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清华大学固体物理：第一章 自由电子论

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第一章 自由电子论

1.1 经典自由电子论

1900年特鲁德 (P. Drude) 首先提出金属中的价电子好比气体分子，组成电子气体，它们可以同离子

碰撞，在一定的温度下达到热平衡。因此电子气体可以用具有确定的平均速度和平均自由时间的电子来

描述。在外电场作用下，电子产生定向漂移运动引起了电流。在温度场中电子气体的定向流动伴随着能

量传送，使金属具有良好的热导。金属的电导和热导之间的维德曼－夫兰兹(WiedemannFranz) 定律反

映了它们都起因于电子气体的定向流动，支持了电子气体模型。特鲁德金属电子气体模型的基本假设为：

(1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直

线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂

的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间

的相互作用称为自由电子近似。

(2) 一个电子在有限的时间间隔dt内经历的碰撞次数为，称为平均自由时间，或弛豫时间。特鲁dt

德假定弛豫时间与电子的位置和速度无关。这称为弛豫时间近似。

(3) 电子通过碰撞和它们的环境达到热平衡。遵从玻尔兹曼统计。电子每一次碰撞后，完全丢失原来的

速度和运动方向，随机地改变运动方向，获得新的速率近似地由发生碰撞处的温度决定。这样发生碰撞

的区域越热，碰撞后电子的速率越大。

应用特鲁德理论可以成功地解释金属的一些输运性质：

1 电子的运动方程

在任意时间t电子的平均速度为p(t) / m，p是每个电子的总动量。我们来计算经过无穷小的时间间

隔dt后每个电子的总动量p(t+dt)。电子在这段时间间隔内的碰撞几率为，不遭受碰撞的几率为dt

。假设电子不遭受碰撞，但是受到越过空间均匀的电场或/和磁场力的作用，因此电子总动dt1tf

量的增量为。忽略碰撞对电子总动量的影响有：2dtodttf

(1.1.1)221tdtdtttdtodttdtttdtodt

ppf=ppf

因此得到：

(1.1.2)2dtodtttdttdttfppp

方程两边同除以dt，并取dt  0时的极限：

(1.1.3)

tt

dttd

fpp



这就是电子的运动方程。

2 金属的直流电导

欧姆定律的微分形式为：

j =E (1.1.4)

其中称为电导率。设单位体积中n个电子以相同的平均速度运动，由此产生的电流密度j将平行于

。在时间间隔dt内电子在速度方向运动的距离为dt，这样将有ndtA的电子越过垂直于速度方向的面

积A，每一个电子携带电荷 e，在时间间隔dt内越过面积A的电荷为 nedtA，因此电流密度为：

j =ne (1.1.5)

在没有外加电场时，电子的平均速度为零，电流密度也为零。在有外加电场E时，稳态时，按照电子运动方程，，，因此附加定向速度的平均值为 = eE / m，为弛豫时间。因此：

0

dttdp 

tt

fp

(1.1.6)Ej

mne2

因此金属的电导率为：

(1.1.7)

mne

2

3 霍尔效应

1879年霍尔 (E. H. Hall) 研究了在磁场中的载流导体，发现当磁场B (设沿z方向) 垂直于电流jx时，

在垂直于电流和磁场方向导体两边 (沿y方向) 有电压降。首先定义两个重要的物理量：

(1.1.8)

xx

jE

H

称为横向磁阻。其中Ex为沿电流jx方向的电场。 B Ex

Ey

jx

图1.1.1 Hall效应

霍尔系数定义为：

(1.1.9)

BjE

R

xy

H

为了计算霍尔系数，由电子运动方程可得：

(1.1.10)





BE pp p

met

dttd

在稳恒状态，时间导数为零，因此：

(1.1.11)











y

xcyx

ycx

p

peEp

peE

00

其中

(1.1.12)

meB

c

称为回旋频率。用ne/ m乘以方程两边可得：

(1.1.13)





yxcyxycx

jjEjjE

00



这里

就是没有磁场时特鲁德模型中的直流电导率。因为没有横向电流 即jy = 0。因此霍尔场Ey为：

(1.1.14)

xxc

yBj

nejE













1

0

由此可得霍尔系数为：

(1.1.15)

neR

H1



4 交流电导率和光学性质

考虑沿x方向传播、电场在y方向的横向电磁波，其电场强度可以表示为：

(1.1.16)tkxi

yeEE0

电子的运动方程为：

(1.1.17)





yyyeEp

dtdp



我们寻找下列形式的稳态解：

(1.1.18)tkxi

yepp0

代入电子运动方程得：

(1.1.19)







yy

yeEp

pi

因此：

(1.1.20)





yyy

yE

iEmne

mpne

j



1/2

其中依赖频率的交流电导率为： (1.1.21)

'''

11/

02







i

iimne







, (1.1.22)

220

1'





220

1''





其中实部表示同相（in-phase）电流，产生电阻焦耳热，虚部表示异相（out-of-phase）感应电'''2

流。

现在从另一个观点考虑电子的响应，根据Maxwell方程：

(1.1.22)JE

H





tL

其中右边第一项是与晶格离子芯极化相关的位移电流，J为传导电子的电流。对于交变场:

(1.1.23)

ti

E

EJ





据此重写Maxwell方程：

(1.1.24)

t

E

H~

其中为总介电常数：~

(1.1.25)



iL~

对于相对介电常数：0~~r

(1.1.26)

22

00

22

00

,11'''~















iirLrrr

介质的复数折射率定义为：

(1.1.27)inn

r21~~

这里n是通常的折射率，是消光系数。在光学实验中，通常不直接测量n和，而是测量反射率R和

吸收系数。它们之间的关系为：

(1.1.28)

2222

11



nn

R

(1.1.29)

c2

低频时，，因此：1"~

rri

(1.1.30)21

0021

22"

















rn

吸收系数的倒数趋肤深度（skin depth）为：

(1.1.31)21

02

0

21











c

高频时，这个频率范围覆盖了可见光和紫外区。此时：1

(1.1.32)











22

,1



p

rLr

其中 (1.1.33)

men

Lp2

02

n0为电子浓度。当时，，则，。金属显现出完全的反射率。当时，p0r0n1Rp

，则，，这样金属介质表现类似玻璃的不吸收的透明介质。0r0010R

例题1.1.1 对于漂移速度理论。证明静态电流密度可以用矩阵形式写成































zyx

ccc

c

zyx

EEE

jjj

220

)(1000101

1





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固体物理简答

固体物理简答

1 简正坐标：经过简正变换，它已不再是描述某一个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标

简正模式：晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为简正模式

声子是晶体格波的能量量子，一种格波即一种模式称为一种声子，对于有n个原子组成的一维单原子链，有n个格波，既有n种声子。

声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，他并不是一种真实的粒子，只是一种准粒子。

声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。

若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系式（s支格波），其中：1支声学波，（s-1）支光学波。

晶格振动格波的总数=晶体的自由度数。

晶格振动波失的总数=晶体的原胞数

用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶体振动谱，这是可见光散射法的最根本的缺点。

入射光与晶格振动的光学波相互作用所引起的频率改变的非弹性散射，称为拉曼散射。频率减小的称为stokes散射：频率增加的称为anti-stokes散射。

简谐近似：系统的是能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数，当只保留至相对平衡位置位移的二次方项时，称为简谐近似。

第一章 金属自由电子气体模型习题及答案

1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？

[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。

2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？

[解答] 费米能级

3/222)3(2nmEoF ，

(完整word版)阎守胜答案

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固体物理基础习题解答

第一章 金属自由电子气体模型

思 考 题

1.如何理解电子分布函数)(Ef的物理意义是： 能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率?

[解答]

金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布， 温度为T时, 分布在能级E上的电子数目

1/)(TkEEBFegn,

g为简并度, 即能级E包含的量子态数目. 显然， 电子分布函数

11)(/)(TkEEBFeEf

是温度T时, 能级E的一个量子态上平均分布的电子数。 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(Ef的物理意义又可表述为： 能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率。

2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量？

［解答]

晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量。 格波的能量子称为声子，

价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量。 频率为i的格波的声子数

11/TkiBien.

从上式可以看出, 绝对零度时， 任何频率的格波的声子全都消失。 因此， 绝对零度时， 价电子与晶格不再交换能量.

3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?

[解答］

自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由（价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上， 即分布在一个费密球内。 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上， 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变。 也就是说， 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近。

4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?

［解答]

费密能级 (完整word版)阎守胜答案

3/2220)3(2nmEF,

其中n是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n变小， 费密能级降低.

固体物理(黄昆)第一章总结

固体物理(黄昆)第一章总结

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固体物理（黄昆）第一章总结

固体物理学是一门研究固体物质微观结构和宏观性质的学科。黄昆教授的《固体物理》一书为我们提供了深入理解固体物理的基础。本总结旨在概述第一章的核心内容，包括固体的分类、晶体结构、晶格振动和固体的电子理论。

一、固体的分类

固体可以根据其结构特征分为晶体和非晶体两大类。晶体具有规则的几何外形和有序的内部结构，而非晶体则没有长程有序性。晶体又可以根据其内部原子排列的周期性分为单晶体和多晶体。

二、晶体结构

晶体结构是固体物理学的基础。黄昆教授详细讨论了晶格、晶胞、晶向和晶面等概念。晶格是描述晶体内部原子排列的数学模型，而晶胞是晶格的最小重复单元。晶向和晶面则分别描述了晶体中原子排列的方向和平面。

三、晶格振动

晶格振动是固体物理中的一个重要概念，它涉及到晶体中原子的振动行为。黄昆教授介绍了晶格振动的量子化描述，包括声子的概念。声子是晶格振动的量子，它们与晶体的热传导和电导等性质密切相关。

四、固体的电子理论 第 2 页 共 3 页 固体的电子理论是固体物理学的核心内容之一。黄昆教授从自由电子气模型出发，介绍了固体中电子的行为和性质。自由电子气模型假设电子在固体中自由移动，不受原子核的束缚。这一模型可以解释金属的导电性和热传导性。

五、能带理论

能带理论是固体电子理论的一个重要组成部分。黄昆教授详细讨论了能带的形成、能隙的概念以及电子在能带中的分布。能带理论可以解释不同固体材料的导电性差异，是现代半导体技术和电子器件设计的基础。

六、固体的磁性

固体的磁性是固体物理中的另一个重要主题。黄昆教授讨论了磁性的来源，包括原子磁矩和电子自旋。磁性固体可以分为顺磁性、抗磁性和铁磁性等类型，它们的磁性行为与电子结构密切相关。

七、固体的光学性质

固体的光学性质涉及到固体对光的吸收、反射和透射等行为。黄昆教授介绍了固体的光学性质与电子结构之间的关系，包括光的吸收和发射过程。

清华大学固体物理：第一章 自由电子论

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1 第一章 自由电子论

1.1 经典自由电子论

1900年特鲁德 (P. Drude) 首先提出金属中的价电子好比气体分子，组成电子气体，它们可以同离子碰撞，在一定的温度下达到热平衡。因此电子气体可以用具有确定的平均速度和平均自由时间的电子来描述。在外电场作用下，电子产生定向漂移运动引起了电流。在温度场中电子气体的定向流动伴随着能量传送，使金属具有良好的热导。金属的电导和热导之间的维德曼－夫兰兹(WiedemannFranz) 定律反映了它们都起因于电子气体的定向流动，支持了电子气体模型。特鲁德金属电子气体模型的基本假设为：

(1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间的相互作用称为自由电子近似。

(2) 一个电子在有限的时间间隔dt内经历的碰撞次数为dt，称为平均自由时间，或弛豫时间。特鲁德假定弛豫时间与电子的位置和速度无关。这称为弛豫时间近似。

(3) 电子通过碰撞和它们的环境达到热平衡。遵从玻尔兹曼统计。电子每一次碰撞后，完全丢失原来的速度和运动方向，随机地改变运动方向，获得新的速率近似地由发生碰撞处的温度决定。这样发生碰撞的区域越热，碰撞后电子的速率越大。

应用特鲁德理论可以成功地解释金属的一些输运性质：

1 电子的运动方程

在任意时间t电子的平均速度为p(t) / m，p是每个电子的总动量。我们来计算经过无穷小的时间间隔dt后每个电子的总动量p(t+dt)。电子在这段时间间隔内的碰撞几率为dt，不遭受碰撞的几率为dt1。假设电子不遭受碰撞，但是受到越过空间均匀的电场或/和磁场力tf的作用，因此电子总动量的增量为2dtodttf。忽略碰撞对电子总动量的影响有：