图-连通的概念

三、连通性

3.1 连通性和Whitmey定理

定义 V真包含于V(G), G[V(G)-V'不连通，而G是连通图，则称 V是G的 顶剖分集。最小顶剖分集中顶的个数，记成 K (G)叫做G的连通度；规定

K (Kv)=-U; K不连通图)=平凡图)=0。由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。没有 割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做 G的块。

定义 E包含于E(G)，G为连通图，而G-E'从G中删除E'中的边)不连通， 则称E'为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E〃，使得|E 〃 |v|E则称|E '为G的 边连通度，记成K' (G归’|=时，E'中的边叫做桥。规定K不连通图)=0，K' (Kv)= u1。

定义 K (G)>=k时，G叫做k连通图；K' (G)>=k，G称为k边连通图。

k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。

k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。

上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。

定理1 K (G)=< K' 2)=可以复习一下第一章的1.2： S =min{d(v)})

证：设d(v)=，则删除与v边关联的S条边后，G变不连通图，所以这S 条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过 即K' (G)=

分情形讨论之。

若G中无桥，则有K' >条边，移去它们之后，G变成不连通图。于是删 除这K条中的K'条后，G变成有桥的图。设此桥为e=uv，我们对于上述K' 条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过K'个)端点，若G变得不 边能，则K =

这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种 友好”的面目出现。

F面就是Whitmey定理

定理2(Whitney,1932) u >的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一

个圈上)。

证：若任二顶共圈，任删除一个顶w后，得图G-w。任取两顶u,v € V(G-w),

u,v在G中共存于圈C 上,若w不在C上，则G-w中仍有圈C,即u与v在G-w 中仍连通；若 w 在 G 中时在 C 上，在 G-w 中 u 与 v 在轨 C-w 上，故 u 与 v 仍 连通。由u与v之任意性，G-w是连通图，故K (G)>=2即G是2连通图。

反之，若G是2连通图，u >=3任取u,v€ V(G)，用对d(u,v)的归纳法证明u

与 v 之间有两条无公共内顶的轨

当d(u,v)=1是时，因K ==2uv边不是桥，G-uv仍连通，于 是G-uv中存在从u到v的轨P1(u,v),这样从u到v有两条无公共内顶的轨P1(u,v) 与边 uv。

假设d(u,v)=2),结论已成立，考虑d(u,v)=k的情形。令PO(u,v)之长 为k,w是PO(u,v)上与v相邻的顶，贝U d(u,w)=k-1，由归纳法假设，在u,w之间有 两条无公共内顶P与Q，因G是2连通较长，故G-w仍连通。在G-w中存在轨 P'

(u,v)<>PO(u,v)令x是PU Q上P'的最后一个顶。因u€ PU Q,故x存在(可 能x=u)。不妨设x € V(P)，则G有两个u,v之间无公共内顶的轨：一个是 P上从 u到x段并在P'上从x到v段；一个是Q+wv。证毕。

图论的定理证明，没有其他数学的那么多推导，那么多的公式，符号也是 有限的几个，看多了就明白了。概念清晰还是很重要，很多东西是概念性的。还 有就是构造了，照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。

就是打字时中英文切换麻烦。

3.2 割顶、桥、块

割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。本节给出三个定理来阐述这三个概念，好象少了点，不

过这本书的东西有些地方很语焉不详的， 而且有些东西到处穿插， 并且有很强的理论性， 很少涉 及实践中的问题。看起来比较的累人。

定理 3 v 是连通图的一个顶点，则下可述命题等价：

(1) v 是割顶

(2) 存在与v不同的两个顶u,w，使得v在每 一条由u到w的轨上

(3) 存在 V-{v}的一个划分 V-{v}=U U W,

U A W环，使得对任意的u € U,w € W,v在

每一条由u到w的轨上。

定理4 x是G的一边，G是连通图，则下述命题等价：

(1) x 是 G 的桥。

(2) x 不在 G 的任一圈上。

(3) 存在顶u,v € V(G),使得x在每一个从u到 v

的轨上。

(4) 存在V(G)的划分U与W，使得任二顶 u,w,

u€ U,w€ W 时， x 在每条从 u 到 v 的 轨上。

上面的都没什么可证的，就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了

定理5 G连通，u >=3则下列命题等价:

(1) G 是块。

(2) G 的任二顶共圈。

(3) G 的任一顶与任一边共圈

(4) G 的任二边共圈

(5) 任给 G 的二顶及一边，存在连接此二顶含 此边之轨

(6) 对 G 的三个不同的顶，存在一轨，连接其 中两个顶，含第三个顶

(7) 对 G 的三个不同的顶，存在一轨，连接其 中两个顶，不含第三个顶。

(本也没什么可证的了，但就这样结束了也太快了，这个证一下 )

证: (1)>>(2)， (2)>>(1) 见定理 2

(2) >>(3)只考虑u为G的任给一个顶，vu是G中任给定的一条边，且

u<>v,u<>w的情形。设C是含u与v的圈，若w在C上，则C上含u的轨P(v,w) 与边vw形成一个圈，它含u及边vw。若w不在C上，因v不是割顶，由定理 3，存在不含v的轨P(w,u)。令u'是P(w,u)与C从w沿P(w,u)看来的第一个公共 顶，贝U由边vw,P(w,u)上w到u'段，以及C上含u的轨P' (u '并成一个圈，此 圈满足 (3)的要求。

(3) >>(4)与(2)>>(3)类似证明。

(4) >>(5)已知任二边共圈，设u,v是G上任给定的两个顶，x是任给定的一 条边，只考虑x与u,v皆不相关联的情形。由任二边共圈显然有任二顶共圈，于 是由于(2)>>(3)知u与x共圈，设此圈C1;同理v与x共圈，设此圈是C2;若v € C1 或u€

C2,则⑸成立；若u不属于C2,且v不属于C1,则如下构作含x之轨P(u,v): 从u出发沿C1到达C1与C2上第一个公共顶w,再从w出发沿C2含x的部分 到达 v。

(5) >>(6)设u,v,w是G的三个顶，且与w相关联的一条边是x,由⑸存在轨

P(u,v)，x 在 P(u,v)上，于是 w 在 P(u,v)上。

(6) >>(7) u,v,w € V(G),由(6),存在轨 P(u,w), P(u,w)含顶 v,则 P(u,w)的从 u 到v的一段不含w。

(7) >>(1)由(7),对任给定的二顶u与v,不存在这样的顶，它在从u到v的 每一轨

上,由定理 3, G 无割顶,故 G 是块。证毕。

讲了这么多,下节才涉及到实践中的问题。下节讲可靠通讯网的构作。不 过下节又是本章的最后一节了。

3.3 可靠通讯网的构作

我们要构作一个有线通讯网, 使得敌人炸坏我几通讯站后, 其余的通讯站仍然可彼此通话。 显然, 有两个要求是必要的： 一是不怕被敌人炸坏站的数目要多, 一是整个造价要小。 这个实际问题的 数学艺术模型如下：

G是加权连通图，k是给定的自然数，求G的有最小权的k连通生成子图。

当 k=1 时,它就是用 Kruskal 算法求得的生成树；当 k>1 时,是尚未解决的难解 问题之一。哦，原来 k>1 时是没解决的难题，自己以前也想过这方面的东西，只 是想了半天也想不出个所以然，原来是个大难题呀。

当G=K u每边权皆为1时，Harary于1962年解决了这一问题。下面介绍

Harary的工作。

令f(m,n)表示n个顶的m连通图当中边数的最小值， m

K =< K' =< S

f(m,n)>={mn/2}

Harary 实际上构作出一个 n 顶的 m 连通图，它的边数恰为 {mn/2} 条，且

f(m,n)={mn/2} 。此图记成 H(m,n) 。

⑴ m是偶数，m=2r。H(2r,n)以

{0,1,2,…询为顶集合。当i-r=vj=

(2) m 是奇数， m=2r+1,n 是奇数。先构 作

H(2r,n),然后对 1=

i+n/2 间加上一条边得 H(2r+1,n)。

(3) m 是奇数， m=2r+1,n 是奇数。先构 作H(2r,n),然后在顶点0与(n-1)/2,0与

(n+1)/2之间加上边，在顶i与i+(n+1)/2

间加上边，其中 仁

H(2r+1,n)。

无法把图画上来，H(6,8)、H(5,8)、H(5,9)看一下图就明白这个构作的方法了。

下面证上面的构作出来的东西是符合要求的。 定理6 H(m,n)是m连通图，且边数最少

证：m=2r时，我们来证明H(2r,n)，设有少于2r个顶组成的顶剖分集。若

V'是一个顶剖分集，且|V'|<2r，又设i与j两个顶分别属于H(2r,n)-V'的不同连通 片，令

S={i,i+1,...,j-1,j},T={j,j+1,...,i-1,i},

其中加法在mod n下执行。因为|V'|<2r，不失一般性，设|V' n S|

相似地可以证明 m=2叶1时，H(2叶1,n)是2r+1连通的。由于

f(m,n)>={mn/2}, £ (H(m,n))={mn/2},

而H(m,n)是n顶m连通图，故有

f(m,n)=<{mn/2},

从而得

£ (H(m,n))=f(m,n)={mn/2}。

证毕