线性代数教案第一章行列式

第一章 行列式◆ 基础知识概要1.n 阶行列式的定义二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=.三阶行列式.333231232221131211a a a a a a a a a 112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.对角线法则：n 阶行列式的定义()1212111212122212,,,121...n nn tnj j nj j j j n n nna a a a a a D aa a a a a ⋅⋅⋅==-∑ ,它是取自不同行不同列的n 个数的乘积1212...n j j nj a a a 的代数和（共!n 项），其中各项的符号为()1t-，t 代表排列12,,,n j j j ⋅⋅⋅的逆序数，简记为()det ij a .n 阶行列式也可定义为()121212,,,1...nnt i i i n i i i D a a a ⋅⋅⋅=-∑，其中t 为行标12,,,n i i i ⋅⋅⋅排列的逆序数.例1.1 计算行列式（1）12n λλλ；（2）12nλλλ.练习：计算下列行列式（1）234134201300400； （2）111212220n nnna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（上三角形行列式）；（3）11212212n n nna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （下三角形行列式）.2. 行列式的性质与计算 2.1行列式的性质（1）行列式与其转置行列式相等；（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号；特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零； （3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面； 即以数k 乘以行列式等于用数k 乘以行列式的某一行或某一列； 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零； （4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零； 特别地：比例系数为1（5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第i 列的元素都是两数之和：()()()1112111212222212i i n i i nn n ni ninn a a a a a a a a a a D a a a a a '⋅⋅⋅+⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，则D 等于如下两个行列式之和：1112111112112122222122221212i n i n i n i n n n ninnn n ninn a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a '⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k 倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.注：（1）交换行列式的第,i j 两行（或列），记作i i r r ↔（或i j c c ↔）； （2）第i 行（列）提出公因子k ，记作i r k ÷（或i c k ÷）；（3）以数k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上，记作i j r kr +（或i j c kc +）.范德蒙（Vandermonde ）行列式()3122222123111111231111nn i j nj i nn n n n nx x x x V x x x x x x x x x x ≤<≤----⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏注 右边是“大指标减小指标”.例1.2 计算行列式111311212524131122D ---=.（答：332）练习：计算行列式（1）3112513420111533D ---=---；（答：40）（2）3111131111311113D =；（答：48） (3) 1234234134124123D =；（答：160） （4）2324323631063a b c d aa b a b c a b c d D a a b a b c a b c d aa b a b c a b c d++++++=++++++++++++；（答：4a ）（5）222111a ab acD ab b bc acbcc +=++；（答：2221a b c +++） （6）1234000000a x a a a x xD x x x x +-=--；（答：431i i x x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑） （7）222b c c aa b D ab c a b c +++=； （8）()()()()()()()()()()()()2222222222222222123123123123a a a a b b b b D cc c cd d d d ++++++=++++++.2.2行列式依行（列）展开余子式：ij M ，代数余子式：()1i jij ij A M +=-定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即()112211,2,,ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑，或()112211,2,,nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑.注：此定理的主要作用是——降阶.推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即()112210ni j i j in jn ik jk k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑，或()112210ni j i j ni nj ki kj k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑.例1.3 用降阶的方法解例1.2.练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题.例1.4 设1121234134124206A --=-，求（1）12223242234A A A A -+-； （2）3132342A A A ++.解 （1）1222324212122122313241422340A A A A a A a A a A a A -+-=+++=. （2）因为ij A 的大小与元素ij a 无关，因此，313234112111214132341410322121401201120142642064206A A A -----++===-=---.练习：（1）设1234511122321462221143156，则（a ）313233A A A ++=？（b ）3435?A A +=（c ）5152535455?A A A A A ++++=（答：0，0，0）（2）设,ij ij M A 分别为行列式3010222202001201D =--中元素ij a 的余子式和代数余子式，试求（a ）31323334A A A A +++； （b ）41424344M M M M +++； （c ）14244432M M M -++.2.3拉普拉斯（Laplace ）展开定理定义 在一个n 阶行列式D 中，任意选定k 行（比如第12,,k i i i ⋅⋅⋅行）和k 列比如12,,k j j j ⋅⋅⋅列）（k n ≤）.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的位置组成一个k 阶行列式，称为行列式D 的一个k 阶子式，记作1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭，划去12,,k i i i ⋅⋅⋅行和12,,k j j j ⋅⋅⋅列后余下的元素按照原来的位置组成的n k -阶行列式，称为k 阶子式1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭的余子式，记作1212k c k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭.在余子式前面加上符号()()()12121k k i i i j j j ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-后被称之为的代数余子式.记作()121212121s t k k c c k k i i i i i i A A j j j j j j +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭，这里1212,k k s i i i t j j j =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.定理1.2 在n 阶行列式D 中，任意选定k 列121k j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c i i i nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑. 类似地，任意选定k 行121k i i i n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c j j j nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑.证 （略）注 这是定理1.2的推广，它仍然是一种——降阶的思想.例1.4 在行列式1214012110130131D -=中取定1，2行，得到6个子式1,21211,201A ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭， 1,21121,302A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,21411,401A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,22152,312A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,22462,411A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,21473,421A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 对应的代数余子式分别是()()()12121,213181,231c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12131,203131,311c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12141,201111,413c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12231,213112,301c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12241,211132,403c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12341,210113,401c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由Laplace 展开定理可知()()()()()1823115163717D =-⨯-+⨯+⨯-+⨯+⨯-+-⨯=-.例1.5 证明111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 证 由Laplace 定理展开，选定第1,2,,k ⋅⋅⋅行，得12112121,2,1,2,,k c j j j nk k k k D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑1,2,1,2,,1,2,,1,2,,c k k A A k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭()()()1111111212111k rk k k kk r rra ab b a a b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅11111111k rk kk r rra ab b a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.注 例1.5的结论可以简记为A ABC B=⋅.练习：1.计算（1）123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e ； （2）1111111111110000k kk krk kk rr rrc c a a c c a a b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.2. 设A 为n 阶方阵，A a =，B 为m 阶方阵，B b =，则23O AB O为（ ）（A ）6ab -, （B ）23n mab -, （C ）()123mnn m ab -, （D ）()123m nn m ab +-.◆ 行列式的计算举例例1.6 计算n 阶行列式n x a a a a x a aD a a x a a a a x=解法1112,3,2,3,(1)(1)(1)000(1)000(1)000i i C C r r ni ni nx n a a a a x n a aa a x n a x a a x a D x n a a x a x a x n a a a x x a+-==+-+-+--==+--+-- []()1(1)n x n a x a -=+--.解法212,3,11111100010000100001i r r n i n nn n a a a a a a a a xaa axaa ax aa x a aa x a a x a D aa x a a a x a x a a a a x aaa xx a -=+++----===----①如果x a =，则1110000100000100001n n a a a a D +--==--②如果x a ≠，则12,3,11100000000(1)()0000C i x anax aC n nanx ai n n a a a a x a x a D x a x a x a --+-=+++--==+--- .综合①、②有：()()11n n D x n a x a -=+--⎡⎤⎣⎦.例1.7 计算行列式1221100001000000001n nn n xx x xa a a a x a ----∆=-+.解 按第一列展开，12321100001000001n n n n x x x x a a a a xa -----∆=-+110001000(1)01000001n n xa x x +--+---()121n n n n n x a x x a a ---=∆+=∆++221n n n x a x a --=∆++== 12121n n n n x a x a x a ---∆++++又111x a x a ∆=+=+，11n n n n x a x a -∴∆=+++ .例1.8 计算2n a ba bab Dcd c dcd=.解法1 依第一行展开12200(1)00000000n n a ba b ab a b D ab cdc dcdcdd c +=+-2112(1)2(1)2(1)(1)()n n n n adD bc D ad bc D -+---=--=-,222(1)2(2)112()()()()().n n n n n n D ad bc D ad bc D a b ad bc D ad bc ad bc cd----=-=-==-=-=-解法2 利用Laplace 展开定理，选定第1行和第2n 行展开，则1221212121,21,2,,c n j j nn n D A A j j j j ≤<≤⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1,21,21,21,2c n n A A n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()1212211n n n a b D c d+++-=⋅-()()21n ad bc D -=-⋅=⋅⋅⋅ 1()n ab ad bc cd-=- ().n ad bc =-练习：计算n 阶行列式（1）122222222232222n D n=；（答：()22!n --）（2）01211111001001n n a a a D a -=，其中110n a a -⋅⋅⋅≠；（答：111011n n i i a a a a --=⎛⎫⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭∑）（3）2222212121212naa aa aDaaa a=；（答：()1nn a+）（4）()()()()111111111n nnn nnna a a na a a nDa a a n----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅；（5）1231110000220000011 nn n Dn n⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--。

《线性代数》 教 案编 号：教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 导入（10分钟）本章主要内容和知识点 新授课内容（75分钟） 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得 211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221a b a b -,这就是公式（2）中1x 的表达式的分子。

同理将D 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b 1,b 2 ,可得到另一个行列式,用字母2D 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211b a b a -,这就是公式（2）中2x 的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中 例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得0≠D定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 243122421----=D .(-14)例3. 解线性方程组 .55730422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-=《线性代数》教案编号：n n nna =n n nna =阶行列式的等价定义为：n n nna =1：《线性代数》教案编号：《线性代数》教案编号：《线性代数》教案编号：《线性代数》教案编号：其中行列式mnm m nna a a a a a a a a212222111211D =为按行列式的运算规则所得到的一个数；而n m ⨯矩阵是 n m ⨯个数的整体,不对这些数作运算。

3.三阶行列式定义:式的左边称为三阶行列式（3-th determinant ），通常也记为∆.在∆中,横的称为行（row ），纵的称为列（column ），其中a ij （i ，j =1，2，3）是数，称它为此行列式的第i 行第j 列的元素.式的右边称为三阶行列式的展开式.利用二阶行列式可以把展开式写成:323122211333312321123332232211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 若记 3332232211a a a a M =, 3331232112a a a a M =, 3231222113a a a a M =, 111111)1(M A +-=, 122112)1(M A +-=, 133113)1(M A +-=则有 131312121111333231232221131211A a A a A a a a a a a a a a a ++==∆ 其中 j A 1称为元素j a 1的代数余子式(algebraic complement minor)(3,2,1=j ),j M 1称为元素j a 1的余子式(complement minor),它是∆中划去元素j a 1所在的行、列后所余下的元素按原位置组成的二阶行列式.4.三元线性方程组的解法:引进了三阶行列式, 对于三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的解就可写成: ∆∆=11x ∆∆=22x ∆∆=33x .称也为方程组（1—4）的系数行列式,它是由未知数的所有系数组成的行列式, j ∆(j =1,2,3)是将∆的第j 列换成常数列而得到的三阶行列式。

5.三阶行列式对角线法则计算法则:如图1—1.例1 计算三阶行列式312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=。

授课章节行列式§1.1 n阶行列式目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。

重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则难点n阶行列式的计算，克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．§1 n阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．下面考察二元一次方程组（1.1）当时，由消元法知此方程组有唯一解，即（1.2）可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数以及常数项表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。

但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。

由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。

因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。

1、二阶行列式：由4个数及双竖线组成的符号称为二阶行列式。

注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。

横排的数构成行，纵排的数构成列。

行列式中的数（）称为行列式的元素。

教案教学教案设计(续页）第一 章 行列式 §1。

1 n 阶行列式定义教学目的：使学生了解和掌握n 级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算教学重点:n 阶行列式定义及计算 教学难点:n 阶行列式定义一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。

二、新授(一) 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得(a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12)x 2=a 11b 2—a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0,方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1。

2）容易验证(1.2）式是方程组(1.1）的解.称a 11a 22－a 21a 12为二阶行列式,它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D 。

我们若记 2221211a b a b D =2211112b a b a D =方程组的解（1.2)式可写成 D D x 11=DDx 22=对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.3） 与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解： D D x 11=D Dx 22= DD x 33= 111213212223313233112233122331132132112332122133132231a a a Da a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1。

第一单元 行列式的定义一、学习目标通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．二、内容讲解行列式 行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。

即2153-称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用ija 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，512=a ，121-=a ，222=a ．再看一个算式075423011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素423=a ，531=a又如1321403011320---，是一个四阶行列式．而11a 的代数余子式为()07421111111--=-=+M A代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．()43011322332-=-=+M A问题思考：元素ija 的代数余子式ijA 是如何定义的？ 代数余子式ijA 由符号因子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ijji ijM A +-=1三、例题讲解例题1：计算三阶行列式542303241---=D分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．解：()()()5233145430112111---⋅-+--⋅=++D ()42031231--⋅++7212294121=⋅+⋅+⋅=四、课堂练习计算行列式hg f ed c b a D 00000004=利用n 阶行列式的定义选择答案．将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的两项不用写出来了．4D =⋅-⋅+11)1(a h f ed c 00+41)1(+-⋅b 000g f ed c ⋅五、课后作业1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A（1）210834021-- （2）3405122010141321---2．计算下列行列式（1）622141531-- （2）612053124200101---3．设00015413010212014=D（1）由定义计算4D ；（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开； （3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开；（4）按第四行展开．1．（1）1021)1(32--+ （2）305120121)1(32---+2．（1）20 （2）243．（1）1 （2）1 （3）1 （4）1第二单元 行列式的性质一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．二、内容讲解 行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D 中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为TD ．如987654321=D ,963852741T =D1．行列式的行、列交换，其值不变．如264536543-==这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．2．行列式的两行交换，其值变号．如243656543-=-=3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如d c b a dc ba333=注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上2113-- 5513-=注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换． 问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关系？答案设n 阶行列式nD ，若将nD 的最后一行轮换到第一行，得另一个n 阶行列式nC ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =n nD 1)1(--问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？ 答案按顺序将公因子提出.三、例题讲解例1计算行列式dc b a 675081004000--.分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．解：dc b a 675081004000--=dc b a 670800-=d c ab 60=abcdÀ+2Á我们将行列式中由左上角至右下角的对角线， 称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式． 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积． 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．例2 计算行列式4977864267984321----分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．解：4977864267984321----497700067984321----= 0例3 计算行列式2211132011342211----分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．解：2211132011342211---- 2411142010342011---Â+Ã111142010342011----=111134211)1(433-----⨯+1101312104----⨯=1121)1(412----⨯+12)21(4=---=通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．三、课堂练习练习1 若d a a a a a a a a a =333231232221131211，求行列式232221131211313231222333a a a a a a a a a ---利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．练习2 计算行列式540554129973219882310391----由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两À+Á项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．五、课后作业1．计算下列行列式（1）75701510--- （2）253132121-（3） ww w w ww22111 (0≠w ) （4）38790187424321--2．证明（1）0=---------cb b a ac b a a c c b a c c b b a （2）()32211122b a b b a a b ab a -=+1．（1）0 （2） -2 （3） 22)1(--w w （4）02. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．第三单元 行列式的计算一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．二、内容讲解行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开 下面用具体例子说明．d c b a =bc ad -1156)1(5232153=+=-⋅-⋅=-一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．75423011--可以按任何一行（列）展开按第一行展开=752300543107421-⨯+⨯+-⨯=02028+-=8 按第三列展开=231107511475230-⨯+--⨯--⨯=0)57(40++-⨯-=8注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．问题：试证 2222222211110000d c b a d c b a d c b a d c dc b a b a =答案左边=222211122222111100)1(00)1(d c b a b a bc d c b a d c d a ++-+-222211)1(d c b a ad +-=222211)1(d c b a cb +--22222222)(d c b a d c b a d c b a cb ad =-==右边三、例题讲解例 计算行列式214200131000211---分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．解：按第三行展开214200131000211---=214100211)1(2021315021)1(14313----⨯+----⨯++=1411)1()1(22121)1(33232--⨯-⨯----⨯++==10)41(2)22(3-=+--⨯-四、课堂练习练习1 计算行列式dcb a 100110011001---根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和．因为行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结果．dcb a 100110011001--- =dcd cb a 101011101101-----练习2 计算行列式24524288251631220223------为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2倍，即À+Á 2；第三行加上第二行的-2倍，即Â+Á(-2)；第四行加上第二行的-2倍，即Ã+Á(-2)”．该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算．注意尽量避免分数运算．21524288251631220223------111042011631212401----五、课后作业1．计算下列行列式：（1）881441221---- （2）4222232222222221À+Á2 Â+Á(-2（3） 4321651065311021 （4）00312007630050131135362432142．计算n阶行列式xaaa x a a a x/media_file/jjsx/4_1/3/khzy/khzy.htm - #1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-3402. ])1[()(1x a n a x n +---第四单元 克拉默法则一、学习目标克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．二、内容讲解克拉默法则设n 个未知数的线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）记行列式nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=称为方程组（1）的系数行列式．将D 中第j 列的元素njj j a ,,a ,a 21分别换成常数n b ,,b ,b 21而得到的行列式记作jD ．克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式0≠D ，那么它有惟一解D D x D Dx D D x n n ===,,,2211 （2）证将（2）式分别代入方程组（1）的第i 个方程的左端的nx x x ,,,21 中，有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211（3）将（3）中的jD 按第j 列展开， 再注意到j D中第j 列元素的代数余子式和D 中第j 列元素的代数余子式ij A是相同的， 因此有),,2,1(2211n j A b A b A b D njn j j j =+++= （4）把（4）代入（3），有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211(){1121211111n n i i i A b A b A b A b a D+++=()222221212n n i i i A b A b A b A b a ++++…+…()}nn n in i n n in A b A b A b A b a ++++2211把小括弧打开重新组合得(){()()()}i nn in n i n i n in in i i i i i n in i i n in i i b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D=+++++++++++++++++=2211221122222112112211111因由性质6和性质7⎩⎨⎧=≠=+++k i D ki A a A a A a kn in k i k i 02211 故上式等于i b ，即i n in i i b D D a D Da D D a =+++ 2211下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设nn c x c x c x ===,,,2211为方程组（1）的任意一组解．于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111 （5）用j A 1，j A 2，…j n A 分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n 个等式，再把n 个等式两边相加，得++++11221111)(c A a A a A a nj n j j +++++j nj nj j j j j c A a A a A a )(2211n nj nn j n j n c A a A a A a )(2211++++ njn j j A b A b A b +++= 2211根据性质6和性质7，上式即为),,2,1(n j D c D j j ==因为0≠D ，所以),,2,1(n j DD c j j ==克拉默法则有以下两个推论：推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ， 那么 它只有零解．推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0=D ． 问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？答案 不对．当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．三、例题讲解例 利用克拉默法则解下列方程组⎩⎨⎧-=-=+-7526432121x x x x分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解． 解：因为系数行列式()()24535243⨯--⨯-=--=D 07815≠=-= 且257461-=--=D ，972632=--=D ，所以7211-==D D x ，7922==D D x四、课堂练习k 取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=++0211321321321x x x x kx x kx x x对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即Á+À；第三行加上第一行的-1倍，即Â+À(-1)”．这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解．所以，先求系数行列式的值．2111111--=kk Dkk k k --++2211011五、课后作业用克莱姆法则解下列方程组1.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-12 142 23232121x x x x x x x 2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+-+=---=+++422222837432143214314321x x x x x x x x x x x x x x x 1．31=x ，42=x ，233-=x ，2. 21-=x ，3352=x ，2103=x ，204-=x。