相交，则A不对；B 正确；C可形成3个平面；D l1、l2、l3共点可形成3个平面，故选B.3．若直线l不平行于平面α，且lα，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交[答案] B[解析]本题考查了线面、线线关系问题．由题意可得，l与α相交，则α内不存在与l平行的直线；(反证法)假若∃mα，则m∥l，又∵lα，∴l∥α这与l不平行平面α相矛盾．故假设错误．4．已知m、n为异面直线，m平面α，n平面β，α∩β＝l，则l( )A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交[答案] B[解析]若m、n都不与l相交，∵mα，nβ，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交．5．(文)已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②③④[分析] 本题是研究直线与平面的平行与垂直关系的问题，解答时注意选择合适的图形来说明，还要能举出反例．[答案] C[解析]①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行；④错误，a，b相交时结论才成立．(理)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于( )A.105 B.155 C.45 D.23[答案] B[解析] 取C 1D 1的中点G ，连OG ，GE ，易知∠GOE 就是两直线OE 与FD 1所成的角或所成角的补角．在△GOE 中由余弦定理知cos ∠GOE ＝OG 2＋OE 2－EG 22OG ·OE＝5＋3－22×5×3＝155.6．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d 1，平面α2，α3之间的距离为d 2，直线l 与α1，α2，α3分别相交于P 1，P 2，P 3.那么“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[分析] 本题借助平面的基本性质，考查了逻辑推理及立体几何知识，还考查了空间想象能力以及数形结合思想．[答案] C [解析]如图，α1∥α2∥α3，l 与α1，α2，α3分别交于点P 1，P 2，P 3；作P 3F ⊥α1，且P 3F 与α2交于点E ，则FE ＝d 1，EP 3＝d 2.根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得P 1F ∥P 2E ，则P 1P 2P 2P 3＝d 1d 2，显然“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的充分必要条件．二、填空题 7．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c . 其中真命题的序号是________． [答案] ③[解析] ①a ，c 可能相交、平行或异面；②a ，c 可能相交、平行或异面；③正确．④a ，c 可能相交，平行或异面．8．(文)对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点； ②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有________． [答案] ①④[解析]①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内；②中可有线和平面平行；③中直线最多可确定3个平面；④同①.(理)如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．[答案] 30°[解析]取AD的中点H.连接FH、HE.则EH∥CD，FH∥AB，∴∠FEH为EF、CD所成角，∴EF⊥FH，EH＝2，又FH＝1，∴∠FEH＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.三、解答题9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求：(1)AB与B1C所成的角；(2)AB 与B 1D 的距离．[解析] (1)∵AB ∥CD ，∴∠B 1CD 为AB 和B 1C 所成的角， ∵DC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴DC ⊥B 1C ， 于是∠B 1CD ＝90°， ∴AB 与B 1C 所成的角为90°.(2)∵AB ∥CD ，AB 平面B 1DC ，DC 平面B 1DC ， ∴AB ∥平面B 1DC ，从而AB 与B 1D 的距离即为AB 与平面B 1DC 的距离， 连接BC 1交BC 于O 点， 易知BO ⊥B 1C ，BO ⊥CD ， ∴BO ⊥平面B 1DC ，∴BO 的长为B 到平面B 1DC 的距离， ∵BO ＝22， ∴AB 与B 1D 的距离为22. 能 力 提 升一、选择题1．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③[答案] C[解析]本题考查了立体几何中点线面之间的位置关系的判定，在解题过程中采用了反证的思想，多做有益假设便于做出判断，如①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．2．(文)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．aα，bαB．aα，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．aα，b⊥α[答案] B[解析]a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.(理)一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③[答案] D[解析] 如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D.二、填空题3．(2012·丰台模拟)已知线段AB 、CD 分别在两条异面直线上，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，则MN ________12(AC ＋BD )(填“>”，“<”或“＝”)．[答案] <[解析] 如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN 与AB 、CD 的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD ，取AD 的中点为G ，再连接MG 、NG ，在△ABD 中，M 、G 分别是线段AB 、AD 的中点，则MG ∥BD ，且MG ＝12BD ，同理，在△ADC中，NG ∥AC ，且NG ＝12AC ，又根据三角形的三边关系知，MN <MG ＋NG ，即MN <12BD ＋12AC ＝12(AC＋BD)．4．(文)a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．[答案] ①[解析]由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b 与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．(理)如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． [答案] ②③④[解析] 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .三、解答题5．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 上的点，请回答下列问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH 为平行四边形？ (2)满足什么条件时，四边形EFGH 为矩形？ (3)满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形？[分析] 四边形是平行四边形、矩形、正方形，首先转化为线线平行问题，而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.[解析] 本题是一个开放性问题．(1)E 、F 、G 、H 为所在边的中点时，四边形EFGH 为平行四边形．证明如下： ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，从而EH ∥FG ，且EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 一般地AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CGCD时四边形EFGH 为平行四边形．(2)AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CGCD且BD ⊥AC 时，四边形EFGH 为矩形．(3)当E 、F 、G 、H 为所在边的中点且BD ⊥AC ，AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形． [点评] 上述答案并不唯一，如当AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CG CD 时，四边形EFGH 也为平行四边形．6．(文)(2011·江苏，16)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[解析]证明：(1)在△PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD.所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.(理)已知空间四边形ABCD的对角线AC＝10，BD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，MN＝7.求异面直线AC与BD所成的角．[解析]如图，取BC的中点E，连接EM，EN，因为M，N分别是AB，CD中点，所以EM ∥AC ，EN ∥BD .所以∠MEN 就是异面直线AC 与BD 所成的角或所成角的补角．在△MEN 中，由余弦定理得cos ∠MEN ＝ME 2＋NE 2－MN 22ME ·NE ＝25＋9－492×5×3＝－12， 又因为异面直线所成角的范围是(0,90°]，所以异面直线AC 与BD 所成的角为60°. 7.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．[解析] 连接B 1G ，EG ，B 1F ，CF .∵E 、G 是棱DD 1、CC 1的中点，∴A 1B 1綊EG .∴四边形A 1B 1GE 是平行四边形．∴B 1G ∥A 1E .∴∠B 1GF (或其补角)就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在Rt △B 1C 1G 中，B 1C 1＝AD ＝1，C 1G ＝12AA 1＝1， ∴B 1G ＝ 2.在Rt△FBC 中，BC ＝BF ＝1，∴FC ＝ 2.在Rt △FCG 中，CF ＝2，CG ＝1，∴FG ＝ 3.在Rt △B 1BF 中，BF ＝1，B 1B ＝2，∴B 1F ＝5，在△B 1FG 中，B 1G 2＋FG 2＝B 1F 2， ∴∠B 1GF ＝90°.因此，异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°.。