浙江省绍兴一中高考数学模拟试卷 文(含解析)
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浙江省绍兴一中2015届高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁UN）为（）
A． {x|﹣1≤x＜1} B． {x|﹣1≤x≤1} C． {x|1≤x≤3} D． {x|1＜x≤3}
2．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件
3．（5分）已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（）
A． 若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β B． 若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C． 若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β D． 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
4．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）
A． 或﹣1 B． 2或 C． 2或1 D． 2或﹣1
5．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）
A． 6π B． 7π C． 12π D． 13π
6．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（）
A． B． C． 3 D．
7．（5分）若等差数列{an}满足a12+a102=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（）
A． 60 B． 50 C． 45 D． 40
8．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立； （2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（） A． [1，2） B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．
9．（6分）已知函数，则f（2）=；不等式f（x）＜3的解．
10．（6分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则f（x）在时的值域是；若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于直线对称，则实数a的最小值为．
11．（6分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．
12．（6分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则双曲线方程为，过其右焦点且长为4的弦有条．
13．（4分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是．
14．（4分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，A（0，2），若圆C上存在一点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是．
15．（4分）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=，A+3C=π．
（1）求cosC的值；
（2）求sinB的值；
（3）若b=3，求△ABC的面积．
17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．
（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成角；
（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．
18．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=210．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N*），使得b1、bm、bk成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．
19．（15分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（λ＞0），求λ的取值范围．
20．（14分）已知f（x）=2x2﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．
（1）求实数t的取值范围
（2）若x1、x2∈[α，β]且x1≠x2，求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；
（3）设，对于任意x1、x2∈[α，β]上恒有|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（β﹣α）成立，求λ的取值范围．
浙江省绍兴一中2015届高考数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁UN）为（）
A． {x|﹣1≤x＜1} B． {x|﹣1≤x≤1} C． {x|1≤x≤3} D． {x|1＜x≤3}
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 先化简集合M，再计算M∩（CUN）．
解答： 解：∵M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤3}，
N={y|y=x2+1}={y|y≥1}，∴∁UN={y|y＜1}，
∴M∩（CUN）={x|﹣1≤x＜1}
故选：B．
点评： 本题主要考查了集合的交，补运算，属基础题型，较为简单．
2．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 计算题． 分析： 首先解不等式，然后再找出┐p和q的关系．
解答： 解：∵p：x≤1，
¬p：x＞1，
q：＜1⇒x＜0，
或x＞1，
故q是¬p成立的必要不充分条件，
故选B．
点评： 找出¬p和q的关系，考查必要条件和充要条件的定义，比较简单．
3．（5分）已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（）
A． 若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β B． 若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C． 若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β D． 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
考点： 平面的基本性质及推论．
专题： 证明题．
分析： 根据线面平行及线线平行的几何特征，结合面面平行的判定方法，可以判断A的真假；
由线面垂直的几何特征及面面垂直的判定方法可以判断B的真假，
根据线面垂直及面面平行的几何特征，可以判断C的真假，
根据线面垂直，面面垂直及线线垂直之间的互相转化，可以判断D的真假，进而得到答案．
解答： 解：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故A错误
若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以B错误．
若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，且则α⊥β，故C错误；
若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故D正确
故选D
点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面、面面得位置关系，以及与其有关的判定定理与性质定理．
4．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）
A． 或﹣1 B． 2或 C． 2或1 D． 2或﹣1
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件， 若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，
综上a=﹣1或a=2，
故选：D
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．
5．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）
A． 6π B． 7π C． 12π D． 13π
考点： 函数的零点与方程根的关系；两点间的距离公式．
专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用．
分析： 利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求的值．
解答： 解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，
∴由题意得：sin2x=，
∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，
∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，
∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，
