王划一-自动控制原理-5-3稳定裕度

ts 3
12 10 8 6 4 2 0 0
ts c
n
1 4 4 2 2
c t s
3


6 tan

20 40 60 80
可以看出，调节时间与相角裕度和幅值穿越频率都有 关系。如果两个二阶系统的相同，则它们的超调量也相同， 这时比较大的系统，调节时间较短。
17
例5-19 一单位反馈控制系统，其开环传递函数 7 G( s) s(0.087 s 1) 试用相角裕度估算过渡过程指标p% 与ts。 解：系统开环伯德图如图示 由图可得， c =7， = 58.7 根据 = 58.7 ，可得 = 0.592，则
5
3.16( s 1) G( s) 2 s (0.1s 1) 2
() = arctan 180 2arctan0.1
= arctan3.16 2arctan0.316 = 37.4 当(g) = 180时 180 = arctang 180 2arctan0.1g arctang =2arctan0.1g 求得 g = 8.94 k g 20 lg h 20 lg A( g ) 20 lg 2 2 9.03dB g 1
（3）具有尽可能大的0分贝频率，以提高闭环系统的快 速性。 （4）为了提高系统抗干扰能力，开环对数幅频特性高频 段应有较大的负斜率。
23
3.7.2 用闭环频率特性分析系统的动态性能 1. 二阶系统
2 n 其闭环传函为 ( s ) 2 2 s 2n s n 其闭环频率特性为 2 n ( j ) 2 2 ( n ) j 2n
5.6 闭环频率特性
一. 开环和闭环频率特性的关系 对于单位反馈控制系统，闭环频率特性与开环频率 特性的关系为
Gk ( j ) ( j ) 1 Gk ( j )
P 1
Gk ( j ) Gk ( j ) 1 Gk ( j ) 1 Gk ( j ) M ( ) ( )
p % = 9.95% ts = 0.52(s)
直接求解系统，得 = 0.64 ts = 0.522(s) 两者基本上是一致的。
p% = 7.3%
18
L()/dB
20 0 20dB/dec 1 10 11.5
7 G( s) s(0.087 s 1)

40dB/dec
20
0 90 180
0.2 g 0.02 g 1 0.2 g 0.02 g tan 90
1 g 15.8 0.2 0.02
8
最小相位系统中频段的斜率与 相对应： 中频段的斜率为20dB/dec时， > 0。 中频段的斜率为40dB/dec时， 可正可负， 如 果为正，其值比较小。 中频段的斜率为60dB/dec时， 一定为负。 > 0，系统一定是稳定的。
9
例5-18
L()/dB 20 0
K (T1 s 1) G( s ) 2 s (T2 s 1)
40dB/dec
T1 > T2
20dB/dec =1/T 2 2
1 =1/T1

40dB/dec
()
0
90 180

10
= 180 + ()
= arctan(c /1 ) arctan(c /2 ) (1) c 、2保持不变， 1 (2) c 、1保持不变， 2
2 n 2 2 b
2
0.707
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
ts 3
n
b t s
3

1 2 2 2 4 2 4 4
26
2. 高阶系统
M p 0.16 0.4( M r 1)
ts k1
c
k1 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1)
K (T1 s 1) G( s ) 2 s (T2 s 1)
= 180 + arctancT1 180 arctancT2
(3) 1、2保持不变， h =2/1 中频段宽度
h
与中频段的斜率有关，而且还与中频段宽度有关： 中频段宽度
11
2
27
5. 7 . 3 开环频域指标与闭环频域指标的关系 1. 与Mr 的关系 一般， Mr出现在c 附近，就是说用c 代替 小，可近似认为 1
B

G(jc)
0
r 来计算Mr ，并且 较 1+G(jc)
AB=∣1+G(jc)∣
于是有
c
A
G( jc ) G( jc ) G( jc ) 1 Mr 1 G( jc ) AB G( jc ) sin sin
()/()

19
2) 高阶系统 近似的关系式
1 p 0.16 0.4( 1) sin k1 ts
c
1 1 k1 2 1.5( 1) 2.5( 1)2 sin sin
上式表明，高阶系统的随着的增大而减小，调节时间
随着的增大也减小，且随增大而减小。


1 2
p e
100%
70 60 50 40 30 p 20 10 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
由图明显看出， 越大， p%越小； 越小， p% 越大。为使二阶系统不致于振荡太厉害以及调节时间太 长，一般希望 16 30 70
② 、c与ts 之间的关系 在时域分析中，知
C(s)
由A(c) =1，计算开环截止频率c有 2 n 1 c n 1 4 4 2 2 c c2 ( 2n )2
15
则相角裕度 为
() p%
100 80 60 40 20 0
= 180 + (c)
=180 90 arctan(c/2n ) 2 arctan 2 2 1 4 4 在时域分析中，知
① Mr与p%的关系
M ( )

2 n
2 ( n 2 )2 4(n )2
d M ( ) 0 r d
r n 1 2 2
24
Mr
1 2 1 2
当 > 0.707时，不存在谐振峰值，幅频特殊性单调 衰减；当 < 0.707时，Mr 越小，系统阻尼性能越好 越大， p%越小。
0
A
Gk(j)
0A Gk ( j ) M ( ) 1 Gk ( j ) PA
( ) 0 A PA
12
Mm
M0
0.707M0
二.闭环频率特性 （1）零频幅值特性M0 ： = 0时的闭环幅频特性值。
r
b

（2）谐振峰值Mr ：幅频特性极大值与零频幅值之比 Mr = Mm/M0。 （3）谐振频率r ：出现谐振峰值时的频率。
= 180+ (c)
因为 > 0，所以闭环系统是稳定的。
6
例5-17
20 0
L()/dB 20dB/dec 10 1 5
K G( s) s(1 0.02 s )(1 0.2 s )
50 40dB/dec

()
0 90 180 270
60dB/dec
1
28
2. c 与b 的关系
5.5 稳定裕度
根据奈氏判据，系统开环幅相曲线临界点附近的形状， 对闭环稳定性影响很大。 Im Im Im
-1
Re -1 0
0
Re
-1
0
Re
两个表征系统稳定程度的指标：相角裕度 和幅值裕度h。
1
（1）幅值裕度h ：令相角为180时对应的频率为g （相角穿越频率），频率为g 时对应的幅值A(g)的倒数， 定义为幅值裕度h ，即 1 h A( g ) 或 20lgh = 20lg A(g)
() Mr 70 p% 8 60 100 7 50 80 6 40 60 5 30 40 4 p 20 20 3 Mr 10 0 2 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
25
② Mr 、 b 与ts 的关系
M ( b )
2 n
( ) 4(n b )
5
10
140.7
50

219.3
7
K G( s) s(1 0.02 s )(1 0.2 s )
() = 90 arctan0.2 arctan0.02 = 180+ (c) = 90 arctan0.2c arctan0.02c c arctan0.2g arctan0.02g = 90
3
L()/dB
c
g
h(dB)

()/(°)
0

180
4
例5-16 已知单位负反馈的最小相位系统，其开环 对数幅频特性如图示，试求开环传递函数；计算系统 的稳定裕度。 L()/dB 40dB/dec 20dB/dec
1
3.16
10

60dB/dec
k ( s 1) 解：系统的开环传递函数为 G ( s ) 2 s (0.1s 1) 2 k c = 3.16 A( c ) 2 c 2 1 k=频特性过零分贝时的频率为c （幅值穿越频率），则定义相角裕度 为
= 180 + (c)
2
A(g)
Im h 具有如下含义：如果 系统是稳定的，那么系统的 Re 开环增益增大到原来的h 倍 时，则系统就处于临界稳定 了。
-1
c
0
具有如下含义：如果