(山东专版)高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 平面解析几何 突破点14 圆锥曲线的定义、

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1 / 11 专题限时集训(十四)圆锥曲线的定义、方程、几何性质

[A组 高考达标]

一、选择题

1．(2016·全国甲卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )

A.12 B．1

C.32D．2

D [∵y2＝4x，∴F(1,0)．

又∵曲线y＝kx(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．

将点P(1,2)的坐标代入y＝kx(k＞0)得k＝2.故选D.]

2．(2016·某某一模)过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－y29＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( )

A．0 B．2

C．4 D．无数

C [过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]

3．(2016·某某二模)椭圆y2＋x2m2＝1(0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值X围是( )

A.22，1 B.0，22

C.12，1 D.0，12

B [当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则∠F1PF2≥90°，所以∠F2PO≥45°(O是原点)，从而ca≥22，即1－m2≥12，又0＜m＜1，所以0word

2 / 11 ＜m≤22.]

4．(2016·某某模拟)设点P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为( )

A.12 B.22

C.32 D.3－12

A [因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有32×2c×r＝12×(|PF1|＋|PF2|＋2c)×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝12.]

5．(2016·某某模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) 【导学号：67722052】

A.x28＋y22＝1 B.x212＋y26＝1

C.x216＋y24＝1 D.x220＋y25＝1

D [椭圆的离心率e＝ca＝a2－b2a＝32，

所以a＝2b.

所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.

因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，

所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为255b，255b，

所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b＝4，

所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20.

所以椭圆C的方程为x220＋y25＝1.故选D.] word

3 / 11 二、填空题

6．(2016·某某二模)双曲线M：x2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．

3＋12 [根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得(c＋2)2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝3＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为3＋12.]

7．(2016·某某二模)已知F1，F2为x2a2＋y216＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.

【导学号：67722053】

25 [由题意得内切圆的半径等于32，因此△MF1F2的面积为12×32×(2a＋2c)＝3a＋c2，即3a＋c2＝12×|yM|×2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以3a＝5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.]

8．(2016·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1的渐近线与椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)交于第一、二象限内的两点分别为A，B，若△OAB的外接圆的圆心为(0，2a)，则双曲线C1的离心率为________．

6－2 [由双曲线C1：x2a2－y2b2＝1，可得渐近线为y＝±bax，

联立 y＝bax，x2a2＋y2b2＝1，解得Aa2，b2，

则a22＋b2－2a2＝2a，

化为b2－4ab＋a2＝0，

解得ba＝2－3. word

4 / 11 ∴双曲线C1的离心率为1＋ba2＝6－2.]

三、解答题

9．(2016·莱芜模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点(2，2)，其焦点在⊙O

：x2＋y2＝4上，A，B是椭圆的左右顶点．

图14­1

(1)求椭圆C的方程；

(2)M，N分别是椭圆C和 ⊙O上的动点(M，N不在y轴同侧)，且直线MN与y轴垂直，直线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，求证：PN⊥QN.

[解] (1)由椭圆焦点在⊙O：x2＋y2＝4上可知，c＝2，1分

∴b2＝a2－4，将点(2，2)代入x2a2＋y2b2＝1，得4a2＋2a2－4＝1，

即a4－10a2＋16＝0，解得a2＝8，或a2＝2(舍)，3分

∴椭圆C的方程为x28＋y24＝1.4分

(2)证明：设M(x0，y0)，直线AM的斜率显然存在，设直线AM方程为y＝k(x＋22)(k≠0)，

由 x28＋y24＝1，y＝kx＋22，可得(1＋2k2)x2＋82k2x＋16k2－8＝0.6分

∴－22x0＝16k2－81＋2k2，得x0＝22－42k21＋2k2，y0＝42k1＋2k2，M22－42k21＋2k2，42k1＋2k2，8分

直线BM的斜率为42k1＋2k222－42k21＋2k2－22＝－42k82k2＝－12k，9分 word

5 / 11 ∴直线BM的方程为y＝－12k(x－22)．

令x＝0，可得P(0,22k)，Q0，2k，10分

设N(xN，y0)，则PN→＝(xN，y0－22k)，QN→＝xN，y0－2k，

PN→·QN→＝x2N＋y20－22k2＋2ky0＋4，11分

又x2N＋y20＝4，y0＝42k1＋2k2，

∴PN→·QN→＝4－22k2＋2k42k1＋2k2＋4＝8－8＝0，12分

∴PN⊥QN.13分

10．(2016·全国甲卷)已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值X围．

[解] 设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.

(1)当t＝4时，E的方程为x24＋y23＝1，A(－2,0).2分

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.

因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入x24＋y23＝1得7y2－12y＝0.

解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.4分

因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.5分

(2)由题意t＞3，k＞0，A(－t，0)．

将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1得

(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0. word

6 / 11 由x1·(－t)＝t2k2－3t3＋tk2得x1＝t3－tk23＋tk2，

故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t1＋k23＋tk2.7分

由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，

故同理可得|AN|＝6kt1＋k23k2＋t.

由2|AM|＝|AN|得23＋tk2＝k3k2＋t，

即(k3－2)t＝3k(2k－1)．

当k＝32时上式不成立，因此t＝3k2k－1k3－2.9分

t＞3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝k－2k2＋1k3－2＜0，

即k－2k3－2＜0.10分

由此得 k－2＞0，k3－2＜0，或 k－2＜0，k3－2＞0，解得32＜k＜2.

因此k的取值X围是(32，2).12分

[B组 名校冲刺]

一、选择题

1．(2016·某某二模)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0,8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是( )

A.38 B．2

C．6 D.23

D [由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为433，又点A是抛物线C上一点，所以163＝2p×4，解得p＝23.]

2．(2016·某某二模)已知焦点在x轴上的椭圆方程为x24a＋y2a2＋1＝1，随着a的增大该word

7 / 11 椭圆的形状(

)

A．越接近于圆 B．越扁

C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆

D [由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－3＜a＜2＋3，又e2＝1－b2a2＝1－a2＋14a＝1－14a＋1a.因此当a∈(2－3，1)时，e越来越大，当a∈(1,2＋3)时，e越来越小，故选D.]

3．(2016·某某二模)如图14­2，已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为(

)

图14­2

A.3

B.3＋12

C．2 D．23－1

B [由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c，连接QF2(图略)，由对称性可知，|QF2|＝|QF1|＝2c，则三角形QPF2为等边三角形．过点P作PH⊥x轴于点H，则∠PF2H＝60°，因为|PF2|＝2c，所以在直角三角形PF2H中，|PH|＝3c，|HF2|＝c，则P(2c，3c)，连接PF1，则|PF1|＝23c.由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝23c－2c＝2(3－1)c，所以双曲线的离心率为ca＝13－1＝3＋12.]

4．(2016·某某二模)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MN||AB|的最大值为( ) 【导学号：67722054】

A.33 B．1