2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题6突破点17函数与方程Word版含解析

突破点17 函数与方程

(对应学生用书第167页)

提炼1 函数y＝f(x)零点个数的判断

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点.

提炼2

已知函数零点个数，求参数的值或取值范围

已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．

回访1 函数零点个数的判断

1．(2015·湖北高考)函数f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2的零点个数为________．

2 [f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由f(x)＝0，得sin

2x＝x2.

设y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．

由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．]

2．(2014·福建高考)函数f(x)＝ x2－2，x≤0，2x－6＋ln x，x>0的零点个数是________．

2 [当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，

所以在(－∞，0]上有一个零点．

当x>0时，f′(x)＝2＋1x>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．

综上，函数f(x)的零点个数为2.]

回访2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围

3．(2016·山东高考)已知函数f(x)＝ |x|，x≤m，x2－2mx＋4m，x>m，其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

(3，＋∞) [作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.]

4．(2015·湖南高考)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．

(0,2) [由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，

则当0

5．(2014·山东高考改编)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．

12，1 [先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为12，1.]

(对应学生用书第167页)

热点题型1 函数零点个数的判断

题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.

(1)(2016·秦皇岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝

 1－x2，x∈[－1，0]，cosπ2x，x∈0，1]，则函数y＝f(x)－12|x|在区间[－3,3]上的零点个数为

( )

A．5 B．6

C．7 D．8

(2)(2016·青岛模拟)已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当0＜x≤1时，f(x)＝log12x，则方程f(x)－1＝0在(0,6)内的零点之和为( ) 【导学号：67722062】

A．8 B．10

C．12 D．16

(1)A (2)C [(1)因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f(x)以及g(x)＝12|x|在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y＝f(x)－12|x|在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.

(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以当－1≤x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－log12(－x)，又因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝2k＋1，k∈Z，在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图易得直线y＝1与函数f(x)的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x＝1和x＝5对称，所以方程f(x)－1＝0在(0,6)内的零点之和为2×1＋2×5＝12，故选C.]

求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象交点的横坐标．其解题的关键步骤为：①分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③数交点的个数，即原函数的零点的个数．

提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化．

[变式训练1] (1)(2016·合肥二模)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝ log12x＋1，x∈[0，1，1－|x－3|，x∈[1，＋∞，则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的零点个数为( )

A．2 B．3

C．4 D．5

(2)已知函数f(x)＝cos π2x，g(x)＝2－34|x－2|，x∈[－2,6]，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的所有零点之和为( )

A．6 B．8

C．10 D．12

(1)D (2)D [(1)在同一坐标系中画出函数y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图象，如图所示：

两图象共有5个交点，所以F(x)有5个零点．

(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点之和可转化为f(x)＝g(x)的根之和，即转化为y1＝f(x)和y2＝g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g(x)＝2－34|x－2|与f(x)的图象均关于x＝2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.]

热点题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围

题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.

(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f(x)＝|x|＋a－x2－2(a＞0)没有零点，则实数a的取值范围是( )

A．(0,1) B．(0，2)

C．(0,1)∪(2，＋∞) D．(0，2)∪(2，＋∞)

(2)(名师押题)已知函数f(x)＝ x2＋3，x≥0，1＋4xcos2π－πx，x＜0，g(x)＝kx＋1(x∈R)，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[－2,3]内有4个零点，则实数k的取值范围是( )

A.22，113 B．(22，＋∞)

C.22，113 D．(23，4]

(1)C (2)C [(1)令f(x)＝0，得a－x2＝2－|x|，

令y＝2－|x|＝ 2－x，x≥0，2＋x，x＜0.

由y＝a－x2，得x2＋y2＝a(y≥0)，

在同一坐标系中分别画出y＝2－|x|和y＝a－x2的图象．

如图所示：

要使函数f(x)没有零点，则a＜|0－0＋2|2＝1或a＞2，即0＜a＜1或a＞2.

(2)当x＝0时，显然有f(x)≠g(x)，即x＝0不是y＝f(x)－g(x)的零点．

当x≠0时，y＝f(x)－g(x)在x∈[－2,3]内的零点个数即方程f(x)＝g(x)(－2≤x≤3)的实根的个数．

当0＜x≤3时，有kx＋1＝x2＋3，即k＝x＋2x；

当－2≤x＜0时，有kx＋1＝1＋4xcos πx，即k＝4cos πx.

则y＝f(x)－g(x)(－2≤x≤3)的零点个数等价于函数y＝k与y＝ x＋2x，0＜x≤3，4cos πx，－2≤x＜0的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，

由图知22＜k≤113，故选C.]

求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围．

提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果．

[变式训练2] (1)(2016·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )

【导学号：67722063】

A.14 B.18

C．－78 D．－38

(2)(2016·汕头一模)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)－f(－x)＝0，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a的取值范围为( ) A．[3,5] B．[4,6]

C．(3,5) D．(4,6)

(1)C (2)C [(1)令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，且f(x)是奇函数，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，又因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个零点，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个零点，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78，故选C.

(2)因为f(x)－f(－x)＝0，

所以f(x)＝f(－x)，

所以f(x)是偶函数，

根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示：

因为g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，

所以y＝f(x)和y＝logax的图象在(0，＋∞)上只有三个交点，

所以 loga3＜1，loga5＞1，a＞1，解得3＜a＜5.]

专题限时集训(十七) 函数与方程

[A组 高考达标]

一、选择题

1．(2016·泰安一模)函数f(x)＝ln x＋x3－9的零点所在的区间为( )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

C [由于函数f(x)＝ln x＋x3－9在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＋18＞0，故函数f(x)＝ln x＋x3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]