19.2.2 一次函数
板书设计
19.2.2 一次函数（2）
19.2.2 一次函数（3）
教学过程设计
板书设计
19.2.2 一次函数（第4课时）【教学任务分析】
目标方法法.
情感
态度
在数学建模的过程中，发展创新实践能力，培养学生的数学应用意识.
重
点
灵活运用知识解决相关问题.
难
点
分类讨论的分析方法.
【教学环节安排】
环节教学问题设计教学活动设计
情境引入【问题1】今年某地区发生严重干旱，自来水公司为
了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居
民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，
当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9．
(1)画出函数的图象；
(2)观察图象，利用函数图象，回答自来水公司采
取的收费标准.
分析：本题y随x变化的规律分成两段：当0≤x≤5
时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9. 画图象时也
要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．
提醒：解决这类函数问题，要特别注意自变量取值范
围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
生自主探究，通过教师
引领，鼓励合作交流、
互帮互助.
教师选择两个同学进行
板练，同时进行.其他在
练习本上练习.（板练的
小组采取合作的形式，
一人画图，一人写步骤，
一人负责组织语言准备
讲解.
自主探究【问题2】“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，
如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的
种子的价格打8折.
（1）填出下表：
买种子的
数
量/千克
1
2
1 3
2
2 5
2
3 7
2
4 …
付款金额/…
【分析】付款金额与种
子价格相关，种子价格
是变化的，它与购买的
种子数量有关.设购买x
千克种子，当x取
______________时，种
子的价格为5元/千克；
当x取___________时，
元 （2）（2）写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图象.
总结：1.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了 2.分段函数的书写：当02x ≤≤时，5y x =，
当2x >时，4(2)1042y x x =-+=+也可以写成5(02)
42(2)x x y x x ≤≤?=?+>?
种子的价格分两部分：2
千克按5元/千克，其余的（即超出部分）
___________按8折，即_________计价. 因此，写函数解析式与画图时，应对______________和
_________________分段讨论.
问题2关注学生是否分段考虑，分段求解析式，这是解题的关键.
尝 试 应 用
一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y 与x 之间的关系式
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?
成 果 展 示
回顾以上的题目，利用分段函数解决实际问题时，应该注意哪些问题？
先独立思考，然后在小组内交流，在班内展示.
课题：6.2一次函数（1） 教学目标：１．认识正比例函数的意义． ２．掌握正比例函数解析式特点．理解正比例函数图象性质及特点 ３．能利用所学知识解决相关实际问题． 教学重点：理解正比例函数意义及解析式、函数图象的性质特点． 教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握． 教学过程 一．提出问题，创设情境 思考：变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？ 二．导入新课 1、看下列几道题 （１）．圆的周长L随半径r的大小变化而变化． （２）．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．（３）．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n 的变化而变化． （４）．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化． 解：１．根据圆的周长公式可得：L=2 r． ２．依据密度公式p=m V可得：m=7．8V． ３．据题意可知： h=0．5n． ４．据题意可知：T=-2t． 我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样． 板书：一般地，?形如y=?kx?（k?是常数，?k?≠0?）的函数，?叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
2、我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ 画出下列正比例函数的图象，并进行比较， 寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑 两个函数的变化规律． （１）．y=2x ２．y=-2x 引导学生正确画图、 积极探索、总结规律、准确表述． 活动过程与结论： 函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值： 画出图象如图（1）． （２）．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值： 画出图象如图（2）． （３）．两个图象的共同 点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；?经过第二、四象限． x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -6 -4 -2 0 2 4 6 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6
《一次函数2》教案 知识技能目标 1.使学生熟练地作出一次函数的图象，会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2.会作出实际问题中的一次函数的图象. 过程性目标 1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活； 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题． 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？ (一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象). 2.正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过哪一点的直线？ (正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线). 3.平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征？ 4.在平面直角坐标系中，画出函数12 1-=x y 的图象.我们画一次函数时，所选取的两个点有什么特征，通过观察图象，你发现这两个点在坐标系的什么地方？ 二、探究归纳 1.在画函数12 1-=x y 的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0，-1)和(2，0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0，-1)在y 轴上，点(2，0)在x 轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y 轴与x 轴的交点. 2.求直线y ＝-2x -3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线. 分析 x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0．由此可求x 轴上点的横坐标值和y 轴上点的纵坐标值． 解 因为x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0，所以当y ＝0时，x ＝-1.5，点(-1.5，0)就是直线与x 轴的交点；当x ＝0时，y ＝-3，点(0，-3)就是直线与y 轴的交点. 过点(-1.5，0)和(0，-3)所作的直线就是直线y ＝-2x -3.
一次函数的应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●理解一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数与二元一次方程组的关系，会 根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式的求解问题；会用图象法解二元一次方程组。 ●学习用函数的观点分析方程（组）与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。 重点 ●一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数图象确定一元一次不等式的解集；对应关系的理解及实际问题的 探究建模。 难点： ●一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数与一元一次不等式的关系的理解；二元一次方程组的解与两直线 交点坐标之间的对应关系的理解。 学习策略： ●通过一次函数、一元一次不等式、一元一次方程及两元一次方程（组）之间的对比，总结出它们之间的内在联系， 真正理解函数与方程，函数与不等式，函数与方程组的关系，进一步体验数形结合思想意义，提高解决实际问题的能力。 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （一）一次函数：一般地，形如的形式，则称y是x的一次函数；特别地当时，即形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （二）一元一次方程：只含有个未知数（元），并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是： .
（三）一元一次不等式：只含有 个未知数（元），并且未知数的次数都是 的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式的标准形式是： . （四）二元一次方程：含有 个未知数，并且未知数的指数都是 ，这样的方程叫做二元一次方程。 （五）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 解，叫做二元一次方程组的解。 知识点一：一元一次方程、一元一次不等式、与一次函数之间的关系 请你注意： （一）一次函数与一元一次方程 由于一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a 、b 为常量，a ≠0)的形式，所以解一元 一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为 时，求相应的 的值。 从图象上看，这相当于已知直线y ＝kx+b （k ，b 是常数，k ≠0）与 轴交点的 _____坐标的值. （二）一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b ＜0或0ax b +≥或 0ax b +≤（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次 函数的值 0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应 一次函数y ＝ax +b （a ，b 是常数，a ≠0） 一元一次方程ax +b =0(a 、b 为常量，a ≠0) 一元一次不等式ax +ｂ＞0 或 ax +ｂ＜0或0ax b +≥或 0ax b +≤（a 、ｂ为常数，a ≠0） 令y=______ 令y> (或<，≥,≤)0 不等式解集的 端点值就是对应 方程的解 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。
121教学模式 科目_________________________ 年级_________________________ 教师＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 数学 八年级 潘明明
课前进行1分钟防火教育 “121”教学模式导学案（______科） 数学
当0 b<时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限. 第二环节初步探究 容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万米3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题： （1）水库干旱前的蓄水量是多少？ (2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？ (3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？ (4)按照这个规律，预计持续干旱 多少库将干涸？ （根据图象回答问题，有困难的可以 互相交流．） 答案：（1）当0 y=，水库 x=，1200 干旱前的蓄水量是1200万米3. (2)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值．当10 t=时，V约为1000万米3．同理可知当t为23天时，V约为750万米3． (3)当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V等于400万米3时，求所对应的t的值．当V等于400万米3时，所对应的t 的值约为40天． （4）水库干涸也就是V为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V为0时，所对应的t的值约为60天． 目的：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力． 效果：本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，从而渗透环保教育． 第三环节反馈练习：
怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计 初二数学 6.4用一次函数解决问题（1） 主备：樊新玲审校：周娟日期：2013年12月7日 学习目标： 1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式； 2．能将简单的实际问题转化为数学问题建立一次函数，从而解决实际问题； 3．通过具体问题的分析，发展解决问题的能力，增强应用意识．1． 教学重点：根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式． 教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，合理地建立一次函数的模型，并解决实际问题． 教学内容： 一、自主探究 在前几节课里，我们分别学习了一次函数、一次函数的图像、一次函数图像的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图像的应用． 名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南丽江城北15km，由12座山峰组成，主峰海拔5596m．海拔4500m处一条黑白分明的雪线蜿蜒山头，由于气候变暖等原因，雪线平均每年约上升10m，假如按此速度推算，经过几年，玉龙雪山的雪线将由现在的4500m退至山顶而消失？ 分析实际问题中变量与变量之间的关系，如果这种关系可以用一次函数表达式表示，那么就可用一次函数的相关知识，解决实际问题． 二、自主合作 问题1 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元． （1）写出每天的生产成本（包括固定成本和原料成本）与产量之间的函数表达式； （2）如果每件产品的出厂价为1200元，那么每天生产多少件产品，该工厂才有赢利？ 三、自主展示 在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第1年的月工资为2000元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加 300元．
《一次函数的应用(2)》教案 教学目标 1、能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题. 2、在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的练习. 3、通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维. 4、通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力. 教学重点 能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题. 教学难点 数形结合在解决实际问题中的使用. 教学过程 一、复习引入 在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中: 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
6.5一次函数图象的应用（第二课时） 一．说教材： （一）教材所处的地位和作用： 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． （二）教育教学目标： ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．●情感与态度目标： 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 教学重点 一次函数图象的应用 教学难点 从函数图象中正确读取信息 二．说学法教法： 1、教法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．如何从函数图象中读取有用的信息是本节课的难点和关键，在教学中要给学生以适当的引导，比如，看函数图象时要首先看清坐标轴的名称和单位，其次要理解关键点实际意义.另外，还可以引导学生结合实际情景理解k的意义. 2、学法：通过分析实际情景，建立函数模型，并通过观察图像来确定函数的性质，最终能够结合函数图象及其性质解决实际问题。 三、说教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题.
课题： 6.2一次函数（2） 教学目标：１．掌握一次函数解析式的特点及一次函数与正比例函数关系． 2．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律． 3．利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力． 教学重点：一次函数解析式特点． 教学难点：一次函数与正比例函数关系． 教学过程 一．提出问题，创设情境 问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y?与x的关系．分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为： y=15-6x （x≥0） 当然，这个函数也可表示为： y=-6x+15 （x≥0） 当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）． 这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题． 二．导入新课 （一）先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？ １．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C?的值约是t的7倍与35的差． ２．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值． ３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）． ４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．
一次函数的应用的教学设计 沙洋县蛟尾中学张金鸿 教学目标: 认知与技能：1.使学生巩固一次函数的概念和性质。 2.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 3.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 过程与方法：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与生活的联系。 2.通过制作函数图像解决实际问题的活动，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力。 情感态度与价值观：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生在数学活动中获得成功体验，建立自信心，增强学生应用数学的意识。 2.通过小组合作学习，培养学生的合作精神。 教学重点:1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 教学难点: 1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.根据实际意义准确地画出函数图像。 教学过程： 一、提出问题，导入新课
1.我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？ 问题1：（1）假如你是单位领导，你的单位急需用车，但又不准备买车，你们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租合同，设汽车每月行驶x 千米，应付给出租车公司的月租费是y1元，y1=110053+x ，（X ≥0），应付给个体车主的月租费是y2元，y2x 34=（X ≥0）。请你作出决定租哪家的车合算? （2）学生观察图像，判断租哪家车合算。 （3）根据图象，你能很快的回答下列问题吗？ ①如果该单位估计每月的行程约为800千米，那么这个单位租哪家的车合算？ ②如果该单位估计每月的行程约为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？ 二、合作探究，探求新知
§5.3 一次函数的图象（1）教案 主备：徐红石审核：席美丽时间：2009年12月17日 教学目标： 1．知道一次函数的图象是一条直线，会选取两个适当的点画一次函数的图象． 2．经历作图过程，初步了解画函数图象的一般步骤及一次函数的表达式与图象之间的对应关系。 3. 培养学生用“数形结合”的思想和解决数学问题的能力。 教学重点：一次函数的图象的画法。 教学难点: 对一次函数的表达式与图象之间的对应关系的理解。 学习过程： 一、自学质疑： 1.自学课本P151～153页，思考如何画一次函数的图象？ 2.一次函数y=kx+3的图象经过点（－1，5），则k=____-2___，其图象经过点（0，3 ）（3 2 ，0）。 3.一次函数y=5x+2的图象与x轴的交点坐标为（ 2 5 -，0）, 与y轴的交点坐标为（0，2）。 二、交流展示： 1.(1)图中共有几枝香? (2)图片怎样表示时间的变化? (3)这枝香点燃5min后缩短了多少?10min呢?请将你的观察结果填在书中的表格内。 (4)如果用y(cm)表示香的长度、x(min)表示香燃烧的时间，你能写出y与x之间的函数关系式吗? (5)依次连接图片中香的顶端，你有什么发现? (6)你能用平面直角坐标系，将图片所揭示的信息及你的发现告诉大家吗? 2. 一次函数的图象的画法： (1)什么是函数图象? (2) )函数图像上的点的横坐标如何确定?纵坐标如何确定? (3) 如何“列表”? (4)表中x的值如何选取?表中的y值如何确定? (5)怎样“描点”?描多少个点?点的坐标如何确定? (6)为什么要“连线”?怎样连线? 3. 试画出一次函数y=2x+1的图象 解：1、列表：先确定x的若干个值（注意不失一般性），然后填入相应的y值： x …-2 -1 0 1 2 … y=2x+1 …-3 -1 1 3 5 … 2、描点：描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点。也就是由表中给出的有序实数对，在直角坐标系中描出相应的点。 3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用平滑的线连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1的图象,它是一条直线。 小结：作一次函数图象有哪些步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。 三、互动探究：
§6.2 一次函数 教学目标 1.知识目标 1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。 2.能力目标 1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。 2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。 3.情感目标 1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数 学思维。 2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。 教学重点 1、一次函数、正比例函数的概念及关系。 2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。 教学过程 1、新课导入 有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看： 某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加 1 千克、弹簧长度 y 增加 0.5 厘米。 （ 1）计算所挂物体的质量分别为 1 千克、 2 千克、 3 千克、 4 千克、 5 千克时弹簧的长度，并填入下表： x/ 千克012345
y/ 厘米 3 3.5 4 4.5 5 5.5 （ 2）你能写出 x 与 y 之间的关系式吗？ 分析：当不挂物体时，弹簧长度为 3 厘米，当挂 1 千克物体时，增加 0.5 厘米，总长 度为 3.5 厘米，当增加 1 千克物体，即所挂物体为 2 千克时，弹簧又增加 0.5 厘米，总共 增加 1 厘米，由此可见，所挂物体每增加 1 千克，弹簧就伸长 0.5 厘米，所挂物体为 x 千克，弹簧就伸长 0.5x 厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即 y=3+0.5x 。 2、做一做 某辆汽车油箱中原有汽油 100 升，汽车每行驶 50 千克耗油 9 升。 （ 1）完成下表： 汽车行驶路程 x/ 千米 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量 y/ 升 你能写出 x 与 y 之间的关系吗？（ y=100-0.18x 或 y=100- 9 x ） 3、一次函数，正比例函数的概念 50 上面的两个函数关系式为 y=0.5x+3 ，y=100-0.18x ，都是左边是因变量 y ，右边是含 自变量 x 的代数式。 并且自变量和因变量的指数都是一次。 若两个变量 x,y 间的关系式可 以表示成 y=kx+b （ k ， b 为常数 k ≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（ x 为自变量， y 为因变量）。特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 4、例题讲解 例 1：下列函数中， y 是 x 的一次函数的是（ ） ① y=x-6 ；② y= 2 ；③ y= x ；④ y=7-x x 8 A 、①②③ B 、①③④ C 、①②③④ D 、②③④ 例 2：写出下列各题中 x 与 y 之间的关系式，并判断， y 是否为 x 的一次函数？是否 为正比例函数？ ①汽车以 60 千米 / 时的速度匀速行驶，行驶路程中 y （千米）与行驶时间 x （时）之 间的关系式； ②圆的面积 y （厘米 2）与它的半径 x （厘米）之间的关系；
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
《一次函数1》教案 知识技能目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念； 2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式． 过程性目标 1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系； 2.探求一次函数解析式的求法，发展学生的数学应用能力． 教学过程 一、创设情境 问题1小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离． 分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值，显然，应该探求这两个变量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是 s＝570－95t． 说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量． 问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式． 分析我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为y元，得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x． 问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点？ 二、探究归纳 上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数(linear function)．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0． 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)出叫正比例函数(direct proportional fun ction)．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例． 三、实践应用 例1下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
一次函数（2） 知识技能目标 1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2.会作出实际问题中的一次函数的图象. 过程性目标 1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活； 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题． 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？ （一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）. 2.正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过哪一点的直线？ （正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线）. 3.平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征？ 4.在平面直角坐标系中,画出函数12 1-=x y 的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方? 二、探究归纳 1.在画函数12 1-=x y 的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0,-1)在y 轴上，点(2,0)在x 轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y 轴与x 轴的交点. 2.求直线y ＝-2x -3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线. 分析 x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0．由此可求x 轴上点的横坐标值和y 轴上点的纵坐标值． 解 因为x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0，所以当y ＝0时，x ＝-1.5，点(-1.5,0)就是直线与x 轴的交点；当x ＝0时，y ＝-3，点(0，-3)就是直线与y 轴的交点. 过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线y ＝-2x -3. 所以一次函数y ＝kx ＋b ,当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，k b x -=.所以直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标是(0,b ),与x 轴的交点坐标是?? ? ??-0,k b .
《一次函数的应用—数学活动》 一、教学目标 （一）知识与能力目标： 进一步学会从一次函数的角度提出问题，分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。 （二）过程与方法目标： 1、经历提出问题，收集和整理数据的过程，形成如何决策方案的能力。 2、在利用图象探究决策方案过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的广泛性。 二、教学重、难点 重点：灵活运用一次函数进行方案决策 难点：灵活运用一次函数解决三种或三种以上方案决策 三、教法演示法、读图分析法、设问引导法、比较评价法，让学生自主探 索，合作交流。 四、学情分析 八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，掌握了一般三角形和轴对称的知识。因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学。 五、教法与学法 教法：我采用探索发现法完成本节的教学，在教学中以学生参与为主，通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件。 学法：在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为通过直观演示，得到感性认识，学生在学习中运用发现法，开拓自己的创造性思维，实现由学生自己发现感受“等腰三角形的性质”通过学生自己看、想、议、练等活动，让学生自己主动“发现”几何图形的性质，活跃学生的思维。 六、教学过程
七、板书设计 一次函数的应用 ——数学活动 预设板书（见课件） 生成板书（略） 设计理念： 本节课充分应用多媒体展示信息，板书从两个方面考虑：一是预设的课件，二是在黑板上展示的生成问题。 八、教学反思 课堂教学是一个在预设与生成问题之间交替进行的过程，我会根据课堂实施和学生反馈的信息，因势利导，随机应变，调整教学环节，努力为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们获得广泛的数学活动经验。这节课是在学生学习了一次函数的有关知识之后进行的，学生对一次函数的性质有了较深层次的理解，而且本节课的内容贴近学生实际，是移动电话如何选择缴费方式更能省钱的问题，而且是为家长帮忙，学生比较有兴趣，可以用自己所学知识帮助家长解决问题，让学生感到很有成就。另外，这节课的课件制作的也很精彩，并且教师设计了许多的学生活动，这些对于本节课的教学都有积极的作用，学生参与的积极性都很高，收到了较好的效果。但也有一些不足，我在备课的时候对于基础很差的一部分学生照顾不够，问题设计的没有照顾全体同学，以至于有一小部分学生没有很好的参与进来，这是我以后需要改进的地方。
4.4.2一次函数的应用 教学目标： 1．能通过函数图像获取信息，发展形象思维，培养学生的数形结合意识． 2．能利用函数图像解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力，培养学生良好的环保意识和热爱生活的意识． 3．初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系． 教学重点： 一次函数图象的应用． 教学难点：正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教法及学法指导： 1．教法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．另外，还可以引导学生结合图像理解函数的实际意义． 2．学法：通过分析实际情景，建立函数模型，并通过观察图像来确定函数的性质，最终能够结合函数图象及其性质解决实际问题． 课前准备： 教具准备：多媒体课件三角板彩笔 学生用具：三角板铅笔等 教学过程： 一、创设情境，引入新课
师：水是生命之源，生活中我们处处离不开水！这里有一段有关水资源的资料，请一位同学读一下． 生:今年3月22日是第20个世界水日，今年世界水日的主题是“水与粮食安全”.水是生命之源．虽然地球70.8％的面积被水覆盖，但97.5％的水是海水，既不能直接饮用也不能灌溉．在余下的2.5％的淡水中，人类真正能够利用的不足世界淡水总量的1％． 生:听后，学生一篇感叹声．．． 师：由此可见，节约用水对我们的生活有多重要．请同学们观察下面这四幅图来反映了怎样的自然现象？ 生1：土地在龟裂； 生2：水在减少导致干旱； 生3：干涸，水资源在减少，土地都裂了. 师：这几位同学说得很好．造成干旱的原因既有人为因素，也有自然因素．水在枯竭，如果我们还不珍惜，最后一滴水将与血液等价． 今天我们就一起针对节约用水的问题，从数学知识的角度来进行全面的分析，共同学习如何用一次函数的图象来帮助我们解决生活中的实际问题． 板书课题：4.4一次函数的应用（2） 设计意图：通过水资源的资料和生活中的图片引入新课比较贴近生活，可以吸引
《一次函数》教案 教学目标 (1)经历利用正比例函数图像的直观性探究正比例函数基本性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方法，归纳并掌握正比例函数的基本性质； (2)能够通过正比例函数图像画出一次函数的图像； (3)在正比例函数与一次函数实际应用的过程中，进-步认识函数与现实生活密切相关. 教学重点和难点 归纳并掌握正比例函数的基本性质；能用正比例函数画出一次函数的图像. 教学过程 一、复习旧知. ?正比例函数的解析式、定义域、图像的特点. 二、引出新知. (一)在同一直角坐标平面内，分别画出下列函数的图像. 1 (1)y 二4兀y=—兀 1 (2)y=~4x y= ---------- x 3 观察刚才所画的图形，思考并回答下列问题： (1)图1中的函数图像经过哪两个象限？图2中的函数图像呢？ (2)正比例函数y二总的图像经过哪两个象限是由什么来确定的？ (3)图1屮，当一条直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化时，点的位置随着从________ 到一_______ 逐渐变化(填“高”或“低”)； 这就是说，当自变量兀的值从小到大逐渐变化时，函数值y相应地从___________ 到_______ _逐渐变化(填“大”或“小”). 图2中，当一条直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化吋，点的位置随着从_____________ 到_ —逐渐变化(填“高”或“低”)； 这就是说，当自变量兀的值从小到大逐渐变化时，函数值y相应地从____________ 到_________ 逐 渐变化(填“大”或“小”)
(4)-般来说，对于正比例函数y二也，随着自变量兀的值逐渐增大，函数值y 将怎样变化？ (二)由画图的操作，通过观察和思考，讨论正比例函数有怎样的性质？ 学生思考、讨论，然后学生总结. 板书正比例函数的性质： (1)当Q0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量兀的值逐渐增大时，)，的值也随着逐渐增大. (2)当以0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量兀的值逐渐增大时，y的值也随 着逐渐减小. (三)练习新知. 例1画一次函数y = 2x+3的图像. 解为了便于对比，列出一次函数y = 2x + 3与正比例函数y = 2x的兀与的对应值表: 从图表中可以看111,对于自变量x的同一个值，一次函数y = 2x + 3的函数值要比函数J = 2x的函数值大3个单位.也就是说，对于相同的横坐标，一次函数y = 2x + 3的图像上点的纵坐标要比正比例函数J = 2x图像上点的纵坐标大3.因此，把直线J = 2x向上平移3 个单位，就得到一次函数y = 2x+3的图像由此可见，一次函数y = 2x+3的图像是平行
一次函数的应用 教学目标 【知识与技能】 学会用待定系数法求一次函数的解析式来解决实际问题,建立实际问题的函数模型. 【过程与方法】 经历对实际问题建立数学模型的过程,体验待定系数法的作用和一次函数模型的价值. 【情感、态度与价值观】 1.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题、建立实际问题的函数模型的过程,使他们感受到数学的用途和与生活的紧密联系. 2.让学生参与到教学活动中,提高学习数学及运用数学的积极性. 学情分析 学生学习了一次函数的图像和性质，用待定系数法确定一次函数解析式，已能够熟练的确定一次函数的解析式，并运用相关性质解决问题。学生已经学习了方程和不等式解决实际问题，具备分析实际问题的能力。 重点难点 【重点】 用一次函数知识来解决实际问题. 【难点】 建立实际问题的数学模型. 教学过程 一、创设情境,导入新知 师：一次函数的图像有哪些特点，说明一次函数有哪些性质？ （学生回答） 师:我们在上节课学习了待定系数法,大家还记得是怎么用的吗? 生:设出解析式,然后把已知点的坐标代入,解方程或方程组,解得系数值,进而得到解析式. 师:很好!我们这节课就用它来解决一些实际问题. 二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示. 【例】为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费;超过8m3时,超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为xm3,应缴水费y元. (1)给出y关于x的函数关系式. (2)画出上述函数图象. (3)该市一户某月若用水量为x=5m3或x=10m3时,求应缴水费. (4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这月用水量.
第十九章一次函数 课题：19.1.1变量 知识目标：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系 能力目标：增强对变量的理解 情感目标：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想 重点：变量与常量 难点：对变量的判断 教学媒体：多媒体电脑，绳圈 教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式 教学设计： 引入： 信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写 下面的表格，在试用含t的式子表示s. 新课： 问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x 的式子表示y? (2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规
律，如果弹簧原长
10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？ （3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r? （4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？ 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。 指出上述问题中的变量和常量。 范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系； （3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；（4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。 活动：1.分别指出下列各式中的常量与变量. (1)圆的面积公式S=πr2; (2)正方形的l=4a; (3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额与金额y的关系为y=2.5x. 2.写出下列问题的关系式，并指出不、常量和变量. （1）某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x 之间的关系式.
5.4一次函数的应用（1）教案 主备：徐红石审核：席美丽时间：2009年12月21日 教学目标： 1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式． 2．能将简单的实际问题转化为数学问题(建立一次函数模型)，从而解决实际问题． 3．在应用—次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性． 教学重点：一次函数图象的应用 教学难点: 培养学生用“数形结合”的思想方法解决数学问题的能力. 学习过程： 一、自学质疑： 2．自学课本157——158，思考： （1）157页的例题中s是t的函数吗？s=175相当于函数里的什么问题？ 可以用方程知识解决吗？ （2）158页的交流可以用方程知识解决吗？ 二、交流展示： （1）一次函数知识解决例题： （2）交流的解法： ① ② 三、互动探究： 一次函数知识解决问题和方程知识解决有什么区别和联系？ 用函数知识解题：（1）依据题意设出自变量和函数；（2）列出函数关系式；（3）求相应的函数和自变量的值。 四、精讲点拨：
1.某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1000元，投资一年可增加2500元产值。那么总产值y （万元）与增加的投资额x （万元）之间的函数关系式为3025y x =+。 2.某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y (元)是1吨水的价格(元) 的一次函数． ⑴根据下表提供的数据，求y 与x 的函数关系式．当水价为每吨10元时，10吨水生产出的饮 ⑵为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨20元收费．已知该厂日用水量不少于20吨．设该厂日用水量为t 吨，当日所获利润为W 元，求W 与t 的函数关系式。 （1.204y x =-+；2.20020 184(20)w t =??=184320t +） 五、纠正反馈： ⑴课本第158页练习1、2. ⑵某种储蓄的月利率是0.8%，存入100元本金后，本息和y （元）与所存月数x 之间的函数关系式是1000.8y t =+； 六、迁移应用： 某市出租车计费标准如下： 行程不超过3千米，收费8元；超过3千米部分，按每千米1.60元计算．求车费y 元和行驶路程x 千米之间的函数关系式，并分别求出当路程为2.5千米和7千米时应付的车费。 （()838 1.6(3)(3) x y x x ì￡??=í ?+->??；8，14.4）